专题07 三角形中的几何模型-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

专题07 三角形中的几何模型 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 题型归纳 【考点01“8”字模型】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）平面上、、、、、六点，构成如图所示的图形，则度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 在四边形中，连接，如图所示， ，， 在中，； 在中，； ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，，试求 ； 【答案】 【解析】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，已知，则的度数为 度． 【答案】240 【解析】解：如下图所示：    由题知，，， ，， ， ， ， 故答案为：240． 4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，把五角星的顶点B移动到边上．求：的度数． 【答案】 【解析】解：如图所示，设和交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ． 【考点02飞镖模型】 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ， 故选择：A 2．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，，求的度数． 【答案】 【解析】解：在中，，， ． 平分， ． 在中，，， ， ． 于， ， ． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知，求的度数． 【答案】 【解析】解：在中，，则， 是的一个外角， ， 是的一个外角，， ． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【解析】（1）解：如图1，延长交于， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 如图2，延长交于，记的夹角为， ∵分别是和的角平分线， ∴，，即，， 由题意知，，， ∴，即． 【考点03风筝模型】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，两面镜子和的夹角，当光线经过镜子后反射，，，则入射光线与第三条反射光线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， ∵， ∴， 由折叠性质得，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图①，②，，，，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：，，， 图①中，， ， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【考点04 双内角平分线模型】 1．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， ， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故选A． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则 ； （3）如图，在中，分别是“邻三分线”和“邻三分线”，且，求的度数． 【答案】（）；（）；（）． 【解析】解：（）∵，，是的“三分线”， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴． ∵分别是“邻三分线”和“邻三分线”， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则______，为“______倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点． ①求的度数． ②若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)，5 (2)①；②或 【解析】（1）解：（1）在△中，，， 则， 最大，最小，且， △为“5倍角三角形”， 故答案为：，5； （2）①解：， ， 的角平分线相交于点， ，， ， ， ②为“4倍角三角形”， 或， 当时，， 当时，，则， 综上所述，的度数为或． 【考点05 一内角一外角双角平分线模型】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：是的平分线，是的平分线， ，， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 故答案为：． 2．（21-22七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴；故②正确， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确， 综上正确的有：①②④． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则______； ②猜想：的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1)①45；②不变化，理由见解析； (2)． 【解析】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：45； ②的度数不随A，B的移动发生变化，始终是，理由如下： 设，则， ∴， ∵是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D， ∴，， ∴， ∴， 在中，； （2）解：∵，， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【考点06 一线三等角模型】 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【解析】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·海南·期中）如图1所示，已知在中，，，直线经过点，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为、． (1)如图1，当直线在、两点同侧时，求证：①；②； (2)若直线绕点旋转到图2所示的位置时，其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； (3)若直线绕点旋转到图3所示的位置时其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】(1)①证明见解析  ②证明见解析 (2)；见解析 (3) 【解析】（1）证明：①，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【解析】（1）证明：如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）解： 当 ，时，， 四边形的面积为． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【解析】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【考点07倍长中线模型】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【解析】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， . ， ， ． 2．（24-25八年级上·江西赣州·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）①证明见解析；② 【解析】（1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）解：，， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ②解：由①可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由见解析 【解析】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 【答案】[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解 【解析】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [问题解决]（2）∵， ∴， ∵， ∴，即点是中点， 如图所示，延长到点，使得， ∵点是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点， ∵，，，点共线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点08半角模型】 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°． (2)设． ①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或，对应图形见解析 【解析】（1）； 理由：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①； 理由：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或； 当点D在线段上移动时，，证明见小问①； 当点 D在线段线的延长线上时,如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在射线的反向延长线上时,如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）（1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的思路是延长到点G，使得，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论是 ．请你帮他完善证明过程． