专题04 线段与角（考题猜想，9种必考题型期末真题60题）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题04 线段与角（考题猜想，9种必考题型期末真题60题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：比较线段的长短（共3题） 1．（2023春•嘉定区期末）如图，点、在线段上，且，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解；，两边都加，得 ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了比较线段的长短，利用了等式的性质． 2．（2022春•杨浦区校级期末）如图，，比较线段与线段的大小　　 A． B． C． D．无法比较 【分析】因为，，，则． 【解答】解：，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 3．（2023春•松江区期末）如图，，则与的大小关系是：　　．（填“”或“”或“” 【分析】根据不等式性质一即“等式两边加相同的数或式子，不等号的方向不变”即可解答． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查线段的和、大小比较，解题关键是利用不等式的性质进行运算． 题型二：线段的和差（共2题） 4．（2024春•闵行区期末）已知线段，延长到，使，为中点，且，那么线段的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据题意画出图形，由是的中点，根据中点的定义可求出的长；根据已知可求出的长，再结合即可解答． 【解答】解：根据题意画出图形如图所示： 是的中点， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查线段长度的计算，关键是根据题意正确的画出图形． 5．（2024春•宝山区校级期末）如图，线段，、分别是、的中点，且，，则线段的长为 　 　． 【分析】设，，根据线段中点的定义得到，，求得，得到，求得，于是得到结论． 【解答】解：， 设，， 、分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，熟练运用线段和差关系求线段的长度是本题的关键． 题型三：两点间的距离（共12题） 6．（2024春•闵行区校级期末）已知是线段上一点（与端点、不重合），是线段的中点，是线段中点，厘米，那么的长等于　　 A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【分析】首先根据中点定义可得到，，再根据图形可得，，即可得到答案． 【解答】解：是的中点， ， 是的中点， ， 厘米， 故选：． 【点评】此题主要考查了求两点间的距离，解题的关键是根据条件理清线段之间的关系． 7．（2024春•杨浦区校级期末）已知线段，，则点的位置是在：①线段上；②线段的延长线上；③线段的延长线上；④直线外．其中可能出现的情况有　　 A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【分析】根据题意所述，找到可能的点的位置即可． 【解答】解：如图所示： 则点的位置可能有3种． 故选：． 【点评】本题考查了两点间的距离，属于基础题，注意每种位置的判断，最好结合图形说明． 8．（2024春•宝山区期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 　　． 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：如图，，， ，，， 点是的中点，点是的中点， ，， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键． 9．（2024春•闵行区校级期末）在线的延长线上顺次截取，如果，那么　　． 【分析】依据题意即可得出，据此代入数据即可求解． 【解答】解：据分析可知：如图 ； 故答案为：10． 【点评】本题考查了两点之间的距离，解答此题的关键得出：，代入数据求解即可． 11．（2024春•浦东新区期末）平面上有一条线段，长度为10厘米，点是线段的中点，点是线段的中点，如果点在线段上，且，则　 　厘米． 【分析】先根据已知条件和线段中点的定义，分别求出，，再根据，，求出，最后根据，求出答案即可． 【解答】解：，点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 11．（2024春•嘉定区期末）如图，点是线段的中点，是线段上一点，若，，则　　． 【分析】先求出，进而得到，再由线段中点的定义得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 【点评】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，正确进行计算是解题关键． 12．（2024春•松江区期末）如图，，点是线段中点，点是线段上的一点，，则线段的长度为 　　． 【分析】先根据已知条件和线段中点的定义，求出和，再根据，，求出，从而求出答案即可． 【解答】解：，点是线段中点， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的数量关系． 13.（2024春•金山区校级期末）如图，已知，，点是线段的中点，那么　 　 ． 【分析】先由，知，再由点是线段的中点知，根据求解可得答案． 【解答】解：，， ， 又点是线段的中点， ， 则， 故答案为：32． 【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差计算及线段的中点的性质． 