第二单元—问题解决

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二、乘除法的关系和乘法运算律 相遇问题 1.定义：两者从两地同时出发相向而行，经过一段时间后相遇。（本质：两者共同走完一段路） 2.公式： 3.两次相遇（迎面相遇） ①两地相向出发：第 1次相遇，共走 1 个全程；第 2 次相遇，共走 3 个全程。 ②同地同向出发：第 1次相遇，共走 2 个全程；第 2 次相遇，共走 4 个全程。 （一）相遇问题 （二）有具体量的工程问题 一、基础知识讲解 路程和＝速度和×相遇时间 相遇时间＝路程和÷速度和 速度和＝路程和÷相遇时间 甲地 乙地 · · 第一次相遇 第二次相遇 BA B A 甲地 乙地 · 第一次相遇 第二次相遇 · 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、考法技法提炼 考法 1：两地相向出发相遇问题 例题：甲车和乙车从相距 360 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车每小时行 48 千米，乙车每 小时行 72 千米，两车经过多少时间相遇？ 【解析】根据题中已知信息，画出线段图： 解答：360÷（48＋72） ＝360÷120 ＝3（小时） 答：两车经过 3小时相遇。 考法 2：同地同向出发相遇问题 例题：甲车、乙车同时从 A地出发开往 B地，到达 B 地后立即返回，它们 12 小时后第一次相遇，已知甲车 每小时行驶 25 千米，乙车每小时行驶 45 千米。求 A、B 两地之间的距离。 【解析】梳理题目中的信息，画出线段图： A B 360 千米 甲车 乙车 72 千米/时48 千米/时 相遇时间＝路程和÷速度和 速度和：（48＋72）千米/时 路程和：360 千米 求相遇时间， 根据“相遇时间＝路程和÷速度和” 计算并找出路程和、速度和， 代入公式求解 两地相向出发 相遇问题 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 观察线段图可以看出，同地同向出发，第 1次相遇，共走 2 个全程。 解答：（25＋45）×12 ＝70×12 ＝840（千米） 840÷2＝420（千米） 答：A、B 两地之间的距离的 420 千米。 【点睛】同地同向出发第一次相遇，两车所走过的路程是两个全程的长度，根据公式“路程和＝速度和× 相遇时间”求解出的结果要除以 2得出全程的长度。 考法 3：两次相遇问题 例题：甲车、乙车同时从 A、B 地相向开出，两车第一次在距离 A 地 50 千米处相遇，相遇后继续前进，各 自到达 B、A 地后立即返回，第二次在距 B 地 30 千米处相遇。求 A、B两地相距多少千米？ 【解析】梳理题目中的信息，画出线段图： 同地同向出发 相遇问题 第一次相遇两车走过的 路程是 2 倍的全程 根据公式“路程和＝速度和×相遇时间” 求出后÷2得出路程长 甲车 乙车 A B · 第一次相遇 行驶12小时 45 千米/时 25 千米/时 ？千米 路程和＝速度和×相遇时间 速度和：（25＋45）千米/时 相遇时间：12 小时 两个全程 A 地 B地 · · 第一次相遇 第二次相遇 乙车甲车 50 千米 30 千米 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 观察线段图可以看出，两地相向出发：第 1次相遇，共走 1 个全程；第 2 次相遇，共走 3个全程。 观察线段图，甲车行走的全部路线，可以看出： 解答： 50×3－30 ＝150－30 ＝120（千米） 答：A、B 两地之间的距离的 120 千米。 【点睛】弄清楚两次相遇走了几个全程是解决此类问题的关键。 易错点：解决相遇问题时，方向判断错误 易错诠释：在解决相遇问题时，两车的运动方向没有搞清楚，或是同向或是相向。 