专题09 随机事件的概率（考题猜想，易错必刷43题9种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题09 随机事件的概率 （易错必刷43题9种题型专项训练） 一、事件的分类（共5小题） 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）下列事件中，为必然事件的是（ ） A．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．明天下雪的概率是，则明天一定会下雪 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）下列事件中，必然事件是（    ） A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻 B．明天会下雨 C．小明今天至少走了100米 D．太阳从东方升起 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视，正在播“天空课堂” B．足球运动员射门一次，球进了 C．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到16 D．投掷一枚正六面体的骰子，掷得朝上一面的点数恰好是5 4．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 5．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）下列事件中， （1）太阳从西边落山； （2）某人的体温是； （3）； （4）某个等腰三角形中任意两个角都不相等： （5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件． 二、可能性的大小（共3小题） 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 7．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（    ） A．C（哆）音符 B．D（来）音符 C．E（咪）音符 D．以上都不对 8．（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 三、用概率公式计算概率（共5小题） 9．（24-25九年级上·河北张家口·期中）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）从装有红球、白球、黑球各1球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是白球，则（   ） A．这个事件是必然事件，概率为 B．这个事件是随机事件，概率为 C．这个事件是随机事件，概率为1 D．这个事件是确定事件，概率为1 11．（2024·湖北宜昌·模拟预测）九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某条河流的流向（从左往右）及分支如图所示，其中阴影部分是A城市所在的地区，并有两条支流从A城市穿过，现有一艘小船从左往右航行，在河流分支处随机进入一条支流，若小船穿过A城市的概率为，不穿过A城市的概率为，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）嘉淇去商场购物，购买后，商家有一个抽奖答谢活动，共有张奖券，其中含奖项的奖券有张，每名已购物的顾客只能抽取一次，嘉淇抽之前有名顾客已抽过奖券，中奖的有人，则嘉淇中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 四、几何概率（共5小题） 14．（2024·河北保定·一模）如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 15．（22-23九年级上·河北邢台·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率是（    ）    A． B． C． D． 16．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是一块绿化带，（阴影部分）是的内切圆，将阴影部分修建成花圃，已知，一只自由飞翔的小鸟随机飞到这块绿化带上，则小鸟正好落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 17．（2023·河北邯郸·模拟预测）在一个四宫格火锅里有如图所示的三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底，一种是红汤锅底，将一个丸子随机投入四个宫格中，估计倒入红汤锅底的概率是 ． 清汤 清汤 麻辣 红汤 18．（2023·河北邯郸·一模）如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，琪琪在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球，P（甲）表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率，P（乙）表示小球停留在乙区域中灰色部分的概率，则P（甲） P（乙）．（选镇“＞”“＜”或“＝”） 五、已知概率求解（共4小题） 19．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同． 若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则袋中球的总个数为（   ） A．10 个 B．8个 C．6个 D．4个 20．（2024·河北石家庄·一模）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3个红球． （1）从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是 ； （2）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白球的概率为，则m的值为 ． 21．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共30个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5． (1)试求黄色球的数量； (2)若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值． 22．（23-24七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外其他都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一个球． (1)摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？ (2)为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去5个球，那么这5个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 六、用频率估计概率（共5小题） 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（    ） A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90 24．（23-24九年级上·河北保定·期中）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（    ） A．12个 B．15个 C．16个 D．17个 25．