期末各名校真题-压轴必刷题（60题）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版2024）

期末各名校真题-压轴必刷题（60题） 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 2．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．观察下面三行数： ，，， ① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 9．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 11．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 12．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 13．下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 14．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 15．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 16．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 17．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 19．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 20．找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 21．按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A．B． C． D． 22．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 23．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 24．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 25．根据图中数字的列规律，在第个图中，的值是（    ）    A． B． C． D． 26．观察下列三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，则应是从左到右对应的列数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 27．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 28．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 29．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（   ）时，与平行．（   ） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 30．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 31．实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的高度处连通(即管子底端离容器底)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入(    )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高． A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3 32．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 二、填空题 33．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则为 ． 34．下列说法中 ①，； ②若，则有； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤，，则的值为3或． 正确的判断是 ． 35．A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 36．将实数按图所示方式排列．若用表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是 ． 三、解答题 37．探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧： 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①__________； ②__________． 【问题探究】 （2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 38．国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 39．如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 40．已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______； (3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？ 41．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 42．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 43．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 44．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 45．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 46．已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 47．观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第8个数分别是______，______，______； 第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则______． (2)用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2045，求圈住的这5个数． (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为a，若，直接写出n的值______． 48．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 49．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 50．材料信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．已知数轴上有、、三点，表示的有理数分别是、、．点和点间距24个单位长度，点、到原点的距离相等，点表示的有理数是18．在数轴上有两个动点和，点表示的数为．解决下列问题： (1)点A表示的有理数是 　　，点B表示的有理数是 　　； (2)若，则　　； (3)的最小值为 　　； (4)若动点P从O点出发向数轴正方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒．同时动点Q从C点出发向数轴负方向运动，运动速度为3个单位长度/秒．当t等于多少秒，点P到A的距离等于点Q到B的距离． 51．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 【答案】(1) 52．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 53．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是__________．此时表示数a的点与表示数__________的点重合． (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒， ①在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； ②若点在点的右侧且线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最小值是__________； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是__________． 54．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 55．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数． (3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值． 56．