第七单元 植树问题（教学设计）-【大单元教学】五年级数学上册同步备课系列（人教版）

第七单元 （教学设计）-【大单元教学】五年级数学上册同步备课系列（人教版·2024秋） 一、单元内容分析 1.单元内容简述关系 本单元的主要内容有植树问题（两端栽树）、植树问题（两端不栽）、封闭图形中的植树问题。 植树问题，是一种数学思想方法。在教学中实际上是设置等分点的计算问题，可以是知道总长和几个点求分成几段，还可以是知道几段和每份的长度求总长。 本单元主要是通过简单的事例渗透有关植树问题的一些思想方法。通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生在解决这些实际问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻找解决问题的策略，使学生经历猜想、实验、推理等数学探索过程，从中发现一些规律，再用发现的规律来解决生活中遇到的一些简单的实际问题。 2.单元内容框架图 植树问题 例1 ：在一条线段上植树 （两端都栽） 例2：在一条线段上植树（两端都不栽） 例3：在一条首尾相接的封闭曲线上植树 3.单元内容编排思路 这里植树的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如说圆形，即使是在最基本的一条线段上植树，也可能有不同的情形，比如两端都要栽，或者一端栽一端不栽，或者两端都不栽，因此，教材按照这样的结构来进行编排。 有了例1的经验，教材继续让学生通过画图的方法找出两端都不栽时，植树的棵树与间隔数之间的关系，最后再利用建立的模型来解决问题。例2的教学重点是突出学生的迁移能力。再进一步迁移学习例3封闭图形植树问题。 这里教学的重点是解决植树问题中点和间隔的关系，建立起相应的模型，教材在编排上体现了以下两点：第一点是当数据比较大不利于学生发现规律，所以教材在编排上体现了化繁为简的思想，这也是我们数学学习和研究经常采用的一个朴素的思想，也就是从简单的数据出发，发现规律，然后再回头解决复杂的问题；第二点是让学生经历解决植树问题的建模过程，让学生经历了探索，归纳到应用的建模过程，特别是培养学生借助线段图来建立数学模型的能力。学生通过画示意图或线段图的方法来帮助思考，并且借助图示，发现栽树棵树和间隔数之间的关系，然后提出猜想，再加以验证，从而建立起在一条线段上植树并且两端都栽这类植树问题的数学模型，最终找到解决问题的方法。 4.单元内容分析（横向、纵向） 横向分析: 横向对比各版本教材，人教版、青岛版、冀教版都设置了独立单元来教学植树问题。（见下图）虽然对植树问题的引入其切入点不同，推理方法不同，但都是在问题的解决过程中建构植树问题的数学模型。可见本节课最为关键的问题“如何帮助学生建构植树问题的模型。 纵向分析: 纵向分析数学广角内容，问题由低学段的操作直观为主逐步过渡到抽象建模问题，低段注重操作实践，内容选择上注重活动性和操作性强的素材，逐步从具体形象思维向抽象思维转变。高段抽象建模内容呈现上更注重图示、图表、符号的表征方式，运用图示操作表征问题，并加强做与思的有机结合，逐渐将感性经验上升到理性的数学规律，并抽象出数学模型。 一、 课标分解 内容要求： 1.能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。 2.尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。 3.体会数学知识之间、数学与生活之间 的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。 学业要求： 1.通过画线段图，体会化繁为简、数形结合的便捷、优越性。 2．培养学生解决实际问题的能力、应用意识及创新意识。 教学提示： 1.初步学会 用数学的眼光观察、尝试、探索发现并提出问题。 2.将所学的数学知识应用于解决现实生活中的问题。 3.形成初步的模型意识和应用意识。 目标分解表： 学什么：利用学生熟悉的生活情境，通过探索进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，应用规律解决问题。能够借助图形，利用规律来解决实际生活中简单的植树问题。在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。通过小组合作观察、探索、交流的实践活动发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验“复杂问题简单化”的解题过程。 学到什么程度： 一、知识掌握方面 通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的模型思想。 2、 技能培养方面 1.发现间隔数与植树棵树之间的规律并能运用规律解决问题。 2.通过探究活动迁移到其他封闭图形，例如：点状、柱状、米字等，让学生学会迁移，促进思维开放和发展的同时进行有效的数学建模。 三、问题解决方面 1.能运用植树问题的模型思想方法解决简单的实际问题。 2.通过画线段图初步培养探索解决问题有效方法的能力，体会化繁为简、一一对应、数形结合的思想。 3.运用“几何直观”“一一对应”的思想思考发现和理解植树问题中不同情况植树时“棵树”和“间隔数”之间不同关系的数学模型。 4．生活中植树现象的情景化，能够识别植树问题的不同类型。 怎么学： 1.经历建模的过程，感悟思想方法。 “数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元教学时，教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现蕴含于不同的情形中的规律，经历抽象出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。 2.突出画图的策略。 在教学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观地发现规律、理解规律，建立模型找出解决问题的方法。