（23-24九年级上·河北张家口·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（    ） 油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000 发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961 发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961 A．1920粒 B．960粒 C．80粒 D．40粒 26．（18-19八年级下·江苏无锡·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 27．（15-16九年级下·河北秦皇岛·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为________； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； (3)如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放________个白球？ 七、利用列表法求概率（共5小题） 28．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)杨老师选择座位的可能性为______． (2)请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 29．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜． (1)第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______． (2)第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 30．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，甲、乙两个转盘分别分成3个、4个大小相同的扇形，参与者分别转动甲、乙两个转盘，观察转盘静止后两指针所指颜色（若指针恰好指向分界线，则判定指针指向分界线右侧的区域）． (1)请用列表或画树状图的方法列出两指针所指颜色的所有可能的结果； (2)嘉嘉和淇淇分别设计了一个规则．嘉嘉：两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向白色的区域时获奖；淇淇：红色和蓝色在一起配成紫色，蓝色和黄色在一起配成绿色，当两个转盘的指针所指颜色可以配成紫色或绿色时获奖．若要求该游戏的获奖率为，你认为应该选谁设计的规则？请说明理由． 红 白 蓝 黄 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄） 由表格可知，共有12种等可能的结果； 31．（24-25九年级上·河北张家口·期中）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是______； (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，请在表格中补全两次抽签的所有可能结果，并求出甲取胜的概率． 乙 结果甲 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） 剪子 （剪子，布） 布 （布，石头） 乙 结果甲 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） 32．（2024·河北邯郸·二模）2023年春节期间调研小组随机调查了某新开放景区的部分参观群众，为本景区打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）．根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共调查了__________名参观群众，并补全条形统计图； (2)为了进一步研究，调研小组又增加调查了5位参观者，若他们的打分分别为：5，4，4，5，3，则增加调查人数前后，本次活动打分分值的中位数与原来是否相同？并简要说明理由； (3)若从打分较低的四人中随机抽取2名做情况反馈，发现抽取的2人恰为一成人一儿童的概率为，这4人中成人与儿童分布情况不可能为__________． A．两名成人，两名儿童． B．三名成人，一名儿童． C．一名成人，三名儿童 A B C D A B C D 八、利用树形图求概率（共5小题） 33．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈；若第二次掷得2，就从开始顺时针连续跳2个边长，落到圈；… 设游戏者从圈起跳． (1)嘉嘉随机掷一次骰子，落回到圈的概率为________； (2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到图的概率． 35．（2011·河北邯郸·中考模拟）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． (1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． (2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 36．（2024·河北秦皇岛·一模）如图1，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（）和稀硫酸（），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（）和氢氧化钙溶液（）． (1)彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（）的概率为______． (2)下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（）”的概率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解．（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯化钙溶液） 37．（2024·河北沧州·模拟预测）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为______； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校共有2400名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ (4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 九、游戏公平性问题（共6小题） 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请说明理由． 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 39．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 40．（23-24九年级上·河北保定·期中）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 41．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）嘉嘉和淇淇做一个游戏，图为一个正方体骰子，图为按顺序排列的圆圈图，号圆圈内有一枚硬币，一人掷骰子，骰子朝上的面点数为几，就将右图中圆圈内的硬币按顺时针方向移动几步，另一人接着掷骰子并移动同一硬币．例如，现在硬币在号圆圈内，嘉嘉掷出点，则硬币从号圆圈走到号圆圈，淇淇又掷出点，则硬币从号圆圈走到号圆圈 (1)硬币在号圆圈内，则嘉嘉掷一次骰子后硬币落在号圆圈内的概率为____； (2)硬币在号圆圈内，嘉嘉掷一次骰子并移动硬币后淇淇再掷一次骰子也移动硬币，如果硬币落在号圆圈嘉嘉胜，落在号圆圈淇淇胜． 通过下面未完成的表格求出此时硬币所在圆圈的所有可能性． 淇淇嘉嘉 这个游戏公平吗？请说明理由． 