14．（2024春•徐汇区校级期末）如图，点是线段的中点，是上的一点，如果比长，那么　　． 【分析】根据题意可知：是的中点，是上一点，且比大，即是长度的2倍，由此用除法即可求出的长度． 【解答】解： 答：的长度为． 故答案为：3． 【点评】此题考查了直线、线段和射线的认识，明确是长度的2倍，是解答此题的关键． 15．（2021春•浦东新区期末）如图，已知点在线段上，，点是线段的中点，点是线段的中点．求的长． 请把下面的解题过程补充完整： 解：因为点是线段的中点， 所以　　； 因为点是线段的中点， 所以　　； 因为， 所以　　　　　　； 因为， 所以　　． 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【解答】解：因为点是线段的中点， 所以； 因为点是线段的中点， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以． 故答案为：，，，，，3． 【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键． 16．（2024春•青浦区期末）已知线段厘米，延长线段到点，点是线段的中点，如果，那么　 　厘米． 【分析】分两种情况讨论：①点在点左侧，②点在点右侧，先分别画出图形，根据已知条件和线段中点的定义，求出与的数量关系，然后根据和，列出关于的方程，解方程求出即可． 【解答】解：分两种情况讨论：①点在点左侧，如图所示： 点是线段中点， ， ， ， ， ； ②点在点右侧，如图所示： ， 点是线段中点， ， ， ，， ， ， 或 故答案为：16或48． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，找出线段与线段之间的数量关系． 17．（2024春•杨浦区期末）已知点、、在同一直线上，，，若点为的中点，点为的中点，则　 　． 【分析】分两种情况讨论：①点在线段是延长线上时，先画出图形，根据已知条件，列出关于的方程，求出，，再根据线段中点的定义求出，，最后根据求出答案即可； ②点在线段之间，画出符合题意的图形，根据已知条件，列出关于的方程，求出，，再根据线段中点的定义求出，，最后根据求出答案即可． 【解答】解：分两种情况讨论：①点在线段是延长线上时，如图所示： ， ，，， ， 解得：， ， 点为的中点，点为的中点， ， ； ②点在线段之间，如图所示： ， ，，， ， 解得：， ， 点为的中点，点为的中点， ， ， 线段或， 故答案为：15或7.5． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的关系，难点是画出图形，进行分类讨论． 题型四：角的概念（共5题） 18．（2021春•浦东新区校级期末）如图，已知四个点、、、和的位置关系，那么下列说法中，错误的是　　 A．点在的外部 B．点在的外部 C．点在的内部 D．点在的内部 【分析】根据角的概念和点与角的位置关系分别对每一项进行分析即可． 【解答】解：、点在的外部，正确； 、因为点在上，不是点在的外部，所以本选项错误； 、点在的内部，正确； 、点在的内部，正确； 故选：． 【点评】此题考查了角的概念，掌握点与角的位置关系是解题的关键爱你，是一道基础题． 19．（2020春•金山区期末）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法和图形进行判断即可． 【解答】解：、图中的不能用表示，故本选项错误； 、图中的不能用表示，故本选项错误； 、图中、、表示同一个角，故本选项正确； 、图中的，不能用表示，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 20．（2023春•宝山区期末）如果是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下是 　　度． 【分析】放大镜只能改变线段的大小，无法改变角的大小，计算即可． 【解答】解：在10倍的放大镜下是18度， 故答案为：18． 【点评】本题考查了角的概念，熟练掌握角的大小比较的实质是解题的关键． 21．（2021春•浦东新区期末）如图是用量角器测量角度的结果，如果，那么的度数是　 　． 【分析】依据，，可得，再根据，可得，进而得出的度数． 【解答】解：由图可得，，， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了角的计算，关键是理清角之间的和差关系． 22．（2021春•浦东新区校级期末）两条有公共端点的射线组成了一个角；三条具有公共端点而又不重合的射线组成三个角；四条这样的射线组成了6个角，那么条这样的射线组成了　 　个角． 【分析】作出有公共端点的两条射线、三条射线、四条射线组成的图形，从图形中找到规律，利用规律即可推知条这样的射线组成的角的个数． 【解答】解：如图， 2条射线时，1个角； 3条射线时，个角； 4条射线时，个角； 条射线时，个角． ， 故答案为． 【点评】此题结合探索三角形角的个数与射线条数的关系，考查了同学们的由具体到抽象的推理能力．作出具体图形可为推理提供思路． 题型五：方向角（共4题） 23．（2024春•宝山区期末）已知轮船在码头的北偏东方向上，则码头在轮船的　　 A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【分析】轮船在码头的北偏东方向上这是以轮船为基准的方位图，而要求码头在轮船的方位则是以码头为基准． 【解答】解：如图所示： 码头在轮船的南偏西方向上． 故选：． 【点评】考查了方向角，此题很简单，只要熟知方向角的定义便可解答． 24．（2024春•浦东新区期末）已知、两地的位置如图所示，且，那么下列语句正确的是　　 A．地在地的北偏东方向 B．地在地的北偏东方向 C．地在地的北偏东方向 D．地在地的北偏东方向 【分析】利用，得出的度数，进而求出地与地的位置关系． 