第03讲 等腰三角形（第3课时）（二类知识点+九大题型）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第03讲 等腰三角形（第3课时） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握反证法的概念，学会用反证法证明； 2．知道直角三角形30°角的性质； 3. 学会等腰三角形的综合应用。 知识点1 反证法 引入：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边 也不相等.你认为小明这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 小明是这样想的：如图1-9,在△ABC中，已 知∠B ≠∠C, 此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B, 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 要点：一般证明步骤如下： （1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠ A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90° 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180° . 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 知识点2 含有30°角的直角三角形 思考：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图1-10(1),△ABC是直角三角形，∠C=90°, ∠ A=30°. 求证： 证明：如图1 - 10(2),延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴∠ACD=90°,∠B=60°. ∵AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD (全等三角形的对应边相等). ∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ) . ∴ 例 求证：如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图1- 11,在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高. 求证： 证明：在△ABC中 ， ∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠ACB=∠B=15° (等边对等角) . ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90°. ∴(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴ 考点一：用反证法证明的步骤辨析 例1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于等于 C．有一个内角大于等于 D．每一个内角都小于 【变式1-1】．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【变式1-2】．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【变式1-3】．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 考点二：用反证法证明 例2．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【变式2-1】．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B，∠C必为锐角. 【变式2-2】．阅读下列材料：“为什么不是有理数”． 假是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是有． ∵是偶数，∴也是偶数，∴是偶数． 设（是正整数），则，∴， ∴，都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误 ∵不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数． 【变式2-3】．已知：如图，点D是△ABC内一点． 求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形．（用反证法证明） 考点三：直角三角形中30°角的性质 例3．在中，，斜边的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，直角中，，，且，，则（   ） A．6 B． C． D． 【变式3-2】．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】．如图，在 中，，于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点四：直角三角形中30°角性质的有关解答证明 例4．如图所示，在中，于点D，，求的长． 【变式4-1】．如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 【变式4-2】．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交直线于点求证：． 【变式4-3】．如图，在中，，，点D、E分别在边BC、AC上，且，与相交于点P，于点Q． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点五：直角三角形中30°角性质的实际应用题 例5．如图，在莲花山滑雪场滑雪时，需从山脚处乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟40米，缆车从山脚处A到达山顶B需要15分钟，则山的高度为（    ） A．米 B．米 C．300米 D．1200米 【变式5-1】．生活中的衣架可以近似看成一个等腰，如图所示，其中，，，则高的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．某班数学兴趣小组的同学进行数学实践活动：测量了学校旗杆的高度．如图，旗杆垂直于地面，李明在处测得．他沿方向走了，到达点处，测得．请你帮助兴趣小组的同学计算出旗杆的高度为 m． 【变式5-3】．某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，、E、B在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为36米，（计算结果保留整数） (1)求入口处到出口处的距离； (2)求海洋球处到出口处的距离． 考点六：直角三角形中30°角性质的几何综合应用 例6．如图所示，在中，D为上一点，连接，已知，，于点E，，则的长是 ． 【变式6-1】．题目：“如图，，，在射线BM上取一点A，设，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【变式6-2】．如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 【变式6-3】．如图，两块完全相同的含： 角的直角三角板叠放在一起，且，有以下四个结论：①；②；③点O 为的中点，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 考点七：等腰三角形与方程（动点问题） 例7．如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 【变式7-1】．如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)______，______（用含t的式子表示），______； (2)当t为何值时，为等边三角形？ (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出t的值． 【变式7-2】．如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则 ， ． (2)当时，求的长． (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【变式7-3】．如图，在中，，，，点D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，的面积为______（请直接写出答案）； (2)当______时，是直角三角形（请直接写出答案）； (3)求当t为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 考点八：等腰三角形与平面直角坐标系 例8．如图，在等腰中，，若点，点，则点C 的坐标为 ． 【变式8-1】．