淇淇嘉嘉 42．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为n． (1)请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况； (2)规定：若m，n都是方程的解时，小明获胜；m，n都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？ 43．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求所抽查学生读课外书册数的平均数． (2)随后又补查了另外几人，得知其中1人读了4册，其余几人最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了______人． (3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 随机事件的概率 （易错必刷43题9种题型专项训练） 一、事件的分类（共5小题） 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）下列事件中，为必然事件的是（ ） A．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．明天下雪的概率是，则明天一定会下雪 【答案】C 【分析】本题考查事件分类，涉及随机事件、必然事件和不可能事件的定义及识别，根据各类事件定义逐项验证即可得到答案，熟记随机事件、必然事件和不可能事件的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、掷一枚骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，不符合题意； B、随意打开一本书，书的页码是奇数，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、明天下雪的概率是，则明天一定会下雪，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）下列事件中，必然事件是（    ） A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻 B．明天会下雨 C．小明今天至少走了100米 D．太阳从东方升起 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件． 根据事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，逐一进行分析即可判断． 【详解】解：A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻，是随机事件； B．明天会下雨，是随机事件； C．小明今天至少走了100米，是随机事件； D．太阳从东方升起，是必然事件． 故选：D． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视，正在播“天空课堂” B．足球运动员射门一次，球进了 C．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到16 D．投掷一枚正六面体的骰子，掷得朝上一面的点数恰好是5 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播“天空课堂”，是随机事件，故本选项不符合题意； B、足球运动员射门一次，球进了，是随机事件，故本选项不符合题意； C、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到16，属于不可能事件，故本选项符合题意； D、投掷一枚正六面体的骰子，掷得朝上一面的点数恰好是5，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 4．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可得答案． 【详解】解：“淇淇捡到废旧电池”是随机事件． 故答案为：随机． 5．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）下列事件中， （1）太阳从西边落山； （2）某人的体温是； （3）； （4）某个等腰三角形中任意两个角都不相等： （5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件． 【答案】 （1） （2）（4） （3）（5） 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）根据生活常识，可知太阳一定从西边落山，所以“太阳从西边落山”是必然事件． （2）因为正常人体的体温都在左右，所以“某人的体温是”是不可能事件． （3）当时，，当a，b中至少有一个不等于0时，为正数，所以“”是随机事件． （4）根据等腰三角形的性质，等腰三角形中至少有两个角相等，所以“某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件． （5）经过有信号灯的十字路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，所以“经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件． 故答案为：（1）；（2），（4）；（3），（5）； 二、可能性的大小（共3小题） 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（   ） A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案． 【详解】解：∵一共有8张卡片，其中写有4的卡片最多，且每张卡片被摸到的可能性相同， ∴摸到可能性最大的数是4， 故选：B． 7．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（    ） A．C（哆）音符 B．D（来）音符 C．E（咪）音符 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的可能性的大小，根据3种卡片的数量可得D（来）音符数量最多，进而求解即可． 【详解】解：∵C（哆）音符有3张，D（来）音符有4张，E（咪）音符有3张， ∴D（来）音符数量最多 ∴抽到的卡片可能性更大的是D（来）音符． 故选：B． 8．（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 三、用概率公式计算概率（共5小题） 9．（24-25九年级上·河北张家口·期中）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率，骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数大于3的情况有几种，直接应用求概率的公式求解即可． 【详解】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数大于3的有4，5，6共3个， ∴这个骰子向上的一面点数大于3的概率为． 故选：C． 10．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）从装有红球、白球、黑球各1球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是白球，则（   ） A．这个事件是必然事件，概率为 B．这个事件是随机事件，概率为 C．这个事件是随机事件，概率为1 D．这个事件是确定事件，概率为1 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，概率公式的应用，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可． 