专题08 整式的乘法（4大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题08 整式的乘法 幂运算 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知：，则是（    ）位正整数． A．10 B．9 C．8 D．5 3．（23-24八年级上·四川内江·期末）若，则（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 4．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）计算： ． 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知，则代数式 ． 整式的乘除 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）若，则的值是 ； 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）若的计算结果为，则 ． 4．（22-23七年级下·四川达州·期末）已知，则 ， ． 5．（23-24八年级上·四川巴中·期末）若的乘积中不含项，则m的值是 ． 6．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算：． 7．（22-23八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（23-24八年级上·四川广安·期末）近年来，武胜县秉承“公园城市”的建设理念，打造了黄林溪山体公园、叶家山生态公园、中滩湿地公园等一批精致的特色城市公园，大大提升了市民的幸福感．如图，某公园内有一块长为、宽为的长方形地块，现计划在中间留一块边长为的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积；（用含a，b的式子表示） (2)当时，求绿化部分的面积． 平方差公式 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）计算： ； 2．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则 ． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知， (1)求的值； (2)求和的值． 4．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，先将图1中边长为的大正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，然后沿直线将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形．根据图和图的面积关系可以写出的等式是（    ）（用含，式子表示） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，从边长为的大正方形纸板的边上挖去一个边长为的小正方形纸板后，沿着小正方形的缺口，将其裁成两个长方形，然后拼成一个长方形．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·四川达州·期末）乘法公式的探究及应用．    (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达） (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①                   ② 完全平方公式 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川达州·期末）已知，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知：，则（     ） A．1 B． C． D． 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知是完全平方式，则的值为（    ） A．1 B．或1 C．6或 D． 5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，则 6．（23-24七年级下·四川达州·期末）已知，则 ． 7．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．    (1)图②中的阴影部分的边长为______； (2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式； (3)若，，求的值． 8．（23-24七年级下·四川达州·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． (2)请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 9．（22-23七年级下·四川达州·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若，，直接写出的值为___________； (2)类比应用：填空： ①若，则___________； ②若，则___________； (3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．    1．（23-24八年级上·四川内江·期中）已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 2．（22-23九年级上·四川遂宁·期末）已知实数、满足条件：，那么 3．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）探索规律： … 根据规律，回答下列问题． (1)___________ (2)_____________ (3)求的值；（请写出解题过程） (4)若，请直接写出的值，并直接写出的值的个位数字． 4．（22-23八年级上·四川广安·期末）已知 ．观察下列等式： ； ； ； …… (1)猜想：___________； (2)证明你在（1）中的猜想； (3)根据你的猜想计算：． 5．（23-24七年级上·四川达州·期末）（1）先化简，再求值：的值，其中 （2）我们规定，试计算． 6．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 整式的乘法 幂运算 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算．逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】解：∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知：，则是（    ）位正整数． A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方公式的逆用．利用积的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解： ． 故M是10位正整数． 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川内江·期末）若，则（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可．熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：C． 4．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B正确，符合题意； C. ，故选项C正确，不符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，由恒等变形计算即可得到答案，熟记积的乘方的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，先把已知等式的左边写成底数是的幂，然后根据同底数幂的乘除法则进行计算，从而求出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 整式的乘除 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）若，则的值是 ； 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式运算法则运算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）若的计算结果为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵的计算结果为， ∴， 解得：， 故答案为：6． 4．（22-23七年级下·四川达州·期末）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】根据多项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，∴，故答案为：，． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川巴中·期末）若的乘积中不含项，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式．先根据多项式乘多项式的运算法则展开，再根据不含项，令系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含项， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】 ． 7．（22-23八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式除以单项式和多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 8．（23-24八年级上·四川广安·期末）近年来，武胜县秉承“公园城市”的建设理念，打造了黄林溪山体公园、叶家山生态公园、中滩湿地公园等一批精致的特色城市公园，大大提升了市民的幸福感．如图，某公园内有一块长为、宽为的长方形地块，现计划在中间留一块边长为的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积；（用含a，b的式子表示） (2)当时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)绿化部分的面积为 (2)绿化部分的面积为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的应用、整式的化简求值化简求值等知识点，正确的列出代数式是解题的关键． （1）根据“绿化面积=矩形面积-正方形面积”列代数式，然后利用多项式乘多项式法则、及完全平方公式化简即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：绿化部分的面积 ． 答：绿化部分的面积为． （2）解：当时，． 答：绿化部分的面积为． 平方差公式 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用以及有理数的乘方运算，根据运用平方差公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则 ． 【答案】9 【分析】先将变形为，变形为，然后把看作一个整体，利用平方差公式来求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平方差公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式：． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知， (1)求的值； (2)求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式，以及解二元一次方程组；熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）已知第二个等式左边利用平方差公式化简，把第一个等式代入求出的值即可； （2）联立求出与的值即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：联立得：， ①+②得：，解得：， 将代入②得， ． 4．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，先将图1中边长为的大正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，然后沿直线将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形．