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ． 【变式8-2】．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点分别为线段上的两个动点，，则周长的最小值为 ． 【变式8-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 考点九：等腰三角形难点分析 例9．在等腰中，，D为上一点，E为上一点，连接，，． (1)如图1，若，求证： (2)如图2，若，．求的长． (3)如图3，若，，点Q为外一点，且，求线段的长． 【变式9-1】．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式9-2】．如图，和都是等腰三角形，，，，三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)写出线段，，之间的等量关系，并说明理由； (3)若，，①求线段的长；②求点到的距离． 【变式9-3】．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则(    ) A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC 2．“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（    ） A． B．3 C． D． 4．如图，在中，，，，点D是的中点，，则的长度是（   ） A． B．1 C．2 D．4 5．如图，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 6．如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 7．将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（　　） A． B． C．3 D． 8． 如图，中，，，于点，，点在边上，点在边上，连接EF．若，，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 9．图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形；若，且，则的长度为（   ） A．3 B．2 C． D． 10．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 二、填空题 11．如图，AB＝AC＝6，，BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD＝ ． 12．如图，在中，，CD是高，若，，则 ． 13．如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 14．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为 ． 15．如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东方向上．则 ；轮船到灯塔P的距离 海里．（结果保留根号） 16．如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ． 17．如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为 ． 18．如图，在中，，，，且，，，，，，，则的值为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，，，求的面积．     20．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    21．如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，请直接写出的周长． 22．如图所示，在等边中，点D是的中点，于点E，作交于点F，． (1)求证：是等边三角形； (2)求的周长． 23．如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且．    (1)求证：； (2)若，且，求的长． 24．如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 25．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形，点为轴上任意一点，以为边在下方作等边，连接，． (1)如图①，当点在轴正半轴上时，求证：； (2)如图②，当点在轴负半轴上时，请在图2中补全图形，并直接写出与之间的数量关系：__________； (3)根据上述探究，请判断的长是否存在最小值？若存在，求长的最小值，并求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知：如图，在等边中，点D是上任意一点，点E在BC延长线上，连接，使得． (1)如图1：求证：； (2)如图2，取的中点F，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等腰三角形（第3课时） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握反证法的概念，学会用反证法证明； 2．知道直角三角形30°角的性质； 3. 学会等腰三角形的综合应用。 知识点1 反证法 引入：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边 也不相等.你认为小明这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 小明是这样想的：如图1-9,在△ABC中，已 知∠B ≠∠C, 此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B, 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 要点：一般证明步骤如下： （1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠ A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90° 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180° . 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 知识点2 含有30°角的直角三角形 思考：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图1-10(1),△ABC是直角三角形，∠C=90°, ∠ A=30°. 求证： 证明：如图1 - 10(2),延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴∠ACD=90°,∠B=60°. ∵AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD (全等三角形的对应边相等). ∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ) . ∴ 例 求证：如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图1- 11,在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高. 求证： 证明：在△ABC中 ， ∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠ACB=∠B=15° (等边对等角) . ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90°. ∴(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴ 考点一：用反证法证明的步骤辨析 例1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于等于 C．有一个内角大于等于 D．每一个内角都小于 【答案】B 【分析】此题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【解析】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于，即每一个内角都大于或等于． 故选：． 【变式1-1】．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解析】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 【变式1-2】．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【解析】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 【变式1-3】．