专题9 垂直与平行考点汇编（五大考点＋画图操作题）-2024-2025学年四年级数学上学期期末复习题型汇总(苏教版）

专项练习九 垂直与平行考点汇编 【知识点概括】 知识点1：认识射线、直线和角 1、线段、射线和直线的区别 名称 端点个数 延伸情况 长度 线段 两个 不能向两端延伸 可以测量 射线 一个 只能向一端无限延伸 无法测量 直线 无 可以向两端无限延伸 无法测量 2、距离：连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。两点之间线段最短。 3、角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。角的大小和角的两边张开的大小有关。角通常用符号“∠”来表示，上图的角记作∠1，读作角一。 知识点2：角的度量 1、认识量角器 （1）测量角的大小的工具是量角器，量角器的中心有一个点叫做中心点。量角器上180°的刻度线与90°的刻度线相交的点是量角器的中心，量角器上有两条0刻度线和两圈刻度。 量角器里按顺时针方向表示的刻度叫做外圈刻度； 量角器里按逆时针方向表示的刻度叫做内圈刻度。 （2）角的计量单位是和表示符号：把半圆分成180等份，每一份所对的角就是1度的角。“度”是计量角的单位，用符号“°”表示，如1度记作1°，“°”要写在数字的右上角。 量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别是逆时针和顺时针方向排列的。 2、用量角器量角：“三个重合、一个注意” （1）点点重合：量角器的中心点与角的顶点重合 （2）线边重合：量角器的0刻度线与角的一条边重合 （3）线边重合：刻度线与另一条边重合，即读出几度   注意点：内圈刻度线与外圈刻度线不能混合使用 知识点3：角的分类和画角 1、角的分类 直角=90度      平角=180度     周角=360度 1平角＝2直角    1周角＝2平角＝4直角 锐角小于90度    钝角大于90度且小于180度 知识点4：垂直与平行线 1、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 2、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 3、平行线 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 4、一副三角尺的度数分别是：30度、60度、90度和45度、45度、90度。 用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。 5、两条平行线之间的垂直线段可以画无数条，长度都相等。 6、风筝线与地面所形成的角的度数越大，风筝飞得越高。 7、丹顶鹤结队飞行时通常排成“人”字形，角度一般保持在110度左右。 8、斜坡与地面的角度不同，物体滚的距离也不同。 考点一 数图形（线段、射线、直线、角） 考点二 角的度量与计算 考点三 量角器的应用 考点四 操作题-画角 考点五 操作题-垂线与平行线 考点一 数图形（线段、射线、直线、角） 1、数一数。 在这条直线上有( )条线段，有( )条射线。 【答案】 3 6 【分析】线段有两个端点有固定长度，以AB为端点有一条线段，以AC为端点有一条线段，以BC为端点有一条线段，则一共有（1＋1＋1）条线段；射线有一个端点无限长，以A为端点向左和向右各有一条射线，以B为端点向左和向右各有一条射线，以C为端点向左和向右各有一条射线，则一共有（2＋2＋2）条射线，据此填空即可。 【详解】线段：1＋1＋1＝3（条） 射线：2＋2＋2＝6（条） 在这条直线上有3条线段，有6条射线。 2、下面这把尺子只有1厘米、4厘米和6厘米的刻度，用这把尺子一次可以量出( )条不同长度的线段。 【答案】6 【分析】根据题意可知，刻度0到刻度1可以量出一条1厘米的线段；刻度0到刻度4可以量出一条4厘米的线段；刻度0到刻度6可以量出一条6厘米的线段；刻度1到刻度4可以量出一条（4－1）厘米的线段；刻度1到刻度6可以量出一条（6－1）厘米的线段；刻度4到刻度6可以量出一条（6－4）厘米的线段，据此填空即可。 【详解】第一条：1厘米 第二条：4厘米 第三条：6厘米 第四条：4－1＝3（厘米） 第五条：6－1＝5（厘米） 第六条：6－5＝2（厘米） 3、下图中有A、B、C、D四个点，其中（  ）两点之间的距离最短，（  ）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（  ）条直线，在图上画一画。 【答案】AC；AD；6 【分析】根据长度的测量方法，一端从0刻度开始，另一端到达的那个刻度就是线段的长度，据此判断哪两点之间的距离最短，哪两点之间的距离最长。 采用有序组合的方法，可以过A点依次向B、C、D三个点一条一条地画，得到3条直线，然后再过B点依次向C、D两个点一条一条地画，得到2条直线，过C点向D一个点画一条直线，最后相加即可。 【详解】线段AB长2厘米2毫米；线段AC长1厘米4毫米；线段AD长3厘米4毫米； 线段BC长2厘米6毫米；线段BD长1厘米6毫米；线段CD长3厘米1毫米； 3厘米4毫米＞3厘米1毫米＞2厘米6毫米＞2厘米2毫米＞1厘米6毫米＞1厘米4毫米 3＋2＋1＝5＋1＝6（条） 4、下面各图中分别有多少条线段？          【答案】10条；21条 【分析】线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段。据此以某个端点为起点，同一方向它后面的端点依次作为终点，数出线段数量再相加即可。 【详解】（1）4＋3＋2＋1 ＝7＋3 ＝10（条） （2）（5＋4＋3＋2＋1）＋（3＋2＋1） ＝（9＋5＋1）＋（5＋1） ＝（14＋1）＋6 ＝15＋6 ＝21（条） ：有10条线段。 ：有21条线段。 5、仔细观察，找出规律，完成表格。 按照这样的画法，7条射线可以形成( )个角。 【答案】 3 6 21 【分析】观察图形可知，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以2条射线组成1个角；3条射线就可以组成2＋1＝3个角；4条射线可以组成3＋2＋1＝6个角；依此可得7条射线组成角的个数是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）角。 【详解】 项目 … 射线条数 2 3 4 … 角的个数 1 3 6 … 按照这样的画法，7条射线可以形成：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）角。 6、分类填一填。                     锐角        直角     钝角      平角 【答案】见详解 【分析】大于0°小于90°的角是锐角；大于90°小于180°的角是钝角；直角等于90°，平角等于180°。据此解答。 【详解】 考点二 角的度量与计算 1、2时整钟面上的时针和分针形成的较小角是( )°；3时30分，时针和分针形成的较小角是( )角。 【答案】 60 锐 【分析】钟面可以看成一个周角，钟面上一共有12个大格，可以用除法算出1个大格对应的度数。2时整，分针指着12，时针指着2（如下图）。 由图可知，时针和分针之间有2个大格，直接用乘法即可算出时针和分针形成的较小角是多少度。 3时30分，时针在3和4的正中间，分针指着6（如下图）。 由图可知，时针和分针形成的较小角是锐角。 【详解】360°÷12＝30°，30°×2＝60° 2时整钟面上的时针和分针形成的较小角是60°；3时30分，时针和分针形成的较小角是锐角。 2、钟面上的时间是9：00，时针和分针组成的较小的角是( )°。钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的较小的角是( )角。 【答案】 90 锐 【分析】钟面一周是360°有12大格，每一大格对应的夹角是30°，9：00时，分针指向12，时针指向9，9到12有3大格，所以时针和分针组成的角是：30°×3；钟面上的时间是3：30，时针指向3和4的中间，分针指向6，时针到分针有2大格半，时针和分针组成的角是：30°×2＋30°÷2；据此计算后再根据直角是90°的角，锐角是大于0°小于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，判断角的类型即可。 【详解】360÷12＝30° 30°×3＝90° 30°×2＋30°÷2＝60°＋15°＝75° 75°的角是锐角；钟面上的时间是9：00，时针和分针组成的较小的角是90°。钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的较小的角是锐角。 3、∠1＝( )，∠2＝( )。 ∠1＝∠2＝( )。 【答案】 45° 135° 55° 【分析】（1）1平角＝180°，根据题意可知，∠1与135°的角组成一个平角，∠1与∠2组成的也是一个平角，则∠1＝180°－135°，∠2＝180°－∠1； （2）∠1、∠2和70°的角组成的是平角，求∠1＝∠2，则用180°减去70°，再除以2，即可求出∠1与∠2的度数。据此解答。 【详解】（1）∠1＝180°－135°＝45° ∠2＝180°－45°＝135° （2）（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 则∠1＝∠2＝55°。 4、把长方形纸按图折叠，∠1＝( )°。 【答案】30 【分析】 如图，∠1是从∠2位置折叠过去的，因此∠1＝∠2，平角是180°，∠1＝（平角度数－120°）÷2，据此列式计算。 【详解】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° ∠1＝30° 5、看图填一填。 已知∠1＝40°，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 【答案】 140° 40° 50° 【分析】根据题图可知，用180°减去∠1，求出∠2的度数；用180°减去∠2，求出∠3的度数；用90°减去∠3，求出∠4的度数。 【详解】∠2＝180°－40°＝140° ∠3＝180°－140°＝40° ∠4＝90°－40°＝50° 所以∠2＝140°、∠3＝40°、∠4＝50°。 6、下图中，把两块三角尺拼在一起，∠1＝( ) °，∠2＝( )°。 【答案】 135 15 【分析】一幅三角板有两个三角尺，一个三角尺上的角的度数分别是30°、60°、90°，另一个三角尺上角的度数分别是45°、45°、90°，把它们进行组合；∠1是45°与90°拼成的和，用加法计算即可；∠2是45°与30°拼成的差，用减法计算即可。 【详解】∠1＝45°＋90°＝135° ∠2＝45°－30°＝15° 所以∠1＝135°，∠2＝15°。 7、下面是两个完全一样的长方形部分重叠后形成的图形。已知∠1＋∠2＋∠3＝120°，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 60 【分析】根据长方形和正方形的特征，得到∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，从而推出∠1＝∠3；然后根据∠1＋∠2＋∠3＝120°，求出∠1的度数，进而求出∠2的度数，据此解答。 