专题04 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2025年高二寒假数学学与练（人教A版2019）

04分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、阅读教材，归纳知识： 1．分类加法计数原理：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 分类加法计数原理的特点：分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成这件事. 分类的原则：分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理：如果完成一件事需要分成个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 分步乘法计数原理的特点：分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事. 分步的原则：①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 自检自纠：1． 2． 二、概念辨析，判断正误 1.判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( ) （2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( ) （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( ) （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( ) 2.判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数　 　． （1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 三、考点剖析，学以致用 考点1：分类加法计数原理的应用 例1.（1）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． （2）从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（    ） A．18 B．20 C．26 D．1080 （3）自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字1的自然数的个数为 ． （4）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通,今发现之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ） A．9种 B．11种 C．13种 D．15种 （5）现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种． 跟综训练： 1．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（    ） A．125种 B．135种 C．155种 D．375种 2．解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．21种 C．24种 D．36种 3．甲、乙两位同学手中分别拿着一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体，和标有数字3，4，5，6的正四面体，若两同学同时把几何体抛向桌面，则正六面体向上的数字与正四面体贴近桌面的面上的数字之和大于5，且数字之积小于30的情况有 种． 考点2：分步乘法计数原理的应用 例2. （1）一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法（       ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 （2）如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 （3）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 （4）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．114种 C．210种 D．216种 （5）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 （6）如图所示的是某城市中M，N两地间整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则某人从M地经过A地到N地有 种不同的走法． （7）用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 跟综训练： 1.若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 2．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上（每级台阶足够长，可站多人），同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A． B． C． D． 3．某学校运动会闭幕式原定表演4个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了２个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（    ） A．16 B．30 C．32 D．64 4．春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（    ） A．32 B．57 C．64 D．65 5.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 6．核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（    ） A． B． C． D． 7.如图，从左到右有5个空格.若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有 不同的涂法. 考点3：两个计数原理的综合应用 例3. （1）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 （2）若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（　　） A．16种 B．18种 C．37种 D．40种 （3）在3000和7000间有 个没有重复数字的5的倍数． （4）用6种不同的颜色给如图所示地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 （5）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 跟综训练： 1.高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（    ） A．12 B．15 C．20 D．21 2．已知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（    ） A． B． C． D． 3.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 4．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 5.如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 6.如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（    ）   A．种 B．种 C．种 D．种 四、课后练习，巩固提升 1．甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（   ） A．6种 B．12种 C．3种 D．9种 2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（    ） A．18 B．36 C．72 D．48 3．踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（   ） A．6种 B．8种 C．2种 D．4种 4. 2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 5．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．34种 B．43种 C．3×2×1种 D．4×3×2种 6．有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（    ） A． B． C． D． 7．某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 8．用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，共有 种不同的涂色方法. 9．（多选）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10．（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 11．（多选）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 12．（多选）已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（    ） A．组成可以有重复数字的四位数有个 B．组成无重复数字的四位数有96个 C．组成无重复数字的四位偶数有66个 D．组成无重复数字的四位奇数有28个 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、阅读教材，归纳知识： 1．分类加法计数原理：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 分类加法计数原理的特点：分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成这件事. 分类的原则：分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理：如果完成一件事需要分成个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 分步乘法计数原理的特点：分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事. 分步的原则：①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 自检自纠：1． 2． 二、概念辨析，判断正误 1.