另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽一端不栽，两端都不栽三种情况弄混。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。 3.培养学生的应用意识和创新意识 教学时要注重联系生活实际，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的应用意识和创新意识。在观察与分析、操作与实验、探索与发现、归纳与应用的数学活动中，体会数学与生活的联系。同时，要鼓励学生在解决问题的过程中，积极思考，勇于探索，培养学生的创新思维能力。 3、 学情分析 1．已学内容分析 学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力。已经有了借助画图的方法描述问题、分析问题、解决问题的学习经验。学生对一一对应的数学思想方法也有了一些初步的认识。 2.新知内容分析 （1）学生对植树问题并不陌生。 （2）学生有一定的解题办法，但是在头脑中并没有建立棵树和间隔数之间一一对应的关系。 （3）学生很难想到生活中植树问题类型的问题。学生运用植树问题的方法灵活解决生活中实际问题有一定难度。 3.学生能力分析 由于学生初次接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高。但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。 五年级的学生具体来说学生的学习能力可以从以下几个方面进行分析： （1）抽象思维能力：小学五年级的学生的思维以形象思维为主，但抽象思维也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。 （2）自主探究能力：在前四个年级，学生们经历过运用画图策略解决问题，了解过锯木头、爬楼梯等类似于植树问题的数学问题，有一定的自主探究能力和合作交流能力。 （3）学习兴趣：数学作为一门逻辑性强的学科，往往需要学生具备较高的学习兴趣和动力才能取得良好的学习效果。如何激发学生的学习兴趣和积极性是教师在教学过程中需要重点关注的问题之一。 4.学习障碍的突破策略 为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动教师可以采取以下策略： （1）主要采用“尝试探索”的教学法：让学生“在具体情境中先猜测——在动手操作中找方法——在方法中找规律——在规律中学应用”的教学过程。 （2）经历建模的过程，感悟思想方法：“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现蕴含于不同的情形中的规律，经历抽象出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。 （3）通过小组合作形式探究方法：每个学生动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的全过程，体会植树问题这一重要的数学思想方法。 （4）突出画图的策略： 在教学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观发现规律、理解规律，建立模型找出解决问题的方法。另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽一端不栽，两端都不栽三种情况弄混。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。 四、教学实施方案 1.单元大主题：本单元的大主题或大概念可以设计为“扩建生态小镇”，通过绿色种植素材引入，并设计“植树方案”。 2.单元目标叙写及达成标准： （1) 利用学生熟悉的生活情境，通过探索让学生进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，培养应用规律解决问题的能力。 （2）能够借助图形，利用规律来解决实际生活中简单的植树问题。培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。 （3）通过小组合作观察、探索、交流的实践活动发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验“复杂问题简单化”的解题过程。 3.单元教学任务拆解、任务情境创设： 情境内容 情景设置 任务一：在一条线段上植树（两端都栽） 创设有趣的猜谜语游戏，激发学生的学习兴趣。同时，充分利用学生已有的生活经验，让学生对间隔现象有初步的认识，逐步学会用数学的眼光观察世界。 任务二：在一条线段上植树（两端都不栽） 通过复习道路两端都栽的植树问题，为学生学习新知识打基础。 任务三：在一条首尾相接的封闭曲线上植树 结合生活实际创设情境，让学生充当设计师角色，激发学生学习兴趣，通过复习已学过的在线段上植树的几种情况，建立新旧知识之间的联系，为进一步学习本节课的知识奠定基础。 4、单元教学计划表： 课时安排 课时 教学内容 第一课时 在一条线段上植树（两端都栽） 第二课时 在一条线段上植树（两端都不栽） 第三课时 在一条首尾相接的封闭曲线上植树 5、单元作业设计： 作业目标： 一、知识与技能目标： 1.通过作业练习，让学生进一步理解棵数与段数之间的关系，掌握植树问题的解决方法，在练习中验证、应用规律。 2.引导学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界。“数学广角”的学习目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。通过基础性作业学生进一步巩固课堂教学，巩固掌握单元知识，以评价的过程来诊断学生核心素养水平。 二、过程与方法目标： 1. 建立数学模型的能力：重点培养学生借助线段图，促进学生思维能力、实践能力、创新意识的发展，寻求事物变化规律，增强社会意识，促进核心素养水平的发展。 