专题04 锐角的三角比（考点清单，4个考点清单+4种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题04 锐角的三角比（考点清单，4个考点清单+4种题型解读） 【清单01】 锐角的三角比定义 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即； 余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即； 正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即； 余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即； 【清单02】 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 【清单03】特殊角的三角比 1 1 【清单04】锐角的三角比 【考点题型一】求角的三角比（共10题） 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求锐角的正切值；画出图形，过A作轴于B，则由点A的坐标可得，由正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过A作轴于B， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ，，， ， ，故A错误； ，故B错误； ；故错误； ，故D正确； 故选：D． 3．（23-24九年级上·上海金山·期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点作轴于点，则，，再由正切的定义得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 4．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过作轴，构造直角三角形，可得直线与轴夹角的正弦值． 【详解】解：过作轴，交轴于点，则， ∵， ∴， 在中，， 直线与轴夹角的正弦值， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．由题意可知，，可设，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意可知，， 设，则， ∴． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知等腰三角形的腰与底边之比为，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、余弦函数的定义．从顶点向底边作高，构造直角三角形，可得底角的余弦值． 【详解】解：设等腰三角形的腰为，底边为， ， 如图，即，， 过作，交于点， ，， 在中，， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为 ． 【答案】 【分析】如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，，由，可知是直角三角形，，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，， 设正方形的边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切值，勾股定理；利用勾股定理求出的长，再将转化成即可解决问题． 【详解】解：令， 在中，． 在中，． 则， 解得， 则 ． 又因为，， 所以． 在中， ； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作于点，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋转的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，，， 由题意得， 解得， ∴， ∵， 解得， ∴， 由旋转的性质得，，则， ∴的正切值， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键． （1）证明是的中线，是的中线即可得到结论． （2）根据重心的性质得到，求出的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中线， ， ， 是的中线， 点是的重心； （2）解：点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 【考点题型二】已知三角比求边长（共8题） 1．（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：画图如下： A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项正确，符合题意；     C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．过，设与交于，根据折叠的性质得垂直平分，再由菱形的性质得，再根据正切函数的定义得出，设则，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】过，设与交于， 有折叠可知，垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点P为正方形对角线上的动点，点E在边上，连接，且，平分交边于F． (1)求证： (2)若，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，即； （2）过作于，延长交于点H，连接，，证明，得出，证明，得出，证明，可得，证明，则，设，则，，由勾股定理得，则，，， ，由（1）可知，，即，解得，由，可得，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由正方形的性质可得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过作于，延长交于点H，连接，，如图所示：    由正方形的性质可得，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， ∴，，， ， 由（1）可知，， 即， 解得， ∵， ∴， 则， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】(1) (2)①见解析；②3 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角三角形中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数． (2)如图2，若，且，在平面内，将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取一点，使得，证明，根据全等三角形的性质和等边对等角以及邻补角的性质求出，然后根据四边形内角和定理即可得出答案； （2）先证明是等边三角形，再证明，得出，进一步得出，延长至，使，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得出为等边三角形后即可求解； （3）确定点的轨迹，得到圆心点，得到，利用翻折的性质得到，设，求出，，，利用面积法求出，得出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图1，在上取一点，使得， ∵，， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， 延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴ ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∴， 由旋转的性质得， ∴， 在上截取，连接，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即； （3）由（2）知， ∴轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3-2，作于L， 设， 在中，，即， ∴， ∴，， 设与交于点R，则垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切等知识，涉及知识点较多，解决本题的关键是理解题意，正确作出辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，. (2)在中，；在中， (3)存在，在中，；在中， 【分析】（1）根据题意表示出和即可. （2）分情况讨论，当时，①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时， 有．分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可. （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义得出，,再根据三角形面积公式可得出，代入求解出t的值. 当时，点P与C重合．即代入求解出t的值. 【详解】（1）解：，， ∴，. （2）当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E． ∴，, 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键. 【考点题型三】特殊角三角比混合运算（共8题） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的混合运算：先化简各个特殊角的函数值，再进行分母有理化，最后进行加减混合运算，即可作答． 【详解】解： ． 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算．先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解． 【详解】解： 5．（23-24九年级上·上海静安·期末）计算：. 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将各角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 6．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；利用特殊角三角函数化简即可． 【详解】解：原式 ． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数值．先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】 【考点题型四】三角函数综合题（共6题） 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，点C是射线上的动点，连接，作，动点E在延长线上，连接，当时，的长是 【答案】5或 【分析】过点C作于N，过点D作延长线于M，连接，，设则，再证可得，，由点C、M、D、E 四点共圆可得是等腰直角三角形，于是，由勾股定理求得可得，在中由勾股定理建立方程求得x，进而得出答案 【详解】解∶如图，过点C作于N，过点D作延长线于M，连接， 设， ， ，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中∶ ，， ， 点C、M、D、E四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， 中，， 中，，， 中，， ， ， 解得：或， ， 或， 【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得． （3） 根据的角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标． 【详解】（1）解：根据题意得直线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． ，． 在中，，． （2）解：过点作轴交轴于点，则． ． ，． ，，． ．点的坐标为．    （3）解：如图所示： ，． ，．又， 满足题意的点在的延长线上，且 设点()，则． ，，． (ⅰ)当时，，即， 则． 解得． 点的坐标为． (ⅱ)当时，，即． 解得． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或．    【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键 4．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 5．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且． (1)当时，连接，求的余切值； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)连接，若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）先根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质求出的长，利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可求出的余切值； （）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式； （）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一得到，从而得到与重合，进而得出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理解答即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴若为等腰三角形，只有或两种可能． ①当时，如图①， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴此时与重合， ∴； ②当时，点在的延长线上， 过点作于点，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 锐角的三角比（考点清单，4个考点清单+4种题型解读） 【清单01】 锐角的三角比定义 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即； 余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即； 正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即； 余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即； 【清单02】 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 【清单03】特殊角的三角比 1 1 【清单04】锐角的三角比 【考点题型一】求角的三角比（共10题） 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海金山·期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 6．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知等腰三角形的腰与底边之比为，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 ． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为 ． 8．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是 ． 9．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是 ． 10．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【考点题型二】已知三角比求边长（共8题） 1．（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 5．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点P为正方形对角线上的动点，点E在边上，连接，且，平分交边于F． (1)求证： (2)若，求的值 6．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 7．（24-25九年级上·上海·期中）在锐角三角形中，，点D，E分别是边，上一动点，连接交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数． (2)如图2，若，且，在平面内，将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【考点题型三】特殊角三角比混合运算（共8题） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 2．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）计算：． 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）计算：． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）计算：． 5．（23-24九年级上·上海静安·期末）计算：. 6．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期末）计算：． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【考点题型四】三角函数综合题（共6题） 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，点C是射线上的动点，连接，作，动点E在延长线上，连接，当时，的长是 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 5．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且． (1)当时，连接，求的余切值； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)连接，若为等腰三角形，求的长． 6．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$