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【解析】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 考点二：用反证法证明 例2．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【解析】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 【变式2-1】．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B，∠C必为锐角. 【答案】见解析. 【分析】假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角，再分别得出与三角形的三个内角和等于180°相矛盾的结论，则假设不成立，故得证. 【解析】假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾； 当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C＞180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾. 综上所述，假设不成立， ∴∠B，∠C必为锐角. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【变式2-2】．阅读下列材料：“为什么不是有理数”． 假是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是有． ∵是偶数，∴也是偶数，∴是偶数． 设（是正整数），则，∴， ∴，都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误 ∵不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数． 【答案】见解析 【分析】利用类比的思想,仿照证“为什么不是有理数”来证明. 【解析】解：假设是有理数， 则存在两个互质的正整数，，使得， 于是有， ∵是的倍数， ∴也是的倍数， ∴是的倍数， 设（是正整数），则，即， ∴， ∴也是的倍数， ∴，都是的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误， ∴不是有理数． 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得到所求. 【变式2-3】．已知：如图，点D是△ABC内一点． 求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形．（用反证法证明） 【答案】证明见解析 【分析】先假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，得∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°，与已知矛盾，故可得证． 【解析】假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角， ∴∠ADB+∠BDC+∠ADC<， 这与∠ADB+∠BDC+∠ADC=矛盾． ∴假设不成立． ∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形． 【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，只要否定其一即可． 考点三：直角三角形中30°角的性质 例3．在中，，斜边的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据30度所对的直角边是斜边的一半，进行求解即可． 【解析】解：∵在中，，斜边的长为， ∴； 故选B． 【变式3-1】．如图，直角中，，，且，，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题关键．根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解析】解：∵，，， ∴， 故选：D． 【变式3-2】．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．根据题意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性质即可求出长． 【解析】解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，，． ∴． 故选：B． 【变式3-3】．如图，在 中，，于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由，，则，，又得，故，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 考点四：直角三角形中30°角性质的有关解答证明 例4．如图所示，在中，于点D，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握． 由，，，得，得出，即可得到的长． 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】．如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质．连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长，熟练运用三线合一的性质是解题的关键． 【解析】解：连接， ∵，，为的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴． 【变式4-2】．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交直线于点求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，因为，所以可得到，即可证明． 【解析】证明：∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】．如图，在中，，，点D、E分别在边BC、AC上，且，与相交于点P，于点Q． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）首先得到是等边三角形，得到，，然后结合即可证明； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形 ∴， 又∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴． 考点五：直角三角形中30°角性质的实际应用题 例5．如图，在莲花山滑雪场滑雪时，需从山脚处乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟40米，缆车从山脚处A到达山顶B需要15分钟，则山的高度为（    ） A．米 B．米 C．300米 D．1200米 【答案】C 【分析】本题考查含直角三角形的性质，由题意可知，米，再根据含直角三角形的性质即可求解． 【解析】解：由题意可知，米， ∵， ∴米， 故选：C． 【变式5-1】．生活中的衣架可以近似看成一个等腰，如图所示，其中，，，则高的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，，， ∴， ∴， ， 故选C． 【变式5-2】．某班数学兴趣小组的同学进行数学实践活动：测量了学校旗杆的高度．如图，旗杆垂直于地面，李明在处测得．他沿方向走了，到达点处，测得．请你帮助兴趣小组的同学计算出旗杆的高度为 m． 【答案】14 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用、等腰三角形的判定、三角形的外角性质．先利用三角形的外角性质可得：，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解析】解：是的一个外角， ， ， ， ， ， 旗杆的高度为， 故答案为：14． 【变式5-3】．某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，、E、B在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为36米，（计算结果保留整数） (1)求入口处到出口处的距离； (2)求海洋球处到出口处的距离． 【答案】(1)入口处到出口处的距离为48米 (2)海洋球处到出口处的距离为69米 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意结合含30度角的直角三角形的性质可得出，，，再根据勾股定理求解即可； （2）由题意结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 答：入口处到出口处的距离为48米； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 答：海洋球处到出口处的距离为69米． 