2024-2025学年七年级上册人教版数学期末复习专题PPT课件10： 线与角的常考题型

线段与角的常见题型 专题复习 9 | 第1课时 | 七上数学期末复习 课堂要点 题型1 余角补角计算 题型2 折叠问题 题型3 重叠问题 题型4 时钟问题 常见题型 题型5 动点问题 题型6 旋转问题 提示：给学生2分钟，把自己的想法写在课棠作业本上。课后进行对比，从而得到学生变化，体现教学评一致性。 知识准备 一、几何题解题步骤 已知 题中勾 图中标 写结论 未知 二、线段计算的书写格式 线段 = 表示=代数=运算 谁 =怎么表示 =结果 =怎么计算 角 = 表示=代数=运算 三、双中点与双角平分模型 ∵ D 是线段 AC的角平分线 ∴ DE = AB E 是线段 CB 的角平分线 类比 ∴ ∠DOE = ∠AOB 类比 ∵ OD是∠AOC角平分线， OE是∠BOC角平分线 题型1 余角补角计算 例1 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30º，求∠α，∠β 解：设∠α＝xº，则∠β＝180º－xº． 根据题意 ∠β＝2(∠α－30º)， 得 180－ x＝2(x －30)， 解得 x＝80． 所以 ，∠α＝80º，∠β＝100º． 针对练习 1.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，求这个角的度数. 解:设这个角为x°,则它的余角为(90一x)°,补角为(180-x)°由题意，得 (180-x)-(90-x)=40, 解得x=80. 答:这个角的度数为80° 题型2 折叠问题 准备 如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在点D',C'的位置，若∠DEF=75°,则∠AED'=______ 30°. 例2 已知长方形纸片ABCD, 点E 在边AB 上，点F,G 在边CD 上，连接EF,EG. 将∠BEG 对 折，点B 落在直线EG 上的点B'处，得折痕EM; 将∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上的点 A'处，得折痕EN. (1)如图1,若点F 与点G 重合，求∠MEN 的度数； (2)如图2,若点G 在点F 的右侧，且∠FEG=30°,求∠MEN 的度数； (3)若∠MEN=α, 请直接用含α的式子表示∠FEG 的大小. 图 1 图 2 针对练习 2. 如图，已知点 O 是直线 AB 上一点， OD 是∠ AOC 的平分线，OE 是∠ BOC 的平分线，则∠ DOE 的度数为（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 105° B 3.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， BD ， BE 为折痕.若∠ ABE ＝20°，则∠ DBC 的度数为________ ⁠°. 70　 4.如图,已知长方形纸片ABCD,M为边AD上的一点,将纸片沿BM,CM折叠使点A落在A1处,点D落在D1处,如果∠A1MD1=α,那么∠BMC的度数为 ( ) A.3α B.90°+ C.90°- D.90°+α B 题型3 重叠问题 例3 将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD = 25°，则∠BOC 的大小为 ( ) A. 165° B. 155° C. 145° D. 160° A B O C D B 分析：∠BOC = ∠AOC +∠BOA = ∠DOC -∠AOD +∠BOA 针对练习 5. 如图，已知三角形 ABC ，∠ ACB ＝90°，将三角形 ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到三角形 DEC . 若∠ ACE ＝120°，则∠ BCE ＝________ °.　 30　 6. 将一个长方形纸片沿折痕 AO、DO 折叠，使其有一部分重合 (如图)，点 B 对应点 B′，点 C 对应点 C′，若∠C′OB′ = 20°，则∠AOD = . 分析：两角之和 - 重叠部分 = 大角 α β ∠BOB′ +∠COC′ - ∠B′OC′ =∠BOC 2α + 2β - 20° = 180° α + β = 100° ∠AOD = α + β - 20° = 80° 80° 题型4 时钟问题 每过1小时，时针会经过______°，分针会经过______°. 时针速度是______°/时，分针会经过______°/时. 时针速度是______°/分，分针会经过______°/分. 思考：3 时的时针与分针的夹角是 °. 