2. 培养学生化繁为简的思想：结合具体的情境、实践任务，使学生更好地理解植树问题在解决问题中的作用，以自主学习的过程来培养学生化繁为简的思想 3. 培养学生解决实际问题的能力：通过建模练习，让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题。 三、情感态度与价值观目标： 1.在完成作业的过程中，培养学生对数学学习的兴趣和积极性，让学生感受到数学知识的趣味性和实用性。 2.通过小组合作完成一些作业任务，培养学生的合作意识和团队精神。 3.让学生在作业的过程中，获得成功的体验，体验学习数学的乐趣，培养学生爱护环境的环保意识。 基础性作业： 1.有一条长1800m的公路，在公路的一侧从头到尾每隔6m栽一棵树，一共需要准备多少棵树苗？ 2.一根木料锯成3段要8分钟。如果每锯一段所用的时间相同，那么锯成7段需要花多少分钟？ 3.为了保护公园里的一棵千年古树，园林局决定为它做一个圆形防护栏。如果护栏有10个间隔，一共需要打多少根木桩？ 发展性作业： 4.我会填 （1）茜茜过生日，她妈妈给她买了一个生日蛋糕，蛋糕上面是一个圆形，周长是32cm，沿它的周长每隔4cm插一根蜡烛，插的蜡烛根数正好是茜茜的岁数，茜茜今年（     ）岁。每两根蜡烛之间有两颗心形巧克力，共（     ）颗巧克力。 （2）两厂之间架设一条高压线，每两根电线杆之间相距40米，共架设了10根电线杆，两厂相距（     ）米。 实践作业： 5.找一找植树问题 我们把公交车站问题、楼梯问题、锯木头问题、敲钟问题都看作植树问题，你能找到它们当中隐藏的树与段吗？请在题目中找一找，并完成下图： 五、学业评价 1.单元学习效果评价： 知识掌握 ①学生对植树问题中间隔数与树的数量关系的理解，对标准植树问题的理解与应用。 ②对植树问题变体的探讨与解决方案的提出。 ③对数学模型构建过程的理解。 技能运用 ①应用数学模型解决具体植树问题的能力。 ②对新问题应用植树问题模型的能力。 ③创新思考及解决问题的方法。 思维发展 ①学生对植树问题数学模型的整体理解。 ②如何从具体问题抽象出通用规律。 ③学生将使用他们对植树问题数学模型的理解来解决一系列新的、实际的问题。这些问题可能包括不同的参数和条件，比如不同长度的路、不同的间隔距离，或是需要考虑其他因素（如地形或已有的植被）。学生需要识别关键变量，应用适当的数学模型，并计算出解决问题的答案。 学习态度 课堂表现：在课堂上是否认真听讲、积极参与讨论和互动？对植树问题是否有强烈的好奇心和探索欲望？ 作业态度：从作业的完成质量、以及是否有自主检查和改错的习惯等方面来评价。 自主学习：是否主动进行课外拓展学习，如查阅相关数学资料、做一些拓展练习题等，以加深对本单元知识的理解和掌握。 2.课时学习评价量表： 评价内容 水平1：基本理解 水平2：能应用 水平3：熟练应用 掌握两端都栽的植树问题的解答方法，并能灵活运用这一基本方法解决生活中存在的与“植树问题”类似的实际问题。 理解间隔数与植树棵数之间的规律。 用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。 建立数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题。 理解和掌握两端不栽的植树问题的规律。 理解两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。 会用这一规律解决实际问题。 引导学生根据生活中的实际情况多角度思考问题，灵活应用这一数学模型。 掌握在一个封闭图形中植树问题的解答方法，并能灵活运用这一基本方法解决生活中存在的与“植树问题”类似的实际问题。 理解间隔数与植树棵数之间的规律。 用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。 建立数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题。 3.学科核心素养评价： 一、知识与技能 1.利用学生熟悉的生活情境，通过探索让学生进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，培养应用规律解决问题的能力。 2.能够借助图形，利用规律来解决实际生活中简单的植树问题。培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。 3.通过小组合作观察、探索、交流的实践活动发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验“复杂问题简单化”的解题过程。 二、抽象和归纳能力 这些能力对于理解和应用数学概念至关重要，尤其是在处理像植树问题这样的实际问题时。通过本课程，学生将学会如何从具体的现实情境中抽象出关键的数学概念，以及如何归纳出通用的数学规律和模型。 三、解决问题能力 在本课程中，我们旨在提高学生利用数学解决实际问题的能力，特别是在类似植树问题这样的实际情境中。这一目标的实现不仅要求学生理解数学模型的构建和运用，还要求他们能够将这些模型应用于解决现实世界中的各种问题。 第一课时：《植树问题（1）》教学设计 学习内容：教科书P104例1，完成教科书P105“做一做”第1题和P107“练习二十四”第1、2、4题。 1、 核心素养、课标描述： 核心素养： 1.逻辑推理:通过学习植树问题的公式和计算方法，培养学生运用逻辑推理能力解决实际问题的能力。 2.数学建模使学生能够将所学的知识运用到实际生活中，建立数学模型解决植树问题。 3.数据分析: 培养学生从实际问题中提取关键信息，进行数据分析，从而得出合理 4.问题解决:通过小组合作、讨论等方式，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。 5.创新思维:鼓励学生在解决问题过程中，发挥创新思维，探索不同的解题方法。 课标描述： 内容要求：通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型意识。 