【解答】解：， ， 地在地的北偏东方向． 故选：． 【点评】本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键． 25．（2024春•金山区校级期末）已知、两地的位置如图所示，且，地在地的 　 　方向． 【分析】根据方向角的定义作答即可． 【解答】解：如图，记在的正北方向， ， ， 地在地的北偏东方向， 故答案为：北偏东． 【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的表示是解题的关键． 26．（2024春•闵行区期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向上，现测得，此时客轮在货轮的 　 　方向． 【分析】根据图形及方位角即可求解． 【解答】解：根据题意得：灯塔在它的南偏西方向， 所以， ， ， 故答案为：北偏西． 【点评】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键． 题型六：度分秒的换算（共4题） 27．（2024春•闵行区期末）计算：　 　． 【分析】根据角度的减法运算法则计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查角度的四则运算，掌握角度的四则运算法则是关键． 28．（2024春•宝山区期末）计算：　 　． 【分析】先计算加法，再满60进1即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题关键． 29．（2024春•徐汇区校级期末）计算：　 　． 【分析】根据度分秒的加法，相同单位相加，满60时向上一单位进1，可得答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了度分秒的换算，度分秒的加法，相同单位相加，满60时向上一单位进1． 30．（2024春•浦东新区期末）计算：　 　． 【分析】根据角的和解答即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】此题考查角的计算，关键是根据角的计算解答． 题型七：角平分线的定义（共4题） 31．（2024春•松江区期末）如图，是的平分线，，则比大 　　度． 【分析】根据角平分线定义得出，再根据角的和与差即可得出答案． 【解答】解：是的平分线， ， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查了角平分线的定义，能理解角平分线的定义和角的和与差是解此题的关键． 32．（2023春•闵行区期末）已知：如图，，是的平分线，是的平分线，那么等于　 　． 【分析】根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【解答】解：是的角平分线，是的角平分线， ，， 故答案为： 【点评】此题考查了角平分线的定义，将两条角平分线组成的夹角转换为的一半为解题关键． 33．（2024春•浦东新区期末）已知，射线在内部，且，，射线、分别平分、，则的度数是 　 ． 【分析】先根据题意画出图形，再分在内和在外，根据角的和差关系和角平分线的定义可求的度数． 【解答】解：如图1，在内， ，， ， 射线平分， ， 射线平分，， ， ； 如图2，在外， ，， ， 射线平分， ， 射线平分，， ， ． 则的度数是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，注意要根据射线的位置不同，分类讨论． 34．（2021春•徐汇区校级期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，、分别是、的中点． （1）若，则　　； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，、分别平分和，则、和有何数量关系，请直接写出结果不需证明． 【分析】（1）依据，，，可得，再根据、分别是、的中点，即可得到，，进而得出； （2）依据、分别是、的中点，可得，，再根据进行计算，即可得到； （3）依据、分别平分在，可得，，再依据进行计算，即可得到结论． 【解答】解：（1），，， ， 、分别是、的中点， ，， ； （2）的长度不变． 、分别是、的中点， ，， ； （3）． 理由：、分别平分和， ，， ． 故答案为：17． 【点评】本题主要考查角平分线、线段的中点的定义及线段的和差关系的运用，关键在于认真地进行计算，熟练运用相关的性质定理． 题型八：角的计算（共8题） 35．（2024春•浦东新区期末）根据如图所示，下列式子错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【解答】解：、，故错误； 、，故本选项正确； 、，故本选项正确； 、，故本选项正确． 故选：． 【点评】此题考查的知识点是角的计算，关键是明确各角之间的关系． 36．（2024春•宝山区期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是　　 A． B． C． D． 【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法，是的倍数． 比如：画个的角，先用在纸上画出来，再角叠加就画出了角了； 同理可画出、的角．（因为 因为无法用三角板中角的度数拼出，所以不能画出的角的度数是85度． 【解答】解：不是的倍数，用一副（两块）三角尺不能画出． 故选：． 【点评】本题考查了角的计算，掌握用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数是关键． 37．（2024春•浦东新区期末）如图，已知，，，那么　　度． 