例题：甲车、乙车同时从 A 地出发开往 B 地，到达 B 地后立即返回，它们 3 小时后第一次相遇，已知甲车 每小时行驶 60 千米，乙车每小时行驶 40 千米。求 A、B 两地之间的距离。 错误解答：3×（60＋40） ＝3×100 ＝300（千米） 答：A、B 两地之间的距离是 300 千米。 【分析】此题错在没有注意题目中甲车和乙车是同地同向出发，相遇时走了 2 个全程。 三、易错提示 两次相遇问题 两地相向出发 第 1 次相遇，共走 1个全程 第 2 次相遇，共走 3个全程 同地同向出发 第 1 次相遇，共走 2 个全程 第 2 次相遇，共走 4 个全程 出发至第 1 次相遇 甲车、乙车合走 1个全程，甲车走了 50 千米 出发至第 2 次相遇 甲车、乙车合走 3个全程，甲车走了（50×3）千米 A 地到 B 地的距离＝甲车走的全部路程－30 千米 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 根据题意画出线段图： 观察线段图可以看出，同地同向出发，第 1次相遇，共走 2 个全程。 【详解】 3×（60＋40） ＝3×100 ＝300（千米） 300÷2＝150（千米） 答：A、B两地之间的距离是 150 千米。 【点睛】解决相遇问题时，注意两车运动的方向，借助线段图，可以更形象地理解题意及数量关系。 路程和＝速度和×相遇时间 速度和：（60＋40）千米/时 相遇时间：3 小时 甲车 乙车 A B · 第一次相遇 行驶 3 小时 60 千米/时 40 千米/时 ？千米 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 二、考法技法提炼 有具体量的工程问题 考法：解决工程问题 例题：修路队计划 40 天修一条公路，实际每天比计划多修 10 米，只用了 35 天就修完了。这条公路长多少 米？ 【解析】分析题目，要求工程总量，需要知道工作时间和工作效率，工作时间已知，需要求出工作效率。 一、基础知识讲解 ÷ 三要素 工程问题 计算公式 基础合作问题 工作总量 工作时间 工作效率 工作总量＝工作时间×工作效率 合作效率＝工作效率 1＋工作效率 2 ＋…… 工作时间＝工作总量÷合作效率 工作时间＝工作总量÷工作效率 工作效率＝工作总量÷工作时间 × 实际每天比计算多修 10 米×实际 35 天修完 实际多修了多少米 计划 40 天完成－实际 35 天完成 少修了多少天 计划每天修多少米 计划修的天数 公路的长度 解题关键 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 解答：10×35＝350（米） 40－35＝5（天） 350÷5＝70（米） 70×40＝2800（米） 答：这条公路长 2800 米。 【点睛】解题的关键是求出工作效率。 易错点：对工程问题中合作完成不理解 易错诠释：解决合作类工程问题的关键是理解“合作效率＝工作效率 1＋工作效率 2”这一公式。 例题：建筑工地需要 12 吨水泥，用甲车运输需要 2 天，用乙车运输需要 4天。两车合作运输，至少需要多 少天？ 错误解答：（2＋4）÷2＝3（天） 答：两车合作需要 3天完成。 【分析】此题错在没有理解合作完成工程的解题思路，误以为合作后需要的时间就是把单独完成工作的时 间相加除以 2。 【详解】甲车工作效率：12÷2＝6（吨） 乙车工作效率：12÷4＝3（吨） 两车工作效率和：6＋3＝9（吨） 合作工作时间：12÷9＝1（天）……3（吨） 1＋1＝2（天） 答：两车合作至少需要两天完成。 【点睛】理解合作完成一项工程的解题思路，是解决此类问题的关键。 三、易错提示 先求多修的米数和 工作时间差 多修的米数÷时间差＝ 计划每天的工作效率 工作总量＝工作效率×工作时间 甲车工作效率＝工作总量÷甲车工作时间 乙车工作效率＝工作总量÷乙车工作时间 求出两车工作效率和：甲车效率＋乙车效率 合作工作时间＝工作总量÷工作效率 和 橙 子 学