专题05 解直角三角形（考点清单，3个考点清单+4种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题05 解直角三角形（考点清单，3个考点清单+4种题型解读） 【清单01】解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程. 【清单02】直角三角形的边角关系 中， 【清单03】解直角三角形的应用 （1）仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； （2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作，即；坡度表示形式：. 坡面与水平面的夹角叫坡角，记为；坡度与坡角的关系：. 【考点题型一】解直角三角形相关计算（共13题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 2．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，（是锐角），，那么的长为 ． 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，，点D、E分别是边、的中点，与相交于点O，如果是等边三角形，那么 ． 4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 5．（23-24九年级上·上海青浦·期末）规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①当时，线段的长度是点到线的距离；当时，线段的长度是点到线段MN的距离；如图②，在中，，，，点D为边上一点，，如果点Q为边上一点，且点Q到线段的距离不超过，设的长为d，那么d的取值范围为 ． 二、解答题 6．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的余切值． 7．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知：如图，中，，，，于D． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，求大小． 8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. (1)求的值； (2)如果，，，求四边形的面积. 9．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 10．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 11．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，连接，设，的面积为. (1)如图1所示，求的值； (2)如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，求的长. 12．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 13．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【考点题型二】解直角三角形应用—仰角俯角问题（共10题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、解答题 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，） 4．（23-24九年级上·上海青浦·期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为米（点、、在一条直线上，， ，），求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到米）（参考数据：，，；，，） 5．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°． (1)求坡顶到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，，，） 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 7．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为A，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）． (1)测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． (2)小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 8．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 9．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 10．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【考点题型三】解直角三角形应用—方位角问题（共6题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里． 2．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离 海里（结果保留根号）． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 4．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，一段东西向的限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 米（结果保留根号）． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 海里． 二、解答题 6．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【考点题型四】解直角三角形应用—坡度坡比问题（共8题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为 米． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离 米. 3．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    二、解答题 4．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 6．（2023·上海宝山·一模）如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为，求灯的顶端A与地面的距离．（结果保留根号） 7．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 8．（2023·上海崇明·一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米． (1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离； (2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解直角三角形（考点清单，3个考点清单+4种题型解读） 【清单01】解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程. 【清单02】直角三角形的边角关系 中， 【清单03】解直角三角形的应用 （1）仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； （2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作，即；坡度表示形式：. 坡面与水平面的夹角叫坡角，记为；坡度与坡角的关系：. 【考点题型一】解直角三角形相关计算（共13题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，如图所示， 易得是直角三角形， 由勾股定理得， ， 在中， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，（是锐角），，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先解得到，即可利用勾股定理求出，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，，点D、E分别是边、的中点，与相交于点O，如果是等边三角形，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及特殊角的三角函数值，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 过点作于点， 过点作于点，连接，根据是等边三角形，得出，，设，根据点D、E分别是边、的中点，得出，，，证明，得出，，根据，得出，，证明从而得出， 再求出，即可求解； 【详解】过点作于点， 过点作于点，连接， ∵是等边三角形， ，， 设， 点D、E分别是边、的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 故答案为： 4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，交于点O，，， ∵四边形是矩形， .∴，， ， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 即的正切值是； 如图，交于点O，，， 同理得， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的正切值是； 综上，的正切值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·上海青浦·期末）规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①当时，线段的长度是点到线的距离；当时，线段的长度是点到线段MN的距离；如图②，在中，，，，点D为边上一点，，如果点Q为边上一点，且点Q到线段的距离不超过，设的长为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题目所给平面上一点到一个图形的距离的定义．根据题意进行分类讨论：当点Q到线段的距离为垂线段时，当点Q到线段的距离为时．即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， 当点Q到线段的距离为垂线段时，过点Q作于点H， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵点Q到线段的距离不超过， ∴， 当点Q到线段的距离为时，过点D作于点G， 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， ∵点Q到线段的距离不超过， ∴， 综上：． 二、解答题 6．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，，点D是边上一点，且． (1)求的长； (2)求的余切值． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查解直角三角形，熟知三角函数的定义并构造出合适的直角三角形是解题的关键． （1）根据的正弦值，求出的长，再利用勾股定理求出即可解决问题． （2）过点作的垂线，在所构造的直角三角形中，求出的邻边和对边即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）过点作的垂线，垂足为，由得，． ∵， ∴， ∴， 即， 得， 在中， ∴的余切值为2． 7．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知：如图，中，，，，于D． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，求大小． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长，证明是的中位线． （1）由锐角的正弦求出长，由勾股定理求出长，得到长，由勾股定理即可求出长． （2）过作，由相似三角形性质，推出，得到是的中位线，因此，求出，即可求出． 【详解】（1）解：∵ （2）解：过作于， ， 点E是边的中点， ∴是的中位线， 8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. (1)求的值； (2)如果，，，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的判定与性质得到，根据比例的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据锐角三角函数定义求出，则，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的面积． 9．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）先证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作，交于点，证明，得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式； （3）由，分两种情况分别讨论，，，在中，根据三角函数的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作，交于点 又∵， ∴， ∴ ∴， 由，,则，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴. （3）①， ②如果， 由，，可得 设，则， 在中，， ∴，. ③如果， 由，，可得， 设，， 在中，， ∴，. 所以，当是直角三角形时，的长为或. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明． （2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解． （3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴, 即． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， 即， 整理得：； ∵， ∴， ∴． （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴, ∴， 即， 在中，， 即， 又∵， ∴， 故， 则， 整理得：， 在中，， 即，， ， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， 故， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 则和是正方形的对角线， ∴ 故． 当时，点A在上，即不存在， 故不存在这种情况． 【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过列出等式，求出是解题的关键． 11．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，连接，设，的面积为. (1)如图1所示，求的值； (2)如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，求的长. 【答案】(1) (2) (3)或或；或 【分析】（1）过点A作交于点E，过点E作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义即可得出答案； （2）过点作于点F， 于点H，根据，，在中根据三角函数求出，，求出，根据三角形面积公式求出，然后求出x的取值范围即可； （3）分四种情况进行讨论：当时，当，点Q在线段延长线上时，当，点Q在线段上时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作交于点E，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 即的值为． （2）解：过点作于点F， 于点H，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴在中， ∵，， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∵点在线段上，且当点Q在点C上时，的面积为0，即， ∴， 解得：， ∵点、点均不与点重合， ∴． （3）解：当时，过点作于点M，如图所示： 根据解析（2）可知，， 根据勾股定理得：， ， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 当，点Q在线段延长线上时，如图所示： ， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 当，点Q在线段上时，如图所示： ， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 当，过点Q作于点N， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知，或或；或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求函数解析式，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论． 12．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)的余切值为或； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【详解】（1）解：如图1， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 设则 ， 解得或， 经检验，，都是原方程的根， 或， 在中， 或； （2）如图2，由（1）得， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即； （3）当点在上时，如图，过点作，垂足为， ， ， 由（）可知，当时，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为 当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为， 由（）可得，， ， ，即， 解得：， ， ，即， 解得： 的面积为 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3)的长为5或 【分析】（1）过点作于点，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和平行线的性质得到，则； （2）过点作于点，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点在上时，连接，延长交于点，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ∵， 为等腰直角三角形， （3）①当点在上时，如图， 由（1）知：， ∵是中点， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②当点在上时，连接，延长，交于点，如图， 由（1）知：， ∵是中点， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为5或． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线． 【考点题型二】解直角三角形应用—仰角俯角问题（共10题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算． 【详解】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是米； 故选B． 2．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案． 【详解】解：如图，在中， 米，， ， （米）， 故选：． 二、解答题 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，） 【答案】、之间的距离约为141米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； 过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，， ∴， 在中，， ∴(米)， 在中，(米)， ∴、之间的距离约为141米．    4．（23-24九年级上·上海青浦·期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为米（点、、在一条直线上，， ，），求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到米）（参考数据：，，；，，） 【答案】浦仓路桥顶部到水面的距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，结合题干的条件，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数表示出的长，列出关于的方程，算出，最后利用，即可解题． 【详解】解：延长交于点，如图所示： 由题意得：，米，米， 设米，则米， 在中，由题知， （米）， 在中，由题知， （米）， ， 解得， ， （米）， 答：浦仓路桥顶部到水面的距离约为米． 5．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°． (1)求坡顶到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)15米 (2)古搭的高度约为29米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据坡度得到，设设，则，勾股定理求出的值即可； （2）延长交于点，得到，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可． 解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义． 