【分析】根据图形可得方程，解方程可得的值，再把的值代入即可算出答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ． 故答案为：21． 【点评】此题主要考查了角的计算，关键是根据题意列出方程． 38．（2023春•普陀区期末）如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 　　． 【分析】，是平角，等于180度．据此解答． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：45． 【点评】本题考查的是角的计算，关键要知道平角等于180度． 39．（2023春•宝山区期末）如图，、分别是、的平分线，如果，那么的大小为 　 　（结果用度、分、秒表示）． 【分析】根据角平分线的概念以及角的和的关系，找到和之间的关系． 【解答】解：、分别是、的平分线， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线定义的应用，掌握用几何式子根据角平分线的概念表示角之间的倍分关系是解题的关键． 40．（2024春•杨浦区校级期末）如图是一个平角， ，则图中所有小于平角的角的度数之和为 　　． 【分析】设，则，，，再根据平角定义解出，进而得图中所有小于平角的角，然后将它们相加即可得出答案． 【解答】解：设， ， ，，， 是一个平角， ， ， 解得：， 图中所有小于平角的角如下： ，，，，，，，，， 小于平角的角的和为： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平角的定义，角的计算，准确识图，理解平角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 41．（2024春•宝山区期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 　 ． 【分析】根据角平分线的定义求出与的度数，再分①在的外部，②在的内部两种情况求解． 【解答】解：分两种情况讨论：①在的外部时， ，分别平分、， ， ； ②在的内部时， ，分别平分、， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，要注意分在的外部与内部两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错． 42．（2024春•徐汇区校级期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）若，为的3分位线，且，则　 　． （2）如图2，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的4分位线，． ①已知，，则　　． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． （3）如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，请直接写出的度数． 【分析】（1）根据题意可写出，且，进而求得； （2）根据题意可得：，，①因为，可求得； ②写出用表达的表达式，可以看出的大小并不影响的大小，即的大小并不会随着的大小变化而变化； （3）因为、的位置不确定，所以分4种情况讨论，第一种情况又分2种即：，时，或，第二种情况又分2种即：，时，或，再利用等式求解． 【解答】解：（1）由题可得：，且 ，． （2）由题意可得：， ①当时，可求得，，，， 所以． ②不会发生变化．当时， （3）设，则 射线、分别是与的5分位线 ， 、的位置不确定，所以分4种情况讨论 第一种情况又分2种即：，时，或， ①当时 设，则，， 又 任意解，不符合实际情况，舍去 ②当时 设，则，， 又 第二种情况又分2种即：，时，或 ③当时 设，则，， 又 ④当时 设，则，， 又 任意解，不符合实际情况，舍去 综上所述：或． 【点评】本题考查了新定义、几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解决此题的关键． 题型九：余角和补角（共18题） 43．（2024春•宝山区校级期末）下列四个说法错误的是　　 A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【分析】根据余角和补角的定义解答即可． 【解答】解：．若，则的余角的度数为，说法正确，不符合题意； ．一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确，不符合题意； ．互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误，符合题意； ．如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 44．（2024春•闵行区期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含角的直角三角尺，“乙”尺是含角的直角三角尺，则如图中与一定相等的是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【解答】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：． 【点评】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键． 45．（2024春•徐汇区校级期末）如图，点是直线上的一点，，平分，图中的补角有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用角平分线的定义，余角和补角的定义即可求得答案． 【解答】解：由题意可得， 平分， ， ， ， ， ， ， 综上，的补角有，，，共3个， 故选：． 