江苏省无锡江阴市2023-2024学年第九届优利信杯九年级下学期竞赛数学试卷

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市第九届优利信杯九年级(下)竞赛数 学试卷(3月份) 一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将 正确答案的英文字母写在每题后面的括号内) 1. (4分)如图,两建筑物的水平距离为a米,从A点测得D点的俯角为a,测得C点的俯角为B,则较 低建筑物的高为 A.a米 B. acota米 C. acotB米 D. a(tanB-tana)米 2.(4分)如图,矩形ABCD中,点A在双曲线y--12上,点B,C在x轴上,延长CD至点E,使 CD:DE=3:2,连接BE交y轴于点F,连接CF,则△BFC的面积为 ) 行. A.5 B.6 C.10 D.11 3.(4分)一个盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标上数字-1、1、2.随机摸出一个小球(不放回) 其数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为a,则满足关于x的多项式x②+px+a能在实数范围内 因式分解的概率是( ) C. D 4.(4分)如图,矩形ABCD中,tan/BAC=2,点E在AB上,且BE;AB=1:3,点F在BC边上运动. 以线段EF为斜边在点B的异侧作以 EGF为直角的Rt△GEF,使得乙GFE=30。,连接CG,当CG 最小时, 第1页(共27页 C D.2 5.(4分)如图,点C在半圆O上,且AC=2BC,AB是直径,CF1弦AD于点E,交AB于点F,若CE= 3. EF一5,则AE的长为( D B.22 C. 43+3V7 D. 3V3+4V7 13 6.(4分)某学校要召学生代表大会,规定各班每10人推选1名代表,当各班人数除以10的余数大于6 时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y一[冈]([x 表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) C.y_ A.= D._. B.-x3 7.(4分)二次函数y=ar2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: x 2 0 .. ,-ar2+br+c -2 -2 n ___ 且当x-1时,与其对应的函数值y>0,有下列结论: 2 ①函数图象的项点在第四象限内; ②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=/的两个根: ③m+n<-36,其中正确的结论个数是( ) C.2个 B.1个 A.0个 D.3个 8.(4分)如图,在Rt△ABC中,CD1AB于D.DELAC于E,DF1BC于F. 下列结论:①DE+AC< ③AAC3 AD+CD: ②以BC+DF、CD+BD、DF为边构成三角形是直角三角形: { 结论正确的有 _ ) 第2页(共27页) C.2个 A.0个 B.1个 D.3个 二、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 9.(4分)若 A+乙B=90*,且 tan4+tanB=3,则tanA= 10.(4分)我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”.如图,在筝形ABCD中,AB一AD,CB=CD 对角线AC、BD相交于点O,乙ABD=乙ACD=30{,AD=1. 以点C为圆心,CO长为半径画孤交 CB,CD于点E,F. 用扇形CEF围成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是 11.(4分)已知Rt△4BC的两直角边长为a、b,且满足(a2+b})--(a2+b)-6=0,则该三角形的斜 边长为 Im,x+n,y=r1 12.(4分)若关于x,y的方程组 .则关于x,y的方程组 Im2x+n2y=r2 [nx2-2m,x+n,y-r1-n1 的解是 n2x2-2m2x+n2y=r2-m2 13.(4分)已知点P(m,n)是一次函数y一x-1的图象上位于第一象限的点,其中实数m,n满足 (n+2)2-4m+n(n+2m)-8,则点P的坐标是 14.(4分)如图,曲线/是由函数y-6在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45*得到的,过点 A(-42,42).B(22.22)的直线与曲线/相交于点M、N.则△OMN的面积为 第3页(共27页 f-ax2+4ax-3(x>0) 15.(4分)函数y一 ,其中a是常数且a0,该函数的图象记为G.直线y-2a ax2+4ax-3(x<0) 与该函数图象G恰好只有两个交点,则a的取值为 16.(4分)代数式x2+4x+5*-2+1的最小值是 三、解答题(本大题共8小题,共86分,解答时应写出文字说明,推理过程或演算步骤 x+1 x2+2x+1 18.(6分)当k为何值时,分式方程x+2k5无解? x-1x(x-1)x 19.(12分)解方程: (1)x2-3xx-x2-3x+5=1: (2)lr2+4x-51-2-2x. 20.(12分)如图,在Rt△ABC中,乙BAC=90*,AC=6,AB=8.点D是BC边上一点,且满足CD BD-2:3. 