【详解】（1）由题意，得， ， 图8 设，则      （米） 答：坡顶到地面的距离的长为15米 （2）延长交于点，则，四边形为矩形． ∴，， ， ，   ，   ， ； 在中，，   ， ，， ， ，   （米）．   答：古搭的高度约为29米． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 7．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为A，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）． (1)测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． (2)小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 【答案】(1) (2)在松树上取点D，使，并用测角仪测出点D的仰角，用直尺测出小山坡的长度米； 【分析】（1）过点M作于点C，证明四边形为矩形，得出，根据，求出，根据，求出，即可得出答案； （2）在松树上取点D，使，并用测角仪测出点D的仰角，用直尺测出小山坡的长度米，连接，过点M作于点C，证明四边形为平行四边形，得出，求出，利用解析（1）的方法求出即可． 【详解】（1）解：过点M作于点C，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 解得：， ∴． （2）解：在松树上取点D，使，并用测角仪测出点D的仰角，用直尺测出小山坡的长度米，连接，过点M作于点C，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，数形结合． 8．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 【答案】(1)， (2)80米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）根据俯角的定义标出、，再利用计算器求、的大小； （2）作于点F，则，，利用锐角三角函数解和即可． 【详解】（1）解：、如图所示， 计算器求得，， 故答案为：，； （2）解：如图，作于点F， 则，， ，， ，， ，， ， ， ， 解得， （米）， 即热气球上升的垂直高度为80米． 9．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)树的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 10．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 【考点题型三】解直角三角形应用—方位角问题（共6题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意，利用余弦函数即可求解． 【详解】解：∵轮船位于灯塔P的南偏东方向， ∴， 在中，（海里）； 即此时轮船与灯塔P的距离为海里． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离 海里（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，由题意，，利用速度乘以时间求出的长，利用锐角三角函数，求出的长即可． 【详解】解：连接如图， 由题意，得：， ∴在中，； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ，， 在中，， ， ． 码头，之间的距离是． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，一段东西向的限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角，正确作辅助线，构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作于点，则，设米，通过证明是等腰直角三角形，得到米，再由勾股定理得到米，再由，求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设米， 由题意得： ，， 是等腰直角三角形， 米， 在中， ， ， 又， （米）， ， ， 解得：， 即监测点到限速公路的距离是米， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 海里． 【答案】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，（海里），（海里），进而得出（海里），计算即可．此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数解答． 【详解】解：如图 根据题意，得，海里， ∴（海里），（海里）， （海里）， （海里）， 故答案为：． 二、解答题 6．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【答案】(1)有危险 (2)时，轮船能安全通过这一区域 【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可； （2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案． 【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离， 由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险． （2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D， 当时，角的度数最大， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域， 即时，轮船能安全通过这一区域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 【考点题型四】解直角三角形应用—坡度坡比问题（共8题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 设小车上升的高度为米，根据坡度的概念得到米，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】设小车上升的高度为米，斜坡的坡度为， ∴米， 由勾股定理得：， 解得：(负值舍去)， ∴小车上升的高度为米， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离 米. 【答案】24 【分析】本题考查坡度、勾股定理，根据坡度的定义可知，设，则，再用勾股定理解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：24． 3．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    【答案】70 【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵斜坡长130米，坡度是， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：70． 二、解答题 4．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 【答案】米 【分析】此题考查了坡度坡角问题．分别过点、作，，垂足分别为点、，分别在中，在中根据坡度的定义即可求解．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键． 【详解】解：分别过点、作，，垂足分别为点、， 根据题意，可知米，， ， 四边形是矩形， 米， 在中，背水坡的坡度， ， 米， 在中，迎水坡的坡度 ， 米， 米， 答：坝底的长度为米． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角问题，涉及到了对坡度概念的理解，解题关键是掌握相关概念，正确构造直角三角形利用三角函数值求解． （1）利用坡度的计算公式即可直接求解； （2）按如图所示构造直角三角形，利用三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 6．（2023·上海宝山·一模）如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为，求灯的顶端A与地面的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】过点作于点，过点作于点，由坡度的定义及斜坡的坡长为6米，可得米，米，设米，则米，在中，，解得，则米，在中，，可得，即，求出的值，进而可得答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，米，，，，， 斜坡的坡度， ， 即， 在中，由勾股定理得， 解得， 米，米， 设米，则米， 在中，， 解得， 米， 在中，， ， 即， 解得， 米． 灯的顶端与地面的距离为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 7．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)7米 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作，交于点，        ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）．      【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 8．（2023·上海崇明·一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米． (1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离； (2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？ 【答案】(1)标尺与路灯间的距离为8米； (2)此时标尺与路灯间的距离为米． 【分析】（1）由题意可知，得到，则，把数值代入即可得到答案； （2）连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，设米，则米，可证明，得到，求出米，米，米，，代入比例式得到关于x的一元二次方程，解方程求得x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 由题意可知，, ∴， ∴， ∴ 由题意可知，， ∴， 解得, 即标尺与路灯间的距离为8米； （2）如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H， ∵影子长为4米， ∴米， 设米， ∴米， ∵米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴米，， ∴米， ∴米，米，米，， ∴， ∴，   ∴， 解得（不合题意，舍去），， 经检验是方程的解且符合题意， ∴米， ∴米， ∴此时标尺与路灯间的距离为米． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解分式方程、解直角三角形的坡度问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$