（温故知新）专题04 比-2024-2025学年六年级数学上册寒假学习精讲练（人教版）

2024-2025学年人教版数学六年级寒假学习精讲练讲义 专题04 比 亲爱的同学们，寒假愉快！在本学期，你们凭借不懈的努力收获了满意的成绩，这着实值得欣喜与祝贺。相信通过这一学期的磨砺，你们已对自身的学习能力有了全新的感悟，对所学知识点的掌握状况也有了更深刻的洞察。 本套精心编制的资料，旨在助力大家寒假期间的学习提升。它聚焦于知识点的系统梳理，带你们全面回顾本学期的知识脉络；针对易错点，则进行细致入微的剖析，让你们逐一攻克知识薄弱环节；配备强化练习，使你们在实战中不断强化解题能力；其解析详尽且通俗易懂，从而推动你们切实地将单元知识点融会贯通、熟练运用，为新学期的学业进步筑牢根基。 知识点01：比的认识 （1）比：两个数相除也叫两个数的比. （2）比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。比如：3：4：5读作：3比4比5 （3）比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。 例：12∶20= ＝12÷20= =0.6            12∶20读作：12比20 （4）区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。 知识点02：比的基本性质 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。 知识点03：化简比 化简之后结果还是一个比，不是一个数。 （1）用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 （2）两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。 （3）两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。 知识点04：求比值 把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。 知识点05：比和除法、分数的区别 除法：被除数除号（÷） 除数（不能为0） 商不变性质 除法是一种运算。 分数：分子分数线（—）分母（不能为0） 分数的基本性质 分数是一个数。 比：前项比号（∶） 后项（不能为0） 比的基本性质 比表示两个数的关系。 商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 知识点06：分数除法和比的应用 （1）已知单位“1”的量用乘法。 （2）未知单位“1”的量用除法。 （3）分数应用题基本数量关系（把分数看成比） 知识点07：按比例分配 把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。 按比分配问题的解决方法： ①先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后求出各部分量。 ②先求出每份是多少，再用每份量乘各部分量所占的份数，求出各部分量。 画线段图： （1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。 （2）分析数量关系。（3）找等量关系。 （4）列方程。两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。 易错点01：比的基本概念理解不透彻 比的顺序：比是表示两个数相除的关系，有严格的顺序，前项和后项不能随意调换。 比与比值的区别：比是一种关系，而比值是一个数，是比的前项除以后项所得的商。学生容易将两者混淆，在表示比的时候写成比值的形式，或者在求比值时写成比的形式。 易错点02：比的基本性质运用错误 性质理解不准确：比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。学生可能对“同时”“相同的数”“0除外”等关键条件理解不到位。 易错点03：按比例分配问题错误 总量与部分量的关系不清：在按比例分配问题中，需要先确定分配的总量和各部分量所占的比例，但学生有时会混淆总量和部分量。 比例分配计算错误：在计算各部分量时，可能会出现计算错误。 易错点04：比在实际问题中的应用错误 单位不统一：在涉及比的实际问题中，如果两个量的单位不统一，需要先统一单位再进行计算，但学生往往会忽略这一点。 错误理解题意：不能正确理解题目中比的含义和要求，导致解题错误。 一、填空题 1．三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，其中最大内角是( )度，这是一个( )角三角形。 2．甲数和乙数的比是3∶2，乙数和丙数的比是4∶5，甲数和丙数的比是( )。 3．