专题02 相似三角形（考点清单，2个考点清单+7种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02 相似三角形（考点清单，2个考点清单+7种题型解读） 【清单01】 相似三角形的判定 相似三角形的 【清单02】相似三角形的性质 注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握. 【考点题型一】相似三角形的判定（共6题） 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3 ．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 5．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 6．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型二】相似三角形的性质（共7题） 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为 ． 3．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是 ． 4．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图，矩形中，边上有一动点M，，，，，当时，那么 ． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点和点，点C 是的中点，点P在坐标轴上，直线截，所得的三角形与相似，那么点P的坐标是 ． 7．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 【考点题型三】重心相关知识（共7题） 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 2．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，点G为等腰直角三角形的重心，，连接，如果，那么 ． 4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在中，，点G为重心，连接并延长，交于点F，如果，那么的长是 ． 5．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为 ． 7．（23-24九年级上·上海崇明·期末）定义：P为内一点，连接，在和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称P为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，是边上的中线，如果的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么的余切值为 ． 【考点题型四】相似三角形的性质与判定综合（共13题） 1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于 ． 2．（2024·上海浦东新·一模）如图，与交于点，且．若，则 ． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点，，，那么△DEF的周长是 ． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在梯形中，，，，点E在上，且，过点E作交于点F，则 ． 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，梯形中，，，，E、F分别是、的中点，、相交于点G，、相交于点H，则 ． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，把矩形对折，折痕为，点E在边上，点F在边上，连接，点G为边上一点，将沿着翻折，使点B落在线段上的点H处，若，那么的值为 ． 7．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在梯形中，，，点E是中点，如果点F在上，线段把梯形分成面积相等的两个部分，那么 ． 9．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 11．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 12．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，．求 (1)线段的长； (2)的面积． 13．（2024·上海宝山·一模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长． 【考点题型五】相似三角形的实际应用（共4题） 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 2．（24-25九年级上·上海·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 3．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 4．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【考点题型六】相似三角形的证明（共8题） 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在中，是上的一点，且    (1)求证：； (2)在图中画的平分线，分别交边、于点、，求证：． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知：，． (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是菱形． 5．（2024·上海·模拟预测）如图，在等腰中，，D是底边上一点，E是线段上一点，，设，，关于k值的问题，小张和小吴同学有不同观点： 小张同学：我认为k是一个定值，随着图形的运动，存在某种不变的数量关系 小吴同学：我认为k是一个变量，随自变量β的改变而改变 请你判断哪个同学的说法是真命题，并说明理由． 6．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边上，，与相交于点F，． (1)尺规作图：作交于H（保留作图痕迹即可）； (2)求证：； (3)求证：． 7．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 【考点题型七】与相似三角形有关的几何综合题（共4题） 1．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 2．（2024·上海·三模）我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，与交于点． (1)若时，求的值； (2)当时， 若，，设，，求与之间的函数关系式． 连接，若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形（考点清单，2个考点清单+7种题型解读） 【清单01】 相似三角形的判定 相似三角形的 【清单02】相似三角形的性质 注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握. 【考点题型一】相似三角形的判定（共6题） 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似行的判定，掌握各角相等，各边成比例的图形是相似形是解题的关键． 【详解】解：A． 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，是真命题； B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题； C． 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； D． 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； 故选A． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 3 ．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据与相似，可得，，，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：与相似，点分别对应点， ，，， ①分别是与的角平分线时：，， ， 又， ；故①正确； ②分别是与的中线时，，， ， ， 又， ；故②正确； ③分别是与的高时，现有条件不足以证明，故③错误； 综上可知，添加①或②时，可以证明与相似 故选A． 4．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质． 根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两 边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形 是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x， ；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D． 