学业要求：通过画线段图，体会化繁为简、数形结合的便捷、优越性。培养学生解决实际问题的能力，应用意识及创新意识。 教学提示：初步学会用数学的眼光观察、尝试、探索发现并提出问题，将所学的数学知识应用于解决现实生活中的问题，形成初步的模型意识和应用意识。 二、教学内容分析、学情分析： 教学内容分析：“植树问题”安排在人教版五年级上册“数学广角”中，现实生活中与之类似的有很多,它们都隐藏着棵数与间隔数之间的关系。因此，教材抽取比较有代表性的“植树问题”，作为数学模型研究，总结这一类问题的解决方法和策略。教材将植树问题分为:两端都栽、两端不栽、环形栽(只一端栽)情况。本节课“两端都栽”是这一系列问题的起始课，例1通过学生熟悉的植树情境，引导学生借助摆学具、线段图，经历观察、猜测、操作、验证、推理、抽象等数学活动过程，探索棵数与间隔数之间的关系，建立植树问题的数学模型，再运用模型解决实际问题，让学生经历分析、思考、解决问题的过程，帮助其积累数学活动经验。 教学重点：发现植树棵数与间隔数之间的关系。 学情分析：从学生的思维特点看，五年级学生仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验。这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有较大的探究空间，需要较强的数学思维，既需要学生的自主探究，也需要教师的有效引领。所以通过设计递进式自主探究的方式，使学生逐步获得探究成果的喜悦和成就感。 教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律并运用规律解决问题。 三、学习目标： 1.理解在一条线段上植树（两端都栽）的情况下“棵数=间隔数+1”的关系。 2.能将植树问题推广到生活中的其他问题，会通过画线段图的方法来分析题意。 3.培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。初步体验数学与生活的密切联系，培养学生的主动探究意识。 四、评价任务设计、评价水平分级： 评价任务设计： 单元板块 主要任务 教师主要问题链 学生主要活动 评价目标 《植树问题（1）》 通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都栽的植树问题的规律，经历和体验将复杂问题简单化的解题策略和方法。 任务一：创设情境，生成问题 任务二：探索交流，解决问题 任务三：应用规律，解决问题 学生猜谜语，认真思考并回答老师的问题。 通过探究，找出了间隔数和棵数之间的关系。 列式解答。 理解间隔数与植树棵数之间的规律，建立数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题。 评价水平分级： 评价内容 水平1：基本理解 水平2：能应用 水平3：熟练操作 掌握两端都栽的植树问题的解答方法，并能灵活运用这一基本方法解决生活中存在的与“植树问题”类似的实际问题。 理解间隔数与植树棵数之间的规律。 用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。 建立数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题。 5、 学习活动设计（教师活动、学生活动、活动意图）： 任务一：回顾旧知，引入新课 创设情境，生成问题 师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？我们一起来猜个谜语好不好？（课件出示） 【学情预设】学生们会回答：手。 师：请你们伸出左手并张开手指，仔细观察，大家看到了什么？ 【学情预设】学生会回答有5根手指和4个空隙。如果学生只能说出有5根手指，教师要引导学生数一数5根手指之间有几个空隙。 师：这4个“空隙”也可以说成4个“间隔”，5根手指之间有4个间隔，那4根手指之间有几个间隔呢？3根手指之间呢？（学生在自己的手上数一数） 师追问：2根手指之间呢？（全班一起找） 师：通过刚才我们找手指数和间隔数的活动，你们发现了什么？ 【学情预设】手指数比间隔数多1或间隔数比手指数少1。 师：你们真聪明，发现了手指数与间隔数之间的关系！像这类隐藏着总数和间隔数之间的关系的问题，我们称为植树问题。今天，我们就一起来研究植树问题。［板书课题：植树问题（1）］ 【设计意图】从学生熟悉的事物入手，根据学生已有的认知，创设有趣的猜谜语游戏，激发学生的学习兴趣。同时，充分利用学生已有的生活经验，让学生对间隔现象有初步的认识，逐步学会用数学的眼光观察世界。 任务二：探索交流，解决问题 师：学校开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题。（课件出示教科书P104例1） 1.理解信息。 指名学生读题，并要求学生说出从题中知道的信息。 师：谁能说一说“一边”“两端都要栽”的含义？ 【学情预设】学生可能会说“一边”就是一旁，有可能是左边也有可能是右边，“两端都要栽”指的是路的一头一尾都要栽。 师：“每隔5m”是什么意思？ 【学情预设】学生可能会说每两棵树之间的距离是5m。 师小结：“全长100m”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指小路的左边或右边；“每隔5m栽一棵”是指每两棵树之间的距离，简称“间距”；“两端都要栽”指小路的起点与终点处都要栽。 2.试算。 师：一共要栽多少棵树，谁来算一算？ 学生独立完成后，汇报算法。 【学情预设】学生很可能根据100÷5=20，猜测要栽20棵树；也有学生认为小路的两端都要栽，应该是20+2＝22，所以是22棵；还有学生猜是19棵或21棵。 师：实践是检验真理的唯一标准。我们该怎样确定谁的猜测正确呢？ 【学情预设】引导学生回答通过验证来寻求答案。 师：对，验证是检验答案的最好方法，下面我们就一起想办法来验证一下。但100m的路太长了，我们可以先在短距离的路上试一试，看一看要栽的棵数是多少。