期末重难点真题特训之压轴满分题型（72题20个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （北师大版2024)

期末重难点真题特训之压轴满分题型（72题20个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、从立体图形到平面图形压轴题 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个几何体是由若干个棱长为的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示： (1)该几何体最少由 个小立方体组成，最多由 个小立方体组成． (2)当该几何体的体积最大时，求它的表面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）根据从左面、上面到的几何体的形状图，分别在从上面图上写出最少，最多两种情形的小正方体的个数即可解决问题； （2）根据立方体的体积公式即可判断，分上下，左右，前后三个方向判断出正方形的个数解决问题即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：最少的情形有个小正方体， 最多的情形有个小正方体， 故答案为，； （2）体积最大时从不同方向看几何体的形状图如下： ∵棱长为 ∴每个小正方形的面积为 因此这个组合体的表面积为 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是一个长方体纸盒的平面展开图，每个面都标有字母．请根据下面的要求回答问题： (1)如果C面在长方体的底面，那么哪个面在上面？ (2)如果D面在长方体前面，从左面看是C面，那么哪个面在后面？ (3)如果从前面能看到A面，从上面能看到F面，那么从左面能看到是哪个面？ 【答案】(1)F面 (2)E面 (3)D面 【分析】本题考查了几何体的展开图，利用了对面与邻面间的关系． （1）根据隔面是对面的关系，可得答案； （2）根据隔面是对面的关系，可得答案； （3）根据邻面间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：C面与F面是对面，C面在长方体的底面，F面在上面； （2）D面与E面是对面，D面在长方体前面，E面在后面； （3）A、F、D面是邻面，从前面能看到A面，从上面能看到F面，D面在左面． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为_______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；②；③ (3) 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【详解】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， 故答案为：； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：； ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， 故答案为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， 故答案为：； 【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 压轴满分题二、数轴上动点问题 1．（23-24七年级上·四川内江·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数，是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第二个点重合，该点表示的数字为， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 【答案】8或80 【分析】本题考查了数轴上动点的移动规律，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：考虑到点P是动点，分三种情况讨论： ①当点P在A点左侧时，因，则不符合题意，故舍去； ②当P点在A、B中间时，有，解得； ③当P点在B点右侧时，有，解得． 因此P点表示的数为8或80， 故答案为：8或80． 3．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 压轴满分题三、绝对值的意义 1．（2024·重庆·三模）对多项式添加1个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如：，称为对多项式的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，…… 下列说法正确的个数是（   ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，再进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：，且，则， ∴原式； 第二种情况：， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 第三种情况，， ∵， ∴，则原式； 第四种情况：， ∵， ∴原式； 再进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：， ∵，则， ∴当时，原式； 当时，原式； 第二种情况：， 当时，原式； 当时，原式； 第三种情况：， ∵， ∴原式； 第四种情况： ∵， ∴原式； 综上所述，经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果不可能为， ∴①错误； 进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：（为任意实数）； 第二种情况：（为任意实数）； 第三种情况：； 第四种情况：； 第五种情况：（为任意实数）； 第六种情况：（为任意实数）； 综上所述，化简结果有4种， ∴②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种，故错误； 经过一次“绝对操作”后的结果有： ；；；； 经过二次“绝对操作”后的结果有： ；；；；；；； 综上所述，③错误； ∴正确的个数是0个， 故选：A． 2．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，如表是四种饼干的检验结果，“+、－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ．（填写饼干型号） A B C D （g） （g） （g） （g） 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值越小越符合标准是解题的关键．根据绝对值越小越符合标准即可得到答案． 【详解】解：， 故饼干最符合标准． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）或；；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； （3）根据题意，表示到这三点的距离和最小值，则当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴或； ∵， 则表示到和的距离相等， ∴； （2）①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵， ∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵， ∴表示x的数在的左侧或在的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； （3）∵表示数的点到表示的点的距离之和， 当时，代数式的最小值为：． 压轴满分题四、有理数的新定义运算 1．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)2 (2)24 (3)不具有，见解析 【分析】本题主要考查的是新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接根据新定义的进行计算即可； （2）直接根据新定义的含义列式，再进行计算即可； （3）根据新定义可得和，然后比较结果即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解:不具有，探究如下： 由，， ∵不一定是相同的有理数， ∴不一定等于， ∴和不一定相等， ∴新运算“⊕”不具有交换律． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值（2）（3）或 【分析】本题考查有理数混合运算及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3）当时，； 当时，； 当时，． 