综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，且和，，，． (1)在图1中，，求的度数； 【深入探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； 【拓展应用】 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 57．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，直角三角板． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点．若，则________°． (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点分别在上，的平分线与的平分线交于点．若，求的度数． (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点仍然分别在上．如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 58．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 59．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 60．如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（60题） 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 2．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①不符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①错误； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为： ， 当时，，说法④正确， 故选：B． 3．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图， 从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3和4，进而确定正方体上下两面是2和5，在底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出答案． 【详解】解：由题意可知还原这个立体图形的形状， 左视图中的2的对面是5，紧临的是3，其对面是4，再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1，右面是3，上下两个面就是2，5相对； 当底面是5，上面是2，紧临的是6，其对面是1，接触的两个面上的数字之和为8，则★应该是7，不可能； 所以底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4，接下来紧临的还是4，则★为其对面，所以是3． 故选：B． 4．观察下面三行数： ，，， ① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，根据每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为，即可得即，，，再代入代数式计算即可求解，根据每行所给数找出规律是解题的关键． 【详解】解：由每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为， ∴第①②③行的第个数分别为，，， 即，，， ∴ ， 故选：． 5．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 6．如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的数的运算，乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点在线段上和线段上，以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：点在线段上， ∴， ∵； ∴ 点在线段上， ∴， ∵； ∴ 综上： ∴点到三点的距离之和的最大值为，最小值为， ∴ 故选：D． 7．在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，寻找规律式即可求解，解题的关键是寻找规律 【详解】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，共6个相乘， ∴ 故选：C 8．如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 9．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 10．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 11．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 12．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，设出正方形的边长，根据甲的速度是乙的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答，根据题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵乙的速度是甲的速度的倍，时间相同， ∴甲乙所行的路程比为， 把正方形的每一条边平均分成份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ∴四次一个循环， ∵， ∴它们第次相遇在边上， 故选：． 13．下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是观察图形，探究变化规律． 根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求解． 【详解】解：观察图形，可知： 第①个图形有4个，即， 第②个图形有9个，即， 第③个图形有14个，即， 第④个图形有19个，即， … 第n个图形有个， 当时，． 第⑧个图形中的个数为39． 故选：B． 14．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 15．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 16．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 17．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④． 【详解】解：当点落在BC边上时， 由折叠性质得：， 则， ， 故①正确； 当点落在△ABC内部时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 故②正确； 当点落在△ABC上方时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 即； 故③正确； 当时， 若点在下方，如图， ， ； 由折叠性质得：， 即； 而， ， ， 即； 若点在上方，如图， ， ； 由折叠性质得：， ， 综上，或； 故④正确． 故选：D． 18．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 19．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 20．找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， ， ∴当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 21．按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键． 【详解】解：分子，，，，的规律为， 分母，，，，的规律为， 符号的规律为， 故第个数为， 故选：． 22．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查对程序框图的理解，以及根据数字找规律，根据程序框图计算出后面几次的输出结果，根据输出结果的特点，找出其规律，即可解题． 【详解】解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， 为偶数，， 第3次输出的结果是3， 为奇数，， 第4次输出的结果是8， 为偶数，， 第5次输出的结果是4， 为偶数，， 第6次输出的结果是2， 为偶数，， 第7次输出的结果是1， 为奇数，， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 故选：B． 23．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键． 设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答． 【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了, 由题意得:,解得：,即分针走了, ∵分针每分钟转度, ∴张老师散步的时间 (分钟) ． 故选A． 24．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴（分钟）， 故选：． 25．