若点E在AC上运动,过点D作DF1DE交AB边于点F. (1)证明:△DEF的形状不变 (2)当点E从点C向点A运动的过程中,求边EF的中点M的运动路径长 B 21.(12分)设m是不小于-1的实数,关于x的方程x-+2(m-2)x+n2-3m+3=0有两个不相等的实数 根x、x2. (1)若x2+x2-6,求n值: 第4页(共27页) {__ 2 (2)求 22.(12分)已知锐角△ABC内接于OO,AD1BC于点D,BE1AC于点E,交AD于点G,交OO于点 F, 连结AF. 连结CF,AD一BD. (1)直接写出CF与GD的数量关系; (2)如图,连结OD,OG,在BG上取点M,使得乙BDM=乙ACF,DI=22,BG=5.求△ODG的 面积. 23.(12分)数学活动课上,老师出示两个大小不一样的等腰直角△ABC和△ADE摆在一起,其中直角项 点A重合,AB=AC,AD=AE, BAC= DAE=90{* (1)用数学的眼光观察 如图1,连接BD,CE,判断BD与CE的数量关系:并说明理由 (2)用数学的思维思考. 如图2,连接BE,CD,若F是BE中点,判断AF与CD的数量关系,并说明理由; (3)用数学的语言表达 如图3,延长CA至点F,满足AF=AC,然后连接DF,BE,当AB=2.AD-1,△ADE绕A点旋转 得到D,E,F三点共线时,求线段EF的长 图2 图: 图3 12+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B. 2 (1)求抛物线的函数表达式 (2)点D为直线AC上方抛物线上一动点; 第5页(共27页) 大值: ②过点D作DFIAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于乙BAC 的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由 V y4 备用图 第6页(共27页) 2023-2024学年江苏省无锡市江阴市第九届优利信杯九年级(下)竞赛数 学试卷(3月份) 参考答案与试题解析 题号 3 2 4 I 6 答案 D C A D 1 一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将 正确答案的英文字母写在每题后面的括号内) 1.【解答】解:作DE14B于点E. 在直角△4FD中:ED=BC=a:乙ADE=a ..AE-DF·tan乙ADE=a.tang 同理AB-a·tanB. '.DC-BF=AB-AF-a.tanB-a.tang=a(tanB-tang. 故选:D. 2.【解答】解:设AD交y轴于N,交BE于M.设AB=CD=3m,则DE=2m,设DM=b,如图所示: .点A在双曲线y--12上, .(-4.3m). nm .AN-4. 第7页(共27页) ·四边形ABCD是矩形, ..DM/BC .BC=AD=,MD-D5, 3-4. 2 2 2 2 m .'NF//DE. . NFN DE DI' 34 2m b .Nr-3mb-8 #。 '$OF=ON-NF=3m: 3mb-88 b b .S△BFrC=→BC·OF=15b.8-10 2 2×25 故选:C. 3.【解答】解:画树状图得: .x2+px+a-0能在实数范围内分解因式. 'x2+px+q=0存在两个实数根. .A=b2-4ac-p-4q>0. .共有6种等可能的结果,满足关于x的方程x2+px+a=0有实数根的有(1,-1),(2,-1),(2,1) 共3种情况, 3_1 '.满足关于x的方程x2+pmx+a=0有实数根的概率是: 62 故选:A. 开始 D 4.【解答】解:如图1,取EF的中点O,连接OB,OG,作射线BG. 第8页(共27页) E 图1 .四边形ABCD是矩形, '.ABC=90}; O是FF的中点: '$OB=OE=OF$ .乙FGF=90*,O是EF的中点; '$OG=OE=OF. '$ B=OG=OE=OF$ '.B, E.G,在以O为圆心的因上 '. EBG= EFG. . EGF=90$ .EG=F$G$$$ '. GEF= GFE=45*. .. EBG-45*. '.BG平分乙ABC, '.点G在乙ABC的平分线上, 当CG1BG时,CG最小,此时,如图2, 1 图2 .BG平分乙ABC * ABG= GBC= ABC-45*. .CGIBG. ..△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形,乙BGC=90^*}; 第9页(共27页) .BG=CG. : EGF= B$GC=90{$ .$ . EGF- B[GF= B$GC- $$GF. .乙EGB=乙FGC,在△EGB和△FGC中. (BG=CG EGB= FGC, IEG=FG ..△EGB△FGC(SAS). .'.BE-CF: ·四边形ABCD是矩形. .AD=BC. 设AB=m, .BE:AB-1:3. '.CF=BE=-m. AB m .BC-2m. ..AD-2m. .CF--n-1. A 2n2 故选:D. 5.【解答】解:如图,连接AC,BC,BC交AD于L.过点C作CH1AB于H,过点F作FG1BC于G. 设OO的半径为r,BF=x,则AB-2r,AF=2r-x, .AC-2BC ..ABC-2乙BAC ..AB是直径. .乙ACB-90。. . ABC+/BAC-90*. .乙BAC=30*. ABC=60*. .BC-r,AC-3r. .CHI/AB 第10页(共27页)