每一大格：360°÷12 = 30° 90 30 360 30 360 30÷60 = 0.5°/分 360÷60 = 6°/分 0.5 6 例4 (1) 3 点 45 分，时针与分针的夹角是多少？ (2) 在 9 点与 10 点之间，何时时针与分针成 100° 的角？ 解：(1) 3 点过了45 分后，时针经过 45×0.5 = 22.5°， 分针经过 6×45 = 270°. 3 点 45 分，时针与分针的夹角是 270° - 22.5° - 90° = 157.5° (2) 设 9 时 x 分时时针与分针成 100° 的角，由题意，得 90 + 6x - 0.5x = 100， 答：9 时 分时时针与分针成 100° 的角. 时针速度： 分针速度： 夹角度数=|(分钟速度-时针速度)×时间±初始度数| X 时 Y 分可看做 X 时再经过 Y 分 30°/时 0.5°/分 360°/时 6°/分 方法总结 针对练习 7.当时钟指向下午 2 : 40 时，时针与分针的夹角是 ________度. 8. 在 3 点 20 分时，时钟的分针与时针的夹角为 ________度，过多少分钟后它们的夹角为 130°？ 160 20 (2) 设 过 x 分钟后它们的夹角为 130° ，由题意，得 (6 - 0.5)x + 20 = 130， 解得 x = 20. 答：过 20 分钟后它们的夹角为 130°. 题型5 动点问题 例5 如图，P 是线段 AB 上任一点，AB = 12 cm，AP = 8 cm，C、D 两点分别从 P、B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速度为 2 cm/s，D 点的运动速度为 3 cm/s，运动的时间为 t s. (1) 运动 1 秒后，求 CD 的长； (2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD； (3) 何时 CD = 2 cm？ A B P D C 例5 如图，P 是线段 AB 上任一点，AB = 12 cm，AP = 8 cm，C、D 两点分别从 P、B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速度为 2 cm/s，D 点的运动速度为 3 cm/s，运动的时间为 t s. (1) 运动 1 秒后，求 CD 的长 A B P D C 解：因为 AB = 12 cm，AP = 8 cm， 所以 CD = 4 - (3 - 2)×1 = 4 - 1 = 3 cm. 所以 PB = AB - AP = 12 - 8 = 4 cm， (2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD； A B P D C 方法一： 解：由题意，得 CP = 2t，BD = 3t. 因为 AB = 12 cm，AP = 8 cm， 所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t， 所以 AC = 2CD . 方法二：以 A 为原点向右为正方向 1 cm为单位长构造数轴，由题意，得 A：0，P：8，B：12， C：8 - 2t，D：12 - 3t. (2) 当 D 在线段 PB 运动上时，试说明 AC = 2CD； A B P D C 所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t， 所以 AC = 2CD . 0 12 (3) 何时 CD = 2 cm？ A B P D C 方法一：解：CD = |12 - 3t - (8 - 2t) | = |4 - t|， 所以 |4 - t| = 2， 解得 t = 2 或 t = 6. 答：运动 2 s 或 6 s 时，CD = 2 cm. 方法二：两点相遇前：(3 - 2)t + (12 - 8) = 2，解得 t = 2. 两点相遇后：(3 - 2)t - (12 - 8) = 2，解得 t = 6. 方法： ①几何法 ②数轴法：用未知数表示线段 ③代数法：看做追及或相遇问题 起始位置±vt (左减右加) 针对练习 如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）. （1）数轴上点B对应的数是______； （2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？ 30 解：（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相 等，此时点M对应的数为3x-10，点N对应的数为2x． ①点M、点N在点O两侧， 10-3x=2x x=2 ②点M、点N重合 3x-10=2x x=10. 