1.3 三角函数的计算-（讲解课件）【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

1.3 三角函数的计算 第一章 直角三角形的边角关系 九年级下册数学（北师版） 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 三角 函数 复习回顾 问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 ∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到 0.01 m ） 情景导入 问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α = 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到 0.01 m) 在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°， BC = ABsin∠α = 200sin16° 你知道 sin16° 是多少吗？ 用计算器求三角函数值 1 sin sin-1 D cos cos-1 E tan tan-1 F 用科学计算器求锐角的三角函数值，要用到以下按键： 探究新知 例如，求 sin16° 的按键顺序： sin sin1 sin16 0.275 637 355 8 求 cos72°38′25″ 的按键顺序： cos cos7 cos72 cos72° cos72°3 cos72°38 cos72°38′ cos72°38′2 cos72°38′25 cos72°38′25″ 0.298 369 906 7 求 tan85° 的按键顺序： tan tan8 tan85 11.430 052 3 按键顺序 显示结果 sin16° cos72°38′25″ tan85° 0.275 637 355 8 0.298 369 906 7 11.430 052 3 计算器的型号与功能可能不同，请按相应的说明书使用. 归纳总结 例1：用计算器求下列各式的值(精确到 0.0001 )： (1) sin47°；　　　 (2) sin12°30′； (3) cos25°18′；　　(4) sin18°＋cos55°－tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1) sin47°≈0.7314； (2) sin12°30′≈0.2164； (3) cos25°18′≈0.9041； (4) sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 典例精析 回顾导入 BC = 200sin16° 当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了200 m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面的夹角为∠β = 42 °， 由此你还能计算什么? ≈55.12（米） 议一议 在 Rt△BDE 中，∠BED = 90°， DE = BDsin∠β = 200sin42° DE≈133.82（米） E 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？ 在 Rt△ABC 中，sin∠A = . 那么 ∠A 是多少度呢？ 利用计算器由三角函数值求角度 2 已知三角函数值求角度，要用到 键的第二功能“sin-¹，cos-¹，tan-¹ ”和 键。 例如，已知 sinA = 0.9816， 求∠A 的度数的按键顺序. sin-1 sin-10 sin-10. sin-10.9 sin-10.98 sin-10.981 sin-10.9816 78.991 840 39 已知 cosB = 0.8607， 求∠B 的度数的按键顺序. cos-1 cos-10 cos-10. cos-10.8 cos-10.86 cos-10.860 cos-10.8607 30.604 730 07 已知 tanC = 56.78， 求∠C 的度数的按键顺序. tan-1 tan-15 tan-156 tan-156. tan-156.7 tan-156.78 88.991 020 49 按键顺序 显示结果 sinA=0.9816 cosB=0.8607 tanC=56.78 78.991 840 39 30.604 730 07 88.991 020 49 以“度”为单位 再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果. 归纳总结 你能求出∠A 的度数了吗? 如图，在Rt△ABC中，sinA= ∴∠A ≈14.4775°. cos55°= cos70°= cos74°28 '= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 0.3420 0.3420 0.5736 0.5736 0.2678 0.2678 角度增大 正弦值增大 余弦值减小 比一比，你能得出什么结论？ 拓展探究 tan3°8 ' = tan80°25'43″= 5.930 0.0547 正切值增大 角度增大 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 归纳总结 三角函数的计算 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器探索锐角三角函数的新知 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 当堂小结 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： (1) sinA=0.627 5，sinB＝0.6175； (2) cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9； (3) tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6. ∠B ≈ 38°8′2″ ∠A ≈ 38°51′57″ ∠A ≈ 51°18′11″ ∠B ≈ 80°27′2″ ∠A ≈ 78°19′58″ ∠B ≈ 41°23′58″ 课堂练习 2. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( 　) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又 cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴ sin70°＞sin20°＝cos70°.故选 D. 【方法总结】 当角度在 0° < ∠A < 90° 间变化时， 0 < sinA < 1，1 > cosA > 0. 当角度在 45° ＜ ∠A ＜ 90° 间变化时，tanA ＞1. D 3. 如图所示，电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离 AC； (2)求大楼的高度 CD (精确到 1 米)． (2) DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ ， ∴BE＝DE·tan39°. ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39° ≈116 (米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米． 解析 (1) 利用 △ABC 是等腰直角三角形易得 AC 的长； (2) 在 Rt△BDE 中，运用直角三角形的边角关系 即可求出 BE 的长，用 AB 的长减去 BE 的长度即可． 解： (1) 由题意得 ∠ACB ＝ 45°，∠A ＝ 90°， ∴ △ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝ 610 (米)． ∵CD ＝ AE， $$