【详解】解：从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是白球，这个事件是随机事件，概率为； 故选：B． 11．（2024·湖北宜昌·模拟预测）九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率公式的知识，掌握概率公式是解题的关键．用选中女生数除以选中学生数即可解答． 【详解】解：∵结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名， ∴老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是． 故选：D． 12．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某条河流的流向（从左往右）及分支如图所示，其中阴影部分是A城市所在的地区，并有两条支流从A城市穿过，现有一艘小船从左往右航行，在河流分支处随机进入一条支流，若小船穿过A城市的概率为，不穿过A城市的概率为，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接求解，然后比较即可． 【详解】解：∵共有4条支流，其中小船穿过A城市的有2条支流，不穿过A城市的也有2条支流， ∴小船穿过A城市的概率为，不穿过A城市的概率为， ∴， 故选：B． 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）嘉淇去商场购物，购买后，商家有一个抽奖答谢活动，共有张奖券，其中含奖项的奖券有张，每名已购物的顾客只能抽取一次，嘉淇抽之前有名顾客已抽过奖券，中奖的有人，则嘉淇中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．嘉淇抽奖时共有张奖券，张含奖项的奖券，所以嘉淇中奖的概率为． 【详解】解：商场共有张奖券，其中含奖项的奖券有张， 名顾客共抽取张奖券，还剩下张奖券， 含奖项的奖券抽取了张，剩下张含奖项的奖券， 嘉淇中奖的概率为． 故选：C． 四、几何概率（共5小题） 14．（2024·河北保定·一模）如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求概率，根据蓝色区域所占的份数进行求解即可． 【详解】解：由图可知：指针落在蓝色区域的概率为； 故选A． 15．（22-23九年级上·河北邢台·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在白砖上的概率是． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 16．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是一块绿化带，（阴影部分）是的内切圆，将阴影部分修建成花圃，已知，一只自由飞翔的小鸟随机飞到这块绿化带上，则小鸟正好落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的半径为r，根据勾股定理求出，设与的切点分别为点E，D， F，连接，则，可证得四边形是矩形，再由切线长定理可得四边形是正方形，从而得到，进而得到，，可求出，再分别求出圆的面积和，然后根据概率公式，即可求解． 【详解】解：设的半径为r， 在中，， ∴， 如图，设与的切点分别为点E，D， F，连接，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵（阴影部分）是的内切圆， ∴，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴圆的面积为， ∵， ∴小鸟正好落在花圃上的概率为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了切线长定理，几何概率，正方形的判定和性质，根据题得到圆的面积是解题的关键． 17．（2023·河北邯郸·模拟预测）在一个四宫格火锅里有如图所示的三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底，一种是红汤锅底，将一个丸子随机投入四个宫格中，估计倒入红汤锅底的概率是 ． 清汤 清汤 麻辣 红汤 【答案】/0.25 【分析】根据图中“红汤”所占面积比例即可进行解答． 【详解】解：由图可知： 倒入红汤锅底的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键是掌握概率所求部分面积与总面积之比． 18．（2023·河北邯郸·一模）如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，琪琪在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球，P（甲）表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率，P（乙）表示小球停留在乙区域中灰色部分的概率，则P（甲） P（乙）．（选镇“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＝ 【分析】利用概率的定义直接求出（甲）和（乙）进行比较． 【详解】解：（甲），（乙），所以（甲）=（乙）． 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了随机事件的概率，掌握概率的定义是解题的关键． 五、已知概率求解（共4小题） 19．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同． 若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则袋中球的总个数为（   ） A．10 个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，根据摸到黄球的概率黄球的个数球的总数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋中球的总个数为个， 故选A． 20．（2024·河北石家庄·一模）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3个红球． （1）从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是 ； （2）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白球的概率为，则m的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． （1）根据概率公式，用红球的个数除以总的球的个数，即可得到从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率； （2）根据题意和题目中的数据，可以得到，然后计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是， 故答案为：； （2）由题意可得， ， 解得， 故答案为：3． 21．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共30个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5． (1)试求黄色球的数量； (2)若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值． 【答案】(1)黄色球的数量为个 (2)6 【分析】本题考查一直概率求数量： （1）根据概率之和为1，求出摸到黄球的概率，利用总数乘以概率求出数量即可； （2）根据红球的个数等于原来的个数加上放进去的个数，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5， ∴摸到黄球的概率为：， ∴黄色球的数量为：（个）； （2）由题意得：， 解得：， 答：a的值为6． 22．