【详解】因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3； 又因为∠1＋∠2＋∠3＝120°，所以∠1＝120°－（∠2＋∠3）＝120°－90°＝30°； 因为∠1＝∠3＝30°，所以∠2＝120°－（∠1＋∠3）＝120°－30°－30°＝90°－30°＝60° 8、借助点子图，分别写出下图两个角的度数。 ∠1＝ °      ∠2＝ ° 【答案】 135 45 【分析】点子图中每个小正方形斜着对折后形成的角是直角90度的一半45度，那么∠1是由45度和90度组成的，∠2即为45度角。 【详解】 ∠1＝45°＋90°＝135°，∠2＝45°。 9、下面的角是用一副三角尺拼成的，你知道各是多少度吗？ ( )   ( )    ( )    ( ) 【答案】 75 135 105 150 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。 （1）是利用了三角板上30°角和45°角拼成的一个大角，是45°＋30°＝75°； （2）是利用了三角板上90°角和45°角拼成的一个大角，是90°＋45°＝135°； （3）是利用了三角板上60°角和45°角拼成的一个大角，是60°＋45°＝105°； （4）是利用了三角板上90°角和60°角拼成的一个大角，是90°＋60°＝150°；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 第一个角的度数是：45°＋30°＝75° 第二个角的度数是：90°＋45°＝135° 第三个角的度数是：60°＋45°＝105° 第四个角的度数是：90°＋60°＝150° 10、量一量，填一填。 ( )    ( )      ( ) ( )   ( )      ( ) ( )   ( )     ( ) 三个角的和是( ) 三个角的和是( ) 三个角的和是( ) 我发现 。 【答案】 30 120 60 60 30 60 90 30 60 180 180 180 三角形的内角和是180° 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此测量出各个角的度数，观察发现每个三角形内的三个角的度数和是180°，所以得出：三角形的内角和是180°。 【详解】 我发现：三角形的内角和是180°。 11、小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是( )°；他又将一张正方形纸对折再对折，打开后剪成一个五边形（如图），这个五边形中的∠1是( )°。 【答案】 垂直 45 135 【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；把一张圆形纸片连续对折两次，两条折痕把圆平均分成4份，每一份所对的角是360°÷4＝90°，所以折痕互相垂直，再继续对折一次，这时把圆平均分成8份，每一份所对的角是360°÷8＝45°；五边形中的∠1＝90°＋45°；据此解答。 【详解】根据分析：360°÷4＝90°，所以小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相垂直；360°÷8＝45°，再继续对折一次，这时折成的角是45°；90°＋45°＝135°，所以这个五边形中的∠1是135°。 12、根据图中信息计算∠1的度数。 【答案】45° 【分析】由图可知，130°的角和它下面的那个角合起来组成了一个平角，直接用180°减去130°即可算出它的度数。这个角和85°的角以及∠1又组成了一个平角，直接用180°减去前面那个角的度数再减去85°即可求出∠1的度数。 【详解】180°－130°＝50° 180°－50°－85°＝130°－85°＝45° ∠1的度数是45°。 13、下图中，CD垂直于AB，已知∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数。 【答案】∠2＝30°；∠3＝60°；∠4＝30° 【分析】根据图意，可知∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，求出∠1的度数； 由∠2＋∠3＝90°，∠3＝90°－∠2，求出∠3的度数； 再由∠3＋∠4＝90°，∠4＝90°－∠3，据此求出∠4的度数。 【详解】∠2＝90°－60°＝30° ∠3＝90°－30°＝60° ∠4＝90°－60°＝30° 考点三 量角器的应用 1、度量一个角时，角的一条边对准外圈“20”刻度线，角的另一条边对准内圈“120”刻度线，这个角是（    ）°。 A．60 B．40 C．100 【答案】B 【分析】 角的另一条边对准内圈“120”刻度线，则角的另一条边对准外圈“180－120＝60”刻度线。如果角的一边没有与量角器的0刻度线重合，但角的顶点与量角器的中心点重合，用量角器外（内）圈与角重合的大的刻度减去量角器外（内）圈与角重合的小的刻度即可求出角的度数。 【详解】60°－20°＝40° 度量一个角时，角的一条边对准外圈“20”刻度线，角的另一条边对准内圈“120”刻度线，这个角是40°。 故答案为：B 2、“小马虎”用量角器测量一个角时，由于误把外圈刻度当成内圈刻度而读数为125°，正确的度数应该是（    ）。 A．55° B．75° C．125° 【答案】A 【分析】 根据量角器的构造即可求解，注意外圈刻度与内圈刻度的和是180°，用180°减去125°即可。 【详解】 180°－125°＝55°即正确的度数应该是55°。故答案为：A 3、度量一个角时，角的顶点与量角器的中心重合，角的一条边与量角器上180°刻度线重合，另一条边与量角器上60°刻度线重合，这个角是多少度？ 【答案】120°或60° 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】如果角的两边与量角器上的刻度线重合时读的都是内层或者外层的数据，则这个角为：180°－60°＝120°； 如果角的两边与量角器上的刻度线重合时读的数据180°是外层的数据，60°是内层的数据，则要将外层的180°写成对应的是内层数据的0°，60°－0°＝60°。 