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O的北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心O的南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且两舰艇之间的夹角为（即），请直接写出甲、乙两舰艇之间的距离为 海里． 【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析；（3）210 【解析】解：（1）他的结论是，理由如下： 延长到点G，使得，连接，如图1， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）结论是成立，理由如下： 延长到点G，使得，连接，如图2， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）连接，延长相交于点C， ∵， ， ∴， 又∵， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）的结论成立，证明见解析；（3）的周长为 【解析】解∶（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 4．（24-25八年级上·重庆万州·期中）按要求解答下列问题： (1)如图1，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．求证：； (2)如图2，在四边形中，，、分别是边、上的点，且，请先写出、、之间的数量关系再证明； (3)如图3，在四边形中，，、分别是边、延长线上的点，且，请直接写出、、之间的数量关系（不证明）． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3) 【解析】（1）解：如图，延长到，使，连接， 在与中， ； （2）， 证明：如图，延长到，使， 在与中 即 在与中 即 ； （3），理由如下， 证明：在上截取，使，连接， 在与中 ． 【考点09 手拉手模型】 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【解析】（1）证明：， ，即， 在和中， ； （2）解： 理由如下： ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级上·宁夏固原·期中）数学越学越聪明，不信你试试：如图，是等腰三角形、是等腰三角形， ，，，直线与交于． (1)探究1：与有什么关系？、有什么数量关系？ (2)探究2：与有什么关系？写出证明过程． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，证明见解析 【解析】（1）解：，，理由如下： 如图①：∵， ∴． 即． 在和中， ， ∴． ∴． 图②，图③， 同理可得：． ∴． （2）解：，理由如下： 如图①，记，的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴． 图②，图③， 同理可得：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【解析】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，， ，， ， ，， 得：， ， 由和得：， ， ， 同理， ， … ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川德阳·期中）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 4．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：、，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，原选项错误，符合题意， 、∵平分，平分，， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵平分， ∴， ∵，， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 5．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤由④得，， ∵， ∴， ∴，故结论⑤不正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 6．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：在正方形和中，，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； 设、相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 点E作的延长线于P，过点G作于Q， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故④正确， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，D为上一点，，在的右侧作，使，，连接，与相交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 故选：A． 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在和中，，，，，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设与相交于点，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， 则 ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级上·新疆·期中）如图，的度数是 度． 【答案】 【解析】解：将线段交点为，再将交点为，如下图所示： ∵，， ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，和的角平分线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：∵和的角平分线交于点， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 【答案】 【解析】解：∵当时，， ∴； ∵当时，， ∴． 由可知，． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【解析】解：由题意知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 15．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，四边形中，与相交于点O，且，点E是和平分线的交点，连接，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【解析】解：， ， ∴， ∵点E是和平分线的交点， ∴，， ， ， 故①正确； ∵点E是和平分线的交点， ∴ ∵， ， ，， ∴， ∴， 故③是正确的； 则是等腰直角三角形， ∵点E是和平分线的交点，， ∴， ∵， ， ，， 过点A作的延长线，过点D作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 故④是正确的； ∵， ∴的大小关系不知道， 则无法证明和全等， ∴不一定成立， 故②是错误的， 故答案为：①③④． 16．（21-22八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确， ∵若． ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题 17．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与的延长线相交于点Q． (1)若，则_____°，_____°； (2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化求出的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的的度数为_____． 【答案】(1)115，25； (2)不变化， ， ； (3)或或． 【解析】（1）解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， 故答案为：；； （2）解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（1）可知：， 在中，； （3）解：由（1）（2）可知：在△中，，，， 当若中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，有以下4中情况： ①当时，则， 解得：； ②当时，则， 解得：； ③当时，则， 解得：； ④当时，则， 解得：， 综上所述：若中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，的度数为或或， 故答案为：或或． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期中）（1）如图1，在中，点在延长线上，点在线段上，连接交于点和的平分线交于点． ①若，，则的度数为_____； ②猜想出、和之间的数量关系为_____，并证明； （2）如图2，在中，点在线段上，点在延长线上，连接交于点，和的平分线交于点，直接写出和之间的数量关系为_____． 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【解析】（1）①如图，连接， ，， ，， ， 和的平分线交于点， ， ， ， ． ②，证明如下， 在中，， ， ， 和的平分线交于点， ， ， ， ， ． （2）如图，连接， 在中，， ， ， ， ， 和的平分线交于点， ， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·河南周口·期中）综合与探究 (1)如图1，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点，作于点，于点，若，．则的长为______； (2)如图2，在中，，，过点C在外作直线，于点，于点．求证：； (3)在（2）的条件下，过点作直线与线段相交，直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)或 【解析】（1）解：四边形为正方形 ， 于点，于点 在和中 ， , ， 故答案为：3． （2）证明：， 于点，于点 在和中 ， （3）解：或 ①如图1，易证得 ， ②如图2，易证得 ，    20．