根据图中数字的列规律，在第个图中，的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形中有关数字的变化规律，通过观察图形，得到，，，把代入求出的值，再把的值代入到计算即可求解，仔细观察图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：通过观察可得规律：左边三角形上的数字 ， 右边三角形上的数字， 下面三角形上的数字， ∴当时， ，，， ∴， 故选：． 26．观察下列三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，则应是从左到右对应的列数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】观察第一行的数字可得第一行第个数为：，观察第一行与第二行的数字可得第二行第个数为：，观察第一行和第三行的数字可得第三行第个数为：，根据题意得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：第一行数为：，，，，，，…， 第一行第个数为：， ，，，，，，…， 第二行每个数是第一行相应数加上2所得， 第二行第个数为：， ，，，，，，…， 第三行每个数是第一行相应数除以2所得， 第三行第个数为：， 存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642， ， 为偶数， ， ， 解得：， 故选：C 27．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可找出规律：，从而可将化为，对其进行裂项运算，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 第个图：； ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 28．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各角的关系可求出的度数，由，利用两直线平行，同旁内角互补可求出的度数． 【详解】解：根据图2可知折叠了2次，即，， 根据图可知折叠了次还差个， ． ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出的度数是解题的关键． 29．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（   ）时，与平行．（   ） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 【答案】D 【分析】分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，， ∴，， 要使，则， 即， 解得； 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， 要使，则， 即， 解得， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∴，， 要使，则， 即， 解得， 此时， 而， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 30．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，，再脱去绝对值，进行整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 所以． 故选：C 【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，绝对值的化简，整式的加减等知识，理解题意，正确判断出绝对值内各式的符号是解题关键． 31．实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的高度处连通(即管子底端离容器底)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入(    )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高． A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3 【答案】D 【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生 的高度差． 【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前， 由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为/分钟， 所以当乙中水位为时满足条件，所用时间为： (分钟)； 当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为，容器乙中的水位为时，满足题意， 设注水时间为x，则，解得 (分钟)， 要使乙中水位高出甲，则需注水的时间为：分钟． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水． 32．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 33．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，先表示出，再求出y，最后再求解x即可． 【详解】解：设正方形框内部分为，如图 则由题意得，， ∴， 则， ∴， 解得：， 由 得， ∴， ∴， 由， 得： ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 34．下列说法中 ①，； ②若，则有； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤，，则的值为3或． 正确的判断是 ． 【答案】②④/④② 【分析】绝对值的意义和除法法则，判断①，绝对值的意义，乘法法则判断②；两点间的距离判断③；化简绝对值，进行计算，判断④，根据两正一负，两种情况进行讨论求解，判断⑤． 【详解】解：，则：；故①错误； 若，则：或， ∴或， ∴；故②正确； A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则：，解得：，或，解得：或，故③错误； 若代数式的值与x无关，则： ；故④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴均为负数不成立， 当两正一负时，则：中两个，一个1，和为； ∴的值为；故⑤错误； 故答案为：②④ 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间的距离，化简绝对值，有理数的运算，一元一次不方程的应用，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 35．A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 36．将实数按图所示方式排列．若用表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有： 个数，根据数的排列方法找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算即可，判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 【详解】从图示中知道，所表示的数是：； ∵第22排最后一个数的序号是：， ∴表示的是第个数， ∵由图观察规律知奇数个为负，偶数个为正， ∴所表示的数是， ∴与表示的两数之和是：． 故答案为：． 三、解答题 37．探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧： 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①__________； ②__________． 【问题探究】 （2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解； （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可； （3）设绕点O逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）① ， ② ； （2）设旋转时间为t秒，则，， 当与相遇时，， 解得：， 如图， ， ∴； （3）设绕点O逆时针旋转， ①时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 综上，或． 38．国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 【答案】(1)； (2)宇轩家10月份的用电量为470度； (3)英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． （1）根据阶梯电价计费规则列式计算即可； （2）先判断用电量是否超过420度，再列方程求解； （3）高峰时段用电量执行第一、第二阶梯电价，低谷时段用电量执行第二阶段电价，根据申请“峰谷电价”后，能节约15.5元，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：金铎家10月份的电费为（元）， 书铭家10月份的电费为（元）， 故答案为：；； （2）解：用电量为420度时，电费为：（元）， ， 宇轩家10月份的用电量比420度多， 设宇轩家10月份的用电量为度， 则， 解得， 答：宇轩家10月份的用电量为470度； （3）解：设英赫家10月份高峰时段的用电量为度， 则， 整理得， 即， 解得，． 答：英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 39．