3.2.1.2双曲线标准方程的综合应用 限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

双曲线标准方程的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF1，PF2分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，且PF1·PF2＝2ab，则a与b的关系为(　　) A．a＝b B．a＝b C．a＝2b D．a＝2b 3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1(x<－1) B．x2－＝1(x>1) C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1) 4．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的标准方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 6．设F1，F2分别是双曲线－＝1的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且3PF1＝5PF2，则△PF1F2的面积等于(　　) A．14 B．7 C．5 D．15 7．(5分)经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________． 8．(5分)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若△ABF1的周长为20，则线段AB的长为________． 9．(10分)在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程． 10．(12分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？ 11．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　) A. B. C. D. 12．(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P到x轴的距离为 B．PF1＋PF2＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 13．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1＋PF2＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A．1 B. C．2 D．4 14．(5分)从双曲线x2－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝1的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT的值是__________． 15．(5分)光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线C′：－＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为______． 16．(12分)已知双曲线E的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，并且E经过点P(2,3)． (1)求双曲线E的方程；(4分) (2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程．(8分) 双曲线标准方程的综合应用 1．B　[方法一　由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)， 所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)， 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以双曲线的方程为－＝1. 方法二　设双曲线的方程为＋＝1(－25<λ<－16)， 又因为双曲线过点(－2，)， 可得＋＝1， 解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20. 所以双曲线的方程为－＝1.] 2．A　[由勾股定理可得PF＋PF＝F1F，由双曲线的定义得PF1－PF2＝2a，则(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝F1F，即4a2＋4ab＝4c2，又c2＝a2＋b2，所以a＝b.] 3．B　[PM－PN＝BM－BN＝2<6＝MN， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0))，且a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，所以点P的轨迹方程是x2－＝1(x>1)．] 4．A　[由题意得焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∵·＝0， ∴⊥，即MF1⊥MF2， ∴MF＋MF＝40. 则(MF1－MF2)2＝MF－2MF1·MF2＋MF＝40－2×2＝36. ∴|MF1－MF2|＝6＝2a，即a＝3. ∵c＝，∴b2＝c2－a2＝1. 则该双曲线的标准方程是－y2＝1.] 5．D　[对于双曲线－＝1，a＝2，b＝2，c＝4，如图所示， 设双曲线的右焦点为M， 则M(4,0)， 由双曲线的定义可得PF－PM＝4， 则PF＝4＋PM， 所以PF＋PA＝PM＋PA＋4≥AM＋4＝＋4＝9， 当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立． 因此PF＋PA的最小值为9.] 6．D　[由题意可知F1F2＝2×＝14， PF1－PF2＝2×2＝PF2⇒PF1＝10，PF2＝6， 在△PF1F2中，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝＝－， 又0<∠F1PF2<π， 所以sin∠F1PF2＝， 所以△PF1F2的面积S＝×10×6×＝15.] 7.－＝1 解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 则解得 故双曲线的标准方程为－＝1. 8．6 解析　由题意，得 a2＝4，b2＝1，c2＝4＋1＝5， 则双曲线的实轴长2a＝4，焦距2c＝2. 因为A，B都在右支上，则AF1＝AF2＋4，BF1＝BF2＋4， 所以△ABF1的周长为AB＋AF1＋BF1＝AB＋AF2＋BF2＋8＝2AB＋8＝20， 解得AB＝6. 9．解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以PN＝12，PM＝16，MN＝20. 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示． 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由PM－PN＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由MN＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求双曲线方程为－＝1(x>2)． 10．解　双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2(2,0)，又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上． 11．B　[设PF1＝d1，PF2＝d2， 则d1＋d2＝2，① |d1－d2|＝2，② ①2＋②2，得d＋d＝18. ①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝.] 12．BC　[因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误； 将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1， 即|xP|＝.不妨取P的坐标为，可知PF2＝＝.由双曲线定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝＋＝，所以选项B正确； 对于点P，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确； 由余弦定理得 因为cos∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，所以选项D错误．] 13．A　[设点P在双曲线的右支上， 则PF1－PF2＝2，已知PF1＋PF2＝2， 解得PF1＝＋，PF2＝－， PF1·PF2＝2.又F1F2＝2， 则PF＋PF＝F1F， 所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°， 于是＝PF1·PF2＝×2＝1.] 14.－1 解析　不妨将点P置于第一象限． 设F1是双曲线的右焦点， 如图，连接PF1，OT，OM.M，O分别为FP，FF1的中点， 故MO＝PF1. 又由双曲线的定义得， PF－PF1＝2a，FT＝＝b， 故MO－MT＝PF1－MF＋FT＝(PF1－PF)＋FT＝b－a＝－1. 15．2k(a－m) 解析　光线从椭圆的左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图， BF2＝2m＋BF1， BF1＋BA＋AF1＝BF2－2m＋BA＋AF1＝AF2＋AF1－2m＝2a－2m， 所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)． 16．解　(1)由已知可设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则 解得 所以双曲线E的方程为x2－＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意， 所以可设直线l的方程为y＝kx＋1，如图， 联立 得(3－k2)x2－2kx－4＝0， ①当3－k2＝0，即k＝或k＝－时，方程只有一个解， 所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 此时，直线l的方程为y＝±x＋1； ②当3－k2≠0，即k≠±时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得k＝±2， 此时，直线l的方程为y＝±2x＋1. 综上所述，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±2x＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$