我们可以把这条路看成较短的20m、25m、30m……通过画图得出规律，再根据规律求100m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。 3.简单验证，发现规律。 师：现在，我们就以20m为例，看一看20m的路可以栽几棵树。如果这条路的一边用一条线段来表示，每隔5m栽1棵树，一共要栽多少棵树？ 指名学生上台板演画图并解答。 【学情预设】指导学生作图如下： 师：每个间隔长度是几米？有几段间隔？栽了几棵树？ 【学情预设】间隔长度是5m，有4段间隔，栽了5棵树。 师：观察间隔数和栽树棵数之间的关系，大家发现了什么？ 【学情预设】因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1。 师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔数和棵数之间的关系提供一个方向。 师：一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。大家再看看25m的路的一侧可以栽几棵？ 学生独立思考，小组交流。 根据交流结果，完成表格。 课件出示表格。 教师巡视，观察学生完成情况，对于有困难的小组，教师及时给予帮助。（课件出示正确结果） 师：观察表格，你有什么发现？把你的结论在小组内说一说。 【学情预设】学生会说棵数比间隔数多1，也有学生会说间隔数比棵数少1。 师：同学们做得非常好，通过猜测、讨论、验证，可以发现植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路的一边植树，如果两端都要栽的话，那么栽树的棵数比间隔数多1。 师：现在，我们用研究出的这个规律再来做一做教科书P104例1，看看你们之前的猜测对不对。 【学情预设】指导学生得出算式：100÷5=20，20+1=21（棵）。 师生交流并板书。 师：通过探究，我们找出了间隔数和棵数之间的关系。现在请你们仔细观察表格，你们还有什么发现？ 【学情预设】学生会说发现：路长÷间隔长=间隔数。 【设计意图】向学生渗透一些重要的数学思想方法，教学时通过现实生活中的一些常见的实际问题，让学生构建出其中的数学模型，从中发现规律。 任务三：应用规律，解决问题 师：在日常生活中，也有很多类似于植树问题的例子。下面就请同学们应用我们今天发现的规律，去解决身边的一些问题吧。 1.完成教科书P105“做一做”第1题。 学生独立思考后，全班交流。 2.完成教科书P107“练习二十四”第1、2题。 学生独立完成，全班交流。 3.完成教科书P107“练习二十四”第4题。 师：这一题和教科书P104例1有什么不同之处吗？ 【学情预设】学生可能回答例1是知道了路线长度求栽树的棵数，而这一题是知道树的棵数求路线长度。 师：根据“种了36棵”这个条件可以知道什么？ 【学情预设】学生可能回答，可以知道间隔数共有：36-1=35（个）。 师：“每隔6m”是什么意思？路线长多少米呢？ 【学情预设】每个间隔是6m。路线长为35×6=210（m）。 【设计意图】通过基本问题使学生进一步掌握在公路一侧两端都栽树的情况下，树的棵数和间隔数之间的关系，深化学生对规律的理解，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。 课堂小结，畅谈收获： 师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？ 6、 板书设计 植树问题（1） 棵数=间隔数+1 100÷5=20（个） 20+1=21（棵） 作业设计： 巩固“四基”： 一、列式计算。 1.在一条长50m的小路的一边，每隔10m栽一棵树(两端都要栽)，一共要种几棵树？ 列式：________________________________ 2. 在一条小路的一边栽树，每隔8 m栽一棵,一共栽了7棵树，这条小路长多少米？ 列式：________________________________ 提升“四能”： 二、学校的林荫大道的一边摆了26盆鲜花，相邻两盆之间的距离是4 m。如果两端的鲜花不动，现在要多摆25盆，相邻两盆鲜花之间的距离应改为多少米? 三、张叔叔在马路边散步，从第1根电线杆处走到第12根处共用了22分钟。张叔叔走了40分钟，此时他走到了第几根电线杆处?（假设相邻两根电线杆之间距离相等) 教学反思： 本节课学生弄懂了棵数与间隔数之间的关系之后，不一定就代表能解决植树问题了。因为教科书P104例1是给了道路全长和间距求棵数，但有的习题却是给了间距和棵数求道路全长，属于逆向思维，所以有很多同学就不知从何下手，导致出错。在教学过程中，注意加强发现规律与运用规律之间的联系，加强对规律的扩散教学，比如得出两端要栽的规律时，可以总结一下“间隔数=棵数-1，路长=间隔数×间隔长”等知识。 第二课时：《两端都不栽》教学设计 教科书P105例2，完成教科书P107“练习二十四”第5，6题。 1、 核心素养、课标描述 核心素养: 《课程标准》特别强调：数学活动必须给学生提供充分地从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中获得广泛的数学活动经验。 1.培养学生动手操作能力，让学生在操作中感受数学的应用价值。 2.培养学生合作交流、思考探究的学习习惯，发展他们的逻辑思维和批判性思维。 3.强化学生对植树问题概念的理解，为后续数学学习打下坚实基础。 课标描述: 内容要求：理解在一条线段上植树（两端不栽）的情况下“棵数=间隔数-1”的关系。 学业要求：通过画图发现在一条线段上两端都不栽、一端栽一端不栽的植树问题的规律。 教学提示：通过让学生在图中指一指“少的“1”在哪？”，进一步加深学生对“两端都不栽”的植树问题的数学模型的理解。 二、教学内容分析、学情分析 教学内容分析： 本课是学习了教科书P104的例1两端都植树的问题后，继续探究一条线段上的植树问题。学生在探究问题的过程中渗透化繁为简的思想，并且重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。 