【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意； B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意； C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意； D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相似，与相似， 故选：． 6．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 【考点题型二】相似三角形的性质（共7题） 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比． 【详解】解：∵，如果与的相似比为2，与相似比为4， ，， 设，则，， ， ∴与的相似比为8． 故选：D． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长比为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算． 【详解】解：∵，如果它们对应高的比， ∴和的相似比是 ∴和的面积比是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长之比等于． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图，矩形中，边上有一动点M，，，，，当时，那么 ． 【答案】1或3 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴, ∴, 解得或3． 经检验或3是方程的解且符合题意． 故答案为：1或3 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点和点，点C 是的中点，点P在坐标轴上，直线截，所得的三角形与相似，那么点P的坐标是 ． 【答案】或或. 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，解题关键在于对不同情况的讨论． 根据题意可以分情况进行讨论：①,②,③,根据三种情况进而求出点P坐标． 【详解】解：根据题意可以分情况进行讨论： ① 此时：, 因为, 进而得出, ， ② 此时：, 因为, 进而得出, ， ③ ∵, ∴， 此时：, 进而得出, , 故答案为： 或或. 7．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∴， ∴只要满足，都能满足题意；    如图所示，当时， ∵直线把分成面积相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是． 故答案为：    【考点题型三】重心相关知识（共7题） 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到，然后根据平行得到，进而得到计算是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 又∵为的重心，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，点G为等腰直角三角形的重心，，连接，如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中心的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的中心是三角形三条中线的交点．延长交于点E，连接并延长，交于点F，过点A作的平行线，交延长线于点D，通过证明，得出，，则，再证明，推出，即可求解． 【详解】解：延长交于点E，连接并延长，交于点F，过点A作的平行线，交延长线于点D， ∵，为等腰直角三角形，， ∴， ∵点G为三角形的重心， ∴为中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在中，，点G为重心，连接并延长，交于点F，如果，那么的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了重心，关键是掌握重心的性质．因为是重心，连接并延长，交于点，可得是边的中线，，即，在中，，可得． 【详解】解：点为重心，连接并延长，交于点， 是边的中线， ， ， 点是重心， ， ， 故答案为：1． 5．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，先根据旋转的性质得到，，，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明得到，所以，然后利用相似比得到的值，从而得到的值，熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴，，， ∵点为的重心， ∴为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为 ． 【答案】 【分析】延长交于F，过G作于G，直线交于E，证明，得，同理可得，即有，根据G为的重心，，得，设，根据勾股定理列式计算可得答案． 【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 7．（23-24九年级上·上海崇明·期末）定义：P为内一点，连接，在和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称P为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，是边上的中线，如果的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么的余切值为 ． 【答案】或 【分析】分为两种情形：，从而得出，设，则，从而得出，，进而计算出，进而求得，进一步得出结果；当时，作于，利用第一种情形的数据，同样的方法得出结果． 【详解】解：如图，    ∵， ∴不可能与相似， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∵是的重心， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ； 当时，，作于，如图所示：   ，， ， ， ， ， ， ∴， ； 综上所述：的余弦值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形重心，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 【考点题型四】相似三角形的性质与判定综合（共13题） 1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．先求出的长，然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，负值舍去， 经检验是原方程的解， ∴的长为4． 故答案为：4． 2．（2024·上海浦东新·一模）如图，与交于点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点，，，那么△DEF的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的三等分点， 的周长：的周长 的周长． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在梯形中，，，，点E在上，且，过点E作交于点F，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，梯形，解决本题的关键是将梯形问题转化为三角形的问题，即平移一腰，是常用的作辅助线的方法之一． 作交、于、两点，将问题转化到中，利用相似三角形的判定和性质求，由进行求解． 【详解】解：如图，作交、于、两点， ，， 四边形与均为平行四边形，， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，梯形中，，，，E、F分别是、的中点，、相交于点G，、相交于点H，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．先求出，，再证明，得到，则，证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，，E、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，把矩形对折，折痕为，点E在边上，点F在边上，连接，点G为边上一点，将沿着翻折，使点B落在线段上的点H处，若，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的折叠问题等知识．设则，设与相交于点M，则，得到，，，证明，则，解得，即可得到的值． 【详解】解：设则，设与相交于点M， ∴， ∵把矩形对折，折痕为，点E在边上，点F在边上， ∴，，， ∵将沿着翻折，使点B落在线段上的点H处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 7．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平面直角坐标内点的坐标，勾股定理， 根据点A和点的坐标，结合，可得，再作轴，作轴，可知，，根据勾股定理求出，然后证明，可得，可求出，再根据勾股定理求出，进而求出，最后根据点在第四象限得出答案． 【详解】∵点A的坐标是，点的坐标是， ∴． ∵， ∴． 如图所示， 过点B作轴，过点作轴， ∵点B的坐标为，点A的坐标是， ∴，， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标是． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在梯形中，，，点E是中点，如果点F在上，线段把梯形分成面积相等的两个部分，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到，证明，即可求解． 