压轴满分题五、有理数的混合运算应用 1．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分是；蓝队胜黄队，比分是；红队负蓝队，比分是．如果进球数为正，失球数为负． (1)计算三个队的净胜球数各是多少？ (2)若按净胜球排名，该如何排名？ 【答案】(1)红队净胜球数为1；蓝队净胜球数为3；黄队净胜球数为 (2)按净胜球排名是蓝队、红队、黄队 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的实际应用．解题的关键是理解题意． （1）根据题意，得出三个队各自胜的场次，即可解答； （2）根据题目所给净胜球数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：红队净胜球数为； 蓝队净胜球数为； 黄队净胜球数为， （2）解：∵， ∴按净胜球排名是蓝队、红队、黄队． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后没能回到球门线上 (2)35米 (3)6次，理由见解析 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， 则守门员最后没能回到球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线米； 第三次跑距离开球门线米； 第四次跑距离开球门线米； 第五次跑距离开球门线米； 第六次跑距离开球门线米； 第七次跑距离开球门线米； 第八次跑距离开球门线米； 第九次跑距离开球门线米．                                则守门员离开球门线的最远距离为35米； （3）解：由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10，8，18，23，35，29，20，24，10，则符合题意的有：18，23，35，29，20，24． 故对方球员有6次挑射破门的机会． 3．（2024·安徽宿州·一模）阅读下面材料： 小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：，，，，，称为数列：，，，，其中为整数且． 定义． 例如，若数列：，，，，，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列：，，，求； (2)已知数列：，，，，其中，，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列：，，，，中个数均为非负整数，且，直接写出的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】(1) (2)数列为：，，，；，，，；，，，； (3)的最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据定义，代入数据即可求出结论； （2）由题意可得，，在到之间，再根据为个互不相等的整数，求解即可； （3）由数列：，，，，中个数均为非负整数，结合绝对值，分类求解即可得解． 本题考查了绝对值，有理数，准确理解题意，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：数列：，，， ； （2）解：数列：，，，中，，，， ，可看成条线段的长度和，如图所示： ， ，在到之间， ，，，，为个互不相等的整数， 数列为：，，，；，，，；，，，； （3）解：数列：，，，，中个数均为非负整数， ，，，，， ，，，，， ，，，， ∵， 故当时，取得最小值，且为0； 故当时，取得最大值，且为； 或当时，取得最大值，且为， 的最大值为，最小值为． 压轴满分题六、整式加减的应用 1．（24-25七年级上·四川广安·期中）初一4班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下： 甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每幅定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍送一盒乒乓球，乙店全按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球x盒（）．（注:打9折即为原价×0.9） (1)请你用x的代数式分别表示在甲、乙两商店的付款费用； (2)购买15盒乒乓球时，去哪家商店买更便宜？若购买25盒乒乓球，哪家更便宜？ 【答案】(1)（）元，（）元 (2)乙商店，见解析 【分析】本题考查列代数式解决实际问题．根据题意正确的列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）将时代入两个代数式进行求值，再将时代入两个代数式进行求值，通过比较数值的大小即可得解． 【详解】（1）解：甲商店的付款费用为：（元） 乙商店的付款费用为：（元） （2）解：当时： 去甲商店的付款费用为：元； 去乙商店的付款费用为：元； ∵， ∴去甲商店购买； 当时： 去甲商店的付款费用为：元； 去乙商店的付款费用为：元； ∵， ∴去乙商店购买； ∴购买15盒乒乓球时，到甲商店购买更便宜；购买25盒乒乓球时，到乙商店购买更便宜． 2．（2024七年级上·云南·专题练习）如图是某居民小区的一块长为米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处修建一个半径为米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元． (1)求美化这块空地共需多少元？（用含有，，的式子表示） (2)当，，时，美化这块空地共需多少元？ 【答案】(1)元 (2)1828元 【分析】此题考查了代数式求值在几何图形问题中的应用，熟练掌握矩形和扇形面积公式，代数式求值，是解题的关键． （1）四个花台的面积为一个圆的面积，种草部分的面积为长方形的面积减去四个花台的面积，总费用为相应的单价乘以面积，然后求和即可； （2）将，，代入（1）中所得的代数式，计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得花台面积为， ∴其余部分的面积为：， ∴美化这块空地共需费用： （元）． 故美化这块空地共需元； （2）解：将，，代入（1）中所得的代数式得：（元）． 故美化这块空地共需1828元． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）【初探】 从1至9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1） ； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从1至9这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为． （3）若，且，求的值． 【答案】（1）10（2）是，理由见解析（3）2023 【分析】本题考查新定义，整式的加减运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）根据新定义求出，结合，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：10； （2）是，理由如下： ， ∵是整数， ∴一定是整数； （3）由题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题七、整式加减的规律性探索 1．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 【答案】D 【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 2．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆圈的变化规律，利用数形结合的思想解答． 观察每个图形的特点，得到第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈，第三个图形有个小圆圈，第四个图形有个小圆圈，进而得到图形的规律求解即可． 【详解】解：观察每个图形可得， 第一个图形有1个小圆圈， 第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， … 列表如下： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 总数 1 7 19 37 61 ∴m和n之间的关系式为： ， 首位相加得：， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍 (2)有，见解析 (3) (4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423 【分析】本题主要考查列代数式、数字的规律及一元一次方程的应用，根据数列的构成特点得出5个数之间的关系，列出方程依据条件取舍是解题的关键． （1）求出这5个数的和即可得； （2）根据表中的数，易发现另外的四个数中，上下的数相差是12，左右的数相差是2．