24.2 圆的基本性质（第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 24.2 圆的基本性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1. 结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质. 2. 能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题 (重点、难点)． 学习目标 活动1：圆的旋转对称性 如图,在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´，把两张纸叠在一起， 使⊙O和⊙O´重合，用图钉钉住圆心.将上面一个圆旋转任意一个角度，两个 圆还能重合吗？ O(O´) 归纳:圆是旋转对称图形， 旋转中心为圆心. 新知探究 圆心角的定义 · O B A 如图，∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为 . 圆心角：我们把顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角. 概念归纳 如图，当∠AOB=∠A'OB'时，你能猜测出两个圆心角所对的 与 、弦AB与弦A'B'、弦心距OM与弦心距OM'之间有怎样的关系? 活动2：圆心角、弧、弦、弦心距间关系 猜想： ，弦AB=弦A'B'、 弦心距OM=弦心距OM' 新知探究 在图中，根据圆的旋转对称性，把∠AOB连同 绕圆心О旋转，使线段OA与OA'重合,设∠A'OA=α. ∵∠AOB= ∠A'OB'， ∴∠B'OB= ∠A'OB'+∠A'OB = ∠AOB +∠A'OB= α ∴线段OB与线段OB'重合. 又∵OA =OA'，OB =OB' ， ∴旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合. 这样，AB与A'B'重合，弦AB与弦A'B'重合， 弦心距OM 与弦心距OM'也重合， 即 ，AB =A'B' ，OM = OM'. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 几何语言：在同圆或等圆中， ∵∠AOB=∠A'OB' ∴ AB =A'B' ，OM = OM'， 概念归纳 圆心角 相等 弦 相等 弧 相等 弦心距 相等 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得出什么结论？如果两条弦相等呢？ 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等. 这个推论可简记为： 在同圆或等圆中， 概念归纳 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. A B O D C 新知探究 活动3：探究圆心角与所对弧的度数的关系 把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是 的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 份. 一般地，n°的圆心角对着 的弧，n°的弧对着 的圆心角. 也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数 . 1° 360 我们把每一份这样的弧叫做1°的弧. n° n° 相等 新知探究 例4 已知：如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上. 求证： ∠AOB= ∠BOC = ∠COA =120°. A B C O 证明：连接OA，OB，OC. ∵ AB=BC=CA， ∴∠AOB =∠BOC =∠COA 课本例题 例5 已知，如图，点O是∠A平分线上的一点，☉O分别交∠A的两边于点C，D和点E，F. 求证：CD=EF. 证明：过点O作OK⊥CD，OK'⊥EF，垂足分别为K，K'. ∵OK=OK'(角平分线性质)， ∴CD=EF. O A D E F C K' ∟ ∟ K 课本例题 解 连接OE. ∵ 为40°，∴∠COE=40°. ∵OC=OE， ∴∠C= ∵CE∥AB， ∴∠AOD=∠C=70° ∴∠BOD=180°-70°=110° 例6 如图，AB、CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB， 为40°，求∠BOD的度数. O C E A B D 课本例题 1.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，OF分别为AB，CD的弦心距， 填空： (1)如果AB=CD．那么　　 ，　　 ，　　 ． (2)如果OE=OF，那么　　 ，　　 ，　　 ． (3)如果 = ，那么　　 ，　　 ，　　 ． (4)如果∠AOB=∠COD，那么　　 ，　　 ，　　 ． 课本练习 ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD ∠AOB=∠COD； AB=CD， ∠AOB=∠COD OE=OF； AB=CD OE=OF． 15 2.如图，在两个同心圆中，∵∠AOB=∠COD，∴ = .这种说法对吗？说明理由。 【解析】解：这种说法错误． 理由：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 两个同心圆的半径不等，所以结论错误． 16 3.圆的一条弦把圆周分成1：2的两部分，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角． 【解析】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M， 则AM=BM； ∵ ，∴∠AOB= ， 又∵OA=OB，∴∠AOM=∠BOM=60°， ∴sin∠AOM= = ， ∴AM= ，AB=2AM= ； ∵∠AOB=120°， 即这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角分别为5 、120°． 17 1．[2024·泉州五中期中]下列图形中的角是圆心角的是(　　) B 分层练习-基础 18 D 19 3．[2024·上海静安区二模]对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是(　　) A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 A 20 21 【答案】C 22 5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8 cm，那么弦AB＝________ cm. 8 23 ①②③ 24 7．[2024·南宁一模]如图，当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时，摆角∠AOB＝2α，点C是弧AB的中点，连接OC交AB于点D，若OA＝20 cm，则AB的长为________cm.