考点四 操作题-画角 1、数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°    75°    120° 【答案】见详解 【分析】一副三角尺分为直角三角尺和等腰直角三角尺。直角三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°，等腰直角三角尺的度数是45°、90°、45°，把它们进行组合可得到：90°－60°＝30°， 45°＋30°＝75°，30°＋90°＝120°，据此画出各角即可。 【详解】 2、以下面的射线为角的一条边，用量角器画出下面度数的角。 【答案】见详解 【分析】画角的步骤是：使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器35°、80°、95°、140°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，依次画图即可。 【详解】如图： 8．以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出40°、125°和180°的角。 【答案】见详解 【分析】根据角的画法，先画一射线，再把量角器的圆心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合，在要求所画的度数的刻度上点点，再以原射线的端点为端点过这一点画射线，两射线所成的角就是所画的角。 【详解】画图如下： 3、画出下面的角。 20°  30°   85°   90°   120°   135° 【答案】见详解 【分析】先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器对应刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并标上对应的度数即可。 【详解】根据分析，画图如下： 【点睛】熟练掌握用量角器画角的方法，是解答此题的关键。 4、按要求把下面的角分成两个角。 （1）分成两个锐角。 （2）分成1个钝角和1个锐角。 【答案】见详解 【分析】首先分别量出两个图形角的度数，再根据角的分类，大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，按照题干要求，图一分成两个锐角，图二分成1个钝角和1个锐角，即可解答。 【详解】（1）分成两个锐角。图中的角为120°，用量角器画角，用量角器的中心和其中一条射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器60°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的60°角，即把120°角分成2个60°角。 （答案不唯一） （2）分成1个钝角和1个锐角。图中的角为120°，用量角器画角，用量角器的中心和其中一条射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器100°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的100°角，即把120°角分成一个100°角和一个20°角。 （答案不唯一） 5、用你喜欢的方法画出与∠1、∠2同样大的角。 【答案】见详解 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；用量角器画角的步骤如下：先画角的顶点和一条边；再将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。 由题意得，要想画出与∠1、∠2同样大的角，需要先用量角器量出∠1、∠2的度数，然后再用量角器画角即可。 【详解】 考点五 操作题-垂线与平行线 【垂直与平行】 1、如下图，下面线段中，最短的一条线段是（   ）。 A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】C 【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。可把图看成是三角形ABE，那么在三角形ABE中，线段AD是垂线，据此可作答。 【详解】如下图，下面线段中，最短的一条线段是AD。 故答案为：C 2、一张长方形纸，对折两次后展开，折痕（   ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相垂直，也可能互相平行 【答案】C 【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方法。一种情况是沿着一个方向（垂直方向或水平方向）连续对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿着两条边的两个方向对折，即先沿着垂直方向对折，再沿着水平方向对折（先沿水平，再沿垂直方向对折亦可），两条折痕是互相垂直的；如下图：据此解答。 【详解】由分析可得：一张长方形纸，对折两次后展开，折痕可能互相垂直，也可能互相平行。故答案为：C 3、左图中有（   ）组平行线，（   ）组垂线。 A．1；2 B．2；4 C．3；4 D．4；2 【答案】B 【分析】根据平行线和垂线的定义，在同一平面内互不相交的两条直线互相平行，一条直线叫做另一条直线的平行线；图中长方形相对的两条线段分别互为平行线； 在同一平面内相交成直角的两条直线互相垂直，一条直线叫做另一条直线的垂线；图中长方形的4条边中，每相邻的两条边互为一组平行线。