根据这一关系进行表示各个数，再求和； （3）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （4）根据五个数的和为2000或2055列方程求解后，依据数列为奇数列即可判断． 【详解】（1）解：， 十字框框住的5个数的和是17的5倍； （2）解：如图所示： ， 若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍； （3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ； （4）解：5个数之和不能等于2000， 当时，得， 不是奇数， 个数之和不能等于2000； 5个数之和能等于2055， 当时，得， 是奇数， 个数之和能等于2055，这5个数分别为399、409、411、413、423． 压轴满分题八、直线、射线、线段压轴 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据经过一点可以作无数条直线对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据过3点的直线的条数对③进行判断；通过两点之间线段最短对④进行判断． 【详解】①经过一点可以作无数条直线，此说法正确； ②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，此说法正确； ③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，故题意说法错误； ④由两点之间线段最短可得，所以此说法正确； 所以共有3个正确． 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 【答案】 990 【分析】本题主要考查规律型图形的变化类，根据每一个点可以与其他个点分别连接生成条直线，去掉重复的即可得到个点（每3个点均不在1条直线上），最多画（条直线．根据每一个人可以与其他44握手一次，每人44次，即可求解． 【详解】∵每一个点可以与其他个点连接生成条直线， ∴个点最多画直线数量为 ∵某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，则每一个人可以与其他44握手一次，每人44次， ∴45人一共要握手（次． 故答案为：，990． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，在平面内有三点．    (1)画直线，线段和射线； (2)在线段上任取一点D（不同于点），连接线段； (3)此时图中有几条线段？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)有6条线段 【分析】此题考查了直线、线段、射线，解题的关键熟知概念并会画图． （1）根据条件画图即可． （2）根据已知条件画图即可． （3）根据图，数出线段条数即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段和射线即为所求．    （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：由题可得，图中有线段，一共6条．所以图中线段的条数为6． 压轴满分题九、线段n等分点的有关计算 1．（2024·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 压轴满分题十、与线段有关的动点问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 2．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 压轴满分题十一、最短路径问题 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．      根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 2．（23-24七年级上·重庆巫山·期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【答案】12.5/ 【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 压轴满分题十二、三角板中角度计算问题 1．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）方法同（1）即可得出结果； （3）根据（2）中结果及比例求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：；； （2），理由如下， ，， ； （3），， ． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了角的定义和角的比较与计算，解题的关键掌握三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据三角板的特征知，则写出即可； （3）根据求出，代入求出即可； （4）求出，代入求出即可． 【详解】（1）图中所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，，． （2）图中相等的角有，， 故答案为：，； （3）解； ∵，， ∴， ∵， ∴． （4），理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，当边和边重合时，______度； （2）如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时，？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 【答案】（1）（2）或（3）为或或或 【分析】（1）由角的和差关系可得答案， （2）分两种情况画出图形，再利用角的和差运算可得答案， （3）分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案， 本题考查的是角的和差运算，熟练的画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：105； （2）如图， ∵，，即：， ∴， 如图， ∵， ∴， 综上，当或时，； （3）如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，为或或或． 压轴满分题十三、几何图形中角度计算问题 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）如图，直线相交于点O，平分， ，，求和的度数． （2）如图，，点C，D在线段上，且，M，N分别是的中点，求线段的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考出了几何图中角度的计算、角平分线的定义、线段的中点、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平角的定义即可得出的度数，求出的度数，从而得出的度数，最后再由角平分线的定义即可得出答案； （2）先根据线段的中点的意义得出，，再根据线段的和差计算即可得出答案． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为，， 所以，． 因为， 所以． 因为平分， 所以． （2）因为，， 所以． 因为M，N分别是的中点， 所以，． 所以． 所以． 2．（2024七年级上·河北·专题练习）已知一副三角板按图1所示摆放，，将边重合在直线上，边在直线的两侧，保持不动． (1)在图1中， ； (2)将绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ； (3)将绕点O逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点O逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查角之间的和差关系，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）分别表示出和即可求解； （3）设旋转角度，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分情况讨论，①当在的右侧，在的下方时；②当在的右侧，在的上方时；③当在的左侧，在的右侧时；④当，都在的左侧时；用含n的式子表示度数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴， （3）设旋转角，如图3所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角的度数是； （4）与的数量关系是：或，理由如下： 将绕点O逆时针方向旋转时，有以下四种情况： ①当在的右侧，在的下方时，如图4①所示： 由（2）得：； ②当在的右侧，在的上方时，如图4②所示： ∵， ∴， ③当在的左侧，在的右侧时，如图4③所示： ∵， ∴， ∴； ④当，都在的左侧时，如图4④所示： ∵， ∴， ∴， 综上所述：与的数量关系是：或． