预习04 随机变量的数字特征（八大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习04 随机变量的数字特征 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过实例能理解离散型随机变量的均值的意义和性质，发展数学抽象和逻辑推理素养; 2．根据离散型随机变量的分布列求出均值，发展数学运算素养; 3．利用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题，发展数学建模素养 知识点一、离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 知识点二、均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 知识点三、特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若，则; （2）二项分布 若，则 （3）超几何分布 若离散型随机变量X服从超几何分布，则有若，则 考点一：求离散型随机变量的均值 例1．某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表： 选项 作出正确的判断 判断不了（不选） 作出错误的判断 A 0.4 0.2 0.4 B 0.2 0.3 0.5 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 已知此题的正确选项为AD． (1)求学生答此题得6分的概率； (2)求学生此题得分的分布列及数学期望． 变式1-1．随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 变式1-2．随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 变式1-3．一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 考点二：均值性质的应用 例2．已知的分布列为： -1 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 变式2-1．某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 变式2-2．已知随机变量服从二项分布，若，则 ． 变式2-3．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 考点三：离散型随机变量的方差和标准差 例3．（多选）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 变式3-2．随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 变式3-3．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 考点四：方差的性质 例4．已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 变式4-1．已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表: 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立. (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望; (2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小. 考点五：二项分布的均值与方差 例5．2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 变式5-1．（多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 变式5-3．泊松分布是一种常见的离散概率分布，若随机变量只取非负整数值，取值的概率为，则随机变量的分布称为泊松分布．已知在一个时间周期内，某种放射源放射出的粒子中经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，每个周期内经过计数器的粒子数不受其他周期影响，且放射源状态稳定、持续放射． (1)求一个周期内至少有个粒子经过计数器的概率（结果精确到）； (2)设经过个周期后，满足一个周期内至少有个粒子经过计数器的周期共有个，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 考点六：超几何分布的均值与方差 例6．（多选）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 变式6-1．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 变式6-2．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为 ． 变式6-3．某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 考点七：均值方差在生活决策中的作用 例7．在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且． 对阵队员 队队员胜 队队员负 (1)求队得分为1分的概率； (2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 变式7-1．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响． (1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率； (2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大． 变式7-2．为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：    (1)若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；； (2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由． 变式7-3．某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下： 经济前景等级 悲观 尚可 乐观 问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4 假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性. (1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率； (2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）： 经济前景等级 乐观 尚可 悲观 物联网项目年回报率（%） 12 4 人工智能项目年回报率（%） 7 5 根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议. 考点八：均值方差中的最值问题 例8．已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（    ） X 0 1 2 P a b c A． B． C．1 D． 变式8-1．（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（    ） 0 1 2 A． B．随增大而增大 C． D．最小值为 变式8-2．已知随机变量X的分布为 1 2 3 则的最大值为 ． 变式8-3．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，且每局比赛结果相互独立． ①若，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为 ； ②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 一、单选题 1．如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0.2 B．1.2 C．5 D．6 3．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 4．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 5．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 6．在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 二、多选题 7．设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（    ） X -1 0 1 Y 0 1 2 P P A．存在a，使得 B． C．若Y服从二项分布，则 D． 三、填空题 9．若离散型随机变量满足，令，写出使得成立的的一个值 ． 10．某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 11．甲、乙两人独立地解题，甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为．若两人一起合计解题10道，且甲、乙两人解题的数量之比为，则两人解题正确的期望之和为 ；若甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，则他们的解题正确的方差之比为 ． 四、解答题 12．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望. 13．某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ 14．某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. (1)求李明被终止比赛的概率； (2)求李明获一等奖的概率； (3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 15．某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员． (1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的分布列和期望． (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员每场比赛的胜率分别为，，，若要求甲队获得擂主的概率大于，问是否满足？请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习04 随机变量的数字特征 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过实例能理解离散型随机变量的均值的意义和性质，发展数学抽象和逻辑推理素养; 2．根据离散型随机变量的分布列求出均值，发展数学运算素养; 3．