综述所述：经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 题型6 旋转问题 例6 在直线AB上，∠AOC=50°，将三角板MON按顺时针方向转动，使得∠COM= ∠BON,请算出∠AOM的度数。 解：设∠COM=x，则∠BON=3x ①当OM在∠AOM的内部时 ∵∠MON=90° ∴∠NOC=∠MON-∠COM=90°-x ∵∠AOC+∠NOC+∠BON=180°，∠AOC=50° ∴50°+90°-x+3x=180° ∴x=20° x 3x ②当OM在∠BON的内部时 ∵∠AOC=50°，∠MON=90° 又∵∠AOC+∠MOC+∠MON+∠BON=180° ∴50°+x+90°+3x=180° ∴x=10° X 3X 课堂练习 1. 如图， AB ＝2， AC ＝6，延长 BC 到点 D ，使 BD ＝4BC ，求 AD 的长. 解：因为 AB ＝2， AC ＝6， 所以 BC ＝ AC － AB ＝4. 因为 BD ＝4 BC ，所以 BD ＝16. 所以 AD ＝ AB ＋ BD ＝18. 2.如图,C,D为线段AB上两点,AC+BD=a,若AD+BC=AB,用含a代数式表示CD的长为 ( ) A.a　　　B.a　　　C.a　　　D.a B 解：因为 M ， N 分别是 AC ， BC 的中点， AC ＝8 cm， CB ＝6 cm， 所以 MC ＝ AC ＝4 cm， CN ＝ BC ＝3 cm. 所以 MN ＝7 cm. 2.点 C 在线段 AB 上， AC ＝8 cm， CB ＝6 cm，点 M ， N 分别是 AC ， BC 的中点. (1)求线段 MN 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC ＋ CB ＝ a cm，其他条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明理由.你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 解：MN 的长度为 a cm. 理由：由(1)可得 MN ＝ ( AC ＋ CB )＝ a cm.线段上任一点分线段两段的中点的距离等于线段长的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC － BC ＝ bcm， M ， N 分别为 AC ， BC 的中点，你能猜想 MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由. 解：图略. MN ＝ b cm. 理由：同理可得 MN ＝ AC － BC ＝ ( AC － BC )＝ b cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，点 O 为原点，点 A 表示的数为 -3，点 B 表示的数为 1. (1) 若点 P 在数轴上，且 PA + PB = 6，则点 P 表示的数为 ； (2) 若点 M 在数轴上，且 MA∶MB = 1∶3，求点 M 表示的数为 ； P1 P2 -4 或 2 M1 M2 3 或 0 A O B -3 1 0 5. 如图，已知射线 OC 在∠ AOE 内部， OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE 的平分线. （1）若∠ AOB ＝22°，∠ DOE ＝54°，则∠ BOD ＝________ °； 76　 （1）解:因为 OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE 的平分线， 所以∠ BOC ＝∠ AOB ＝22°，∠ COD ＝∠ DOE ＝54°. 所以∠ BOD ＝∠ BOC ＋∠ COD ＝22°＋54°＝76°. 故答案为 76. （2）若∠ AOE ＝α，则∠ BOD ＝ （用含α的代数式表 示）； α　 （2）解析:因为 OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE 的平分线， 所以∠ BOC ＝ ∠ AOC ，∠ COD ＝ ∠ COE . 所以∠BOD ＝∠ BOC ＋∠ COD ＝ （∠ AOC ＋∠ COE ） ＝ ∠ AOE ＝ α. 故答案为 α. （3）若∠ AOE ＝150°，∠ COD ＝2∠ BOC ，求∠ AOB 的度数. （3）解：由（2）知，∠ BOD ＝ ∠ AOE . 因为∠ AOE ＝150°，所以∠ BOD ＝75°， 即∠ BOC ＋∠ COD ＝75°. 因为∠ COD ＝2∠ BOC ，所以∠ BOC ＝25°. 因为∠ AOB ＝∠ BOC ，所以∠ AOB ＝∠ BOC ＝25°. $$