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； (2)如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】解： （1）由折叠的性质，可知∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD,．因为点落在上，所以∠AOA′+∠BOB′=180°，所以，所以．因为，所以； （2）由折叠的性质，可知，所以，即的度数为． 压轴满分题十四、角平分线的有关计算 1．（2024七年级上·云南·专题练习）如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，求的度数； (3)在如图②中，若，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行计算． （1）依据，，即可得到．再根据平分，平分，即可得出； （2）依据，，即可得到．再根据平分，平分，可得，进而得到； （3）依据，，可得．再根据平分，平分，即可得到，即可得出． 【详解】（1）解：，， ． 平分，平分， ， ； （2）解：，， ． 平分，平分， ， ； （3）解：，， ． 平分，平分， ， ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【答案】(1)④ (2)； (3) (4) (5) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数； （3）同法（2）求解即可； （4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数． （5）同法（4）求解即可． 【详解】（1）解：用两副三角板可以直接画出大于小于的角，角的度数也是的倍数， ①，②，③都是15的倍数，而④不是15的倍数，所以不能画出的角． 故答案为：④； （2）解：∵平分， ∴， 同理， ∴， 在图①中：，， ∴， 在图②中，，， ∴； （3）解：设，与重合，与分别在两侧，平分，平分， 由（2）可得； 故答案为：； （4）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （5）解：设，与重合，与分别在同侧，平分，平分， 由（4）可得； 故答案为：． 压轴满分题十五、圆的周长和面积问题 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 2．（23-24七年级上·河北保定·开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    【答案】 圆周长的一半 半径 【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答． 【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径， 圆的面积近似长方形的面积长宽． 故答案为：圆周长的一半，半径，． 【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 压轴满分题十六、多边形对角线的问题 1．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉边形对角线的条数的规律． 【详解】解：由题意得：， ∴对角线总条数为（条）， 故选：． 2．（23-24八年级·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题． 【详解】（1）解：如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形， 故答案为：3，4． （4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2． 从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形． 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 【答案】 【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答． 【详解】解：三角形时，,有2个三角形， 四边形时，有3个三角形， 五边形时，有4个三角形， …… n边形时，有个三角形． 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键． 压轴满分题十七、一元一次方程解的拓展问题 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知两个多项式（b1≠0，且a1、m、b1是常数），（，且a2，n、b2是常数）满足，，称多项式M是多项式N的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（    ） ①多项式是多项式的“友好式”； ②若，M是N的“友好式”，且的取值与x无关，则； ③若M是N的“友好式”，且关于x的方程无解，则一定是非正数； ④当，时，若M是N的“友好式”，且关于x的方程有三个整数解，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的有关内容，关键在于理解“友好式”的定义，将进行化简整理，进而判断正误．根据“友好式”的定义，分析这4个结论是否正确，即可得到正确结论的个数． 【详解】解：①因为，，所以这两个多项式满足“友好式”的条件，因此结论①正确； ② ， 因为M是N的“友好式”，所以，，则， 因为的取值与x无关，所以，则； 因此结论②不正确； ③因为M是N的“友好式”，则， 因为关于x的方程无解，也就是说无解， 所以， 因此m、n的取值应为一正一负，或都等于0，则mn一定是非正数； 因此结论③正确； ④根据题意，将原方程整理化简，得：， 解得：， 若，则，满足题意要求； 因此结论④不正确； 所以正确的结论有2个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算和解一元一次方程，根据得到方程，解方程得到，再计算即可． 【详解】解：由， 解得， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解“和解方程”的定义是解题关键． （1）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先解关于x的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由方程，解得：， ， 方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ， 方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ， 方程是“和解方程”； 故答案为：③ （2）解：由方程，解得：， 一元一次方程是“和解方程”， ， 解得：． 压轴满分题十八、一元一次方程实际应用（销售、数字、古代）问题 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长6.5尺 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长为x尺，根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），也即在的方格中填写了9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．请你解答下列问题： (1)在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方； (2)计算图3方格中m，n的值为多少时，它能构成一个三阶幻方． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． （1）由题意可得图三个数的和为，从而可求解； （2）由题意可得，从而可求得的值，，从而可求得的值． 【详解】（1）解：由题意得：图中三个数的和为， ∴第一行中间的数为：， 第二行第3个数为：， 第二行第1个数为：， 第三行第1个数为：． 如图， （2）由题意得：， 解得：，． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）元旦即将到来，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八五折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠；超过300元，不超过300元的部分按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠； 假设超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． (3)现有丙超市推出每满100元减18元的活动，当购物总额为450元时去哪家超市划算？ 