（23-24七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外其他都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一个球． (1)摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？ (2)为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去5个球，那么这5个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 【答案】(1)摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是 (2)放进去的这5个球中红球1个，黄球4个 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）设放入红球x个，则放入黄球个，根据摸出红球和黄球的概率相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知摸出每一球的可能性相同， ∴摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是． （2）解：设放入红球x个，则放入黄球个． 由题意，得， 解得， ∴， ∴放进去的这5个球中红球1个，黄球4个． 六、用频率估计概率（共5小题） 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（    ） A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90 【答案】A 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83． 故选：A． 24．（23-24九年级上·河北保定·期中）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（    ） A．12个 B．15个 C．16个 D．17个 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解∶设白球个数为x个， 摸到红色球的频率稳定在左右， 口袋中得到红色球的概率为， ， 解得∶， 经检验是原方程的根， 故白球的个数为12个， 故选∶A． 25．（23-24九年级上·河北张家口·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（    ） 油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000 发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961 发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961 A．1920粒 B．960粒 C．80粒 D．40粒 【答案】C 【分析】本题考查了频数与频率，用样本估计总体，根据题意可得：2000粒油某籽中发芽的频率约为0.96，从而可得2000粒油某籽中不能发芽的频率为0.04，然后根据频数=频率×总次数，进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：2000粒油某籽中发芽的频率约为0.96， ∴2000粒油某籽中不能发芽的频率， ∴2000粒油某籽中不能发芽的约（粒）， 故选：C． 26．（18-19八年级下·江苏无锡·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】(1)， (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 27．（15-16九年级下·河北秦皇岛·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为________； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； (3)如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放________个白球？ 【答案】(1)， (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个 (3)个 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键． （1）根据用频率估计概率求解作答即可； （2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）； （3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个）， 黑颜色的球有（个）； ∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 依题意得，， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴需要往盒子里再放入个白球． 七、利用列表法求概率（共5小题） 28．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)杨老师选择座位的可能性为______． (2)请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查直接列举法和列表法或画树状图求概率，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）运用直接列举法求概率即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两位老师刚好坐同一列的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：杨老师还有三个座位可选，是等可能性的，选择座位的可能性有种，故概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位老师刚好坐同一列的结果有种， ∴两位老师刚好坐同一列的概率为 29．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜． (1)第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______． (2)第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查简单的概率计算，树状图法或列表法求解概： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到嘉嘉获胜的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有五个空格，每个空格被掷到的概率相同，且只有掷到最中间的那个空格嘉嘉才能获胜， ∴嘉嘉获胜的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中掷完两次棋子后嘉嘉获胜的结果有，，，，共4种， ∴嘉嘉获胜的概率为． 30．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，甲、乙两个转盘分别分成3个、4个大小相同的扇形，参与者分别转动甲、乙两个转盘，观察转盘静止后两指针所指颜色（若指针恰好指向分界线，则判定指针指向分界线右侧的区域）． (1)请用列表或画树状图的方法列出两指针所指颜色的所有可能的结果； (2)嘉嘉和淇淇分别设计了一个规则．嘉嘉：两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向白色的区域时获奖；淇淇：红色和蓝色在一起配成紫色，蓝色和黄色在一起配成绿色，当两个转盘的指针所指颜色可以配成紫色或绿色时获奖．若要求该游戏的获奖率为，你认为应该选谁设计的规则？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)选择嘉嘉设计的规则，理由见解析． 