根据图和图的面积关系可以写出的等式是（    ）（用含，式子表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个图形中阴影部分面积线段，得出等式即可求解． 【详解】解：图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，依题意， 根据图和图的面积关系可以写出的等式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键． 5．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，从边长为的大正方形纸板的边上挖去一个边长为的小正方形纸板后，沿着小正方形的缺口，将其裁成两个长方形，然后拼成一个长方形．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阴影部分面积等于矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积； 故选B． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景．正确的识图，用两种方式表示出阴影部分的面积，是解题的关键． 6．（22-23七年级下·四川达州·期末）乘法公式的探究及应用．    (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达） (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①                   ② 【答案】(1) (2)，， (3) (4)①99.91；② 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，有理数的混合运算，整式的混合运算，利用数形结合求解是解题关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是； 故答案为：，，； （3）（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4）① ； ② ． 完全平方公式 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算和求算术平方根，根据计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川达州·期末）已知，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知：，则（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，乘方运算，因为，所以，解得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴，∴， 则， 故选：B 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知是完全平方式，则的值为（    ） A．1 B．或1 C．6或 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或1． 故选：B 5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，则 【答案】1 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，算术平方根的非性，代数式求值． 首先依据非负数的性质求得，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 6．（23-24七年级下·四川达州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式求值，利用完全平方公式变形求值，先利用多项式乘多项式的法则展开，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：90． 7．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．    (1)图②中的阴影部分的边长为______； (2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键． （1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论； （2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式； （3）根据（2）的结论，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可知：图②中画有阴影的小正方形的边长， 故答案为：； （2）解：观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积， 即：； （3）解：由（2）得：； ∵，， ∴， ∴． 8．（23-24七年级下·四川达州·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． (2)请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值： （1）利用阴影部分的面积是边长分别为的两个正方形面积之和边长为的正方形面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，故，，即可得出结果；②设，，则，进而得到，再由推出，据此求出，由此可得答案． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，； （3）解：①由（2）题结论可得， ∵， ∴ ， ； ； ②设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 9．（22-23七年级下·四川达州·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若，，直接写出的值为___________； (2)类比应用：填空： ①若，则___________； ②若，则___________； (3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．    【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】（1），即可求解； （2）①，即可求解；②可求，即可求解； （3）设，，可得，可求，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案：． （2）解：① ， ， ， 故答案：； ②因为， 所以， ， ， 故答案：． （3）解：设，， 则，所以； 由题意得， 因为， 所以 ， 所以． 所以原有长方形用地的面积为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，掌握、、、之间的关系是解题的关键． 1．（23-24八年级上·四川内江·期中）已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的混合运算和完全平方的非负性，及不等式的基本性质． 先将整理成，然后将已知条件所给的式子整体代入得结果为．根据和，求出的取值范围，即可求出的最小值，即的最小值． 熟练掌握完全平方的非负性，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ． ， ． ， ，，， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 2．（22-23九年级上·四川遂宁·期末）已知实数、满足条件：，那么 【答案】37 【分析】设，，可得，，代入原式可得，根据乘方运算的非负性，即可求得，，即可求得，，据此即可解答． 【详解】解：设，， 则，， 得，， ， ， ， ， ，， ，， ，， 解得，， 经检验：是方程的解， ， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了换元法的应用，乘方运算的非负性，解无理方程，代数式求值问题，采用换元法求得x、y的值是解决本题的关键． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）探索规律： … 根据规律，回答下列问题． (1)___________ (2)_____________ (3)求的值；（请写出解题过程） (4)若，请直接写出的值，并直接写出的值的个位数字． 【答案】(1) (2) (3)；解题过程见解析 (4)值的个位数字6 【分析】（1）根据题目中给出的规律进行计算即可； （2）根据题干给出的规律进行计算即可； （3）令，则，根据，得出，即可得出答案； （4）先求出，根据的末位数字是3，的末位数字为9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是243……，得出的末位数字是以3，9，7，1四个数字一循环，求出的末位数字是7，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：． （3）解：令， 则， ∴， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴ ， 的末位数字是3，的末位数字为9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是243……， ∴的末位数字是以3，9，7，1四个数字一循环， ， ∴的末位数字是7， 的末位数字是6， 即的个位数字为6． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，乘方的末位数字规律，尾数特征，解题的关键是从简单情形入手，发现规律，解决问题． 4．（22-23八年级上·四川广安·期末）已知 ．观察下列等式： ； ； ； …… (1)猜想：___________； (2)证明你在（1）中的猜想； (3)根据你的猜想计算：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可； （2）利用多项式乘多项式法则进行求解即可； （3）利用（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）∵； ； ； …… ∴， 故答案为：； （2）证明： ； （3）解： = ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，数字的变化规律，解答的关键是对应的运算法则的掌握． 5．（23-24七年级上·四川达州·期末）（1）先化简，再求值：的值，其中 （2）我们规定，试计算． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，定义新运算，掌握整式混合运算法则是解题的关键． （1）先根据整式的混合运算去括号，合并同类型，再代入求值即可； （2）根据定义新运算的计算方法把展开，再根据整式的混合运算即可求解． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）∵， ∴，， ∴原式． 6．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 7．（22-23七年级下·四川成都·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式， （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图3的面积即可； （3）设正方形的边长m，正方形的边长为n，由于两个正方形面积之和为，且得，，用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得； 掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 【详解】（1）解：图2“整体”上是边长为的正方形，因此面积为，图2中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：图3“整体”上是棱长为的正方体，因此体积为，分割成的8个部分的体积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长m，正方形的边长为n， 由于两个正方形面积之和为，且， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴ ＝． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$