专题04 三角形、命题与证明-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

专题04 三角形、命题与证明 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：三角形中的边角关系 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形． 2.三角形的“三元素”：顶点、边、内角． 3.三角形分类 （1）按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形和等边三角形） （2）按角分：直角三角形、斜三角形（锐角三角形、钝角三角形） 4.三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 三角形中任何两边的和大于第三边 ，， 两点之间线段最短 三角形中任何两边的差小于第三边 ，， 5.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 知识点 2 ：几条重要的线段 1.角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 2.中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线； 3.三角形的重心：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心； 4.每条三角形的中线都可以将三角形分成面积相等的两个三角形；三条中线将原三角形分成面积相等的6个三角形。 5.三角形的高线：从三角形一个顶点向它所对的边做垂线，所得线段叫做这条边上的高． 知识点 3 ：命题与证明 1.命题：对某一事件作出正确或不正确判断的句子（或式子）叫做命题． 2.命题的结构：命题由题设（条件）和结论两部分组成．题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 3.命题的种类： （1）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题． （2）假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． 4.反例： 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子称之为反例． 5.定理：有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据．这样的真命题叫做定理．     6.证明： 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）．演绎推理的过程，就是    演绎证明，简称证明． （1）证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实（公理）、定理等． （2）证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．     7.证明的一般步骤： （1）审题，分清命题的题设和结论； （2）画图，结合图形写出已知和求证； （3）分析因果关系，找出证明途径； （4）有条理地写出证明过程．     题型归纳 【考点01三角形的三边关系】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 在四边形中，，，，，则的值不可能是（     ） A．13 B．12 C．11 D．10 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为 ． 【考点02与三角形的高有关的计算】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，的高与的比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，垂足为点． 则的长为 ． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【考点03根据三角形的中线求长度和面积】 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【考点04三角形内角和定理的证明和应用】 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． 若，分别求和的度数； 若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【考点05直角三角形的两锐角互余】 1．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，分别是的角平分线，高，且，求的度数． 3．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【考点06三角形外角的定义与性质】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 2．（24-25八年级上·四川广元·期中）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ． 3．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 4．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【考点07判断命题的真假】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．有理数和数轴上的点一一对应 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 3．（24-25八年级上·海南儋州·期中）下列命题∶ ①若，，则； ②若恰好是另一个整式的平方，则常数的值为； ③若图是由个全等的小正方形拼成，则； ④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形全等，其中假命题的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25八年级上·河南周口·期中）（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【考点08写出命题的逆命题】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 3．（24-25八年级上·湖北·期中）请你写出一个逆命题为真命题的命题 4．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的余角小 C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的边上的中线，是的边上的中线， 是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且，（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是高线，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在一副直角三角板中，两块三角板（和）各有一条直角边与直线重合，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为 ． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，的度数为 ． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 14．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角的平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形的内角的角平分线交于点E，的角平分线交于点F． (1)若，则______；_____； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，AD是的平分线，P为线段AD上一个动点，于点P，交BD的延长线于点E． (1)若，，求和； (2)若，，求的度数； 17．（24-25八年级上·江西南昌·期中）在中，平分交于点D，点E是线段上的动点（不与点D重合），过点E作交射线于点F，的平分线所在直线与射线交于点G．如图，点E在线段上运动． (1)若，，则的度数是______；的度数是______； (2)设，，请用含m的式子表示n，并说明理由； 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 19．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)如图，入射光线经过次反射后与反射光线交于点．若，求的度数； (2)如图，图，若，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，分别写出与之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点D、E是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令，，． (1)若点P在线段BC上，如图1所示，，则______； (2)若点P在边BC上运动，如图2所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (4)若直线l在点A上方，且，点P在l上运动，点D到直线l的距离大于点E到直线l的距离，如图4，则、、之间的关系为______．（写出所有可能的结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形、命题与证明 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：三角形中的边角关系 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形． 2.三角形的“三元素”：顶点、边、内角． 3.