教学重点：理解和掌握两端不栽的植树问题的规律。 学情分析：由于学生刚刚接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高。但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中对教科书内容进行适当调整，利用一只手手指之间的缝隙和手指的关系抽象出植树问题模型。并充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动。 教学难点： 理解两端不栽的植树问题的“棵数”与“间隔数”之间的关系。 三、学习目标 1.理解在一条线段上植树（两端不栽）的情况下“棵数=间隔数-1”的关系。 2.会通过线段图来分析理解两端不栽的植树问题。 3.能将两端不栽的植树问题推广到生活中去。 4.培养应用意识和解决实际问题的能力，增强学生学习数学的兴趣。 四、评价任务设计、评价水平分级 评价任务设计： 单元板块 主要任务 教师主要问题链 学生主要活动 评价目标 《植树问题》 理解和掌握两端不栽的植树问题的规律。 问题： 1.复习两端都栽树的植树问题 2.基于复习内容进行改编，引出问题； 3.立足过程经历，探究方法； 4.总结归纳数学模型。 5.比较两端都栽和两端都不栽的异同点。 活动： 1.学生独立解答，集体订正； 2.了解已知条件和所要解决的问题，分析题意， 3.学生尝试独立画图理解；发现问题，小组交流，汇报反馈； 4.小组讨论，学生汇报，互相补充，建立模型； 5.比较发现异同点，加深理解。 目标： 理解两端不栽的植树问题的“棵数”与“间隔数”之间的关系。 掌握这一类植树问题的规律 评价水平分级： 评价内容 水平1：基本理解 水平2：能应用 水平3：熟练应用 理解和掌握两端不栽的植树问题的规律。 理解两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。 会用这一规律解决实际问题。 引导学生根据生活中的实际情况多角度思考问题，灵活应用这一数学模型。 五、学习活动设计（教师活动、学生活动、活动意图） 任务一：对比引入 1.出示复习题：在一条60m长的小路一旁栽树，每隔3m栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？ （1）要求学生说一说自己是怎样解决这个问题的。 （2）对于两端都栽的植树问题，棵数和间隔数之间有怎样的关系？ 【设计意图】通过复习道路两端都栽的植树问题，为学生学习新知识打基础。 2.引入新课。 同学们对于上节课的知识掌握得非常好！如果老师把上题改成：在一条60m长的小路的一旁栽树，每隔3m栽一棵（两端不栽），一共要栽多少棵树？ （1）想一想，这道题与上一道题比较，有什么变化？ （2）说一说你是怎么理解“两端不栽”的？ “两旁”指的是道路两边，“两端都不栽”指的是道路的一头一尾都不栽。 （3）这节课我们就来研究一下“两端不栽”的植树问题，看看棵数与间隔数之间有怎样的关系。（板书课题） 任务二：合作探究，发现规律 1.动手操作，发现规律。 （1）教师引导学生用画线段、摆图形、摆小棒等自己喜欢的方法在小组内研究，完成上面引入部分的题目。 （2）你是用什么方法操作的？从中你发现了什么规律？ （3）教师小结：同学们太了不起了，通过举简单的例子，发现了“两端不栽”的植树问题的规律：棵数=间隔数-1。 【设计意图】引导学生总结发现的规律，培养学生的概括能力，体验自主学习的快乐。 2.应用规律，自主解决问题。 （1）课件出示例2，引导学生读题，说说自己发现的数学信息。 （2）学生独立列式解答，并说说解题过程。 师：两端都不栽的植树问题，植树棵数比间隔数少1。少的“1”在哪呢？请你指一指。 （3）师小结：今天我们学习了植树问题的另一种情况，发现了两端不栽的规律：棵数=间隔数-1。以后同学们在做题时，一定要分清是“两端栽树”还是“两端不栽”中的哪种情形。 任务三：巩固练习。 1. 完成教材第107页，第5题。 【设计意图】引导学生总结发现的规律，培养学生的概括能力，体验自主学习的快乐。 任务四：比较求异同点。 一条60m长的小路一旁栽树，每隔3m栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？ 一条60m长的小路一旁栽树，每隔3m栽一棵（两端都不栽），一共要栽多少棵树？ 两端都要栽时，得出的数学模型为：棵数=间隔数+1； 两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。 【设计意图】对比归纳总结，加深理解。 任务四：提升能力： 在一条笔直的跑道的一边插旗帜，每隔3m插一面(两端都不插)，一共插了68面，这条跑道有多长？ 学生独立完成，指名汇报、集体订正。 【设计意图】培养学生灵活应用数学模型能力。 任务五：课堂小结。 这节课你有什么收获？ 作业设计： 基础作业： 1. 请你在 填合适的运算符号。 两端都要栽时：棵数 =间隔数 1； 两端都不栽时：棵数 = 间隔数 1。 2. 两座楼房之间相距112m，每隔8m栽一棵杨树(两端都不栽)，一共要栽多少棵杨树？ 拓展能力： 1. 一根木头长10m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？ 2.一座楼房每上一层要16个台阶，小红每天回家要走80个台阶，小红家住几楼？ 六、板书设计 植树问题（2） 两端都要栽： 两端都不栽： 棵数=间隔数+1 棵数=间隔数-1 教学反思 本节课研究的是两端都不栽的植树问题,重点是让学生体验从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。在教学过程中,要注重对数形结合意识的渗透,激励学生自己尝试解决问题。在学生自主探索的过程中,很多学生采用了画线段图的方式,交流时利用课件再现线段图,紧接着提出问题“你能找出什么规律?”来启发学生透过现象发现规律,并与上一节课学习的两端都栽的情况进行对比,加深学生的印象。