专题5 三角函数（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题5 三角函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 2 【知识导图】 4 【知识清单】 5 【考点分类剖析】 12 考点一：终边相同的角 12 考点二：角度与弧度的换算及应用 13 考点三：弧长公式和扇形面积公式的应用 14 考点四：利用三角函数的定义求三角函数值 15 考点五：三角函数在各象限的符号 16 考点六：特殊角三角函数值的应用 17 考点七：同角三角函数的基本关系式 18 考点八：知切求弦的齐次式 19 考点九：三角恒等变换公式的直接应用 20 考点十：三角恒等变换公式的给值求值 22 考点十一：三角函数的周期 23 考点十二：三角函数的奇偶性 24 考点十三：比较三角函数值的大小 25 考点十四：三角函数的单调区间 27 考点十五：三角函数图象的变换 28 考点十六：三角函数的最值 29 考点十七：利用正、余弦定理解三角形 29 考点十八：三角形形状的判断 30 考点十九：由余弦定理变形求角 32 考点二十：求三角形的面积 32 【考纲要求】 （1）角的概念推广：了解正角、负角、零角和象限角的含义；了解终边相同的角的概念及判定方法。 （2）弧度制：了解1弧度的定义及弧度制；理解角度制与弧度制的互化，了解弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。 （3）任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数：理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，理解给定角的正弦、余弦、正切值的符号，掌握特殊角的三角函数值。 （4）同角三角函数的基本关系：理解同角三角函数的平方关系和商数关系。 （5）诱导公式：了解终边相同角、终边与原点对称角、终边与坐标轴对称角的正弦、余弦、正切函数的公式。 （6）正弦函数的图像和性质：了解正弦函数在0,2π上的图像和特征；了解作正弦函数在0,2π上简图的“五点法”；理解正弦函数的单调性与奇偶性，了解正弦函数的图像及周期性。 （7）余弦函数的图像和性质：了解余弦曲线与正弦曲线的关系；了解作余弦函数在0,2π上简图的“五点法”及余弦函数的性质。 （8）已知三角函数值求角：了解由特殊的三角函数值求0,2π范围内的角的方法；了解由三角函数值求符合条件的角的方法。 （9）和角公式：了解两角差的余弦公式推导过程；理解两角和与两角差的正弦、余弦和正切公式在求值、化简等方面的应用。 （10）倍角公式：理解二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式的推导过程及在求值、化简等方面的应用。 （11）正弦型函数：了解正弦型函数与正弦函数间的关系；初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”；理解正弦型函数的图像和性质。 （12）解三角形：初步掌握用正弦定理和余弦定理解三角形的方法。 （13）三角计算应用举例：掌握用三角计算解决实际问题的方法。 【考向预测】 1. 任意角的概念； 2. 终边相同的角； 3. 角度与弧度的换算及应用； 4. 弧长公式和扇形面积公式的应用； 5.同角三角函数的基本关系式的应用； 6.诱导公式的应用； 7. 三角函数的周期； 8. 三角函数的奇偶性； 9. 比较三角函数值的大小； 10. 三角函数的单调区间； 11. 三角函数图象的变换； 12.三角函数的最值； 13. 三角函数式的求值； 14. 利用正、余弦定理解三角形； 15. 判断三角形形状； 16. 由余弦定理变形求角； 17. 求三角形的面积． 【知识导图】 【知识清单】 一、任意角和弧度制 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4. 终边相同的角： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5. 弧度制： ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 6. 弧度数： 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 7. 弧度与角度的换算： （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 8. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 二、任意角的三角函数值 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·＋α(k∈Z)所在的象限． 四、两角和与差的正弦、余弦、正切公式　二倍角公式 1. 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1) (S2α)． (2) (C2α)． (3) (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. 五、三角函数的图象与性质 周期函数的定义及周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 .非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} {x|x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R　 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π， 2kπ]　，k∈Z上递 增；在 [2kπ，(2k ＋1)π]　，k∈Z上 递减 在 kπ，， k∈Z上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z) 时，ymax＝1；x＝ －＋2kπ(k∈Z)　 时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　 时，ymax＝1；x＝ π＋2kπ(k∈Z)　 时，ymin＝－1 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 最小 正周期 2π　 2π π 3.五点作图法 函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 　、 (π，0) 、 　、 (2π，0) . 函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 (0,1) 、 　、 (π，－1) 、 　、 (2π，1) . 4. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 六、正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【考点分类剖析】 考点一：终边相同的角 例1．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合终边相同的角的表示方法即可得答案. 【详解】因为，或， 所以在和之间与终边相同的角有和， 故选：A 例2．