（24-25八年级上·河北邢台·期中）【探究发现】如图1，在中，是的中线，作，边交延长线于M点，求证：． 【初步应用】如图2，在中，，，是中线，则的取值范围为______； 【探究提升】如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，连接，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】探究发现：见解析；初步应用；探究提升：，，理由见解析． 【解析】探究发现：证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； 初步应用：如图，延长至，使得，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系得，， ∴， ∴， 故答案为：； 探究提升：解：，，理由如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 由（）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形中的几何模型 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 题型归纳 【考点01“8”字模型】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）平面上、、、、、六点，构成如图所示的图形，则度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，，试求 ； 3．（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，已知，则的度数为 度． 4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，把五角星的顶点B移动到边上．求：的度数． 【考点02飞镖模型】 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，，求的度数． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知，求的度数． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【考点03风筝模型】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，两面镜子和的夹角，当光线经过镜子后反射，，，则入射光线与第三条反射光线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图①，②，，，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 【考点04 双内角平分线模型】 1．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，，，则 ． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则 ； （3）如图，在中，分别是“邻三分线”和“邻三分线”，且，求的度数． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则______，为“______倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点． ①求的度数． ②若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【考点05 一内角一外角双角平分线模型】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到，则的度数是 ． 2．（21-22七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则______； ②猜想：的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． (2)如图2，若，，求的度数． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【考点06 一线三等角模型】 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 2．（24-25八年级上·海南·期中）如图1所示，已知在中，，，直线经过点，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为、． (1)如图1，当直线在、两点同侧时，求证：①；②； (2)若直线绕点旋转到图2所示的位置时，其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； (3)若直线绕点旋转到图3所示的位置时其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【考点07倍长中线模型】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 2．（24-25八年级上·江西赣州·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 【考点08半角模型】 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°． (2)设． ①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）（1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的思路是延长到点G，使得，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论是 ．请你帮他完善证明过程． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O的北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心O的南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处且两舰艇之间的夹角为（即），请直接写出甲、乙两舰艇之间的距离为 海里． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 4．（24-25八年级上·重庆万州·期中）按要求解答下列问题： (1)如图1，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．求证：； (2)如图2，在四边形中，，、分别是边、上的点，且，请先写出、、之间的数量关系再证明； (3)如图3，在四边形中，，、分别是边、延长线上的点，且，请直接写出、、之间的数量关系（不证明）． 【考点09 手拉手模型】 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 2．（23-24八年级上·宁夏固原·期中）数学越学越聪明，不信你试试：如图，是等腰三角形、是等腰三角形， ，，，直线与交于． (1)探究1：与有什么关系？、有什么数量关系？ (2)探究2：与有什么关系？写出证明过程． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川德阳·期中）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）个． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，D为上一点，，在的右侧作，使，，连接，与相交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在和中，，，，，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·新疆·期中）如图，的度数是 度． 10．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 11．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，和的角平分线交于点，若，则的度数为 ． 12．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是 ． 15．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，四边形中，与相交于点O，且，点E是和平分线的交点，连接，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号为 ． 16．（21-22八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与的延长线相交于点Q． (1)若，则_____°，_____°； (2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化求出的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的的度数为_____． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期中）（1）如图1，在中，点在延长线上，点在线段上，连接交于点和的平分线交于点． ①若，，则的度数为_____； ②猜想出、和之间的数量关系为_____，并证明； （2）如图2，在中，点在线段上，点在延长线上，连接交于点，和的平分线交于点，直接写出和之间的数量关系为_____． 19．（24-25八年级上·河南周口·期中）综合与探究 (1)如图1，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点，作于点，于点，若，．则的长为______； (2)如图2，在中，，，过点C在外作直线，于点，于点．求证：； (3)在（2）的条件下，过点作直线与线段相交，直接写出线段，和之间的数量关系． 20．（24-25八年级上·河北邢台·期中）【探究发现】如图1，在中，是的中线，作，边交延长线于M点，求证：． 【初步应用】如图2，在中，，，是中线，则的取值范围为______； 【探究提升】如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，连接，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$