的最简整数比是( )，比值是( )。 4．9∶12＝＝21÷（    ）＝（    ）∶80＝（    ）（填小数）。 5．把30克盐放入一杯120克的水中。这杯盐水中盐与水的质量比是（    ）∶（    ）；盐占盐水的。 6．把下面各比化成最简单的整数比。 ( )      0.34∶1.02＝( )      0.9m2∶25dm2＝( ) 7．0.24米∶80厘米的比值是( )。 8．每辆车过河交费3元，每匹马过河交费2元，每个人过河交费1元。某天过河的车和马的数量之比为2∶9，马和人的数量之比为3∶7，共收过河费900元。请根据上述信息填空。 (1)车、马、人数量之比是( )∶( )∶( )； (2)各自过河交费总数之比是( )∶( )∶( )； (3)这天过河的有( )辆车，( )匹马，( )个人。 9．时∶25分化成最简整数比是( )，250平方米∶0.1公顷的比值是( )。 二、判断题 10．大牛和小牛的头数比是3∶5，表示大牛比小牛少。( ) 11．8∶9的前项增加16，要使比值不变，后项也应增加16。( ) 12．50米赛跑，小天用15秒，小明用12秒。小天和小明跑步速度的比是5∶4。( ) 13．如果甲数比乙数多，那么甲数与乙数的比是2∶3。( ) 14．既可以看作一个数，也可以看作一个比。( ) 三、选择题 15．根据下图，下面说法正确的是（    ）。 A．梨的数量是苹果的 B．苹果的数量比梨少 C．苹果的数量与梨的数量比是5∶4 D．苹果的数量是梨和苹果总数的 16．甲、乙两条绳子的一部分被遮挡住了（如图），下面说法不正确的是（    ）。 A．甲、乙两绳的长度比是4∶5 B．甲绳比乙绳长 C．甲绳的长度是乙绳的 17．2∶5的前项加上6，要使比值不变，后项应乘（    ）。 A．3 B．4 C．6 18．男生比女生人数多，男生和女生的人数比是（    ）。 A．8∶9 B．9∶8 C．9∶10 D．10∶9 19．某小学男生人数与女生人数的比是4∶5，则男生人数与全体人数的比是（    ）。 A．5∶4 B．4∶9 C．9∶4 D．5∶9 20．公元前500年，古希腊学者发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽最佳之比为1.618，这样的长方形看起来令人赏心悦目，这个比叫作黄金分割比。下面方格中的四个长方形，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 21．如图平行四边形中，甲、乙两个三角形的面积比是2∶3，如果乙的面积是27平方厘米，那么丙的面积是（    ）平方厘米。 A．90 B．45 C．27 D．18 四、计算题 22．直接写得数。 ×＝       ÷＝        1÷0.125÷＝         求比值∶＝ 0×＝       1÷×4＝       ×÷×＝     化简比45分∶小时＝ 23．计算下列各题，能用简便方法的用简便方法。 1.6∶2.4            五、解答题 24．美术课上，聪聪用35厘米长的铁丝围成了一个三角形，这个三角形三条边长度的比是2∶2∶3，其中最长的边有多少厘米？ 25．小强在看一本《履冰踏雪冬奥会》，已看页数与未看页数之比是3∶5，如果再看10页，就正好看了整本书的，这本《履冰踏雪冬奥会》一共有多少页？ 26．学校的劳动实践基地共500平方米，学校准备用种西红柿，剩下的按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 27．为了丰富学生的学习生活，光明小学开展了“我劳动，我光荣”主题实践活动，六年级举办采摘活动，采摘果蔬196千克。其中星期一采摘这些果蔬的，星期二与星期三采摘的果蔬质量的比是3∶2，且全部采摘完。星期二采摘果蔬多少千克？ 28．服装厂生产一批校服，已经完成了总套数的。如果再生产900套，已经完成的与剩下的套数的比是5∶2。这批校服共有多少套？ 29．某小区停车场普通车位和充电桩车位的数量比是7∶3，其中普通车位有210个。充电桩车位有多少个？ 30．为了丰富学生的学习生活，武陵区某小学开展了“我劳动我光荣”为主题的实践活动，六年级参加采摘活动，采摘果蔬160kg，其中周一采摘这些果蔬的，周二与周三采摘的果蔬质量的比是3∶2，且全部采摘完。周二采摘的果蔬是多少千克？ 参考答案 1． 80 锐 分析：三角形内角和是180度，根据题意，三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，即把三角形内角和平均分成了2＋3＋4＝9份，用180度÷总份数，求出一份是多少，进而求出最大的内角度数，再进行判断，据此解答。 详解：2＋3＋4 ＝5＋4 ＝9（份） 180÷9×4 ＝20×4 ＝80（度） 80度＜90度，三角形是锐角三角形。 三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，其中最大内角是80度，这是一个锐角三角形。 