专题01 直线和圆的方程（5大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期北师大版

第一章 直线和圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直线的斜率和倾斜角 · 两直线的位置关系 · 直线的方程 · 直线和圆的位置关系 · 圆与圆的位置关系 一．直线的斜率和倾斜角（共2小题） 1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.已知点，，则直线AB的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 二．两直线的位置关系（共4小题） 3.已知，若，则实数（   ） A．0或1 B． C．1 D．0或 4.已知直线：，：，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.（多选）直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的倾斜角的范围是 B．若，则 C．若，则 D．当时，到的距离为 6．（多选）已知直线，（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则或 D．直线始终过定点 三．直线的方程（共5小题） 7.直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 8.（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 9.（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 10.已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 11.已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 四．直线和圆的位置关系（共9小题） 12.圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 13．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 14.设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则|PQ|的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 15.（多选）若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线与圆相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 16.已知，，点M满足，则面积的最大值为 . 17.已知的三个顶点分别为，，. (1)求边AC的垂直平分线l的方程； (2)求的外接圆的方程. 18．圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 19．已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 20．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 五．圆和圆的位置关系（共8小题） 21.（多选）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点 B．圆C与圆：的公切线恰有4条 C．直线l与C可能相切 D．直线l被C截得的弦长最小值为 22.（多选）已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 23.写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 24.圆和圆的公切线的条数为 . 25.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 26.若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（    ） A．3或6 B．1或7 C．1或9 D．4或8 27．若圆与圆外切，则的值是（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 $$ 第一章 直线和圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直线的斜率和倾斜角 · 两直线的位置关系 · 直线的方程 · 直线和圆的位置关系 · 圆与圆的位置关系 · 不等式的实际应用 一．直线的斜率和倾斜角（共2小题） 1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为. 故选：D. 2.已知点，，则直线AB的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以直线AB的倾斜角为. 故选：D. 二．两直线的位置关系（共4小题） 3.已知，若，则实数（   ） A．0或1 B． C．1 D．0或 【答案】C 【详解】若，则， 解得，或. 时，不存在，舍去，故. 故选：C. 4.已知直线：，：，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5.（多选）直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的倾斜角的范围是 B．若，则 C．若，则 D．当时，到的距离为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，直线的斜率， 当时，的倾斜角， 当时，的倾斜角，A错误； 对于B，由，得，解得，故B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，当时，，直线， 到的距离为，D正确. 故选：BCD 6．（多选）已知直线，（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则或 D．直线始终过定点 【答案】BD 【详解】对于A，当时，直线：， 故斜率，则倾斜角为120°，故A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C错误， 对于D，：变形为：， 令且，解得，故恒过，故D正确， 故选：BD. 三．直线的方程（共5小题） 7.直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为，整理得. 故选：B 8.（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】ABD 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线 的斜率为，在y轴上的截距为， 易知直线经过第一、二、三象限，B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 故选：ABD. 9.（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 【答案】CD 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 10.已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 11.已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 四．直线和圆的位置关系（共9小题） 12.圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，，， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 13．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此圆的方程为， 故选：D 14.设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则|PQ|的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】对于直线，，因为，所以， 又，， 所以直线恒过定点，恒过定点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，又两直线相交，则点和不符合题意； 由圆心为，半径， 可得，点的轨迹方程为（不包含点）， 因为圆与圆的圆心距，所以两圆外离， 因为两圆心所在直线方程为，所以，不在两圆心所在直线上， 因此，的最小值是两圆圆心距减去两圆半径之和， 即. 故选：D. 15.（多选）若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线与圆相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 【答案】BCD 【详解】对于A，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A错误； 对于B，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B正确； 对于C，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C正确； 对于D，依题意，在上， 而可理解为圆上的点与点的距离， 由图知，故D正确. 故选：BCD. 16.已知，，点M满足，则面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设点，由，得， 平方化简为，所以点M的轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 17.已知的三个顶点分别为，，. (1)求边AC的垂直平分线l的方程； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知的三个顶点分别为, 所以的中点坐标为，直线的斜率为， 由互相垂直的两斜率之积为，则边的垂线斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为： ， 整理得：, 故边的垂直平分线的方程为. （2）设的外接圆的方程为， 由的三个顶点分别为代入得， ，解得：， 所以的外接圆的方程为. 18．圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心， 因为圆与轴的负半轴相切，所以，半径， 又圆截轴所得弦的长为，所以，解得， 所以圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知圆的圆心，半径， 因为与圆相切，所以圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离符合题意， 当直线斜率存在时，设斜率为，则，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 此时方程为， 综上切线的方程为或. （3）因为圆上恰好有3个点到直线的距离为1， 所以直线分割圆为一段优弧和一段劣弧， 在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为1，且该点为劣弧的中点， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得或. 19．已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)4； (3)或. 【详解】（1）方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. （3）由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 20．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】(1) ； (2)或； (3). 【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； （2）设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； （3）由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 五．圆和圆的位置关系（共8小题） 21.（多选）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点 B．圆C与圆：的公切线恰有4条 C．直线l与C可能相切 D．直线l被C截得的弦长最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，直线：， 由，所以直线过定点，故A正确； 对于B，圆：， 所以圆心，半径， 圆：，圆心，半径， 因为，且， 所以圆与圆相交，两圆的公切线有两条，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆内， 所以直线与圆必相交，故C错误； 对于D：当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小. 因为， 所以最短弦长为，故D正确. 故选：AD. 22.（多选）已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】设，又，，且， ， 化简得：，， 轨迹为是为圆心，半径的圆， 对于A，到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故A正确； 对于B，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故B正确； 对于C，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故C错误； 对于D，记圆，其圆心为，半径为， 圆与有且只有两条公切线，两圆相交， 所以，即，解得，故D正确. 故选：ABD. 23.写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】 【详解】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，，（填一个方程即可） 故答案为： 24.圆和圆的公切线的条数为 . 【答案】3 【详解】因为两个圆：和：， 即，， 所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 因为，所以两圆外切，有3条公切线， 故答案为：3 25.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，① ，② ①②得. 故选：B. 26.若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（    ） A．3或6 B．1或7 C．1或9 D．4或8 【答案】C 【详解】由题意可得，半径为；，半径为4， 因为两圆只有一个公共点， 所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得； 所以r的值为1或9， 故选：C 27．若圆与圆外切，则的值是（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【详解】圆，则圆心，半径； 圆，则圆心，半径； 则，则，解得； 故选：C. $$