判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( ) （2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( ) （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( ) （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( ) 【答案】（1）错误（2）错误（3）正确（4）正确. 【详解】（1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分步问题，（1）错误. （2）分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，（2）错误. （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题，（3）正确. （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题，（4）正确 故答案为：（1）错误（2）错误（3）正确（4）正确. 2.判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数　 　． （1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 【答案】（1）（3）． 【详解】分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法． （1）完成从书架上任取一本书，每取一本，都能完成这件事，故运用分类计数原理计数； （2）从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，完成这件事需要3步，故运用分步计数原理计数； （3）完成地到乙地，有3类办法，每一类中办法都能完成这件事，故运用分类计数原理计数． 故答案为：（1）（3）． 三、考点剖析，学以致用 考点1：分类加法计数原理的应用 例1.（1）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分类加法计数原理得：.故选：A. （2）从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（    ） A．18 B．20 C．26 D．1080 【答案】C 【详解】由题意，从甲地到乙地，一天中这些交通工具的每一班都能到达，根据分类加法原理知共有5+12+3+6=26种不同走法.故选：C. （3）自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字1的自然数的个数为 ． 【答案】19 【详解】一位数中含有数字1的有1个；两位数中十位为1的有10个，十位不为1，个位数字为1的自然数有8个，故共有个．故答案为：19. （4）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通,今发现之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ） A．9种 B．11种 C．13种 D．15种 【答案】C 【详解】若之间电路不通，按焊接点脱落的个数分成4类： 脱落1个，有1，4，共2种； 脱落2个，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种； 脱落3个，有（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），共4种； 脱落4个，有（1，2，3，4），共1种， 由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种．故选：C. （5）现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种． 【答案】9 【详解】为了方便将编号为1，2，3，4的四个座位依次记为，则 编号为1的人落座的情况有3种，即． 编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种； 编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种； 编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种． 综上共有种情况，故答案为：9 跟综训练： 1．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（    ） A．125种 B．135种 C．155种 D．375种 【答案】A 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有42+45+38=125种．故选：A 2．解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．21种 C．24种 D．36种 【答案】A 【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）．故选：A． 3．甲、乙两位同学手中分别拿着一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体，和标有数字3，4，5，6的正四面体，若两同学同时把几何体抛向桌面，则正六面体向上的数字与正四面体贴近桌面的面上的数字之和大于5，且数字之积小于30的情况有 种． 【答案】18 【详解】可从正四面体角度分类：若正四面体贴近桌面的面上数字为3时，为满足条件，正六面体向上的数字可取3，4，5，6共4种情况；若正四面体贴近桌面的面上数字为4时，为满足条件，正六面体向上的数字可取2，3，4，5，6共5种情况；若正四面体贴近桌面的面上数字为5时，为满足条件，正六面体向上的数字可取1，2，3，4，5共5种情况；若正四面体贴近桌面的面上数字为6时，为满足条件，正六面体向上的数字可取1，2，3，4共4种情况；由分类加法计数原理可得，满足条件的情况数有．故答案为：18. 考点2：分步乘法计数原理的应用 例2. （1）一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法（       ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【详解】由乘法原理得共有不同走法.故选：C. （2）如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【详解】根据分步计数原理，一条电路从A处到B处接通，处并联电路开关闭合一个，有2种方法，处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，共有种方法.故选：B （3）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】甲、乙、丙、丁4位同学每人都有种不同的选法，根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有种．故选：C． （4）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．114种 C．210种 D．216种 【答案】C 【详解】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，选法有种，其中这3名学生所选活动课程全相同的选法有6种，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种．故选C （5）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D （6）如图所示的是某城市中M，N两地间整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则某人从M地经过A地到N地有 种不同的走法． 【答案】18 【详解】从M地经过A地到N地分两步．第1步，从M到A，有3种走法；第2步，从A到N，有6种走法．根据分步乘法计数原理可得从M地经过A地到N地共有3×6＝18(种)不同的走法．故答案为:18. （7）用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 【答案】C 【详解】从左到右依次涂色，第一个图形可以涂3种颜色，第二、三、四、五个图形可以涂2种颜色， 共有种不同的涂色方案.故选：C. 跟综训练： 1.若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】C 【详解】由题意每人都有4种选法，由分步乘法原理可得不同的报名方式有种，故选C. 2．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上（每级台阶足够长，可站多人），同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，甲、乙、丙人每人都有种选法，由分步乘法计数原理可知，不同的站法种数是种.故选：C. 3．某学校运动会闭幕式原定表演4个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了２个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（    ） A．16 B．30 C．32 D．64 【答案】B 【详解】设临时增加的两个节目为、，先加入，因为原来的4个节目顺序不变，且这4个节目出现5个空，所以节目有5种加入方式；再加入节目，同理，节目有6种加入方式.由分步乘法记数原理，不同的排法种数有：种.故选：B 4．春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（    ） A．32 B．57 C．64 D．65 【答案】D 【详解】四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种.四人只看其中两部电影《热辣滚烫》和《飞驰人生2》，每人只看一部电影，则不同的选择共有种.则这四名同学不同的观影情况种数为，故选：D. 5.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 【答案】C 【详解】按题意，5上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5下方和右边只能从6，7，8，9中选取．第一步填上方空格，有4种方法；第二步填左方空格，有3种方法；第三步填下方空格，有4种方法；第四步填右方空格，有3种方法.由分步计数原理得填法总数为.故选C. 6．核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．故选：B 7.如图，从左到右有5个空格.若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有 不同的涂法. 【解析】根据乘法原理得到：共有种涂法. 考点3：两个计数原理的综合应用 例3. （1）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【详解】依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；第二类：选择连衣裙，共有中选择；所以共有种选择.