2．6∶5 分析：利用比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变，将甲数和乙数的比是3∶2化成6∶4，即将甲数和乙数的比值调整为与乙数和丙数的比值中的乙数一致，从而得出甲数和丙数的比，据此解答即可。 详解：甲数∶乙数 ＝3∶2 ＝（3×2）∶（2×2） ＝6∶4 乙数∶丙数＝4∶5 所以，甲数∶丙数＝6∶5 即甲数和丙数的比是6∶5。 3． 3∶1 3 分析：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。求比值用前项÷后项，得到一个数值（比值），它可以是整数、分数、小数。化简比是根据比的基本性质化成最简整数比，结果仍然是一个比。据此解答。 详解： ＝（2.5×6）∶（×6） ＝15∶5 ＝（15÷5）∶（15÷5） ＝3∶1 3∶1 ＝3÷1 ＝3 的最简整数比是3∶1，比值是3。 4．3；28；60；0.75 分析：比与分数的关系：比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比号相当于分数线； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 分数化成小数，用分子除以分母即可。 详解：9∶12＝＝＝ ＝＝，＝21÷28 ＝＝，＝60∶80 ＝3÷4＝0.75 即9∶12＝＝21÷28＝60∶80＝0.75。 5．1∶4； 分析：（1）根据比的意义，用盐的质量比上水的质量列比并化简即可； （2）由题意可知，盐水是，根据求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。 详解： 把30克盐放入一杯120克的水中。这杯盐水中盐与水的质量比是1∶4；盐占盐水的。 6． 8∶1 1∶3 18∶5 分析：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此化简比。 详解：7.5∶ ＝（7.5×16）∶（×16） ＝120∶15 ＝（120÷15）∶（15÷15） ＝8∶1 0.34∶1.02 ＝（0.34×100）∶（1.02×100） ＝34∶102 ＝（34÷34）∶（102÷34） ＝1∶3 0.9m2∶25 ＝90∶25 ＝（90÷5）∶（25÷5） ＝18∶5 7．0.3/ 分析：比的前项除以后项即可求出比值。据此先把0.24米化成24厘米，再除以80厘米即可解答。 详解：0.24米∶80厘米 ＝24厘米∶80厘米 ＝24÷80 ＝0.3 则0.24米∶80厘米的比值是0.3。 8．(1) 2 9 21 (2) 2 6 7 (3) 40 180 420 分析：（1）根据题意可知，车的数量∶马的数量＝2∶9，马的数量∶人的数量＝3∶7，两个比中都有马的数量，但占的份数不同；利用比的基本性质，让马的数量∶人的数量中的前项和后项都乘3，这样两个比中，马的数量占的份数相同，进而得出车、马、人的数量之比。 （2）由上一题可知，车、马、人数量之比是2∶9∶21，即车、马、人的数量分别占2份、9份、21份；根据“单价×数量＝总价”，用车、马、人过河的单价乘各自的份数，分别求出车、马、人过河的总费用，再根据比的意义写出各自过河交费总数之比，并化简比。 （3）已知共收过河费900元，由上一题可知，车、马、人过河交费总数之比是2∶6∶7，即车、马、人的过河费用分别占2份、6份、7份，一共是（2＋6＋7）份；用这天收的过河总费用除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘车、马、人过河费用的份数，即可求出车、马、人的过河费用； 再根据“数量＝总价÷单价”，分别用车、马、人的过河费用除以各自的单价，求出这天过河的车、马、人的数量。 详解：（1）车的数量∶马的数量＝2∶9 马的数量∶人的数量＝3∶7＝（3×3）∶（7×3）＝9∶21 所以，车、马、人数量之比是2∶9∶21。 （2）车的费用∶马的费用∶人的费用 ＝（3×2）∶（2×9）∶（1×21） ＝6∶18∶21 ＝（6÷3）∶（18÷3）∶（21÷3） ＝2∶6∶7 所以，各自过河交费总数之比是2∶6∶7。 （3）一份数： 900÷（2＋6＋7） ＝900÷15 ＝60（元） 车的过河费用：60×2＝120（元） 马的过河费用：60×6＝360（元） 人的过河费用：60×7＝420（元） 车的数量：120÷3＝40（辆） 马的数量：360÷2＝180（匹） 人的数量：420÷1＝420（个） 所以，这天过河的有40辆车，180匹马，420个人。 9． 2∶1 /0.25 分析：先根据进率“1时＝60分”统一单位，再根据比的基本性质把比化简成最简整数比。 先根据进率“1公顷＝10000平方米”统一单位，再根据比值的意义，用比的前项除以比的后项即得比值。 