连接，过作交于，交延长线于，由，得到，由点是中点，得到的面积的面积，由线段把梯形分成面积相等的两个部分，得到的面积的面积，由三角形面积公式得到，由，得到，即可求出． 【详解】解：连接，过作交于，交延长线于， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴的面积的面积， ∵线段把梯形分成面积相等的两个部分， ∴的面积的面积， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点恰好落在边上，以及点恰好落在边上时的值，即可得出线段的取值范围． 【详解】解：当点的对应点恰好落在边上时，如图： 由折叠的性质知，，， 又矩形中，， 四边形是正方形， ， ； 当点的对应点恰好落在边上时，如图， 由折叠的性质知， ， 又矩形中，， ， ， 又， ， ，即， ， ， 线段的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【答案】或 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 11．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，．求 (1)线段的长； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定； （1）根据，进而根据平行线分线段成比例得出，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 13．（2024·上海宝山·一模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解答的关键是运用相关知识得到线段之间的比例关系．证，得到，再由可得，求得的长度，从而求得的长度． 【详解】解：， ，， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， ∴ ， ，，， ， 解得：， ， ． 【考点题型五】相似三角形的实际应用（共4题） 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里，， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 【详解】解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 3．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 4．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 【考点题型六】相似三角形的证明（共8题） 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在中，是上的一点，且    (1)求证：； (2)在图中画的平分线，分别交边、于点、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由，得，即可证明结论； （2）由角平分线的性质及三角形的面积可证得，根据，得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：画出的平分线，如图所示，    设点到，的距离分别为，，点到的距离为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又由（1）可知，，得， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知：，． (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，即可证得． （2）连接，连接，交于点H，先证明四边形是平行四边形，再证得，即可证得，则得到，又由，即可证得四边形为菱形． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：证明：连接，连接，交于点H， 如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理等． 5．（2024·上海·模拟预测）如图，在等腰中，，D是底边上一点，E是线段上一点，，设，，关于k值的问题，小张和小吴同学有不同观点： 小张同学：我认为k是一个定值，随着图形的运动，存在某种不变的数量关系 小吴同学：我认为k是一个变量，随自变量β的改变而改变 请你判断哪个同学的说法是真命题，并说明理由． 【答案】小张的说法是真命题，理由见解析 【分析】在上截取，连接，作交直线于，先证明，再证明是等腰三角形，得到，再证明，列出比例式，即可得出结论． 【详解】解：小张的说法是真命题，理由如下： 在上截取，连接，作交直线于， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴，，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个定值，与的数量关系与的度数无关； 故小张的说法是真命题． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 6．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边上，，与相交于点F，． (1)尺规作图：作交于H（保留作图痕迹即可）； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法得出，即可得出答案； （3）根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵，     ∴， ∵=， ∴， 即 =． ∵， ∴． ∴． （3）∵≌， ∴，． ∵ ，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 7．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， （2）∵， ∴， ∴， 【考点题型七】与相似三角形有关的几何综合题（共4题） 1．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 2．（2024·上海·三模）我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 【答案】(1) (2)见详解 (3)或时，、分别是、的黄金分割点 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）先证明，得，由，得，再证明，得，所以，再分两种情况讨论，一是，可证明，所以，则、分别是、的黄金分割点；二是，先探究出当、分别是、的黄金分割点时，，再证明当时，则，，所以、分别是、的黄金分割点． 【详解】（1）解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：． （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）解：或时，、分别是、的黄金分割点， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若，如图③， 则， 当时，则， ， 、分别是、的黄金分割点； 若，如图④， 设，则， 由可知， ， 当时，由得， 整理得， 解关于的方程得，（不符合题意，舍去）， ，， 、分别是、的黄金分割点． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法与应用、黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合与分类讨论数学思想的运用，求得所有符合题意的结论． 3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)10 (2) (3)或1 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长； （2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值； （3）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作交于点，   ，， ，， ， ， ； （3）解：当， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 当时，在上截取点M，使，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，与交于点． (1)若时，求的值； (2)当时， 若，，设，，求与之间的函数关系式． 连接，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）延长交的延长线于点，先证明出，进而求得，然后证明出，即可求出的值； （2）如下图，作，垂足分别是，延长交的延长线于点，证明，在中可得到与的关系式； 作，垂足是，连接，延长交的延长线于点，设，证明，再证明可以求出结论． 【详解】（1）解： 延长交的延长线于点，如图所示： ，，点是的中点， ，，， ， ， 又， ， ， ，且，， ； （2）解：如下图，作，垂足分别是，延长交的延长线于点， ， 四边形均是矩形， ， ， ，即， 由（1）知， ，， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ； 如下图，作，垂足是，连接，延长交的延长线于点， 设，则由知， ， ， 由知， ，即垂直平分，垂直平分， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$