【点评】本题考查角平分线，余角和补角，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 46．（2024春•松江区期末）如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、按下面不同的方式摆放，其中的图形有　　 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【分析】利用互余、互补关系，邻补角的定义逐个分析得结论． 【解答】解：图（1）中，由于，，可得到； 图（2）中，根据“同角的余角相等“，可得到； 图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到； 图（4）中，由于，，所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了余角和补角，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键． 47．（2023春•浦东新区期末）下列说法中，正确的有　　 ①角的平分线是一条直线； ②联结两点的线段叫做两点之间的距离； ③两点之间，直线最短； ④如果，那么余角的度数为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义、两点之间的距离、线段的性质、余角的定义分别判断即可． 【解答】解：①角的平分线是一条射线，故错误； ②联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故错误； ③两点之间，线段最短，故错误； ④如果，那么余角的度数为，故正确； 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的定义、两点之间的距离、线段的性质、余角的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质． 48．（2024春•闵行区校级期末）已知，那么的余角　 　（结 果用度、 分、 秒表示） ． 【分析】根据余角的定义解答 ． 【解答】解：的余角； 故答案为． 【点评】本题考查了余角的定义， 要知道， 如果两个角的和等于（直 角） ，就说这两个角互为余角 ． 即其中一个角是另一个角的余角， 同时要注意度、 分、 秒的换算 ． 49．（2024春•浦东新区期末）已知，则的补角等于 　 　． 【分析】利用补角的定义进行求解即可． 【解答】解：， 的补角等于：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查补角，度分秒的换算，解答的关键是明确互补的两角之和为． 50．（2024春•杨浦区期末）如果一个角的补角比这个角的余角的2倍大，那么这个角的大小为 　　度． 【分析】根据题目描述正确建立方程．通过简单的代数运算，我们可以求出这个角的大小． 【解答】解：设欲求的角的角度为，依题意得， ， 解得：， 故本题的答案为． 【点评】本题考查学生对“补角”和“余角”概念的掌握，学生需要根据“补角”和“余角”的概念以及题干中所陈述的关系建立等式，通过解一元一次方程，从而得到要求的角． 51．（2024春•嘉定区期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系：　 　． 【分析】根据互为余角的定义得，，再根据互为补角的定义得，然后将代入即可得出答案． 【解答】解：与互余， ， ， 与互补， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了余角和补角，正确理解互为余角和互为补角的定义是解决问题的关键． 52．（2024春•闵行区校级期末）如图，如果，，那么的理由是 　 　． 【分析】根据同角的余角相等的性质即可求解． 【解答】解：，， 的理由是同角的余角相等． 故答案为：同角的余角相等． 【点评】本题主要考查余角和补角，比较简单．也是同角的余角相等的运用． 53．（2024春•徐汇区校级期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，那么　 　． 【分析】先求得的度数，然后依据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求解即可． 【解答】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 综上所述，或． 故答案为：13或45． 【点评】本题主要考查的是余角的定义、角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 54．（2024春•金山区校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，求这个角的度数． 【分析】利用题中“一个角的补角比这个角的余角的3倍大”作为相等关系列方程求解即可． 【解答】解：设这个角是，则， 解得． 故答案为． 【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 55．（2020春•浦东新区期末）已知，与互余，是的角平分线． （1）画出所有符合条件的图形． （2）计算的度数． 【分析】（1）分在外部和内部两种情况，画出所有符合条件的图形． （2）先求出度数，再由角平分线得出度数，结合图形可得度数． 【解答】解：（1）如图所示： （2）当在外部时，如图甲， ，与互余， ，， 是的平分线， ， ； 当在内部时，如图乙， ，与互余， ，， 是的平分线， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点评】本题考查了余角与补角，根据角的位置的不同，得出所有的可能是解题的关键，也是本题的难点． 