据此解答。 【详解】根据分析可知：图中有2组平行线，4组垂线。故答案为：B 【操作画图】 1、先回忆画平行线的方法，再判断下面检验两条直线是否互相平行的方法正确吗？ 画平行线的方法通常是：首先沿三角尺的一条直角边画一条直线，其次将直尺和三角尺的另一条直角边( )，最后( )三角尺，再画一条直线。 根据画平行线的方法，可以判断题目中检验方法( )。 【答案】 重合 平移 正确 【分析】用直尺和三角尺画已知直线的平行线的方法：①固定三角尺，沿三角尺的一条直角边先画一条直线；②用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺；③再沿和已知直线重叠的直角边画出已知直线的平行线；据此解题即可。 【详解】根据分析可知， 画平行线的方法通常是：首先沿三角尺的一条直角边画一条直线，其次将直尺和三角尺的另一条直角边重合，最后平移三角尺，再画一条直线。 2、下图是一块三角形的活动场地。 （1）从点B到对边AC，怎样走最近？在图中画出来。 （2）过点A画出边BC的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）根据从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短；由此过B点向AC作垂线段即可。 （2）把三角板的一条直角边与BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和BC重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】（1）（2）如图： 3、动手操作。 过点P作OA的平行线，作OB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过点P画已知直线OA的平行线：先把三角板的一条直角边与直线OA重合，并把直尺靠在三角板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与点P重合，最后沿着三角板直角边过点P画直线，即为OA的平行线； 过点P画直线OB的垂线：先将直尺的一边与直线OB重合，把直角三角板的一条直角边靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边与已知点P重合，最后沿着三角板另一条直角边向OB画直线，即为OB的垂线，并标直角符号。 据此画图即可。 【详解】 4、云龙湖是徐州市汇自然和人文于一体的国家5A级风景名胜区，泛舟云龙湖上，不亦乐乎。             （1）给游船A设计一条路线，使其航行的路线总是平行于a岸。请在图中画出这条路线。 （2）请给游船B设计一条路线，使其去b岸的线路最近。请在图中画出这条路线。 （3）请以C为顶点，b岸为一条边，画一个120°的角。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）把三角尺的一条直角边和已知直线a重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线a重合的直角边和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线即可。 （2）直线外一点到直线的距离垂线段最短，用直角三角尺的一条直角边和直线b重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线即可。 （3）将量角器的顶点与点C重合，0度线与b岸重合，在外圈刻度120的位置画点，与点c连线，画上角的标志即可。 【详解】 （1）（2）（3）如图： 5、（1）以A为顶点，已知射线为一条边，画一个120°的角。 （2）过点P作一条直线与已知射线平行。 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）把量角器的中心点与点A重合，量角器的零刻度线与这条射线重合，找到120°对应的位置，画出角的另一边。 （2）把直角三角尺一条直角边与这条射线重合，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，使得点P在直角三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，将直尺与三角尺的这条直角边靠紧，移动直尺，过点P沿着直尺画直线，即为所求平行线。 【详解】（1）（2）如图： 6、过A点画已知直线的垂线。 【答案】画法见详解 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线，并标上垂直标记即可。 【详解】具体画法如下： 7、画一画。过点B分别画两条已知直线的平行线，过点C分别画两条已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点画平行线的步骤：将三角尺与已知直线对齐，固定三角尺，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，平移后，沿直角边画出另一条直线。过直线外一点画垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】按照如上步骤，过点B分别画两条已知直线的平行线，过点C分别画两条已知直线的垂线。 如图所示： 8、 （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 【答案】（1）60° （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，所以∠1＝∠3。