考点六：直角三角形中30°角性质的几何综合应用 例6．如图所示，在中，D为上一点，连接，已知，，于点E，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角等等，先由等边对等角和已知条件得到，再导角证明，则可求出的度数，再求出，即可求出的长． 【解析】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】．题目：“如图，，，在射线BM上取一点A，设，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系及等腰三角形以及直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由题意知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可． 【解析】由题意知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可． ①当时， ∵，， ∴， 此时时，能作出唯一一个； ②当时， ∵， ∴当时能作出唯一一个； 综上，当或时能作出唯一一个， 故选：C． 【变式6-2】．如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，延长交于点，延长交于点，由等腰三角形的性质得，，证明是等边三角形，则，，再根据角所对直角边是斜边的一半得即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵在中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】．如图，两块完全相同的含： 角的直角三角板叠放在一起，且，有以下四个结论：①；②；③点O 为的中点，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是综合利用30度角的直角三角形的性质进行解答． ①根据已知得出，进而得出；②在四边形中，根据四边形的内角和为可得出的度数，继而得出的度数；③利用，得出，进而得出，即O为的中点． 【解析】解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且． ∴， ∴， ①正确； 由①可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 即②错误； 连接， ∵两块完全相同的含的直角三角板叠放在一起，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即可得③O为中点正确； 综上可知，①③正确， 故选：D 考点七：等腰三角形与方程（动点问题） 例7．如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．根据条件求出：，分两种情况讨论：当时；当时；分别求解即可． 【解析】解：由题意得：， 当是以为腰的等腰三角形时， 若，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图， 则在中，， 解得：； 故答案为：或． 【变式7-1】．如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)______，______（用含t的式子表示），______； (2)当t为何值时，为等边三角形？ (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)，t，20 (2) (3)10或16 【分析】（1）先利用含30度角的直角三角形的性质可得，再表示，即可； （2）求解，可得时，为等边三角形，可得，再解方程即可； （3）当为直角三角形，①当时，则，②当时，则，再建立方程求解即可． 【解析】（1）解：在中，，，， ∴， ∵动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，， ∴，， ∴． （2）解：在中， ，， ． 当时，为等边三角形． ∴． ∴． 当时，为等边三角形； （3）解：当为直角三角形， ①当时，则， ∴， 即 ． ②当时，则， ∴， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，几何动态问题，掌握等边三角形，直角三角形的基础性质是解本题的关键． 【变式7-2】．如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则 ， ． (2)当时，求的长． (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)线段的长不发生变化， 【分析】（1）设的长为，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）易得，由含角的直角三角形的性质可得，解答即可求得的长，进而得到的长； （3）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【解析】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 由点向点运动（与点不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），设的长为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意可知：， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式7-3】．如图，在中，，，，点D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，的面积为______（请直接写出答案）； (2)当______时，是直角三角形（请直接写出答案）； (3)求当t为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 【答案】(1)126 (2)或 (3)或7.5或9秒时，是等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用及掌握分类讨论思想是解题的关键． （）根据速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出，再根据代入数据进行计算即可得解； （）分时，利用的面积列式计算即可求出，然后利用勾股定理列式求解得到，再根据“时间路程速度”计算；时，点和点重合，然后根据“时间路程速度”计算即可得解； （）分时，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到；时，；时，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由（）的结论解答， 【解析】（1）解：时，， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴； （2）解：时，， 即， 解得， ∴在中，由勾股定理得：， ∴（秒）； 时，点和点重合， ∴（秒）， 综上所述，或秒； 故答案为：或秒； （3）解：时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 时，， ∴（秒）； 时，如图，过点作于， 则同（2）得：， 则， ∴， ∴（秒）， 综上所述，或或秒时，是等腰三角形． 考点八：等腰三角形与平面直角坐标系 例8．如图，在等腰中，，若点，点，则点C 的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点的表示方法，解题的关键是根据题意证明．先根据点A、B的坐标求出、的长度，过点C作轴交x轴于点D，根据题意利用证明，求得，，再根据点C在第二象限写出点的坐标即可． 【解析】解：过点C作于点D， ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 ∴ ∴，， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故答案为：． 【变式8-1】．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律型问题，等边三角形的性质等知识点，观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解答本题的关键． 【解析】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数， ， 点在x轴上方， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 同理可知，点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式8-2】．