56．（2023春•宝山区期末）如图，已知点是直线上的点，． （1）图中与互补的角有 　 　； （2）如果射线、分别表示从点出发的正东、正西两个方向，那么射线表示 　　 （请填方位角）； （3）如果，请画射线（不要求写画法）． 【分析】（1）根据补角的定义即可得到结论； （2）过点作，根据余角的性质即可得到结论； （3）根据题意作出图形即可． 【解答】解：（1）， ， 图中与互补的角有和， 故答案为：，； （2）过点作， ， ， 射线表示北偏西方向， 故答案为：北偏西方向； （3）如图1，射线为所求作射线． 【点评】本题考查了补角的定义，方向角，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 57．（2024春•金山区校级期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． （1）如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则　 　； （2）如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，若恰好平分，则　　； （3）将直角三角板绕点顺时针转动与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 【分析】（1）利用余角的定义可求解； （2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解； （3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． 【解答】解：（1）由题意得， ， ， 故答案为； （2），， ， 平分， ， ， ， 故答案为； （3）①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点评】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． 58．（2023春•普陀区期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角．其中一个角称为另一个角的半余角．例如：，，因为，所以和互为半余角． （1）如果，是的半余角，那么的度数是 　 　． （2）如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：　　 ． ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可； （2）①根据角平分线以及半余角的定义进行计算即可； ②根据半余角的定义、角平分线的定义以及图形中角的和差关系，分两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1），是的半余角， ， 故答案为：； （2）①作的平分线，此时， 平分，平分， ，， ， ， ，， 的半余角为或， 故答案为：或； ②设 度数为，则 度数为，， 如图1， ， 由题意得，， 解得； 如图2， 由题意得，， 解得， 所以， 度数为或． 【点评】本题考查角平分线，余角与补角以及度、分、秒的计算，理解半余角、角平分线的定义是正确解答的前提． 59．（2021春•浦东新区校级期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． （1）如图1，若直角三角板的一边放在射线上，求的度数； （2）如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； （3）将直角三角板绕点顺时针转动与重合时为停止）的过程中，恰好，求此时的度数． 【分析】（1）利用余角的定义可求解； （2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解； （3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． 【解答】解：（1）由题意得， ， ． （2），， ， 平分， ， ， ， （3）①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点评】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． 60．（2021春•奉贤区期末）已知点为直线上一点． （1）如图1，过点作射线，使，求与的度数； （2）如图2，射线为内部任意一条射线，射线、分别是、的角平分线，写出　 　，此时图中互余的角有 　　对，互补的角有 　　对． （3）如图3，在第（2）小题情况下，保持的度数不变，但改变其他条件，并使得射线是的角平分线，此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）根据，设，则，根据平角是，列出方程求解即可； （2）根据角平分线的定义得：，，再根据即可得出；分别列出图中互余和互补的角即可； （3）根据射线是的角平分线，得，再根据，即可得出． 【解答】解：（1）， 设，则， 根据题意得：， ， ，； （2）射线、分别是、的角平分线， ，， ； ，，，， 互余的角有4对； ，，，，， 互补的角有5对； 故答案为：90，4，5； （3）．理由如下： 射线是的角平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，在数余角和补角对数的时候，注意做到不重不漏． $$专题04 线段与角（考题猜想，9种必考题型期末真题60题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：比较线段的长短（共3题） 1．