因为∠1是∠2的2倍，和÷倍数和＝1倍数，用90°除以（2＋1）倍即可算出∠2的度数，∠2的度数乘2，可以算出∠1的度数，也就是∠3的度数。 （2）用直角三角尺的一条直角边和OB重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点C重合，过C点沿直角边向OB画直线即可。把三角尺的一条直角边和OA重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和OA重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线即可。 （3）连接点到直线的线段中，垂线段最短。据此画出点A到河岸的垂线段即可。 【详解】（1）90°÷（2＋1） ＝90°÷3 ＝30° 30°×2＝60° 上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝60°。 （2） （3） 9、下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）60 【分析】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线； （2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。 【详解】根据分析： （1）（2）如图： （3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。 10、操作。 （1）量出图中角的度数，并在图中标出来。 （2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。 （3）点M到射线OB的距离是（    ）厘米。 【答案】（1）（2）见详解；（3）4 【分析】（1）用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角O的顶点重合，然后使角的一边OB和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边OA，看角的另外一边OA落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少； （2）过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与直线OB重合，让三角尺的另一条直角边通过点M，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线OB的垂线MN。 平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线OA重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点M位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是直线OA的平行线MQ； （3） 用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点M重合，另一个端点在直线OB的N点在直尺上的刻度，就是该线段的长度。 【详解】（1）（2）如图： （3）点M到射线OB的距离是4厘米。 11、操作题。 （1）过A点作已知直线的平行线。 （2）量出A点到直线的距离是（    ）毫米。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。 【答案】（1）（3）见详解 （2）14 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此先过A点作直线的垂线，再用直尺量出A点到直线的距离。 （3）使量角器的中心和B点重合，0°刻度线和直线重合。在量角器120°刻度线的地方点一个点。以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出120°的角，并标为∠1。 【详解】（1）（3） （2）量出A点到直线的距离是14毫米。 12、根据要求在图中量一量，画一画。 （1）用量角器量出∠AOB是（    ）°。 （2）过A点作OB边的垂线。 （3）过B点作OA边的平行线。 【答案】（1）35 （2）（3）图见详解过程 【分析】（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数； （2）过直线外一点画已知直线的垂线的方法：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外的一点，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后再标出直角符合； （3）过直线外一点画已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】（1）用量角器量出∠AOB是35°。（2）过A点作OB边的垂线。作图如下： （3）过B点作OA边的平行线。作图如下： 13、 （1）上图的平行四边形中，∠B＝（    ）°。 （2）以A为顶点，AD为一条边，画一个60°的角。 （3）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中画出来。 