1.5.4对称问题 限时训练- 2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

对称问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 【基础巩固】 1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 2．点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0 4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　) A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0 C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0 5．已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为(　　) A. B. C．(－1,2) D．(－1,1) 6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 7．(5分)已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB取最小值，则点M的坐标为________． 8．(5分)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________． 9．(10分)已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 10．(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；(6分) (2)在直线l上求一点P，使PB－PA最大．(6分) 【综合运用】 11．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则AC＋BC的最小值为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 14.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于(　　) A. B. C．4 D. 【创新拓展】 15．(5分)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为______________． 16．(13分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数；(9分) (2)求直线BC的方程．(4分) 对称问题 1．D　[根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.] 2．C　[设点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(x，y)， 则解得 故点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－6，－3)．] 3．C　[∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， ∴＝， 化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8， ∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.] 4．A 5．A　[点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)， 由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min， 此时，直线AB1的方程为 y＝(x＋3)， 令x＝－1，得y＝，故选A.] 6．C　[点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)， 则光线从A到B的路程即A′B的长， A′B＝＝5. 即光线从A到B的路程为5.] 7．(1,0) 解析　如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M，连接AM. 因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为＝，即2x－y－2＝0. 令y＝0，得x＝1， 所以点M的坐标为(1,0)． 8．6x－y－6＝0 解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)， 则反射光线所在直线过点M′， 由 解得即点M′(1,0)． 又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝， 即6x－y－6＝0. 9．解　由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)．由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P. 令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小． 10．解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则解得 故A′(－2,8)． 因为P为直线l上的一点， 则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B， 当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则PB－PA≤AB， 当且仅当A，B，P三点共线时，PB－PA取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则 得故所求的点P的坐标为(12,10)． 11．B　[设A(a，b)，则 解得所以A(－1,1)． 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝AB时取得最大值， 此时直线l2垂直于直线AB， 又－＝－＝， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.] 12．C　[设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)， 则解得B′(2，－1)． 由平面几何知识得AC＋BC的最小值即是B′A＝＝2.] 13．B　[∵f(x)＝＋ ＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和， 设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值， 利用对称思想可知MA＋MB≥A′B＝＝5， 即f(x)＝＋的最小值为5.] 14．A　[以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)， 所以直线BC的方程为x＋y－4＝0. 设P(t,0)(0<t<4)，点P关于直线BC的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2， 易得P1(4,4－t)，P2(－t,0)． 易知直线P1P2就是光线QR所在的直线． 所以直线QR的方程为 y＝(x＋t)． 设△ABC的重心为G，则G， 所以＝， 即3t2－4t＝0，所以t＝0(舍去)或t＝， 所以P1，P2. 结合对称关系可知QP＝QP1，RP＝RP2， 所以△PQR的周长即线段P1P2的长度，为 ＝.] 15. 解析　由题可知A，B在直线x＋y－3＝0的同侧， 设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)， 则 解得 即B′(1，－3)． 要使“将军饮马”的总路程最短， 则将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB′，又A(2,4)， 所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0， 设将军在河边饮马的地点为H， 则H为直线7x－y－10＝0与直线x＋y－3＝0的交点， 联立解得 所以H. 16．解　(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)． 根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m)． 由得x＝. 又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以＝， 即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个． (2)由(1)得m＝， 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$