（2023春•嘉定区期末）如图，点、在线段上，且，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 2．（2022春•杨浦区校级期末）如图，，比较线段与线段的大小　　 A． B． C． D．无法比较 3．（2023春•松江区期末）如图，，则与的大小关系是：　　．（填“”或“”或“” 题型二：线段的和差（共2题） 4．（2024春•闵行区期末）已知线段，延长到，使，为中点，且，那么线段的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2024春•宝山区校级期末）如图，线段，、分别是、的中点，且，，则线段的长为 　 　． 题型三：两点间的距离（共12题） 6．（2024春•闵行区校级期末）已知是线段上一点（与端点、不重合），是线段的中点，是线段中点，厘米，那么的长等于　　 A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 7．（2024春•杨浦区校级期末）已知线段，，则点的位置是在：①线段上；②线段的延长线上；③线段的延长线上；④直线外．其中可能出现的情况有　　 A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 8．（2024春•宝山区期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 　　． 9．（2024春•闵行区校级期末）在线的延长线上顺次截取，如果，那么　　． 11．（2024春•浦东新区期末）平面上有一条线段，长度为10厘米，点是线段的中点，点是线段的中点，如果点在线段上，且，则　 　厘米． 11．（2024春•嘉定区期末）如图，点是线段的中点，是线段上一点，若，，则　　． 12．（2024春•松江区期末）如图，，点是线段中点，点是线段上的一点，，则线段的长度为 　　． 13.（2024春•金山区校级期末）如图，已知，，点是线段的中点，那么　 　 ． 14．（2024春•徐汇区校级期末）如图，点是线段的中点，是上的一点，如果比长，那么　　． 15．（2021春•浦东新区期末）如图，已知点在线段上，，点是线段的中点，点是线段的中点．求的长． 请把下面的解题过程补充完整： 解：因为点是线段的中点， 所以　　； 因为点是线段的中点， 所以　　； 因为， 所以　　　　　　； 因为， 所以　　． 16．（2024春•青浦区期末）已知线段厘米，延长线段到点，点是线段的中点，如果，那么　 　厘米． 17．（2024春•杨浦区期末）已知点、、在同一直线上，，，若点为的中点，点为的中点，则　 　． 题型四：角的概念（共5题） 18．（2021春•浦东新区校级期末）如图，已知四个点、、、和的位置关系，那么下列说法中，错误的是　　 A．点在的外部 B．点在的外部 C．点在的内部 D．点在的内部 19．（2020春•金山区期末）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是　　 A． B． C． D． 20．（2023春•宝山区期末）如果是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下是 　　度． 21．（2021春•浦东新区期末）如图是用量角器测量角度的结果，如果，那么的度数是　 　． 22．（2021春•浦东新区校级期末）两条有公共端点的射线组成了一个角；三条具有公共端点而又不重合的射线组成三个角；四条这样的射线组成了6个角，那么条这样的射线组成了　 　个角． 题型五：方向角（共4题） 23．（2024春•宝山区期末）已知轮船在码头的北偏东方向上，则码头在轮船的　　 A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 24．（2024春•浦东新区期末）已知、两地的位置如图所示，且，那么下列语句正确的是　　 A．地在地的北偏东方向 B．地在地的北偏东方向 C．地在地的北偏东方向 D．地在地的北偏东方向 25．（2024春•金山区校级期末）已知、两地的位置如图所示，且，地在地的 　 　方向． 26．（2024春•闵行区期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向上，现测得，此时客轮在货轮的 　 　方向． 题型六：度分秒的换算（共4题） 27．（2024春•闵行区期末）计算：　 　． 28．（2024春•宝山区期末）计算：　 　． 29．（2024春•徐汇区校级期末）计算：　 　． 30．（2024春•浦东新区期末）计算：　 　． 题型七：角平分线的定义（共4题） 31．（2024春•松江区期末）如图，是的平分线，，则比大 　　度． 32．（2023春•闵行区期末）已知：如图，，是的平分线，是的平分线，那么等于　 　． 33．（2024春•浦东新区期末）已知，射线在内部，且，，射线、分别平分、，则的度数是 　 ． 34．（2021春•徐汇区校级期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，、分别是、的中点． （1）若，则　　； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，、分别平分和，则、和有何数量关系，请直接写出结果不需证明． 题型八：角的计算（共8题） 35．（2024春•浦东新区期末）根据如图所示，下列式子错误的是　　 A． B． C． D． 36．（2024春•宝山区期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是　　 A． B． C． D． 37．（2024春•浦东新区期末）如图，已知，，，那么　　度． 38．（2023春•普陀区期末）如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 　　． 39．