三角形分类 （1）按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形和等边三角形） （2）按角分：直角三角形、斜三角形（锐角三角形、钝角三角形） 4.三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 三角形中任何两边的和大于第三边 ，， 两点之间线段最短 三角形中任何两边的差小于第三边 ，， 5.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 知识点 2 ：几条重要的线段 1.角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 2.中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线； 3.三角形的重心：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心； 4.每条三角形的中线都可以将三角形分成面积相等的两个三角形；三条中线将原三角形分成面积相等的6个三角形。 5.三角形的高线：从三角形一个顶点向它所对的边做垂线，所得线段叫做这条边上的高． 知识点 3 ：命题与证明 1.命题：对某一事件作出正确或不正确判断的句子（或式子）叫做命题． 2.命题的结构：命题由题设（条件）和结论两部分组成．题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 3.命题的种类： （1）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题． （2）假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． 4.反例： 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子称之为反例． 5.定理：有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据．这样的真命题叫做定理．     6.证明： 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）．演绎推理的过程，就是    演绎证明，简称证明． （1）证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实（公理）、定理等． （2）证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．     7.证明的一般步骤： （1）审题，分清命题的题设和结论； （2）画图，结合图形写出已知和求证； （3）分析因果关系，找出证明途径； （4）有条理地写出证明过程．     题型归纳 【考点01三角形的三边关系】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，不能组成三角形； C选项：，能组成三角形； D选项：，不能组成三角形； 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【答案】D 【解析】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 在四边形中，，，，，则的值不可能是（     ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】D 【解析】解：设长为x，根据题意，得，， 故解集为， 故13，12，11都可以，10不可能． 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为 ． 【答案】或或或 【解析】解：分三种情况讨论： ①， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； ②， 解得：， ， 解得：， ∴， 此时，不合题意舍去； ③， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 综上所述：的整数值为或或或． 故答案为：或或或． 【考点02与三角形的高有关的计算】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解∶∵与是高， ∴， ∴， 故选∶B． 2．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，， ， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，垂足为点． 则的长为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)；(2)8 【解析】（1）解：∵在中，， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； 故答案为：，. （2）解：∵在中， ，，， 的面积为． 【考点03根据三角形的中线求长度和面积】 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵是边上的高 ∴ ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解：是的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1)8(2)10 【解析】（1）解：由题意得：， ∵， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为17， ， ， 的周长． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1)(2)的周长 【解析】（1）解：由题意得：， 又，， ， 又是偶数， ； （2）解：是的中线， ． 的周长为10， ， ， ， ， 又， 的周长． 【考点04三角形内角和定理的证明和应用】 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，，， ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． 若，分别求和的度数； 若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)，； 的度数为，或； (2)的度数为． 【解析】（1），， ； 平分， ， ， ； ， ， 当时，如下图所示，； 当时，如下图所示，， ； 当时，如下图所示， ， ∴． 综上，当直线与的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ． 【考点05直角三角形的两锐角互余】 1．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 【答案】(1)(2)，证明见解析 【解析】（1）解：是的角平分线， ， 是边 上的高， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过A作于G， ， ， ， 由（1）得， ． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，分别是的角平分线，高，且，求的度数． 【答案】 【解析】解：∵中，， ∴； ∵分别是的角平分线， ∴， 又∵是的高， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是边上的高，且，， ， ， ， 是边上的中线， ． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)或 【解析】（1）解：∵平分，且， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：①如图，当时，则； ②如图，当时， 则， ∴； 综上，的度数为或． 【考点06三角形外角的定义与性质】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【答案】A 【解析】解：延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增加， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川广元·期中）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ． 【答案】 【解析】解：如图． ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：平分，， ， 是的高， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 4．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． 【考点07判断命题的真假】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A． 两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B． 周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5 的三角形和一个边长为 4、4、4 的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C． 若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； D． 若，则x可以是大于 0 的数，也可以是小于 0 的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．