已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】利用终边相同的角之间的关系将转化为，进而判断即可. 【详解】因为， 所以是第二象限角. 故选：B. 【变式探究】1．下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的定义可得出结论. 【详解】与的终边相同的角的集合为， 又角度与弧度不能混用，故C选项合适. 故选：C. 2．是第 象限角. 【答案】四 【分析】根据象限角的定义可得出结论. 【详解】因为，故是第四象限角. 故答案为：四. 考点二：角度与弧度的换算及应用 例1．将下列各弧度换算成角度： （1） ；    （2） ； （3） ；    （4） ； （5） ；    （6） ； （7） ；    （8） ； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； [方法归纳　角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数n，则α rad＝α·()°；n°＝n·. 【变式探究】将下列各角度换算成弧度： （1）30°= ；    （2）120°= ； （3）－60°= ；    （4）－30°= ； （5）－200°= ；    （6）180°= ； （7）135°= ；    （8）－75°= ； （9）270°= ；    （10）0°= ． 【答案】 0 【分析】1°= 【详解】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)0． 考点三：弧长公式和扇形面积公式的应用 例1．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 【答案】B 【分析】根据弧长公式即可得解. 【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为， 则，解得. 故选：B. 例2．半径为2且周长为6的扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意求得弧长，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，由题意可得，即， 又由扇形面积公式，可得扇形的面积为. 故答案为： 【变式探究】1. 已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角 【答案】 【分析】根据弧长公式直接求解. 【详解】设弧长为，半径为,则cm，2cm， . 故答案为:. 2. 在半径为3的扇形中，圆心角为2rad，则扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解作答. 【详解】半径为3的扇形圆心角为2rad，则扇形弧长， 所以扇形的面积为. 故选：C 考点四：利用三角函数的定义求三角函数值 例1．已知角α的终边经过点(－，－)，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ . 【解析】　因为(－)2＋(－)2＝1，所以点(－，－)在单位圆上，由三角函数的定义知sinα＝－，cosα＝－，tanα＝. 【变式探究】1. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义可知，，可求得答案. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以. 故选：D. 考点五：三角函数在各象限的符号 例1．若，，则是第 象限角. 【答案】二 【分析】根据三角函数在各个象限的符号即可判断. 【详解】由，，可得，， 由三角函数的符号规律可知： 由，可得为第一，二象限角，或轴的非负半轴， 由可得为第二，三象限角，或轴的非正半轴， 取公共部分可得为第二象限角， 故答案为：二. 例2． （填） 【答案】 【分析】直接判定角所在象限及其正负即可. 【详解】在第二象限，, 在第四象限，, ， 故答案为：. 【变式探究】1. 若且，则在第 象限． 【答案】三 【分析】根据三角函数的符号即可求解. 【详解】由且可得在第三象限. 故答案为:三. 2．确定下列各式的符号： （填“”、“”或“”）. 【答案】 【分析】确定各角的终边所在的象限，根据三角函数值的符号与角的象限的关系可得结果. 【详解】因为为第二象限角，为第三象限角，则，， 因此，. 故答案为：. 考点六：特殊角三角函数值的应用 例1．求值：sin·tan＋cos2＋sin·tan＋cosπ·sin＋tan2＝. 【解析】　依题意，原式＝1×＋2＋(－1)×1＋(－1)×＋×2＝＋－1－＋＝. 例2．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝－4. 【解析】　原式＝1＋2＋3－10＝－4. 【变式探究】1. . 【答案】/ 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2. 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：B. 考点七：同角三角函数的基本关系式 例1．已知是第三象限的角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出． 【详解】是第三象限的角， . 故选：B. 例2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系和商数关系列式计算作答. 【详解】由，，知，，而， 于是，而，所以. 故选：C 【方法归纳】　在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 【变式探究】1．已知，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由三角函数的基本关系式，可得，所以. 故答案为：. 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角关系，结合角的范围即可求解. 【详解】由可知为第三象限的角，故, 由，又，解得， 故选：C 考点八：知切求弦的齐次式 例1．已知tanα＝－，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)2sin2α－sinαcosα＋cos2α. 【解析】　(1)＝＝＝. (2) ＝ ＝＝＝. (3)2sin2α－sinαcosα＋cos2α ＝＝＝. 【方法归纳】　所求式子是关于sinα、cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cosα的整数次幂，就把所求式子用tanα表示，因此可先由已知条件求tanα的值，再求各式的值． 【变式探究】1．已知，则（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用商数关系，由弦化切求值即可. 【详解】由题设. 故选：A 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】弦化切即可求解. 【详解】， 故选:B. 考点九：三角恒等变换公式的直接应用 例1．