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意列表即可． （2）由表格可得出所有等可能的结果数分别算出嘉嘉和淇淇设计方案的中奖率，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 红 白 蓝 黄 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄） 由表格可知，共有12种等可能的结果； （2）解：嘉嘉设计方案的中奖机会有6种，故其设置的获奖率为， 淇淇设计方案的中奖机会有4种，故其设置的获奖率为， ∴选择嘉嘉设计的游戏规则． 31．（24-25九年级上·河北张家口·期中）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是______； (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，请在表格中补全两次抽签的所有可能结果，并求出甲取胜的概率． 乙 结果甲 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） 剪子 （剪子，布） 布 （布，石头） 【答案】(1) (2)补全表格见解析； 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是， 故答案为：； （2）解：补全表格如下： 乙 结果甲 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） 共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果与：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种， 甲取胜的概率为． 32．（2024·河北邯郸·二模）2023年春节期间调研小组随机调查了某新开放景区的部分参观群众，为本景区打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）．根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共调查了__________名参观群众，并补全条形统计图； (2)为了进一步研究，调研小组又增加调查了5位参观者，若他们的打分分别为：5，4，4，5，3，则增加调查人数前后，本次活动打分分值的中位数与原来是否相同？并简要说明理由； (3)若从打分较低的四人中随机抽取2名做情况反馈，发现抽取的2人恰为一成人一儿童的概率为，这4人中成人与儿童分布情况不可能为__________． A．两名成人，两名儿童． B．三名成人，一名儿童． C．一名成人，三名儿童 【答案】(1)30，图见解析 (2)不相同，理由见解析 (3)A 【分析】本题考查了用样本估计总体，众数，中位数，条形统计图，扇形统计图等，关联条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图，用4分的人数除以4分在扇形统计图中的占比即可求出参与调查的人数，用总人数减去1—4分的人数即可得5分的人数，根据众数和中位数的定义求解即可； （2）计算原来的中位数和增加人数后的中位数，对比即可； （3）设抽取的4人分别为A、B、C、D，根据题意列出表格，数出所有的情况数，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 调查总人数：（名）， 打分为5分的人数：（名）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：30； （2）解：不相同； 根据统计图可知，5分的有15人，1—4分的合计也是15人，故中位数为（分）， 增加人数后，5分有17人，4分有13人，3分有3人，2分有1人，1分有1人，中位数是4分，发生了改变； （3）解：设抽取的4人分别为A、B、C、D， 列出表格如下： A B C D A B C D 由表可知，一共有12种情况， ①当两名成人，两名儿童时，设A、B为成人，C、D为儿童， 则抽取的2人恰为一成人一儿童的情况有8种， ∴抽取的2人恰为一成人一儿童的概率， ②当三名成人，一名儿童时，设A、B、C为成人，D为儿童， 则抽取的2人恰为一成人一儿童的情况有6种， ∴抽取的2人恰为一成人一儿童的概率， ③当一名成人，三名儿童时，设A为成人，B、C、D为儿童， 则抽取的2人恰为一成人一儿童的情况有6种， ∴抽取的2人恰为一成人一儿童的概率， ∴分布情况为3名成人1名儿童或3名儿童1名成人，不可能为两名成人，两名儿童， 故选：A． 八、利用树形图求概率（共5小题） 33．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30，36 (2) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈；若第二次掷得2，就从开始顺时针连续跳2个边长，落到圈；… 设游戏者从圈起跳． (1)嘉嘉随机掷一次骰子，落回到圈的概率为________； (2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到图的概率． 【答案】(1) (2)最后落回到圈A的概率为． 【分析】本题主要考查了用画树状图法求概率． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图求出所有等可能的结果，再求得淇淇随机掷两次骰子，最后落回到圈A的概率，比较即可解决． 【详解】（1）解：∵一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4，且落回到圈A时，需掷得4， ∴随机掷一次骰子，落回到圈A的概率； 故答案为：； （2）解：画树状图如解图： ∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有4种情况， ∴最后落回到圈A的概率． 35．（2011·河北邯郸·中考模拟）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． (1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． (2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【详解】（1）解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； （2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 36．（2024·河北秦皇岛·一模）如图1，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（）和稀硫酸（），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（）和氢氧化钙溶液（）． (1)彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（）的概率为______． (2)下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（）”的概率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解．（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯化钙溶液） 【答案】(1) (2)树状图见解析， 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中选中稀盐酸（）的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）根据题意补全树状图，由树状图可得出所有等可能的结果数以及从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中选中稀盐酸（）的结果有1种， ∴选中稀盐酸（）的概率为； （2）补全树状图如图2所示 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的结果有：(稀盐酸，氢氧化钙溶液），共1种， ∴从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的概率为． 