有理数和数轴上的点一一对应 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意； C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·海南儋州·期中）下列命题∶ ①若，，则； ②若恰好是另一个整式的平方，则常数的值为； ③若图是由个全等的小正方形拼成，则； ④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形全等，其中假命题的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】解：①若，， 则， ，故为①假命题； ②若恰好是另一个整式的平方，则常数的值为，故②为假命题； ③若图是由个全等的小正方形拼成， ，，， ，， ， ，故③为真命题； ④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形不一定全等，当角为两边的夹角时相等，故④为假命题； 综上，假命题有个， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南周口·期中）（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）真命题，理由见解析． 【解析】解：（1）， ． ，， ， ， ； （2）是真命题，理由： ， ． ， ， ． ， ． 【考点08写出命题的逆命题】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【答案】B 【解析】解：A、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意； B、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意； D、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意． 故选B． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A、逆命题为能被整除的数一定是偶数，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为若，则，错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北·期中）请你写出一个逆命题为真命题的命题 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【解析】解：如命题：同位角相等，两直线平行； 逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题． 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 “如果，那么，互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的余角小 C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】解：A.若，则，故选项是假命题； B. 任何一个角不一定都比它的余角小，故选项是假命题； C. 一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，故选项是假命题； D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项是真命题； 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的边上的中线，是的边上的中线， 是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且，（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解：∵D为的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是高线，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A.∵是中线， ∴，故A正确，不符合题意； B.∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C.∵是角平分线， ∴，故C正确，不符合题意； D.∵和中，，但、边上的高相等， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 7．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在一副直角三角板中，两块三角板（和）各有一条直角边与直线重合，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：， 又， ， ， 是直角三角形； ， 设，则，， 又， ， ， ， 是直角三角形； ， ， ， 是直角三角形； ， 设，则， 又， ， ， ，， 不是直角三角形； ， ，， 又， ， ， 不是直角三角形； 综上，能确定是直角三角形的条件有，共个， 故选：． 二、填空题 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：解：如图，   ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，的度数为 ． 【答案】或或 【解析】解：设，则， ∵ ∴ ∵为“高倍三角形” 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：（舍）； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：；（舍） 当时， 即 ，解得：；（舍） 故答案为：或或 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【解析】解：当在内部时，如图： ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 当在外部时，如图： 则：； 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 【答案】 【解析】解：（1）如图，连接，      ， ∵平分，平分， ， ， ， 故答案为： （2）由折叠可知：， ， ． 即． 故答案为： 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【答案】(1)(2)22或24 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵三角形的最长边为， ∴，即：； （2）由（1）可知，，，， 则此三角形的周长为， ∵此三角形的周长为偶数， ∴为奇数，则或11， ∴或24， ∴此三角形的周长为22或24． 14．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角的平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形的内角的角平分线交于点E，的角平分线交于点F． (1)若，则______；_____； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1)220，110 (2)，理由见解析 【解析】（1）解：∵， ∴． ∵、的角平分线交于点F， ∴，， ∴； ∵四边形的内角和为， ∴． ∵四边形的内角、的角平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴； （2）．理由如下： ∵， ∵四边形的内角、的角平分线交于点E，、的角平分线交于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，AD是的平分线，P为线段AD上一个动点，于点P，交BD的延长线于点E． (1)若，，求和； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)， (2)的度数为． 【解析】（1）解：在中，， ∵AD平分， ∴ ． ∵是的外角， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 17．（24-25八年级上·江西南昌·期中）在中，平分交于点D，点E是线段上的动点（不与点D重合），过点E作交射线于点F，的平分线所在直线与射线交于点G．如图，点E在线段上运动． (1)若，，则的度数是______；的度数是______； (2)设，，请用含m的式子表示n，并说明理由； 【答案】(1)；(2)，见解析 【解析】（1）∵， ∴， ∵平分 ∴． ∵， ∴． 故答案为：；； （2）． 理由如下： ∵是是一个外角， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 19．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)如图，入射光线经过次反射后与反射光线交于点．若，求的度数； (2)如图，图，若，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，分别写出与之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）． 【答案】(1) (2)，． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点D、E是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令，，． (1)若点P在线段BC上，如图1所示，，则______； (2)若点P在边BC上运动，如图2所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (4)若直线l在点A上方，且，点P在l上运动，点D到直线l的距离大于点E到直线l的距离，如图4，则、、之间的关系为______．（写出所有可能的结果） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【解析】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， 即； （4）解：当点在点右侧，点上方时，设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ， 即， 当点在点左侧，点上方时，设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ， 即； 当点在点上方时，如图，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， 综上：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$