(1)求值：cos15°＝　 　； (2) cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝(　B　) A． B． C． D． 【解析】　(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝×＋×＝. (2) 原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝. (3) tan 105°＝tan(60°＋45°)＝ ＝＝＝＝－2－. 例2已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由二倍角的正切公式计算即可. 【详解】由二倍角的正切公式得. 故选：C. 【变式探究】1．计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结果等于( A ) A. B． C. D． [解析]　原式＝sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.故选A. 另解：原式＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.故选A. 2． . 【答案】 【分析】直接代入二倍角的正切公式即可求解. 【详解】依题意， ， 故答案为：. 3．求2sin15°cos15°的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接逆用正弦的二倍角公式求解. 【详解】 故选：D. 考点十：三角恒等变换公式的给值求值 例1．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值． [解析]　由sin α＝，α∈，得 cos α＝－＝－＝－. 又由cos β＝－，β是第三象限角，得 sin β＝－＝－＝－. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 例2．已知tan α＝3，则tan＝_－2__. [解析]　两角和的正切公式(理性思维)由已知得tan＝＝＝＝－2. 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，所以. 故选：C 【变式探究】1．已知cos α＝－，α∈，则sin等于( C ) A．－ B． C．－ D． [解析]　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－， ∴sin＝－×＋×＝－. 2.若α，β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则 α＋β＝ . 【解析】　tan(α＋β)＝＝＝1. 3．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　 　) A． B． C． D． 【解析】　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2， ∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝－1， 考点十一：三角函数的周期 例1. 下列函数中，最小正周期为4π的是(　 　) A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin D．y＝cos2x 【解析】　A项，y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos2x的最小正周期为T＝＝π，故D项不符合题意．故选C. 【方法归纳】　求三角函数周期的方法 对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．对形如y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求． 【变式探究】1.函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的周期的计算公式，即可求解. 【详解】由函数，根据最小正周期的计算公式， 可得函数的最小正周期为. 故选：B. 2．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】利用周期公式，即可得答案. 【详解】∵函数， ∴， 故选：B. 考点十二：三角函数的奇偶性 例1．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果. 【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数，B正确； 对于C，定义域为，即定义域关于原点对称，，为奇函数，C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，D错误. 故选：B. 【变式探究】1．函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇，又偶函数 【答案】A 【分析】根据奇函数、偶函数的定义直接得出结果. 【详解】由题意知，，关于原点对称， 设，则， 所以函数为奇函数. 故选：A. 考点十三：比较三角函数值的大小 例1．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简各个选项中的正切，再比较出角的大小关系，利用正切函数的单调性判断出各个选项中的正切值的大小关系，即可判断出正误． 【详解】解：已知正切函数在和上单调递增， ∵，且， ∴，故A错； ∵，， 且， ∴，故B错； ∵， ∴，故C对； ∵，， 且， ∴，故D错； 故选：C． 例2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得. 【详解】，， ，， ， . 故选：C. 【方法归纳】　三角函数值大小比较的策略 (1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－，]或[，]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内． (2)不同名的函数化为同名的函数． (3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小． 【变式探究】1．比较大小： ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性可得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 故. 故答案为：. 考点十四：三角函数的单调区间 例1．函数y=9-sin x的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】求y=9-sin x的单调递增区间即求y=sin x的单调递减区间，根据正弦函数的性质，即可得答案. 【详解】y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同，为 故答案为. 例2．函数在上的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象求单调区间即可 【详解】的递增区间就是的递增区间，由三角函数图象可得在上递减，在上递增，在上递减， 故选：B． 