【答案】(1)甲、乙两家超市实付款分别是340元，350元 (2)购物总额是600元时，甲、乙两家超市实付款相同 (3)当购物总额为450元时去丙家超市划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键； （1）根据甲，乙两超市的促销方式分别列式计算即可； （2）设购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，当时，不符合题意，当时，根据甲、乙两家超市实付款相同列方程求解即可； （3）分别根据甲，乙，丙超市的促销方式分别列式计算，再进行比较即可得解． 【详解】（1）解：（元），（元）， 答：甲、乙两家超市实付款分别是340元，350元； （2）解：设购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同， 当时，不符合题意； 当时，由题意知：， 解得：， 答：购物总额是600元时，甲、乙两家超市实付款相同； （3）解：甲超市实付款：元， 乙超市实付款：元， 丙超市实付款：元， ， 当购物总额为450元时去丙家超市划算． 压轴满分题十九、一元一次方程实际应用（行程、工程、几何）问题 1．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距． 【答案】(1)甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时； (2)经过小时或小时两车相距千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出乙车的速度，再将其代入中，即可求出甲车的速度； （2）设经过小时两车相距千米，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意得： 解得： (千米/小时)． 答：甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时； （2）解：设经过小时两车相距千米，根据题意得： 或 解得：或， 答：经过小时或小时两车相距千米． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 【答案】(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，利用公式：生产总量生产时间生产效率，列出方程，求解即可； （2）分别计算乙工厂单独生产，甲、乙两个工厂共同生产的费用，再将2个计算结果作差即可解答． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天， 根据题意得：， 解得：， ． 答：这批礼品共有3600件． （2）乙工厂单独生产的费用：（元）， 甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元）， 两种方案的费用差为（元）． 答：两种方案的费用差为6000元． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·数形结合根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有三个点，，如图1所示． ①点表示的数是_____；之间的距离是_____； ②将点向左平移4个单位长度，此时该点表示的数是_____； (2)知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为_____． ②图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____； (3)知识应用：如图3，由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了？琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为，根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把移动到时，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为_____； ②求奶奶现在多少岁． 【答案】(1)①；；②； (2)①；②；； (3)①；②奶奶现在的年龄：岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，解一元一次方程的运用，理解数轴上动点的运动，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）①根据数轴的特点，点与数轴的关系即可求解；②根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； （2）①根据木棒的长度不变，设木棒长为，分别用表示出点的数，结合木棒的长度为，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据两点之间距离的计算即可求解； （3）①根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，根据对话即可求解；②根据题意分别表示出点的数，结合年龄差的计算，两点之间距离的计算方法，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是； 故答案为：，； ②点向左平移个单位，该点表示的数是； 故答案为：； （2）解：根据题意，设木棒长为， ①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：； 木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为时，点表示的数为：； ∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 ∴， 解得，； 故答案为：； ②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：， ①根据题意，点表示的数为：， 故答案为：； ②点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴奶奶现在岁， 故答案为：岁． 压轴满分题二十、数据的收集与整理 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如表： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是（    ） A．编号为B B．编号为C C．编号为 D D．编号为E 【答案】A 【分析】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键，根据表中数据两两相比较即可得到结论. 【详解】 解：， ， ， ， ，， 由和得 由和得 ∴每分钟通过小客车数量最多的一个收费出□的编号是， 故答案为：A. 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）将油箱加满后进行耗油实验，得到下列数据： 行驶路程 0 100 200 300 400 …… 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …… 则油箱容量为 L，行驶时估计剩余油量为 L． 【答案】 【分析】本题主要考查了统计表，正确理解统计表中的信息进行求解是解决本题的关键． 根据统计表可知，当路程为时，油箱剩余油量为，即可得出答案； 根据统计表可计算每公里的耗油量，即可算出行驶耗油量，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，油箱容量为， 每公里的耗油量为 行驶耗油量为 剩余油量为 故答案为: ，. 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门随机调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图，根据统计图，完成下列问题： (1)调查的总人数为_____； (2)补全条形统计图，交通方式为“骑自行车”所对的圆心角的度数为_____； (3)该单位共有300人，为了积极践行“低碳生活，绿色出行”这种生活方式，调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为多少人？ 【答案】(1)80人 (2)补全条形统计图见详解， (3)135人 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数； （2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图，用骑自行车人数的百分比乘以即可得到交通方式为“骑自行车”所对的圆心角的度数； （3）用总人数乘以现在骑自行车的人的百分比即可． 【详解】（1）解：调查的总人数为：人， 故答案为：80； （2）解：开私家车的人数（人）； 扇形统计图中“骑自行车”所占的百分比为：， 则骑自行车的人数为人， 补全统计图如图所示： 交通方式为“骑自行车”所对的圆心角的度数为， 故答案为：． （3）解：现在骑自行车的人数约为：人． 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值问题，根据，此时，a可以看作一个式子，a是正数或0，则把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号．据此化简即可． 【详解】解：由数轴得，， = ． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）下列说法：①射线和射线是同一条射线；②余角是；③若＝，则点为线段的中点；④邻补角的两条角平分线构成一个直角．其中，正确的说法(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的表示方法即可判断①；根据互余判断②；根据线段中点的定义即可判断③；根据邻补角及角平分线定义即可判断④． 【详解】解：①射线与射线表示的是不同的射线，故原说法错误； ②一个锐角的余角等于减去这个角，故原说法错误； ③两点确定一条直线，故原说法正确；若线段，当三点共线时，点是线段的中点，故原说法错误； ④邻补角的两条角平分线构成一个直角，故原说法正确； ∴说法正确的有个， 故选． 【点睛】本题主要考查了射线的表示方法，线段中点的定义，互余，角平分线及邻补角，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 【答案】B 【分析】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．由已知图形观察规律，即可得到第13代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， .....． ∴第13代勾股树中正方形有（个）， 故选：B． 4．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）现需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形．如图1，表示一圆形纸板，操作过程如下：第一次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形（如图2）；第二次剪裁，将上次得到的扇形中的某一个再等分成4个扇形（如图3）；以后按第二次剪裁的做法进行下去．按上述操作过程，若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁（       ） A．49次 B．50次 C．51次 D．52次 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给剪裁方式发现所得扇形的个数依次增加3是解题的关键． 根据所给剪裁方式，依次求出每次剪裁后所得扇形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第一次剪裁后，所得扇形的个数为：； 第二次剪裁后，所得扇形的个数为：； 第三次剪裁后，所得扇形的个数为：；， 所以第次剪裁后，所得扇形的个数为个． 令， 解得， 所以若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁50次． 故选：B． 5．（23-24七年级上·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若搭成这个几何体的小立方块最少需要 个，最多需要 个． 【答案】 6 8 【分析】本题考查了由从不同方向看几何体，由从不同方向看几何体想象几何体的形状，得到几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．根据从正面看可得第一列中至少一处有2层，从上面看可得图中第一列中最多3处有2层，由此即可判断． 【详解】解：（1）根据图形可得，从上面看可得中第一列中至少一处有2层； 所以该几何体至少是用6个小立方块搭成的， 根据从正面看及从上面看可得第一列中最多3处有2层； 所以该几何体最多是用8个小立方块搭成的， 故答案为6，8． 7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（找规律）四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1 号座位，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号，之后它们不停地交换座位．第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后再左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……这样一直换下去．第十次交换座位后，小兔坐在第 号座位上． 【答案】 【分析】本题考查图形规律问题，每次交换为一个周期，第十次交换后与第二次交换后的位置相同． 【详解】解：， 第十次交换后与第二次交换后位置相同，小兔坐在 号位子上． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，从点引出条射线，，，，，，且，平分，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角与角之间的运算，发现角之间的关系是解题的关键．根据题意设，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 平分， 设， 又， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 9．（2024七年级上·云南·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先把有理数的除法转化为乘法，然后利用有理数的乘法法则进行计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减即可； （3）先算乘方，再算乘法，后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 10．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分； (2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)她答对了道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者戊说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分）， 答错1题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 则他答对了道题； （3）解：不可能，理由如下： 设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者戊说他得了80分，是不可能的． 11．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 【答案】(1) (2) (3)④⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查几何体，棱柱的性质，熟练掌握棱柱的性质是解题的关键． （1）根据棱柱的性质即可得到答案； （2）根据表格中的数据找到规律即可； （3）根据题意，当截面时三角形时，分情况分析所分出的两个几何体的顶点总个数即可． 【详解】（1）解：根据棱柱的性质可知，六棱柱有个面，个顶点，条棱， 故答案为：； （2）解：有表格可知，三棱柱剪开棱的条数为 四棱柱剪开棱的条数为 五棱柱剪开棱的条数为 棱柱剪开棱的条数为：， 把代入，得 故答案为：； （3）解：①不过顶点，所分出的两个几何体的顶点总个数为：（个）； ②过一个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ③过两个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ④过三个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； 综上所述，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是④⑤⑥⑦． 故答案为：④⑤⑥⑦． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）综合与探究 问题情境：如图1，已知在同一平面内，，平分，射线在的内部． (1)数学思考：当时，求的度数． (2)深入探究：如图2，当平分时，求的度数． (3)在（2）的条件下，若将题目中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究的度数是否发生变化？