故选：D （2）若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（　　） A．16种 B．18种 C．37种 D．40种 【答案】C 【详解】法1（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江，有(种) 选择方法；三个人中有两个人去丽江，有(种) 选择方法；三个人都去丽江，有种选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法. 法2（排除法）：三个人去四个景点，有(种) 选择方法；没有人去丽江，有(种) 选择方法； 综上，共有(种)不同的选择方法.  故选：C （3）在3000和7000间有 个没有重复数字的5的倍数． 【答案】392 【详解】满足5的倍数的个位为0或5， 当个位是0时，千位有4种情况，共有种， 当个位是5时，千位有3种情况，共有种， 故共有个满足题意的数，故答案为：392 （4）用6种不同的颜色给如图所示地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【详解】将区域标号，如下图所示：   因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法.故选：C. （5）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 【答案】D 【详解】按顶点处标注的数字分类，有如下几种情况： 若处都标注的是4，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是3，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是2，则处的标注方法有1种； 若处标注的是4和3，则处的标注方法有（种），不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是4和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是3和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）. 由分类加法计数原理可知，顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法共有（种）.故选:D. 跟综训练： 1.高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（    ） A．12 B．15 C．20 D．21 【答案】B 【详解】依题意，选中高二1班的同学有种方法，高二1班的同学没选中有，所以2人来自不同班的选法种数为.故选：B. 2．已知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】随机试验位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间中包含个样本点，事件周六、周日都有同学参加公益活动包含个样本点，所以事件周六、周日都有同学参加公益活动的概率.故选：. 3.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 【答案】D 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： ②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： 则共有种选法.故选：D. 4．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 【答案】B 【详解】将“田”字型的4个小方格分别编号为，如下图所示： 根据题意，将问题分成4步进行， 第一步：涂方格A，共有5种颜色选择， 第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择， 第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择； 第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择. 因此可得不同的涂色方法共有种.故选：B 5.如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】D 【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法.故选：D. 6.如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（    ）   A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】①水闸关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， ②若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， ③若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， 上面②③两种情况有重复的1种情况，就是水闸打开，同时关闭的情况， 故共有种情况.故选：B. 四、课后练习，巩固提升 1．甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（   ） A．6种 B．12种 C．3种 D．9种 【答案】A 【详解】甲､乙两人从3门课程中各选修1门，由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）.故选：A. 2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（    ） A．18 B．36 C．72 D．48 【答案】B 【详解】解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类， 在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个． 解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类， 在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个． 解法三 ：所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有个．在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是.故选：B. 3．踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（   ） A．6种 B．8种 C．2种 D．4种 【答案】C 【详解】经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，所以经过3次传到甲共有2种传递方式.故选：C. 4. 2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】C 【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有种.故选：C． 5．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．34种 B．43种 C．3×2×1种 D．4×3×2种 【答案】A 【详解】每名学生都有3种不同的报名方法，而且只有这4名学生全部报名结束，才算事件完成．所以共有3×3×3×3＝34(种). 6．有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，5名同学可分5步完成，任何一个同学有3种选择方法，故他们不同的选法数为：，故选：D. 7．某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 【答案】A 【详解】用表示编号的面试者回答的试题为，其中，所以的全部可能情况有：， 所以共有9种，故选：A. 8．用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，共有 种不同的涂色方法. 【答案】480 【详解】方法一:分类计数， 第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法， 第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，共有120＋360＝480(种)涂法． 方法二:分步计数，先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法， 所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法． 9．（多选）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【详解】A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 10．（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】ABC 【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确； 选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）.判断错误. 故选：ABC 11．（多选）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 【答案】BC 【详解】对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步， 先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误； 对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确； 对于C，选1人参加数学竞赛，既可选男生，也可选女生，则共有种不同的选法，故C正确； 对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误． 故选：BC． 12．（多选）已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（    ） A．组成可以有重复数字的四位数有个 B．组成无重复数字的四位数有96个 C．组成无重复数字的四位偶数有66个 D．组成无重复数字的四位奇数有28个 【答案】AB 【详解】对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确； 对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确； 对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误； 对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误； 故选：AB. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$