【变式探究】1．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的图象求即可. 【详解】因为，所以函数的增区间为. 故答案为： 考点十五：三角函数图象的变换 例1. (1)把y＝sin x的图象向右平移个单位，得 　的图象． (2)把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得 　的图象． (3)把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得 　的图象． (4) 将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为　 　. [解析] (1) y＝sin (2) y＝sin x (3) y＝sin (4) [解析]y＝cos(2x＋) 【方法归纳】三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和||，但平移方向是一致的． (2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的． 【变式探究】1．为了得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数的平移变换规则计算可得. 【详解】因为， 所以只需把函数的图象向左平移个单位长度，就可以得到函数的图象. 故选：A 考点十六：三角函数的最值 例1．函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式以及正弦型函数的最值可得解. 【详解】的最小正周期，最大值为． 故选：D. 【方法归纳】对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域． 【变式探究】1．函数的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由的值域为可得解. 【详解】 ，所以的最小值为. 故选：C 考点十七：利用正、余弦定理解三角形 例1．中，角对应的边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得, 故选:D 例2．在中，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求出角B的余弦值. 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式探究】1．在中，内角所对的边分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理直接求解即可 【详解】在中，， 则由正弦定理得，即，得． 故答案为： 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 . 【答案】 【分析】运用余弦定理即可. 【详解】根据余弦定理知. 故答案为： 考点十八：三角形形状的判断 例1．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到或，进而判断出正确选项. 【详解】由正弦定理得，即， 在中，，则， 所以或， 故，或， 故三角形为等腰或直角三角形， 故选：C. 例2. 若在，则三角形的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理角化边可得结果. 【详解】由以及余弦定理得， 化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形. 故选：B 【变式探究】1．在中，若，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到，即可得到答案. 【详解】由题知：， 则为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 2．设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得,故为锐角， 由于，因此均为锐角，故为锐角三角形， 故选：A 考点十九：由余弦定理变形求角 例1．在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求角即可. 【详解】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. 【变式探究】1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理结合特殊角的三角函数值求解. 【详解】在中，，即， 由余弦定理可得， 由于，故． 故选：A． 考点二十：求三角形的面积 例1．在△ABC中，若，，，则△ABC的面积等于 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据三角形的面积公式求得△ABC的面积. 【详解】由余弦定理得， 所以为锐角，所以， 所以△ABC的面积为. 故答案为： 【变式探究】1．已知的面积为，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】因为，则有，所以， 因为，所以或. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 三角函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 2 【知识导图】 4 【知识清单】 5 【考点分类剖析】 12 考点一：终边相同的角 12 考点二：角度与弧度的换算及应用 13 考点三：弧长公式和扇形面积公式的应用 14 考点四：利用三角函数的定义求三角函数值 15 考点五：三角函数在各象限的符号 16 考点六：特殊角三角函数值的应用 17 考点七：同角三角函数的基本关系式 18 考点八：知切求弦的齐次式 19 考点九：三角恒等变换公式的直接应用 20 考点十：三角恒等变换公式的给值求值 22 考点十一：三角函数的周期 23 考点十二：三角函数的奇偶性 24 考点十三：比较三角函数值的大小 25 考点十四：三角函数的单调区间 27 考点十五：三角函数图象的变换 28 考点十六：三角函数的最值 29 考点十七：利用正、余弦定理解三角形 29 考点十八：三角形形状的判断 30 考点十九：由余弦定理变形求角 32 考点二十：求三角形的面积 32 【考纲要求】 （1）角的概念推广：了解正角、负角、零角和象限角的含义；了解终边相同的角的概念及判定方法。 （2）弧度制：了解1弧度的定义及弧度制；理解角度制与弧度制的互化，了解弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。 （3）任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数：理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，理解给定角的正弦、余弦、正切值的符号，掌握特殊角的三角函数值。 （4）同角三角函数的基本关系：理解同角三角函数的平方关系和商数关系。 （5）诱导公式：了解终边相同角、终边与原点对称角、终边与坐标轴对称角的正弦、余弦、正切函数的公式。 （6）正弦函数的图像和性质：了解正弦函数在0,2π上的图像和特征；了解作正弦函数在0,2π上简图的“五点法”；理解正弦函数的单调性与奇偶性，了解正弦函数的图像及周期性。 （7）余弦函数的图像和性质：了解余弦曲线与正弦曲线的关系；了解作余弦函数在0,2π上简图的“五点法”及余弦函数的性质。 （8）已知三角函数值求角：了解由特殊的三角函数值求0,2π范围内的角的方法；了解由三角函数值求符合条件的角的方法。 （9）和角公式：了解两角差的余弦公式推导过程；理解两角和与两角差的正弦、余弦和正切公式在求值、化简等方面的应用。 （10）倍角公式：理解二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式的推导过程及在求值、化简等方面的应用。 （11）正弦型函数：了解正弦型函数与正弦函数间的关系；初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”；理解正弦型函数的图像和性质。 （12）解三角形：初步掌握用正弦定理和余弦定理解三角形的方法。 （13）三角计算应用举例：掌握用三角计算解决实际问题的方法。 【考向预测】 1. 任意角的概念； 2. 终边相同的角； 3. 角度与弧度的换算及应用； 4. 弧长公式和扇形面积公式的应用； 5.同角三角函数的基本关系式的应用； 6.诱导公式的应用； 7. 三角函数的周期； 8. 三角函数的奇偶性； 9. 比较三角函数值的大小； 10. 三角函数的单调区间； 11. 三角函数图象的变换； 12.三角函数的最值； 13. 三角函数式的求值； 14. 利用正、余弦定理解三角形； 15. 判断三角形形状； 16. 由余弦定理变形求角； 17. 求三角形的面积． 【知识导图】 【知识清单】 一、任意角和弧度制 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4. 终边相同的角： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5. 弧度制： ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 6. 弧度数： 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 7. 弧度与角度的换算： （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 8. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 二、任意角的三角函数值 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·＋α(k∈Z)所在的象限． 四、两角和与差的正弦、余弦、正切公式　二倍角公式 1. 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1) (S2α)． (2) (C2α)． (3) (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. 五、三角函数的图象与性质 周期函数的定义及周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 .非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} {x|x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R　 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π， 2kπ]　，k∈Z上递 增；在 [2kπ，(2k ＋1)π]　，k∈Z上 递减 在 kπ，， k∈Z上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z) 时，ymax＝1；x＝ －＋2kπ(k∈Z)　 时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　 时，ymax＝1；x＝ π＋2kπ(k∈Z)　 时，ymin＝－1 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 最小 正周期 2π　 2π π 3.五点作图法 函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 　、 (π，0) 、 　、 (2π，0) . 函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 (0,1) 、 　、 (π，－1) 、 　、 (2π，1) . 4. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 六、正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【考点分类剖析】 考点一：终边相同的角 例1．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 例2．已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式探究】1．下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．是第 象限角. 考点二：角度与弧度的换算及应用 例1．将下列各弧度换算成角度： （1） ；    （2） ； （3） ；    （4） ； （5） ；    （6） ； （7） ；    （8） ； [方法归纳　角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数n，则α rad＝α·()°；n°＝n·. 【变式探究】将下列各角度换算成弧度： （1）30°= ；    （2）120°= ； （3）－60°= ；    （4）－30°= ； （5）－200°= ；    （6）180°= ； （7）135°= ；    （8）－75°= ； （9）270°= ；    （10）0°= ． 考点三：弧长公式和扇形面积公式的应用 例1．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 例2．半径为2且周长为6的扇形的面积是 ． 【变式探究】1. 已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角 2. 在半径为3的扇形中，圆心角为2rad，则扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 考点四：利用三角函数的定义求三角函数值 例1．已知角α的终边经过点(－，－)，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ . 【变式探究】1. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 考点五：三角函数在各象限的符号 例1．若，，则是第 象限角. 例2． （填） 【变式探究】1. 若且，则在第 象限． 2．确定下列各式的符号： （填“”、“”或“”）. 考点六：特殊角三角函数值的应用 例1．求值：sin·tan＋cos2＋sin·tan＋cosπ·sin＋tan2＝ . 例2．