八年级数学上册期末检测卷-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

2024-2025学年八年级数学上册期末检测卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边的关系，三角形的三边关系是：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．在判断时，只要两条较短的边之和大于最长的边即可组成三角形， 【详解】解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，不能组成三角形； C选项：，能组成三角形； D选项：，不能组成三角形； 故选：C． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形直接回答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．某电影院2排 B．泗州大桥 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序实数对是解题的关键．根据确定位置需要一组有序实数对，再对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、某电影院2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B、泗州大桥，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项符合题意． 故选：D． 4．已知点都在直线上，正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象过二、三、四象限 C． D．与y轴交点为 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值的大小、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，图象与坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】∵中，， ∴y随x的增大而减小，故A错误； ∵， ∴图象过二、一、四象限，故B错误； 当时，， 当时，， ∴，故C正确； 当时，， ∴与y轴交点为，故D错误． 故选：C． 5．周末，洋洋参加了褐马鸡放归活动．如图是宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据A点的坐标为，B点的坐标为确定出坐标轴的位置，即可求得C点的坐标． 【详解】解：由表示嘴部A点的坐标为，表示尾部B点的坐标为，得出坐标系如图所示： ∴表示足部C点的坐标为． 故选：C． 6．如图，在中，，点在上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 故选： D． 7．如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（　　） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得：，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】由已知可得，． 在和中， ． 米． ，两点间的距离为15米． 故选：B． 8．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ， ， 或， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上可知，点Q运动速度为或， 故选D． 9．甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ） ①乙的速度为7千米/时；    ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米；   ④A、B两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象的运用，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键． ①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度； ②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程甲走的路程就可以求出结论； ③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距地的距离； ④求出乙到达终点的路程就是，两地距离． 【详解】解：①由题意，得 甲的速度为：千米时； 设乙的速度为千米时，由题意，得 ， 解得：． 即乙的速度为7千米时， 故①正确； ②乙到终点时甲、乙相距的距离为： 千米，故②正确； ③当乙追上甲时，两人距地距离为： 千米．故③正确； ④，两地距离为： 千米，故④错误． 综上所述：正确的有①②③． 故选：C． 10．已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先证，可得，，可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得，，可得④正确． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵为的角平分线，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故结论③错误； ④由③知， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，； 故逆命题错误； 故答案为：假． 12．如图，平分，请你添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【详解】解： 平分， ， ∵为公共边， ∴添加，利用可以证明； 添加，利用可以证明； 添加，利用可以证明； 故答案为：（答案不唯一）． 13．中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 14．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 【答案】 4 400 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数的图像及应用，二元一次方程组的应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键．根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方体铁块的体积，设注水的速度为，圆柱的底面积为，结合题意建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得，12秒时，水槽内水面的高度为，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为； 没有立方体时，水面上升从到，所用的时间为：秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满； 根据题意：正方体的体积为：， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意得：， 解得， 水槽的底面面积为． 故答案为：4；400． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 16．如图，中，已知点，，． (1)作关于x轴对称的； (2)分别写出点、、关于y轴对称的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，， 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质； （1）利用轴对称变换的性质即可； （2）利用轴对称变换的性质即可． 【详解】（1）解：，，， ，，和，，关于x轴对称， ，，； 如图，即为所求作． （2）点、、关于y轴对称的点的坐标分别为，，； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在中，点分别在边上，，，与交于点． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（）由三角形内角和定理可得，进而可得，再根据三角形内角和定理计算即可求解； （）如图，设，，可得，，，再根据三角形外角性质可得，据此即可求证； 本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴． 18．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 (1)在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； (2)声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； (3)某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3) 【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了运用函数概念解决实际问题,理解题意是解题的关键． （1）结合题意运用函数的定义进行求解即可； （2）根据表中信息，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大，得到答案； （3）根据路程速度时间进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）解：由题意得，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大， 声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： （） 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图所示，已知，，点E在上． (1)判断点A是否在的平分线上，并说明理由； (2)当时，求的长度． 【答案】(1)点A是否在的平分线上，理由见解析 (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）利用证明，得到，即可判断点A是否在的平分线上； （1）由得到，，，再利用证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A是否在的平分线上； （2）解：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 20．2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． (1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ (2)购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 【答案】(1)A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元 (2)购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用， （1）设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设购买，两种龙年吉祥物共花费元，写出关于的函数，根据它的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， （元， ∴A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元． （2）解：设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个． 根据题意，得， 解得． 设购买，两种龙年吉祥物共花费元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，， 购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元． 六、（本题满分12分） 21．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；②图见解析， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 七、（本题满分12分） 22．如图，在中，，边在x轴上，已知点，，点P是边所在直线上一点，过点P分别作于点D，于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)设点P的横坐标为m， ①当点P在边上时，求四边形的周长（用含m的代数式表示）； ②关于B，C，D三点，当其中一点是另外两点构成线段的中点时，请直接写出四边形的周长． 【答案】(1)； (2)①m+9；②12或32或40 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法即求函数表达式，矩形的判定，坐标与图形性质，一次函数的性质，解决本题的关键是分类思想的应用． （1）利用待定系数法即可得直线的函数表达式； （2）①表示出、的长，即可得四边形的周长； ②分三种情况写出四边形的周长即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）①∵点P的横坐标为m，直线的解析式为， ∴， ∵，点，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形的周长为； ②∵，，， ∴， 由①知，四边形是矩形， 当D是的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 当C是的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 当B是的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 综上，四边形的周长为12或32或40． 8、 （本题满分 14 分） 23．如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标； (2)如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、坐标与图形综合 【分析】（）作轴，证，得到，进而根据点的横坐标为即可求解； （）延长交延长线于点，证明和，可得，进而即可求解； （）作轴，证和，可得和，据此即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则， ∵，， ∴, ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴, ∴点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵， ∴， ∵轴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，作轴于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，余角性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上册期末检测卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．某电影院2排 B．泗州大桥 C．北偏东 D．东经，北纬 4．已知点都在直线上，正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象过二、三、四象限 C． D．与y轴交点为 5．周末，洋洋参加了褐马鸡放归活动．如图是宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，再在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为（　　） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 8．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 9．甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ） ①乙的速度为7千米/时；    ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米；   ④A、B两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 12．如图，平分，请你添加一个条件： ，使． 13．中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 14．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 16．如图，中，已知点，，． (1)作关于x轴对称的； (2)分别写出点、、关于y轴对称的点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在中，点分别在边上，，，与交于点． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 18．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 (1)在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； (2)声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； (3)某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图所示，已知，，点E在上． (1)判断点A是否在的平分线上，并说明理由； (2)当时，求的长度． 20．2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． (1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ (2)购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 六、（本题满分12分） 21．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 七、（本题满分12分） 22．如图，在中，，边在x轴上，已知点，，点P是边所在直线上一点，过点P分别作于点D，于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)设点P的横坐标为m， ①当点P在边上时，求四边形的周长（用含m的代数式表示）； ②关于B，C，D三点，当其中一点是另外两点构成线段的中点时，请直接写出四边形的周长． 8、 （本题满分 14 分） 23．如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标； (2)如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$