如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为秒或秒或秒 (3)存在，的值为秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）根据旋转的速度，求出的度数即可； （2）分三种情况进行讨论：当，当，当，分别列出方程进行计算即可； （3）分三种情况：当，当，当，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则； （2）解：当秒时， ， 解得； 当秒时，； 解得； 当秒时，， 解得； 综上所述，的值为秒或秒或秒； （3）解：存在． 当秒时，平分， ， 解得； 当秒时，平分， ， 解得； 当秒时，平分， ， 解得． 综上所述，的值为秒或秒或秒． 40．已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______； (3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)秒，秒． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．解决本题的关键是根据点运动的方向和距离用含的代数式表示出点在数轴上的位置． 根据点、、在数轴上的位置关系分别写出点、、表示的数即可； 根据点运动的方向和速度用含的代数式表示出点，根据数轴上两点之间的距离写出表示、的代数式； 把点、表示的数用含的代数式表示出来，根据两点之间的距离为个单位长度，列出关于的方程，解方程即可求出运动的时间． 【详解】（1）解：点在原点左侧，到原点距离为个单位长度， 点表示的数为， 点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度， 点表示的数为， 点表示的数与点表示的数互为相反数， 点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动的时间为秒， 点表示的数为， ，， 故答案为：，； （3）解：点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为， 又点表示的数为， 当、两点间的距离为个单位长度时， 可得：， 整理得：， ， 解得：秒或秒． 41．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4或8.8或10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． （1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）解：由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）解：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 42．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1)100 (2) (3)的值为50或70 【分析】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如（图，②当时，如（图，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ； 故答案为：100； （2）解：从图2中的位置绕点逆时针旋转且， ①当时，如（图， ， ， ， ； ②当时，如（图， ， ， ， ； 综上所述：的度数为； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ，， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为50或70． 43．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 44．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，理由见解析 【分析】（1）根据两点之间的距离公式即可计算出的长； （2）设点表示的数是，根据，点表示的数为，结合题意即可列出关于的一元一次方程，解方程即可求出点表示的数； （3）分别求出与的长，再计算它们的差，然后根据结果进行判断即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度是； （2）解：设点表示的数是， 点表示的数为，， 或， 解得：或， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意可得： ， ， ， 结果是一个定值，与的取值无关， 的值不会随着的变化而变化， 答：的值不会随着t的变化而变化． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数， 数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，弄清题意，运用数形结合思想并正确列式计算是解题的关键． 45．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 【答案】（1）  （2）  （3）   （4）①  ② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解新方法是解题的关键. （1）根据题中的方法求解； （2）根据题中的方法求解； （3）根据题中的方法求解； （4）①根据题中的方法求出的值，再比较大小；②根据题中的方法求解. 【详解】（1）解：由于， 设 ① 则②， ②①得，解得， 于是， 同理：， 故答案为：； （2）由于，设 ① 则② ②①得， 解得：， ； 故答案为：； （3）设 ①则， ②①得，解得：； 同理：， 故答案为： ； (4)①设则 ， 解得： 故答案为：； ②， 设， 则 ， 故答案为：． 46．已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)，； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得： ， ， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后， ， ， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，， ∴， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，， 整理得：， 解得：， 当时，，即， ∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键． 47．观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第8个数分别是______，______，______； 第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则______． (2)用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2045，求圈住的这5个数． (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为a，若，直接写出n的值______． 【答案】(1)①256，255，；②0 (2)256，255，，1023，1024 (3)11 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数大小比较． （1）①观察所给三行数，发现它们的变化规律：观察第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，第二行的每一个数比第一行相应位置的数小1，第三行的每一个数是第二行相应位置数的倍，表示出第个数即可解决问题； ②根据①中规律计算即可． （2）设出“”型框中第二行的中间一个数，再结合（1）中发现的规律分别表示出其他数，最后建立方程即可解决问题． （3）对为奇数和偶数时进行分类讨论，再结合（1）中发现的规律分别表示出和，最后建立方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①观察第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是， 所以第一行的第个数可表示为； 观察第二行数可知，第二行的每一个数比第一行相应位置的数小1， 所以第二行的第个数可表示为； 观察第三行数可知，第三行的每一个数是第二行相应位置数的倍， 所以第三行的第个数可表示为． 当时，，，， 即每行的第8个数分别是：256，255，． 故答案为：256，255，； ②由①知，第二行的第个数可表示为，令第二行中连续三个数中的中间一个数为，则，， ∴． 故答案为：0； （2）解：令被“”形框框住的下一行的中间数为， 则， 整理得，， ， ， 所以这5个数为：，，，，， 所以被框住的这5个数为256，255，，1023，1024； （3）解：由（1）知，每行数的第n个数分别为，，， 当为奇数时，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， 解得． 当为偶数时，，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， 整理得，， 此方程无解， 综上所述，的值为11． 故答案为：11． 48．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 49．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【分析】（1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度， 则，点P表示的有理数为， ； 故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴； 故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 【点睛】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 50．