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝ . 【变式探究】1. . 2. 的值为（    ） A． B． C． D． 考点七：同角三角函数的基本关系式 例1．已知是第三象限的角，，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】　在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 【变式探究】1．已知，则 . 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 考点八：知切求弦的齐次式 例1．已知tanα＝－，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)2sin2α－sinαcosα＋cos2α. 【解析】　(1)＝＝＝. (2) ＝ ＝＝＝. (3)2sin2α－sinαcosα＋cos2α ＝＝＝. 【方法归纳】　所求式子是关于sinα、cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cosα的整数次幂，就把所求式子用tanα表示，因此可先由已知条件求tanα的值，再求各式的值． 【变式探究】1．已知，则（    ） A．7 B． C．1 D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点九：三角恒等变换公式的直接应用 例1．(1)求值：cos15°＝　 　； (2) cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝( 　) A． B． C． D． 例2已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结果等于( ) A. B． C. D． 2． . 3．求2sin15°cos15°的值（    ） A． B． C． D． 考点十：三角恒等变换公式的给值求值 例1．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值． 例2．已知tan α＝3，则tan＝_ __. 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知cos α＝－，α∈，则sin等于( C ) A．－ B． C．－ D． 2.若α，β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则 α＋β＝ . 3．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　 　) A． B． C． D． 考点十一：三角函数的周期 例1. 下列函数中，最小正周期为4π的是(　 　) A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin D．y＝cos2x 【方法归纳】　求三角函数周期的方法 对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．对形如y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求． 【变式探究】1.函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． 考点十二：三角函数的奇偶性 例1．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇，又偶函数 考点十三：比较三角函数值的大小 例1．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】　三角函数值大小比较的策略 (1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－，]或[，]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内． (2)不同名的函数化为同名的函数． (3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小． 【变式探究】1．比较大小： ． 考点十四：三角函数的单调区间 例1．函数y=9-sin x的单调递增区间是 . 例2．函数在上的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数的单调递增区间为 . 考点十五：三角函数图象的变换 例1. (1)把y＝sin x的图象向右平移个单位，得 　的图象． (2)把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得 　的图象． (3)把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得 　的图象． (4) 将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为　 　. 【方法归纳】三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和||，但平移方向是一致的． (2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的． 【变式探究】1．为了得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点十六：三角函数的最值 例1．函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【方法归纳】对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域． 【变式探究】1．函数的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D． 考点十七：利用正、余弦定理解三角形 例1．中，角对应的边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．在中，若，，，则 ． 【变式探究】1．在中，内角所对的边分别为，若，则 ． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 . 考点十八：三角形形状的判断 例1．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形 例2. 若在，则三角形的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式探究】1．在中，若，则的形状是 ． 2．设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 考点十九：由余弦定理变形求角 例1．在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（    ） A． B． C． D． 考点二十：求三角形的面积 例1．在△ABC中，若，，，则△ABC的面积等于 ． 【变式探究】1．已知的面积为，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$