37．（2024·河北沧州·模拟预测）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为______； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校共有2400名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ (4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】(1)100； (2)补充图形见解析 (3)600人 (4) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数． （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图． （3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计2400名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案； （4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率 【详解】（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为， ∴此次共抽查了：人， 喜欢用沟通所占比例为：， 表示“”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：100；； （2）喜欢用短信的人数为：人， 喜欢用微信的人数为：人， 补充图形，如图所示： （3）喜欢用微信沟通所占百分比为：， ∴该校共有2400名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：人 （4）列出树状图，如图所示： 所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： 九、游戏公平性问题（共6小题） 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． （2）这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平． 39．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 40．（23-24九年级上·河北保定·期中）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是． （1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率； （2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案． 【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是； （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率， ∴此游戏不公平． 41．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）嘉嘉和淇淇做一个游戏，图为一个正方体骰子，图为按顺序排列的圆圈图，号圆圈内有一枚硬币，一人掷骰子，骰子朝上的面点数为几，就将右图中圆圈内的硬币按顺时针方向移动几步，另一人接着掷骰子并移动同一硬币．例如，现在硬币在号圆圈内，嘉嘉掷出点，则硬币从号圆圈走到号圆圈，淇淇又掷出点，则硬币从号圆圈走到号圆圈 (1)硬币在号圆圈内，则嘉嘉掷一次骰子后硬币落在号圆圈内的概率为____； (2)硬币在号圆圈内，嘉嘉掷一次骰子并移动硬币后淇淇再掷一次骰子也移动硬币，如果硬币落在号圆圈嘉嘉胜，落在号圆圈淇淇胜． 通过下面未完成的表格求出此时硬币所在圆圈的所有可能性． 淇淇嘉嘉 这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)表格见解析；游戏公平，理由见解析． 【分析】本题考查了用列表法求概率，游戏的公平，掌握列表法是解题的关键． （1）当朝上的点数为时，可以到达点号圆圈内，根据概率公式计算即可； （2）根据题意即可解答； 由表格得到种可能的结果，再找出两数的和为（嘉嘉胜）、两数的和为和（淇淇胜）的结果数，然后根据概率公式求出两人胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：随机掷一次骰子，朝上的点数可能是，，，，，，共种情况，其中只有点数是的情况时硬币落在号圆圈内，所以掷一次骰子后硬币落在号圆圈内的概率为 ， 故答案为：； （2）解：表格如下： 淇淇嘉嘉 游戏公平． 理由：由表格可得，共有种等可能的结果，当硬币落在号圆圈内时，则两次点数和为，组合有，，，，，，共种，其概率为，即嘉嘉胜概率为；当硬币落在号圆圈内时，则两次点数和为或，组合有，，，，，，共种，其概率为，即淇淇胜概率为； ∴游戏对嘉嘉和淇淇公平，因为他们获胜的概率相等． 42．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为n． (1)请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况； (2)规定：若m，n都是方程的解时，小明获胜；m，n都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？ 【答案】(1)见解析 (2)不公平 【分析】（1）根据题意画出画树状图即可； （2）先解一元二次方程，根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如图所示： 由图知共有12种等可能结果． （2）解： 解得：，． m，n都是方程的解时，共有4种情况，则小明获胜的概率为， m，n都不是方程的解时，共有2种情况，则小刚获胜的概率为， 故游戏不公平． 【点睛】本题考查了画树状图法求概率，解一元二次方程，掌握概率的求法是解题的关键． 43．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． (1)求所抽查学生读课外书册数的平均数． (2)随后又补查了另外几人，得知其中1人读了4册，其余几人最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了______人． (3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)所抽查学生读课外书册数的平均数5.375（册） (2)5 (3)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）先求出读5册书是人数，再求平均数； （2）先求原来的中位数，再求最多补查人数； （3）先列出所有的可能性，并且计算它们的概率，再作比较． 【详解】（1）解：抽查的总人数为：（人)， 读5册的学生有：（人)， 所抽查学生读课外书册数的平均数为：（本； （2）解：原来的中位数为：5， 设添加人， 由题可知，4册以及5册的总人数为，6册以及7册的总人数为， 要使现在的中位数也为， 则， 解得， 为正整数， 最大值取， 故答案为： ； （3）解：不公平； 理由：如图,列出树状图， 总共的情况数为9种，其中先后两次转动出现字母A与B的混合结果共有5种， 借给七年级同学的概率为：， 借给八年级同学的概率为：， ， 故游戏不公平． 【点睛】本题考查了用树状图求概率，中位数，平均数，掌握有关统计和概率知识是解题的关键． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$