详解：时∶25分 ＝（×60）分∶25分 ＝50∶25 ＝（50÷25）∶（25÷25） ＝2∶1 250平方米∶0.1公顷 ＝250平方米∶（0.1×10000）平方米 ＝250∶1000 ＝250÷10000 ＝ 填空如下： 时∶25分化成最简整数比是（2∶1），250平方米∶0.1公顷的比值是（）。 10．√ 分析：根据题意，大牛和小牛的头数比是3∶5，可以把大牛看作3份，小牛看作5份，用大牛与小牛的份数差，除以小牛的份数，即可求出大牛比小牛少几分之几。 详解：（5－3）÷5 ＝2÷5 ＝ 大牛和小牛的头数比是3∶5，表示大牛比小牛少。 原题说法正确。 故答案为：√ 11．× 分析：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，这就是比的基本性质。根据比的基本性质，前项由8变为8＋16＝24，可以看做前项乘3，所以后项也应乘3。据此解答。 详解：8＋16＝24 24÷8×9＝27 27－9＝18 8∶9的前项增加16，要使比值不变，后项也应增加18。原题说法错误。 故答案为：× 12．× 分析：将路程看作单位“1”，时间分之一可以看作速度，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出小天和小明的速度比，化简即可。 详解：∶＝（×60）∶（×60）＝4∶5 50米赛跑，小天用15秒，小明用12秒。小天和小明跑步速度的比是4∶5，原题说法错误。 故答案为：× 13．× 分析：设乙数是1，把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的（1＋），用乙数×（1＋），求出甲数，再根据比的意义，用甲数∶乙数，化简，再进行比较，即可解答。 详解：设乙数是1。 1×（1＋）∶1 ＝1×∶1 ＝∶1 ＝（×3）∶（1×3） ＝5∶3 如果甲数比乙数多，那么甲数与乙数的比是5∶3。 原题干说法错误。 故答案为：× 14．√ 分析：根据分数的意义，可以看作是一个分数；再根据比的两种写法：一是把“比”字用比号代替，即；二是两个数的比也可以写成分数形式，即，还是读作。 详解：可以看作把单位“1”平均分成4份，表示其中的3份，用分数表示是，也可以看作3∶4。即原题说法正确。 故答案为：√ 15．B 分析：梨的数量是单位“1”，苹果比梨少，苹果数量是梨的（1－）。将苹果数量看作单位“1”，梨的对应分率÷苹果对应分率＝梨的数量是苹果的几分之几；观察线段图即可确定苹果的数量比梨少几分之几；两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出苹果和梨对应分率的比，化简即可；将梨和苹果总数看作单位“1”，苹果对应分率÷梨和苹果对应分率的和＝苹果的数量是梨和苹果总数的几分之几。 详解：1－＝ A．1÷＝ 梨的数量是苹果的，选项说法错误； B．看图可知，苹果的数量比梨少，说法正确； C．∶1＝（×5）∶（1×5）＝4∶5 苹果的数量与梨的数量比是4∶5，选项说法错误； D．÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ 苹果的数量是梨和苹果总数的，选项说法错误。 说法正确的是苹果的数量比梨少。 故答案为：B 16．B 分析：假设露出来的部分都是3，分别将甲乙两条绳子长度看作单位“1”，露出来的部分÷对应分率＝绳子长度，据此分别求出两条绳子长度。 A．两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出两条绳子的长度比； B．比较两条绳子长度即可； C．将乙绳长度看作单位“1”，甲绳长度÷乙绳长度＝甲绳的长度是乙绳的几分之几。 详解：假设露出来的部分都是3。 甲绳长：3÷＝3×＝4 乙绳长：3÷＝3×＝5 A．甲、乙两绳的长度比是4∶5，说法正确； B．4＜5，甲绳比乙绳短，选项说法错误； C．4÷5＝，甲绳的长度是乙绳的，说法正确。 说法不正确的是甲绳比乙绳长。 故答案为：B 17．B 分析：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 2∶5的前项2加上6得8，相当于前项乘4，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也应乘4。 详解：比的前项相当于乘： （2＋6）÷2 ＝8÷2 ＝4 要使比值不变，后项应乘4。 故答案为：B 18．D 分析：设女生人数是9人，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生人数的（1＋），用女生人数×（1＋），求出男生人数，再根据比的意义，用男生人数∶女生人数，即可解答。 详解：设女生人数为9人。 9×（1＋） ＝9× ＝10（人） 男生人数∶女生人数＝10∶9 男生比女生人数多，男生和女生的人数比是10∶9。 