这样就把整个分析、思考、解决问题的全过程展示出来,从而让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。 第三课时：《植树问题（3）》教学设计 学习内容：教科书P106例3，完成教科书P106“做一做”，P108“练习二十四”第10-13题。 2、 核心素养、课标描述： 核心素养： 1.逻辑推理:通过“化繁为简”从简单问题中探索解决植树问题的有效方法，培养学生运用逻辑推理能力解决实际问题的能力。 2.数学建模：使学生能够将所学的知识运用到实际生活中，建立数学模型解决植树问题。 3.数据分析:培养学生从实际问题中提取关键信息，进行数据分析，从而得出合理的解答。 4.问题解决:通过小组合作、讨论等方式，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。 5.创新思维:鼓励学生在解决问题过程中，发挥创新思维，探索不同的解题方法。 课标描述： 内容要求：能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程，形成初步的模型意识和应用意识。 学业要求：能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。 教学提示：应设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升问题解决能力。 二、教学内容分析、学情分析： 教学内容分析： 本节课的内容是在学习了两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽的基础上进行教学的。在植树问题中，植树的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线。本节课中，通过画一画、将圆拉直成线段等操作活动，发现环形植树问题和“一端栽一端不栽”中棵树与间隔数的关系是一样的，都是棵树等于间隔数，然后再用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。 教学重点：正确掌握环形植树问题的解决方法。 学情分析：学生已经有了一定的数学经验和数学学习方法，并且植树问题与日常生活联系比较紧密，学生应该能在合作探究中找出棵数与间隔数之间的规律，找到解决问题的方法。在学生经历思考、分析的过程中，让学生掌握解题方法，能够举一反三。 小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引导，也需要学生的自主探究。 教学难点：建立环形植树问题中“棵树=间隔数”的数学模型，并能灵活应用。 三、学习目标： 1.掌握环形植树问题的解答方法，并能灵活运用这一基本方法解决生活中存在的与“植树问题”类似的实际问题。 2.在探索和解决问题中，体会从简单到复杂的数学推理方法。 3.在动手实践的活动中体验数学学习成功的喜悦，增强学好数学的信心。 四、评价任务设计、评价水平分级： 评价任务设计： 单元板块 主要任务 教师主要问题链 学生主要活动 评价目标 《植树问题（3）》 掌握在 环形植树问题的解答方法，并能灵 活运用这一基本方法解决生活中存在的与“植树问题”类似的实际问题。 任务一：回顾旧知，引入新课 任务二：小组合作，探究规律 任务三：结合规律，解决问题 根据已知信息设计多种植树方案。 自主探究环形植树问题的规律和解答方法。 列式解答。 理解间隔数与植树棵数之间的规律，建立数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题。 评价水平分级： 评价内容 水平1：基本理解 水平2：能应用 水平3：熟练操作 掌握在一个封闭图形中植树问题的解答方法，并能灵活运用这一基本方法解决生活中存在的与“植树问题”类似的实际问题。 理解间隔数与植树棵数之间的规律。 用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。 建立数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题。 7、 学习活动设计（教师活动、学生活动、活动意图）： 任务一：回顾旧知，引入新课 1. 公园有一条30米长的小路，想在这条小路的一旁栽树，每隔5米栽一棵树，可以怎么栽？你能设计几种植树方案呢？请画一画、算一算。 【学情预设】 预设1：两旁都栽：30÷5+1=7（棵） 预设2：两旁都不栽：30÷5-1=5（棵） 预设3：一旁栽一旁不栽：30÷5=6（棵） 2.今天这节课我们继续研究植树问题的另一种情况。（板书课题） 【设计意图】结合生活实际创设情境，让学生充当设计师角色，激发学生学习兴趣，通过复习已学过的在线段上植树的几种情况，建立新旧知识之间的联系，为进一步学习本节课的知识奠定基础。 任务二：小组合作，探究规律 1.创设情境，提出问题。（课件出示教科书P106例3。） 张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？ （1）找出数学信息和要求的问题。 （2）思考：这个植树问题和上面三种情况有什么不同？ （3）点题：这节课我们要研究的是环形植树问题。 （4）猜一猜：环形植树问题的解答方法和上面三种情况的哪一种一样？还是都不一样？ （5）验证。 2.自主探究。 学习任务： （1）可以画一画、剪一剪、数一数。 （2）观察：环形植树问题，棵数与间隔数之间又有什么关系呢？ （3）应用规律，列式计算。 （4）和同桌说说算式的意义。 3.汇报交流： 【学情预设】 预设1： 10米 120÷10=12（棵） 答：一共要栽12棵树。 预设2： 10米 120÷10=12（棵） 答：一共要栽12棵树。 4.总结规律： （1）大家发现了什么规律？同桌交流后汇报。 （2）探究规律的时候可以“化繁为简”，课件演示“化曲为直”的过程，学生重点观察“点段一一对应”的关系。 （3）结论：环形植树问题和“一端栽一端不栽”中棵树与间隔数的关系是一样的，都是棵数=间隔数。