专题03 全等三角形（八大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题03 全等三角形 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 全等三角形性质的应用 1 题型二 应用“SSS”证明两个三角形全等 2 题型三 应用“SAS”证明两个三角形全等 3 题型四 应用“ASA”证明两个三角形全等 4 题型五 应用“AAS”证明两个三角形全等 5 题型六 应用“HL”证明两个直角三角形全等 6 题型七 多边形的对角线、内角和与外角和 7 题型八 求不规则多边形的内角和 8 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 全等三角形性质的应用 ⭐技巧积累与运用 全等三角形的性质： (1) 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 (2) 全等三角形的对应线段相等。 (3) 全等三角形周长相等，面积相等。 全等三角形的性质应用： (1) 求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度. (2) 求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小. (3) 证明线段之间关系：(1)数量关系；(2)位置关系. 可以根据全等三角形对应线段相等，对应角相等转化为证线段关系或利用角的关系证明线段的平行关系。 1．若，且的周长为15，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 2．如图，若，且，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 题型二 应用“SSS”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 SSS的文字表述：三边分别相等的两个三角形全等。 证三角形全等——寻找等边的方法 1.利用线段中点的定义说明边相等. 2.图形中的隐含条件，如公共边(有时需要添加辅助线构造公共边). 3.多条线段在同一条直线上时，利用等式性质关线段相等证明有关线段相等。 1．如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 2．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 题型三 应用“SAS”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 SAS的文字表述：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 注意事项： 1. 对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系。 2. 顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等。 1．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．其数学原理是利用，判断的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与相交于点，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 3．小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（   ） A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 4．如图，已知在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：． 题型四 应用“ASA”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 ASA的文字表述：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 证三角形全等——寻找等角的方法 1.公共角相等、对顶角相等、直角相等. 2.等角加(减)等角，其和(差)相等. 3.同角或等角的余(补)角相等. 4.根据角平分线、平行线得角相等. 1．如图，，，则的判定依据为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，相交于点，求的长． 题型五 应用“AAS”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 AAS的文字表述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 总结： “AAS”是由“ASA”推导得出的，将两者结合可得：如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等。 1．如图，用，，直接判定的理由是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 3．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 4．如图，点在上，，，，说明的理由． 题型六 应用“HL”证明两个直角三角形全等 ⭐技巧积累与运用 HL的文字表述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 注意事项： “HL”是直角三角形独有的，对其他三角形不成立。 1．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 2．如图，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 4．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 题型七 角的平分线的性质 ⭐技巧积累与运用 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 注意事项： 1. 应用角的平分线的性质时，角的平分线、角的平分线上的点到两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点的距离相等. 2. 由角的平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简便方法. 1．三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 2．如图，平分交于点D．于点E，若，，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D．3 3．如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    ) A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 4．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型八 角的平分线的判定 ⭐技巧积累与运用 证明角的平分线的两个方法 1. 定义法：应用角的平分线的定义. 2. 定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上垂直”来判定。判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”。 1．将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（   ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂直平分线的性质 C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 2．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 4．如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 一、单选题 1．如图，已知，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，，相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 4．已知． 若为偶数，则的周长是（   ） A．6 B．13 C．14 D．15 5．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 二、填空题 7．如图，在中，，则 ． 8．如图，在中， 于点，，若，则 ． 9．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 10．如图，是的角平分线上一点，，垂足为点，且是射线上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：． 13．如图，已知，若，，求的长． 14．如图，在中，． (1)求证：． (2)求证：． 15．小强为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．如图，，，视线与视线垂直，且． (1)证明：； (2)米，米，求大楼的高． 16．如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为6，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 二、填空题 3．如图，在中，，平分，与点，如果，，，那么的周长为 ． 4．如图， 在长方形中， ，延长 到点 ， 使， 连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点 的运动时间为秒， 当的值为 秒时， 和全等． 三、解答题 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 6．如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得． (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明． 7．如图，在四边形中，，E为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F． 求证： (1)； (2)平分； (3)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 全等三角形性质的应用 1 题型二 应用“SSS”证明两个三角形全等 2 题型三 应用“SAS”证明两个三角形全等 4 题型四 应用“ASA”证明两个三角形全等 6 题型五 应用“AAS”证明两个三角形全等 8 题型六 应用“HL”证明两个直角三角形全等 10 题型七 多边形的对角线、内角和与外角和 12 题型八 求不规则多边形的内角和 14 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 全等三角形性质的应用 ⭐技巧积累与运用 全等三角形的性质： (1) 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 (2) 全等三角形的对应线段相等。 (3) 全等三角形周长相等，面积相等。 全等三角形的性质应用： (1) 求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度. (2) 求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小. (3) 证明线段之间关系：(1)数量关系；(2)位置关系. 可以根据全等三角形对应线段相等，对应角相等转化为证线段关系或利用角的关系证明线段的平行关系。 1．若，且的周长为15，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵的周长为15，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，若，且，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 3．如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【详解】解：，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 题型二 应用“SSS”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 SSS的文字表述：三边分别相等的两个三角形全等。 证三角形全等——寻找等边的方法 1.利用线段中点的定义说明边相等. 2.图形中的隐含条件，如公共边(有时需要添加辅助线构造公共边). 3.多条线段在同一条直线上时，利用等式性质关线段相等证明有关线段相等。 1．如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵和中，，， ∴利用“”判定的条件是或． 故选：B． 2．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 3．