若发生变化，求的度数；若不发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义； （1）先求解，，再结合角的和差运算可得答案； （2）先求解，结合角平分线可得，求解，再结合角的和差运算可得答案； （3）先求解，结合角平分线可得，求解，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （3）解：，不发生变化，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（72题20个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、从立体图形到平面图形压轴题 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个几何体是由若干个棱长为的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示： (1)该几何体最少由 个小立方体组成，最多由 个小立方体组成． (2)当该几何体的体积最大时，求它的表面积． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是一个长方体纸盒的平面展开图，每个面都标有字母．请根据下面的要求回答问题： (1)如果C面在长方体的底面，那么哪个面在上面？ (2)如果D面在长方体前面，从左面看是C面，那么哪个面在后面？ (3)如果从前面能看到A面，从上面能看到F面，那么从左面能看到是哪个面？ 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为_______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 压轴满分题二、数轴上动点问题 1．（23-24七年级上·四川内江·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 3．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 压轴满分题三、绝对值的意义 1．（2024·重庆·三模）对多项式添加1个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如：，称为对多项式的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，…… 下列说法正确的个数是（   ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，如表是四种饼干的检验结果，“+、－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ．（填写饼干型号） A B C D （g） （g） （g） （g） 3．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 压轴满分题四、有理数的新定义运算 1．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 压轴满分题五、有理数的混合运算应用 1．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分是；蓝队胜黄队，比分是；红队负蓝队，比分是．如果进球数为正，失球数为负． (1)计算三个队的净胜球数各是多少？ (2)若按净胜球排名，该如何排名？ 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．                    3．（2024·安徽宿州·一模）阅读下面材料： 小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：，，，，，称为数列：，，，，其中为整数且． 定义． 例如，若数列：，，，，，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列：，，，求； (2)已知数列：，，，，其中，，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列：，，，，中个数均为非负整数，且，直接写出的最大值和最小值，并说明理由． 压轴满分题六、整式加减的应用 1．（24-25七年级上·四川广安·期中）初一4班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下： 甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每幅定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍送一盒乒乓球，乙店全按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球x盒（）．（注:打9折即为原价×0.9） (1)请你用x的代数式分别表示在甲、乙两商店的付款费用； (2)购买15盒乒乓球时，去哪家商店买更便宜？若购买25盒乒乓球，哪家更便宜？ 2．（2024七年级上·云南·专题练习）如图是某居民小区的一块长为米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处修建一个半径为米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元． (1)求美化这块空地共需多少元？（用含有，，的式子表示） (2)当，，时，美化这块空地共需多少元？ 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）【初探】 从1至9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1） ； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从1至9这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为． （3）若，且，求的值． 压轴满分题七、整式加减的规律性探索 1．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 2．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 总数 1 7 19 37 61 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 压轴满分题八、直线、射线、线段压轴 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，在平面内有三点．    (1)画直线，线段和射线； (2)在线段上任取一点D（不同于点），连接线段； (3)此时图中有几条线段？   压轴满分题九、线段n等分点的有关计算 1．（2024·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 压轴满分题十、与线段有关的动点问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 2．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    压轴满分题十一、最短路径问题 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 2．（23-24七年级上·重庆巫山·期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 压轴满分题十二、三角板中角度计算问题 1．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，当边和边重合时，______度； （2）如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时，？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 压轴满分题十三、几何图形中角度计算问题 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）如图，直线相交于点O，平分， ，，求和的度数． （2）如图，，点C，D在线段上，且，M，N分别是的中点，求线段的长． 2．（2024七年级上·河北·专题练习）已知一副三角板按图1所示摆放，，将边重合在直线上，边在直线的两侧，保持不动． (1)在图1中， ； (2)将绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ； (3)将绕点O逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点O逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； (2)如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 压轴满分题十四、角平分线的有关计算 1．