（板书） 通过同学们用不同的方法对环形植树问题进行验证，得出了规律，我们可以用这个规律解决很多生活中的实际问题。 【设计意图】 因为学生已经有了在线段上植树的学习经验，所以环形植树问题可以放手让学生自主探究规律和解答方法。 任务三：结合规律，解决问题 板书：120÷10=12（棵） 答：一共要栽12棵树。 小结：植树问题首先要弄清植树的类型，再根据植树问题中的数量关系，解决问题。 巩固练习，综合应用： 1.圆形滑冰场的周长是150 m。如果沿着冰场一周每隔15 m 安装一盏灯，一共需要安装几盏灯? 【教科书P106“做一做”】 学生独立完成，全班汇报。 2.一张桌子坐 6 人，两张桌子并起来坐10 人，三张桌子并起来坐14 人……照这样并下去，10 张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有 38 人，需要并多少张桌子才能坐下？ 【教科书P108“练习十四”第10题】 学生认真分析题意，发现此题的规律，独立解答，然后集体交流。 课堂小结，畅谈收获： 师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？ 8、 板书设计 植树问题（3）转化 环形植树问题 一端栽一端不栽 棵树=间隔数 120÷10=12（棵） 答：一共要栽12棵树。 作业设计： 巩固“四基”： 1.一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶? 【教科书P108“练习十四”第11题】 2.小区花园是一个长60m、宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5m。一共要栽多少棵树? 【教科书P108“练习十四”第12题】 提升“四能”： 3.围棋盘的最外层每边能放19枚棋子。最外层一共可以摆放多少枚棋子? 【教科书P108“练习十四”第13题】 教学反思： 课堂伊始，请学生扮演设计师角色为公园设计不同的植树方案，学生对此内容感兴趣，对动手设计等教学环节比较感兴趣，课堂气氛应非常活跃。学生在思维的碰撞中能够自主探究出环形植树问题的解题方法，并从中发现问题中存在的一般规律。最终达到能运用知识解决实际问题的目的。 教学反思 完成人教版五年级上册小数除法大单元教学设计后，我们对整个教学设计从以下三个方面进行了深入反思： 一、单元闪光点： 1、重视数学模型的建立过程： 数学模型是为了以类化的思想，解决更多的数学问题。因此，我在教学中让学生经历“猜想一验证—建立数学模型一应用”这一过程，发现“树”与间隔之间的对应关系，从而建立“植树问题”数学模型。 2、注重数学思想的渗透： 在教学时，当学生出现不同猜想结果时，引导学生用画图方法模拟实际栽树。由于例题的数据太大了，因此学生在实际画图时发生了困难，这时向学生渗透数形结合、化繁为简的数学思想，让学生选择短距离的路用画线段图的方式得出结果。既培养了数学思想，学会了一些解决问题的方法，又体会到了“化繁为简”的解题过程。学生通过猜想、实验、推理、观察、交流等一系列活动得出棵树比间隔数多1，教师利用课件直观演示，向学生渗透一一对应的数学思想。 3、注重探究精神和能力的培养： 教学中，我引导学生用画图的方法来验证猜想的合理性，并根据学生回答完成表格，通过让学生认真观察表格，从而发现规律。在用“数形结合”方法探究规律的过程中，学生的动手能力、合作能力和实践精神都得到一定的培养。 4、评价方式多样：我们采用了多种评价方式，如教师评价、学生自评、小组互评等。通过评价，学生能够及时了解自己的学习情况，发现自己的不足之处，从而有针对性地进行学习和改进。 5、关注植树问题模型的拓展和应用： 植树问题的模型在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，做了两方面的工作：一是通过前置作业1让学生收集日常生活中的间隔图片，使学生理解什么是间隔，并告诉学生“这些现象的事物间都存在着间隔，数学中把这类问题统称为植树问题”；二是进行多角度的应用练习。如敲钟问题等，引导学生进一步体会，现实生活中的许多事件，都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，巩固对植树问题的理解，从而使学生感悟数学建模的重要意义。 二、实施的不足 1.操作的实效性差。 在学生画图探究间隔数和棵数的规律时，我根据学情了解，设计了教师示范作图环节，可能是操作方法交待不够清楚，以致部分学生无从下手，出现操作困难，影响课堂效果。 2.没有把握好教学时间。 整堂课前松后紧，有的教学内容处理仓促，练习巩固时间不充足。在教学中应该把握好教学的度，合理取舍教学内容。 3.学生评价不足。 对于学生的评价如何做到即准确又有深度且具有启发性，这是我努力学习的方向。 三、改进措施 1. 前置作业的设计：前置作业要唤起学生的“知识觉醒”，让学生把学习和生活联系起来，经历体验性学习，感受性学习。前置作业是指向于新授课实施的有效手段。因此再增加一个前置作业，让学生看看路边的小树是怎么栽的，为学生理解“间隔”做铺垫。 2. 数学思想的教学：数学思想是通过活动来体验的，不是简单的告诉学生的。比如“化繁为简”的思想，需要设计一个活动让学生有真实的感受。 3.教学思想的转变：课堂上要创造学生犯错的机会。“学生就是连滚带爬，跌跌撞撞，似懂非懂地学会的。”让学生在课堂上更多的暴露他们的问题，利用各种方法去暴露，通过例题和习题，不断的完善植树问题这个模型，让学生在错误当中反思、疑惑、争论。 4.丰富评价方式：除了书面作业和考试成绩外，可以增加对学生学习过程和实践能力的评价。采用多元化的评价标准，充分考虑学生的个体差异。对于不同水平的学生，可以设置不同的评价指标和要求，鼓励他们发挥自己的优势，不断进步。 通过对这一单元教学的反思，我们认识到教学中的不足之处。在今后的教学中，我们将不断地改进教学方法和教学策略，提高教学质量，让学生在轻松愉悦的氛围中学习数学知识，提高数学素养。 - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $$