1.5.2点到直线的距离第1课时学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

1.5.2　点到直线的距离 第1课时　点到直线的距离 [学习目标]　1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用． 一、点到直线的距离公式 问题　如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 知识梳理 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝______________. 例1　(1)已知直线l1：3x－y＝0，l2：4x＋y－7＝0，l3：3x－4y－6＝0，则l1，l2的交点A到l3的距离为(　　) A. B．3 C．2 D．1 (2)已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　) A．－6或1 B．－或1 C．－或 D．－6或 反思感悟　两点到直线的距离相等，可以用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 跟踪训练1　(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 二、点到直线的距离公式的简单应用 例2　求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． 反思感悟　(1)求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 跟踪训练2　已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 三、点到直线距离公式的综合应用 例3　(1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为(　　) A. B．1 C. D．2 (2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是________． 反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 跟踪训练3　(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标； (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程． 1．知识清单： (1) 点到直线的距离公式的推导过程． (2) 点到直线的距离公式d＝. (3) 公式的应用． 2．方法归纳：公式法、数形结合． 3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B. C．2 D. 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A．0 B. C．3 D．2 3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是(　　) A. B. C. D．3 4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为___________________． 1.5.2　点到直线的距离 第1课时　点到直线的距离 问题　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点Q， ∴PQ＝. 知识梳理 例1　(1)B　[联立解得即A(1,3)，所以点A到l3的距离d＝＝3.] (2)D　[方法一　依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行． ①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上． ∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6； ②由两直线平行知＝－m，解得m＝. 因此m的值为－6或. 方法二　由题意得＝. 解得m＝－6或m＝.] 跟踪训练1　BC　[选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”； 选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”； 选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”； 选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．] 例2　解　方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 方法二　显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为 y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 跟踪训练2　C　[由点到直线的距离公式得＝＝1，即|a＋1|＝. ∵a>0，∴a＝－1.] 例3　(1)A　[OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.] (2)－1 解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 跟踪训练3　解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线， 则kOP＝1， 即OP所在的直线方程为y＝x. 由解得 即点P的坐标为(2,2)． (2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2， ∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 随堂演练 1．D 2．AB　[点M到直线l的距离d＝＝3， 所以m＝0或.] 3．B　[因为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝.] 4．x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 由d＝＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上，直线l的方程为 x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$