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，，，，四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见详解 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型三 应用“SAS”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 SAS的文字表述：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 注意事项： 1. 对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系。 2. 顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等。 1．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．其数学原理是利用，判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵O是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选A． 2．如图，与相交于点，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中，由题意可知，，， ∴若用“”说明，则还需添加的一个条件是， 故选：． 3．小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（   ） A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】A 【详解】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等， 故选：A． 4．如图，已知在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：， ， 即：， 在和中， ， ． 题型四 应用“ASA”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 ASA的文字表述：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 证三角形全等——寻找等角的方法 1.公共角相等、对顶角相等、直角相等. 2.等角加(减)等角，其和(差)相等. 3.同角或等角的余(补)角相等. 4.根据角平分线、平行线得角相等. 1．如图，，，则的判定依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵在与中，， ∴． 故选：A． 2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：B． 3．如图，于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵于点，于点， ∴ 又， ∴ ∴， ∵， ∴ 故选：B． 4．如图，相交于点，求的长． 【答案】 【详解】证明：在和中， ， ∴． ∴ 又∵ ∴． 题型五 应用“AAS”证明两个三角形全等 ⭐技巧积累与运用 AAS的文字表述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 总结： “AAS”是由“ASA”推导得出的，将两者结合可得：如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等。 1．如图，用，，直接判定的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A 2．如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 3．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 4．如图，点在上，，，，说明的理由． 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六 应用“HL”证明两个直角三角形全等 ⭐技巧积累与运用 HL的文字表述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 注意事项： “HL”是直角三角形独有的，对其他三角形不成立。 1．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 2．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，①正确，③错误； 如图，∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，④正确； ∵， ∴，故②正确； ∴正确的有3个， 故选：C． 4．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型七 角的平分线的性质 ⭐技巧积累与运用 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 注意事项： 1. 应用角的平分线的性质时，角的平分线、角的平分线上的点到两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点的距离相等. 2. 由角的平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简便方法. 1．三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 【答案】A 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， ∴A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 2．如图，平分交于点D．于点E，若，，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：过D作于F，如图， ∵平分交于点D，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    ) A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【答案】B 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意． 故选B． 4．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 题型八 角的平分线的判定 ⭐技巧积累与运用 证明角的平分线的两个方法 1. 定义法：应用角的平分线的定义. 2. 定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上垂直”来判定。判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”。 1．将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（   ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂直平分线的性质 C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 【答案】C 【详解】解：根据题意可得， 则为的角平分线， 故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故选：C． 2．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故选：D． 3．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， 在与中， 是的平分线 4．如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【详解】证明：作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ，又，， 点在的角平分线上． 一、单选题 1．如图，已知，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．如图，，相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ，， ． 故选：B． 3．如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、依据可知，故A不符合要求； B、依据可知，故B不符合要求； C、依据可知，故C不符合要求； D、依据无法判定，故D符合要求． 故选：D． 4．已知． 若为偶数，则的周长是（   ） A．6 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵为偶数， ∴， ∴的周长是：． 故选：C． 5．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点到三边距离相等， 点为的三条角平分线的交点， ，， ， ， ， ， 故选：D． 6．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 二、填空题 7．如图，在中，，则 ． 【答案】80°/80度 【详解】解：在和中， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中， 于点，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：，, ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【答案】3/三 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为：3． 10．如图，是的角平分线上一点，，垂足为点，且是射线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，最小， 当时， 又平分，，， 故答案为： 三、解答题 11．如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解∶如图，点Q即为所求， 12．如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， 在与中， ∴． 13．如图，已知，若，，求的长． 【答案】10 【详解】解：， ． ， ∴， ． 14．如图，在中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 15．小强为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．如图，，，视线与视线垂直，且． (1)证明：； (2)米，米，求大楼的高． 【答案】(1)见解析 (2)20米 【详解】（1）证明：与垂直， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 米，米， （米）． 答：楼高是20米． 16．如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴； （2）如图所示，过点D作交于点F ∵平分，， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 一、单选题 1．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 2．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为6，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选B． 二、填空题 3．如图，在中，，平分，与点，如果，，，那么的周长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， ， ∴的周长为, 故答案为：6． 4．如图， 在长方形中， ，延长 到点 ， 使， 连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点 的运动时间为秒， 当的值为 秒时， 和全等． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 若，则当时，根据可得， 即此时， 解得； 若，则当时，根据可得， 即此时， 解得； 综上，当的值为或时，和全等， 故答案为：或． 三、解答题 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵的角平分线、相交于点， ∴， ∴，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得． (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可）， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：当选取①时， ， ， 在与中， ， ， ； 当选取③时， ， ， 在与中， ， ， ． 7．如图，在四边形中，，E为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F． 求证： (1)； (2)平分； (3)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【详解】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． （3）证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$