【答案】（1）60° （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点B重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）画角时先使量角器的中心点和A点重合，0刻度线和AD重合，在量角器上找到60°处点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，在角内标上角的符号和度数； （3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，要求一条最近到边线的路线，则从黑点向下面的那条边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】（1）经测量，∠B＝60°。 （2）（3）作图如下： 14、（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。 （2）过点A分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（  ）°。           【答案】（1）（2）见详解 （3）105° 【分析】（1）用量角器的圆点和射线的端点O重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°的刻度上点上点，过射线的端点O和刚作的点，画射线即可。 （2）将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线。 （3）根据垂直的定义可知，围成的四边形中有2个直角，因为四边形的内角和是360度，所以另外两个角的度数之和是180度，已知一个角是75度，则另一个角就是105度，据此即可解答。 【详解】（1）（2）根据题干分析画图如下： （3）由分析知，360°－75°－90°－90°＝105° 这个钝角的度数是105°。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习九 垂直与平行考点汇编 【知识点概括】 知识点1：认识射线、直线和角 1、线段、射线和直线的区别 名称 端点个数 延伸情况 长度 线段 两个 不能向两端延伸 可以测量 射线 一个 只能向一端无限延伸 无法测量 直线 无 可以向两端无限延伸 无法测量 2、距离：连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。两点之间线段最短。 3、角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。角的大小和角的两边张开的大小有关。角通常用符号“∠”来表示，上图的角记作∠1，读作角一。 知识点2：角的度量 1、认识量角器 （1）测量角的大小的工具是量角器，量角器的中心有一个点叫做中心点。量角器上180°的刻度线与90°的刻度线相交的点是量角器的中心，量角器上有两条0刻度线和两圈刻度。 量角器里按顺时针方向表示的刻度叫做外圈刻度； 量角器里按逆时针方向表示的刻度叫做内圈刻度。 （2）角的计量单位是和表示符号：把半圆分成180等份，每一份所对的角就是1度的角。“度”是计量角的单位，用符号“°”表示，如1度记作1°，“°”要写在数字的右上角。 量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别是逆时针和顺时针方向排列的。 2、用量角器量角：“三个重合、一个注意” （1）点点重合：量角器的中心点与角的顶点重合 （2）线边重合：量角器的0刻度线与角的一条边重合 （3）线边重合：刻度线与另一条边重合，即读出几度   注意点：内圈刻度线与外圈刻度线不能混合使用 知识点3：角的分类和画角 1、角的分类 直角=90度      平角=180度     周角=360度 1平角＝2直角    1周角＝2平角＝4直角 锐角小于90度    钝角大于90度且小于180度 知识点4：垂直与平行线 1、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 2、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 3、平行线 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 4、一副三角尺的度数分别是：30度、60度、90度和45度、45度、90度。 用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。 5、两条平行线之间的垂直线段可以画无数条，长度都相等。 6、风筝线与地面所形成的角的度数越大，风筝飞得越高。 7、丹顶鹤结队飞行时通常排成“人”字形，角度一般保持在110度左右。 8、斜坡与地面的角度不同，物体滚的距离也不同。 考点一 数图形（线段、射线、直线、角） 考点二 角的度量与计算 考点三 量角器的应用 考点四 操作题-画角 考点五 操作题-垂线与平行线 考点一 数图形（线段、射线、直线、角） 1、数一数。 在这条直线上有( )条线段，有( )条射线。 2、下面这把尺子只有1厘米、4厘米和6厘米的刻度，用这把尺子一次可以量出( )条不同长度的线段。 3、下图中有A、B、C、D四个点，其中（  ）两点之间的距离最短，（  ）两点之间的距离最长。如果经过其中任意两点画直线，那么最多可以画（  ）条直线，在图上画一画。 4、下面各图中分别有多少条线段？          5、仔细观察，找出规律，完成表格。 按照这样的画法，7条射线可以形成( )个角。 6、分类填一填。                     锐角        直角     钝角      平角 考点二 角的度量与计算 1、2时整钟面上的时针和分针形成的较小角是( )°；3时30分，时针和分针形成的较小角是( )角。 2、钟面上的时间是9：00，时针和分针组成的较小的角是( )°。钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的较小的角是( )角。 3、∠1＝( )，∠2＝( )。 ∠1＝∠2＝( )。 