故答案为：D 19．B 分析：据题意可知，男生人数有4份，女生人数有5份，则全体人数为份，即男生人数与全体人数的比是4∶，计算即可得解。 详解： 男生人数与全体人数的比是4∶9 故答案为：B 20．D 分析：由于长和宽的最佳之比为1.618，则长和宽的比值是1.618，根据比值的求法，用比的前项除以比的后项即可得到比值，即用长方形的长∶长方形的宽，求出比值，最接近1.618即可。 详解：A．长是4，宽是2，即比值是：4∶2＝4÷2＝2，2－1.618＝0.382； B．长是5，宽是3，即比值是：5∶3＝5÷3≈1.67，1.67－1.618＝0.052； C．长是6，宽是4，即比值是6∶4＝6÷4＝1.5，1.618－1.5＝0.118； D．长是8，宽是5，即比值是：8∶5＝8÷5＝1.6，1.618－1.6＝0.018； 0.018＜0.052＜0.118＜0.382 所以最近接“黄金长方形”的是第四个。 故答案为：D 21．B 分析：已知甲、乙两个三角形的面积比是2∶3，把甲、乙两个面积分别看作2份和3份；已知乙的面积是27平方厘米，用乙的面积除以3份，即可求出每份是多少，进而求出（2＋3）份，也就是甲、乙面积和，通过观察可知，丙的面积＝甲、乙面积和，据此解答。 详解：27÷3×（2＋3） ＝27÷3×5 ＝9×5 ＝45（平方厘米） 丙的面积是45平方厘米。 故答案为：B 22．；；64； 0；16；；3∶2 23．；11；11 分析：（1）用比的前项除以比的后项，结果化成最简分数； （2）（3）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律进行简算。 详解：1.6∶2.4 ＝1.6÷2.4 ＝2÷3 ＝ ＝ ＝×18－×18 ＝15－4 ＝11 ＝×17＋×8 ＝×（17＋8） ＝×25 ＝11 24．15厘米 分析：铁丝长度相当于三角形的周长，将比的各项看成份数，三角形的周长÷总份数＝一份数，一份数×最大份数＝最长边的长度，据此列式解答。 详解：35÷（2＋2＋3）×3 ＝35÷7×3 ＝15（厘米） 答：最长的边有15厘米。 25．80页 分析：以这本书的总页数为单位“1”，已看页数占这本书的，再看10页，就正好看了整本书的，再看的这10页占这本书的（－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用10÷（－）即可求出这本书的总页数。 详解：10÷（－） ＝10÷ ＝10×8 ＝80（页） 答：这本《履冰踏雪冬奥会》一共有80页。 26．180平方米；120平方米 分析：将劳动实践基地的面积看作单位“1”，劳动实践基地的面积－劳动实践基地的面积×西红柿对应分率＝种黄瓜和茄子的面积，将比的前后项看成份数，种黄瓜和茄子的面积÷总份数＝一份数，一份数分别乘黄瓜和茄子的对应份数，即可求出黄瓜和茄子的占地面积。 详解： （平方米） 300÷（3＋2） ＝300÷5 ＝60（平方米） 黄瓜：60×3＝180（平方米） 茄子：60×2＝120（平方米） 答：黄瓜和茄子的占地面积分别是180平方米、120平方米。 27．72千克 分析：将采摘总质量看作单位“1”，星期一采摘这些果蔬的，则星期二与星期三共采摘这些果蔬的（1－），采摘总质量×星期二与星期三共采摘的对应分率＝星期二与星期三共采摘的质量，将比的前后项看成份数，星期二与星期三共采摘的质量÷总份数，求出一份数，一份数×星期二采摘的对应份数＝星期二采摘的质量。 详解：196×（1－） ＝196× ＝120（千克） 120÷（3＋2）×3 ＝120÷5×3 ＝72（千克） 答：星期二采摘果蔬72千克。 28．4200套 分析：把整批校服数量看作单位“1”，根据题意，原来已完成总数的，后来又生产900套，此时已完成与未完成的套数比是5∶2，则已完成的占整批校服的。根据已知数量占整体的分率，求单位“1”，用除法计算，据此解答。 详解： （套） 答：这批校服共有4200套。 29．90个 分析：将比的前后项看成份数，普通车位个数÷对应份数＝一份数，一份数×充电桩车位对应份数＝充电桩车位个数，据此列式解答。 详解：210÷7×3＝90（个） 答：充电桩车位有90个。 30．60千克 分析：把采摘的总质量看成单位“1”，用1－，即可算出周二与周三采摘的总量占总体的几分之几，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法，即可求出算出周二与周三采摘的总质量，再根据按比分配，用周二和周三采摘的总质量除以总份数，算出每一份的质量，再乘周二采摘的份数即可。 详解： ＝160× ＝100（千克） 100÷（3＋2）×3 ＝100÷5×3 ＝20×3 ＝60（千克） 答：周二采摘的果蔬是60千克。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$