材料信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．已知数轴上有、、三点，表示的有理数分别是、、．点和点间距24个单位长度，点、到原点的距离相等，点表示的有理数是18．在数轴上有两个动点和，点表示的数为．解决下列问题： (1)点A表示的有理数是 　　，点B表示的有理数是 　　； (2)若，则　　； (3)的最小值为 　　； (4)若动点P从O点出发向数轴正方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒．同时动点Q从C点出发向数轴负方向运动，运动速度为3个单位长度/秒．当t等于多少秒，点P到A的距离等于点Q到B的距离． 【答案】(1)，6 (2)或19 (3)24 (4)1.2秒或18秒 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，运用了整式的加减，以及绝对值的含义和求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握． （1）根据点 表示18，，可得点表示的数，再根据点、到原点的距离相等可得点表示的数； （2）分两种情况：点在点的左侧或点的右侧，分别列方程可求解； （3）根据题意可得点与点重合，可得答案； （4）分别用代数式表示出和，再列方程即可． 【详解】（1）解：点和点间距24个单位长度，点表示的有理数是18， 点表示， 点、到原点的距离相等， 点表示6； 故答案为：，6； （2）解：，， 点在点的左侧或点的右侧， 当点在点的左侧时，原式，解得， 当点在点的右侧时，原式，解得， 故答案为：或19； （3）解：当有最小值时， 则点与点重合， 此时最小值是24． 故答案为：24； （4）解：秒后，点表示的数是，， 点表示的数是，， ，解得或18， 当秒或18秒时，点到的距离等于点到的距离． 51．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴上两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可． 【详解】（1）解：解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， ∴当时，， ∴或 解得或； ② 当点Q在线段上运动时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，点Q表示的数为 ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 综上所述，． 52．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 53．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是__________．此时表示数a的点与表示数__________的点重合． (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒， ①在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； ②若点在点的右侧且线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最小值是__________； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是__________． 【答案】(1)， (2)①秒或秒  ② (3)或或或 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想. （1）根据对称性找到折痕的点为，根据两点间的距离可得答案； （2）①分两种情况：点在点左边； 点在点右边； 分别根据行程问题列出方程解答便可； ②根据覆盖部分整点个数可得当距离为2时，点P和Q都在整点上，这时线段上恰好有3个整点，即可求出最小值； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为列式求解即可. 【详解】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数10的点与它重合的点重表示的数为：， 表示数a的点与它重合的点重表示的数为：， 故答案为: ，； （2）①当点在点左边时, 则，解得, 当点在点的右边时, 则,解得, 综上, 当秒或秒时, 点与点之间的距离为； ②解：由题可得：当距离为2时，点P表示的数为，Q点表示的数为，都在整点上，这时线段上恰好有3个整点， 在向右移动先有3个整点，然后整点个数增加， ∴由①计算可得时间t的最小值是， 故答案为：； （3）解：设表示的点是, 表示的是, ∴. ， 当三条线段的比值为时,,, 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 当三条线段的比值为时,, , 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 故答案为: 或或或． 54．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 55．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数． (3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质求解； （2）过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）如图所示，过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （3）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 56．综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，且和，，，． (1)在图1中，，求的度数； 【深入探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； 【拓展应用】 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板角度的有关计算，平行的线的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质作出合适的辅助线是解题的关键． （1）由可得，从而得出，最后由两直线平行，同位角相等即可得出的度数； （2）过点作，则，，由平行线的性质可得，结合可得，即可得到答案； （3）过点作，则，，由角平分线的定义可得，从而得到，由平行线的性质可得，，计算出，即可得答案． 【详解】（1）解：（1）如图， ， ； （2）解：如图，过点作，则 ， （3）解：如图，过点作，则 平分 ， 故答案为：． 57．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，直角三角板． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点．若，则________°． (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点分别在上，的平分线与的平分线交于点．若，求的度数． (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点仍然分别在上．如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)②正确，理由见解析 【详解】解：（1）40提示：因为，，所以．因为，所以． （2）如图，过点作，而，所以，所以．因为，所以．因为，所以．因为，所以．因为平分平分，所以，所以，同理可得． （3）②是正确的．理由如下： 设，则，所以．同（2）可得，所以．所以．所以的值会随值的变化而变化，而的值不变． 58．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用， （1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图2，过作，过点作，设，    ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图3，过作，过作，设，，    ∵交于，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 59．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 60．如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①②③ 【分析】本题考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，关键是弄清角与角之间的关系． （1）利用两直线平行的判断和性质； （2）利用角平分线的性质； （3）①利用角平分线的性质；②证明、、是的四等分线，③证明、、是的四等分线． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ∵平分 ， ． （3）解：①， ， 平分， ， ∵平分 ， ． ②， ， 平分， ， ∵平分 ， ∵平分 ． ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$