(结果用到α相关的三角函数) 40sin α 28 分层练习-巩固 30 【答案】C 32 【答案】B 10．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向行走．按照 这种方式，小华第五次走到场地边缘 时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°， 则α的度数是________． 52° 【点拨】连接OC，OD，则∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠EDO＝α.因为OA＝OB＝OC＝OD＝OE，所以∠ABO＝∠BCO＝∠CDO＝∠DEO＝α，所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝180°－2α.因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOE＋∠AOE＝360°，所以4(180°－2α)＋56°＝360°，所以α＝52°. 34 11. 如图，大连森林动物园“浪漫之星”摩天轮是大连市著名建筑之一．已知摩天轮是一个圆形，匀速旋转一周需20 min.小明测得摩天轮上A处顺时针旋转到B处需6 min，且这两处到地面的 距离(AC和BD)都恰好为 64 m，OF⊥MN交⊙O于 点E，EF＝8 m. (1)劣弧AB所对的圆心角度数为________； 108° 35 (2)请你帮助小明估算摩天轮的半径．(结果取整数，参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38) 36 12．[2024·杭州主城区八校联考]如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC. 分层练习-拓展 37 (1)求证：△AOB≌△AOC； 38 (3)当△OCD是直角三角形时，求B，C两点之间的距离． 【解】连接BC. ①如图①，当∠ODC＝90°时， ∵BD⊥AC， ∴AD＝DC，∠ODA＝90°，AB＝BC. ∴BA＝BC＝AC. ∴△ABC是等边三角形. ∴∠BAC＝60°. 39 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 相等 弦 相等 弦心距 相等 课堂小结 2．已知AB是⊙O的弦，若OA＝，AB＝2，则所对的圆心角的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是(　　) A.＝ B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD 【点拨】∵OB⊥AC，BC＝CD， ∴＝，＝，故A正确； ∴＝3， ＝. ∴∠AOD＝3∠BOC，AC＝BD，故B正确； ∴AC＝BD＜BC＋CD＝2CD，故C错误； ∵＝，∴OC⊥BD，故D正确.故选C. 6．如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则：①BE＝CF；②＝；③＝；④PA＝AE，其中结论正确的是________(填写序号)． 【点拨】∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD， ∴OE＝OF.连接OA，OC，如图所示. 在Rt△AOE和Rt△COF中， ∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL). ∴AE＝CF，∠AOE＝∠COF. ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴由垂径定理可得AE＝BE，CF＝DF. ∴BE＝CF，故①正确； ∵AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，AE＝CF， ∴AB＝CD.∴＝，故②正确； 连接OB，OD，如图所示.易知∠POE＝∠POF. ∵＝，∴∠AOB＝∠COD. 又∵∠AOE＝∠COF，∴∠BOE＝∠DOF. ∴∠BOE＋∠POE＝∠DOF＋∠POF，即∠BOP＝∠DOP. ∴∠BOG＝∠DOG.∴＝，故③正确； 题中条件无法证明PA＝AE，故④不正确. 【点拨】∵点C是弧AB的中点， ∴AD＝BD，OD⊥AB，∠AOC＝∠AOB. 又∵∠AOB＝2α，∴∠AOD＝α. ∴sin∠AOD＝sin α＝.又∵OA＝20 cm， ∴AD＝OA·sin α＝20·sin α＝20sin α(cm). ∴AB＝2AD＝40sin α cm. 8．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是(　　) A．AB＝AC　　 B．AC＝2AB C．AC<2AB 　 D．AC>2AB 【点拨】如图，连接BC. ∵＝2，∴＝. ∴AB＝BC. ∵AB＋BC＞AC， ∴2AB＞AC，故选C. 9．[2024·滁州模拟]如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E在线段BC上，CE＝5，以点C为圆心，CE长为半径作弧交AC于点D，交BC的延长线于点F，以点F为圆心，DE长为半径作弧，交于点G，连接CG，过点G作GH⊥BF，垂足为 点H，则线段GH的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【点拨】∵以点F为圆心，DE长为半径作弧， 交于点G，∴＝.∴∠GCH＝∠ACB. ∵GH⊥BF，∴∠GHC＝90°. 又∵∠B＝90°，∴∠GHC＝∠B. ∴△CGH∽△CAB.∴＝.∵AC＝＝＝10，CG＝CE＝5，∴＝.∴GH＝3. 【解】如图，连接AB，作OG⊥AB. 由(1)知∠AOB＝108°， ∴∠BOG＝∠AOB＝54°. 易知GF＝BD＝64 m．∵EF＝8 m， ∴OG＋OE＝64－8＝56(m). 设OE＝x m，则OG＝(56－x) m，OB＝x m. cos∠BOG＝＝≈0.59， 解得x ≈35.∴摩天轮的半径约为35 m. 【证明】在△AOB和△AOC中， ∴△AOB≌△AOC(SSS). (2)当BA＝BD时，求所对的圆心角的度数； 【解】∵△AOB≌△AOC，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OAC＝∠OBA. ∴∠BAD＝∠OAB＋∠OAC＝∠OBA＋∠OBA＝2∠ABD. ∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠ABD.∴5∠ABD＝180°. ∴∠ABD＝36°.∴∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝180°－36°－36°＝108°.∴所对的圆心角的度数为108°. 由(1)知△AOB≌△AOC， ∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC＝30°. ∴OD＝OA＝×1＝. ∴AD＝＝. ∴BC＝AC＝2AD＝2×＝； ②如图②，当∠COD＝90°时， ∵BD⊥OC，OB＝OC， ∴△OBC是等腰直角三角形. ∴BC＝＝＝. 综上所述，B，C两点之间的距离为或. $$