利用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题，发展数学建模素养 知识点一、离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 知识点二、均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 知识点三、特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若，则; （2）二项分布 若，则 （3）超几何分布 若离散型随机变量X服从超几何分布，则有若，则 考点一：求离散型随机变量的均值 例1．某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表： 选项 作出正确的判断 判断不了（不选） 作出错误的判断 A 0.4 0.2 0.4 B 0.2 0.3 0.5 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 已知此题的正确选项为AD． (1)求学生答此题得6分的概率； (2)求学生此题得分的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望 【详解】（1）设事件表示“学生答此题得6分”，选项A、D作出正确判断，且选项B、C作出正确判断或判断不了， 所以； （2）设学生此题得分为，则的所有可能取值为，，， 所以， ，则， 所以的分布列为： 0 3 6 0.685 0.225 0.09 所以． 变式1-1．随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 变式1-2．随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 变式1-3．一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率. （2）的取值有五种可能， ，，， ，， 所以的分布列为 . 考点二：均值性质的应用 例2．已知的分布列为： -1 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意可知， ∵，∴. 故选：A 变式2-1．某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 变式2-2．已知随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【详解】由题可得，故，又，解得． 故答案为： 变式2-3．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 考点三：离散型随机变量的方差和标准差 例3．（多选）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 变式3-1．随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 【答案】 【详解】由题意知，解得， 所以. 故答案为：. 变式3-2．随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【答案】 【详解】由题意可得，故，解得或（舍去）， 故随机变量的分布列如下：. 1 2 3 故，， 故答案为： 变式3-3．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【详解】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 考点四：方差的性质 例4．已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以， ，， 所以. 故答案为：. 变式4-1．已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 变式4-2．（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 变式4-3．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表: 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立. (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望; (2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小. 【答案】(1)分布列见解析， (2). 【详解】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件 . 则 ， 则的可能取值为 . 所以， ， ， 所以 的分布列为: 0 1 2 所以 . （2）依题意可得， 所以, 即 . 考点五：二项分布的均值与方差 例5．2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 【答案】(1)比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2； (2)（i）；（ⅱ）分布列见解析，. 【详解】（1）由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5， 不满意的个数为3，比较满意的个数为17， ∵                 ∴可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2. （2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A， 则.           （ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3， ，，        ，，                则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 由题可知，∴. 变式5-1．（多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误； ，故B项正确； ，故C项正确； ，故D项错误. 故选：BC 变式5-2．已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 【答案】9 【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，， 则，即得， 故答案为：9 变式5-3．泊松分布是一种常见的离散概率分布，若随机变量只取非负整数值，取值的概率为，则随机变量的分布称为泊松分布．已知在一个时间周期内，某种放射源放射出的粒子中经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，每个周期内经过计数器的粒子数不受其他周期影响，且放射源状态稳定、持续放射． (1)求一个周期内至少有个粒子经过计数器的概率（结果精确到）； (2)设经过个周期后，满足一个周期内至少有个粒子经过计数器的周期共有个，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）因为服从泊松分布， 所以的分布列为， 因为一个周期内没有粒子经过计数器的概率为， 所以，解得． 故一个周期内至少有个粒子经过计数器的概率 ． （2）由题意得的所有可能取值为，且， 则， ， ， ． 所以的分布列为： 故． 考点六：超几何分布的均值与方差 例6．（多选）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 变式6-1．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 【答案】/0.6 【详解】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 变式6-2．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为 ． 【答案】/ 【详解】由题意：设取到次品零件个数为，的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以取到次品零件个数的期望为． 故答案为： 变式6-3．某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 考点七：均值方差在生活决策中的作用 例7．在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且． 对阵队员 队队员胜 队队员负 (1)求队得分为1分的概率； (2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 【答案】(1) (2)分布列见解析，队实力较强 【详解】（1）设队得分为1分的事件为， 则． （2）随机变量的可能取值为, ， ， ． ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 因此随机变量的数学期望 ． 因为，所以， 则随机变量的数学期望 ， 所以，故队实力较强． 变式7-1．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响． (1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率； (2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大． 【答案】(1) (2)甲获胜的可能性更大，理由见解析 【详解】（1）解：因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同， 且甲每轮朗诵的时间均比乙少秒， 所以，第三轮答题中乙要比甲多答对道题以上才能获胜， 若乙答对道试题，甲答对道试题，概率为， 若乙答对道试题，甲答对道或道试题，概率为， 所以，乙获胜的概率为. （2）解：设甲在比赛中答错的试题数量为，乙在比赛中答错的试题数量为， 则，， 由二项分布的期望公式可得，， 则因甲答错试题额外增加的时间的期望值为秒， 乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒， 因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少秒，所以，甲最后所用的时间的期望比乙少秒， 所以，甲获胜的可能型更大. 变式7-2．为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：    (1)若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；； (2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析 (2)能，理由见解析 【详解】（1）依题意可知产量为190千克的概率为，产量为210千克的概率为， 市场售价是2.5元/千克的概率为，售价是2.7元/千克的概率为， 所以的所有可能取值为475，513，525，567， 所以， ， 则的分布列为： 475 513 525 567 0.16 0.24 0.24 0.36 （2）由（1）可得预计明年A品种黄豆收入的均值为 因为， 所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆. 