4、把长方形纸按图折叠，∠1＝( )°。 5、看图填一填。 已知∠1＝40°，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 6、下图中，把两块三角尺拼在一起，∠1＝( ) °，∠2＝( )°。 7、下面是两个完全一样的长方形部分重叠后形成的图形。已知∠1＋∠2＋∠3＝120°，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°。 8、借助点子图，分别写出下图两个角的度数。 ∠1＝ °      ∠2＝ ° 9、下面的角是用一副三角尺拼成的，你知道各是多少度吗？ ( )   ( )    ( )    ( ) 10、量一量，填一填。 ( )    ( )      ( ) ( )   ( )      ( ) ( )   ( )     ( ) 三个角的和是( ) 三个角的和是( ) 三个角的和是( ) 我发现 。 11、小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是( )°；他又将一张正方形纸对折再对折，打开后剪成一个五边形（如图），这个五边形中的∠1是( )°。 12、根据图中信息计算∠1的度数。 13、下图中，CD垂直于AB，已知∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数。 考点三 量角器的应用 1、度量一个角时，角的一条边对准外圈“20”刻度线，角的另一条边对准内圈“120”刻度线，这个角是（    ）°。 A．60 B．40 C．100 2、“小马虎”用量角器测量一个角时，由于误把外圈刻度当成内圈刻度而读数为125°，正确的度数应该是（    ）。 A．55° B．75° C．125° 3、度量一个角时，角的顶点与量角器的中心重合，角的一条边与量角器上180°刻度线重合，另一条边与量角器上60°刻度线重合，这个角是多少度？ 考点四 操作题-画角 1、数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°    75°    120° 2、以下面的射线为角的一条边，用量角器画出下面度数的角。 8．以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出40°、125°和180°的角。 3、画出下面的角。 20°  30°   85°   90°   120°   135° 4、按要求把下面的角分成两个角。 （1）分成两个锐角。 （2）分成1个钝角和1个锐角。 5、用你喜欢的方法画出与∠1、∠2同样大的角。 考点五 操作题-垂线与平行线 【垂直与平行】 1、如下图，下面线段中，最短的一条线段是（   ）。 A．AB B．AC C．AD D．AE 2、一张长方形纸，对折两次后展开，折痕（   ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相垂直，也可能互相平行 3、左图中有（   ）组平行线，（   ）组垂线。 A．1；2 B．2；4 C．3；4 D．4；2 【操作画图】 1、先回忆画平行线的方法，再判断下面检验两条直线是否互相平行的方法正确吗？ 画平行线的方法通常是：首先沿三角尺的一条直角边画一条直线，其次将直尺和三角尺的另一条直角边( )，最后( )三角尺，再画一条直线。 根据画平行线的方法，可以判断题目中检验方法( )。 2、下图是一块三角形的活动场地。 （1）从点B到对边AC，怎样走最近？在图中画出来。 （2）过点A画出边BC的平行线。 3、动手操作。过点P作OA的平行线，作OB的垂线。 4、云龙湖是徐州市汇自然和人文于一体的国家5A级风景名胜区，泛舟云龙湖上，不亦乐乎。             （1）给游船A设计一条路线，使其航行的路线总是平行于a岸。请在图中画出这条路线。 （2）请给游船B设计一条路线，使其去b岸的线路最近。请在图中画出这条路线。 （3）请以C为顶点，b岸为一条边，画一个120°的角。 5、（1）以A为顶点，已知射线为一条边，画一个120°的角。 （2）过点P作一条直线与已知射线平行。 6、过A点画已知直线的垂线。 7、画一画。过点B分别画两条已知直线的平行线，过点C分别画两条已知直线的垂线。 8、 （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 9、下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（  ）°。 10、操作。 （1）量出图中角的度数，并在图中标出来。 （2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。 （3）点M到射线OB的距离是（    ）厘米。 11、操作题。 （1）过A点作已知直线的平行线。 （2）量出A点到直线的距离是（    ）毫米。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。 12、根据要求在图中量一量，画一画。 （1）用量角器量出∠AOB是（    ）°。 （2）过A点作OB边的垂线。 （3）过B点作OA边的平行线。 13、 （1）上图的平行四边形中，∠B＝（    ）°。 （2）以A为顶点，AD为一条边，画一个60°的角。 （3）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中画出来。 14、（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。 （2）过点A分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（  ）°。           学科网（北京）股份有限公司 $$