（2023春•宝山区期末）如图，、分别是、的平分线，如果，那么的大小为 　 　（结果用度、分、秒表示）． 40．（2024春•杨浦区校级期末）如图是一个平角， ，则图中所有小于平角的角的度数之和为 　　． 41．（2024春•宝山区期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 　 ． 42．（2024春•徐汇区校级期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）若，为的3分位线，且，则　 　． （2）如图2，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的4分位线，． ①已知，，则　　． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． （3）如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，请直接写出的度数． 题型九：余角和补角（共18题） 43．（2024春•宝山区校级期末）下列四个说法错误的是　　 A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 44．（2024春•闵行区期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含角的直角三角尺，“乙”尺是含角的直角三角尺，则如图中与一定相等的是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 45．（2024春•徐汇区校级期末）如图，点是直线上的一点，，平分，图中的补角有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（2024春•松江区期末）如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、按下面不同的方式摆放，其中的图形有　　 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 47．（2023春•浦东新区期末）下列说法中，正确的有　　 ①角的平分线是一条直线； ②联结两点的线段叫做两点之间的距离； ③两点之间，直线最短； ④如果，那么余角的度数为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（2024春•闵行区校级期末）已知，那么的余角　 　（结 果用度、 分、 秒表示） ． 49．（2024春•浦东新区期末）已知，则的补角等于 　 　． 50．（2024春•杨浦区期末）如果一个角的补角比这个角的余角的2倍大，那么这个角的大小为 　　度． 51．（2024春•嘉定区期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系：　 　． 52．（2024春•闵行区校级期末）如图，如果，，那么的理由是 　 　． 53．（2024春•徐汇区校级期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，那么　 　． 54．（2024春•金山区校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，求这个角的度数． 55．（2020春•浦东新区期末）已知，与互余，是的角平分线． （1）画出所有符合条件的图形． （2）计算的度数． 56．（2023春•宝山区期末）如图，已知点是直线上的点，． （1）图中与互补的角有 　 　； （2）如果射线、分别表示从点出发的正东、正西两个方向，那么射线表示 　　 （请填方位角）； （3）如果，请画射线（不要求写画法）． 57．（2024春•金山区校级期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． （1）如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则　 　； （2）如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，若恰好平分，则　　； （3）将直角三角板绕点顺时针转动与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 58．（2023春•普陀区期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角．其中一个角称为另一个角的半余角．例如：，，因为，所以和互为半余角． （1）如果，是的半余角，那么的度数是 　 　． （2）如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：　　 ． ②是的半余角，当是的时，求的度数． 59．（2021春•浦东新区校级期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． （1）如图1，若直角三角板的一边放在射线上，求的度数； （2）如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； （3）将直角三角板绕点顺时针转动与重合时为停止）的过程中，恰好，求此时的度数． 60．（2021春•奉贤区期末）已知点为直线上一点． （1）如图1，过点作射线，使，求与的度数； （2）如图2，射线为内部任意一条射线，射线、分别是、的角平分线，写出　 　，此时图中互余的角有 　　对，互补的角有 　　对． （3）如图3，在第（2）小题情况下，保持的度数不变，但改变其他条件，并使得射线是的角平分线，此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． $$