变式7-3．某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下： 经济前景等级 悲观 尚可 乐观 问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4 假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性. (1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率； (2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）： 经济前景等级 乐观 尚可 悲观 物联网项目年回报率（%） 12 4 人工智能项目年回报率（%） 7 5 根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）由题意可知名被采访者中，预测中国经济前景为“乐观”的人数为人，概率为0.2， 若又随机访问了两名业内人士，至少有一个预测中国经济前景为“乐观”的概率为. （2）由题意可知，预测中国经济前景为“乐观”的概率为， 预测中国经济前景为“尚可”的概率为， 预测中国经济前景为“悲观”的概率为 设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为，， 方差分别为， 则， ， ， ， 则， 投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大. , 投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风险要小， 建议投资人工智能项目. 考点八：均值方差中的最值问题 例8．已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（    ） X 0 1 2 P a b c A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】依题意，，解得，则， ， 而，则当时，. 故选：C 变式8-1．（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（    ） 0 1 2 A． B．随增大而增大 C． D．最小值为 【答案】AD 【详解】解：由期望公式，可得，故A正确，B错误； 因为，故C错误，D正确． 故选：AD． 变式8-2．已知随机变量X的分布为 1 2 3 则的最大值为 ． 【答案】6 【详解】，只需求的最大值即可， 根据题意：，， ， 所以 ， 当时，其最大值为，故的最大值为． 故答案为：6． 变式8-3．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，且每局比赛结果相互独立． ①若，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为 ； ②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 【答案】 【详解】记事件为每局比赛“甲获胜”， 记事件为每局比赛“乙获胜”， 记事件为甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛，则事件包括事件两种情况， 则； 每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则 ， ， . 所以的分布列为 2 4 5 所以的期望 ， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以， 故的最大值为. 故答案为：； 一、单选题 1．如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 2．已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0.2 B．1.2 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：D. 3．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为随机变量的分布列为，， 所以， 由分布列的性质可得，，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 4．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 5．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P , 手气最好者获得百元代金券 即，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 估计手气最好者至多获得18个百元代金券. 故选：D. 6．在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 【答案】D 【详解】由题可知每一轮过关的概率: ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故．因为，所以，则. 故选：D. 二、多选题 7．设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 8．已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（    ） X -1 0 1 Y 0 1 2 P P A．存在a，使得 B． C．若Y服从二项分布，则 D． 【答案】CD 【详解】由已知得且，解得． 对于A，因为X，Y的取值互不影响，所以， 所以，所以，不符合条件，故A错误； 对于B，，，，故B错误； 对于C，设，则，得，再由，可得，故C正确； 对于D，，，，，， 所以，又， 所以，故D正确． 故选：CD. 三、填空题 9．若离散型随机变量满足，令，写出使得成立的的一个值 ． 【答案】1（答案不唯一，符合即可）. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，即，解得，可以取的一个值为1． 故答案为：1（答案不唯一，符合即可）. 10．某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 【答案】/ 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 11．甲、乙两人独立地解题，甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为．若两人一起合计解题10道，且甲、乙两人解题的数量之比为，则两人解题正确的期望之和为 ；若甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，则他们的解题正确的方差之比为 ． 【答案】 / 【详解】根据题意，可得甲解了6题，乙解了4题， 设甲解题正确的题量为，乙解题正确的题量为， 因为甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为，所以， 可得期望之和为； 设甲解道题，乙解道题，根据题意，可得，， 因为甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，可得 解得，所以． 故答案为：；. 四、解答题 12．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析，期望为1 【详解】由题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 13．某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ 【答案】(1)0.4 (2)答案见解析 【详解】（1）设“猜谜者①猜对”为事件A；“猜谜者②猜对”为事件B；“猜谜者③猜对”为事件C． 记“所获得奖金至少为30元”为事件，则包括获得奖金30元或60元． 奖金30元指①、②猜对，③猜错，即事件发生； 奖金60元指①、②猜对，③猜对，即事件发生. 因事件与事件互斥，且相互独立， 则 . 即所获得奖金至少为30元的概率为0.4; （2）若猜谜者按“①、②、③”的顺序猜谜语． 则他所获奖金的所有可能取值为0，10，30，60（元）， ， ， ， ， 列出的分布列为： 0 10 30 60 0.2 故； 若猜谜者按“③、②、①”顺序猜谜语． 则他所获奖金的所有可能取值为0，30，50，60（元）， ， ， ， ， 列出的分布列为： 0 30 50 60 0.5 故. 由， 当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多； 当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多； 当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多． 14．某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. (1)求李明被终止比赛的概率； (2)求李明获一等奖的概率； (3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 【答案】(1) (2) (3)80 【详解】（1）设“李明被终止比赛”事件为，表示选出的4题2题不会操作且2题会操作， 故李明被终止比赛的概率； （2）设李明获一等奖的事件为，事件即类4道题全部操作正确， 且类3道题全部操作正确，故由独立事件的概率公式可得； （3）设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，则的取值为：， 且类题正确操作题数，可得； ；； ， 从而. 15．某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员． (1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的分布列和期望． (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员每场比赛的胜率分别为，，，若要求甲队获得擂主的概率大于，问是否满足？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2)满足，理由见解析 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． （2）满足题意，理由如下： 分三种情况： ①一人参赛全胜获得擂主，该事件发生的概率设为，则， ②两人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为， 则， ③三人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为， 若在第一局被淘汰，淘汰掉乙队三人，概率为， 若在第二局被淘汰，淘汰掉乙队两人， 概率为， 若在第三局被淘汰，淘汰掉乙队一人， 概率为 ， 故， 因为， 所以要使甲队获胜的概率大于，即，则， 即，化简得， 当时，代入可得，满足题意． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$