（2024七年级上·云南·专题练习）如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，求的度数； (3)在如图②中，若，其他条件不变，求的度数． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 压轴满分题十五、圆的周长和面积问题 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 2．（23-24七年级上·河北保定·开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 压轴满分题十六、多边形对角线的问题 1．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（23-24八年级·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 压轴满分题十七、一元一次方程解的拓展问题 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知两个多项式（b1≠0，且a1、m、b1是常数），（，且a2，n、b2是常数）满足，，称多项式M是多项式N的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（    ） ①多项式是多项式的“友好式”； ②若，M是N的“友好式”，且的取值与x无关，则； ③若M是N的“友好式”，且关于x的方程无解，则一定是非正数； ④当，时，若M是N的“友好式”，且关于x的方程有三个整数解，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 压轴满分题十八、一元一次方程实际应用（销售、数字、古代）问题 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），也即在的方格中填写了9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．请你解答下列问题： (1)在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方； (2)计算图3方格中m，n的值为多少时，它能构成一个三阶幻方． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）元旦即将到来，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八五折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠；超过300元，不超过300元的部分按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠； 假设超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． (3)现有丙超市推出每满100元减18元的活动，当购物总额为450元时去哪家超市划算？ 压轴满分题十九、一元一次方程实际应用（行程、工程、几何）问题 1．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·数形结合根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有三个点，，如图1所示． ①点表示的数是_____；之间的距离是_____； ②将点向左平移4个单位长度，此时该点表示的数是_____； (2)知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为_____． ②图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____； (3)知识应用：如图3，由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了？琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为，根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把移动到时，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为_____； ②求奶奶现在多少岁． 压轴满分题二十、数据的收集与整理 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如表： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是（    ） A．编号为B B．编号为C C．编号为 D D．编号为E 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）将油箱加满后进行耗油实验，得到下列数据： 行驶路程 0 100 200 300 400 …… 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …… 则油箱容量为 L，行驶时估计剩余油量为 L． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门随机调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图，根据统计图，完成下列问题： (1)调查的总人数为_____； (2)补全条形统计图，交通方式为“骑自行车”所对的圆心角的度数为_____； (3)该单位共有300人，为了积极践行“低碳生活，绿色出行”这种生活方式，调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车，则现在骑自行车的人数约为多少人？ 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）下列说法：①射线和射线是同一条射线；②余角是；③若＝，则点为线段的中点；④邻补角的两条角平分线构成一个直角．其中，正确的说法(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 4．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）现需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形．如图1，表示一圆形纸板，操作过程如下：第一次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形（如图2）；第二次剪裁，将上次得到的扇形中的某一个再等分成4个扇形（如图3）；以后按第二次剪裁的做法进行下去．按上述操作过程，若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁（       ） A．49次 B．50次 C．51次 D．52次 5．（23-24七年级上·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若搭成这个几何体的小立方块最少需要 个，最多需要 个． 7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（找规律）四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1 号座位，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号，之后它们不停地交换座位．第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后再左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……这样一直换下去．第十次交换座位后，小兔坐在第 号座位上． 8．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，从点引出条射线，，，，，，且，平分，，，则的度数为 ． 9．（2024七年级上·云南·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分； (2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 11．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）综合与探究 问题情境：如图1，已知在同一平面内，，平分，射线在的内部． (1)数学思考：当时，求的度数． (2)深入探究：如图2，当平分时，求的度数． (3)在（2）的条件下，若将题目中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究的度数是否发生变化？若发生变化，求的度数；若不发生变化，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$