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点分别为线段上的两个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数，求出，，作点关于轴的对称点，关于的对称点，连接、、，得出当、、、四点共线时，有最小值，即周长有最小值为的长，此时与和轴的交点为、，过点作轴于点，连接交于点，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和勾股定理求解即可． 【解析】解：直线与x轴，y轴分别交于点A和点B， 当时，；当时，，解得：， ，， ，， ， ， 如图，作点关于轴的对称点，关于的对称点，连接、、， 则，，， ， 当、、、四点共线时，有最小值，即周长有最小值为的长，此时与和轴的交点为、， 过点作轴于点，连接交于点， 由轴对称的性质可知， ，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称求最短路径，含30度的直角三角形，勾股定理等知识，将周长的最小值转化为线段的长是解题关键． 【变式8-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式； （3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【解析】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； 当点P在上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 当点P在延长线上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 考点九：等腰三角形难点分析 例9．在等腰中，，D为上一点，E为上一点，连接，，． (1)如图1，若，求证： (2)如图2，若，．求的长． (3)如图3，若，，点Q为外一点，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）作，交的延长线于，证明，得到，即可得证； （2）在上取点，使，作于，同（1）法可得，，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）以为边作等腰三角形，使，，连接， 证明，得到，过点作于点，勾股定理 求出的长，即可得解． 【解析】（1）证明：作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）在上取点，使，作于， 则， 同（1）法可得，， ∴， 设， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：（负值舍去）， ∴； （3）解：以为边作等腰三角形，使，，连接， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴ ∵ ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形． 【变式9-1】．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论； （2）过作于，利用等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进行求解即可； （3）过作交于点，易得是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （4）过作交的延长线于，证明是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论． 【解析】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ； （2）如图，过作于， ， ． 等边的边长为6， ， ， ， ， ， ． ． ； （3）证明：如图2，过作交于点． ， 又， 是等边三角形． ， ， ， 又， ， ． 由（1）得，， 又． ． ． ， ； （4）（3）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，过作交的延长线于，则， ， 是等边三角形． ，． ， ， ， ∴， ， ∴， ． 又，， ， ． ． ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键． 【变式9-2】．如图，和都是等腰三角形，，，，三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)写出线段，，之间的等量关系，并说明理由； (3)若，，①求线段的长；②求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）作于，根据全等三角形性质得到，结合等腰三角形三线合一性质得到，再根据含的直角三角形性质及勾股定理于是得到，数形结合得到； （3）①根据全等三角形的性质得到，，，，结合（2）中结论求出相应线段长，进而由勾股定理可求的长，在含等腰三角形中，过点作，如图所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可求的长；②过点作于点，过点作于，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式即可求解． 【解析】（1）证明：和都是等腰三角形，， ，，， 在和中， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作于，如图所示： ， ， 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一可知， ， ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ， ； （3）解：①， ，，，， ， 由（2）知，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 过点作于M，如图所示： ，， ，， 在中，，则，由勾股定理可得， ； ②过点作于点，过点作于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 点到的距离为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形性质、勾股定理及三角形面积公式等知识，解题的关键是灵活应用三角形相关知识解决问题． 【变式9-3】．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2)①图见详解；②，证明见详解 (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【解析】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①补全图形如图所示． ②解：，证明如下： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则(    ) A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC 【答案】A 【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【解析】如图所示．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB=2AC． 故选A． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 2．“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，，中至少有一个不大于的反面是，． 【解析】解：求证：的两个锐角，中至少有一个不大于， 用反证法证明这个命题时，应先假设，． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半求得30°所对的直角边，然后利用勾股定理求得另一条直角边，即可解答． 【解析】解：如图所示， Rt△ABC中，∠B＝60°，∠C=90°，AB＝2， ∴∠A=30°， ∴BCAB2＝1，AC， 故此三角形的周长是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理是关键． 4．如图，在中，，，，点D是的中点，，则的长度是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．先求出，再根据点D是的中点，求出，即可得到答案． 【解析】解：在中，，，， ， 点D是的中点， ， ， ， 故选B． 5．如图，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由折叠的性质求出，然后根据30度角的所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【解析】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选D． 6．如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，过点B作轴于C，则，进而可得，求出，据此可得答案． 【解析】解：∵点A坐标为， ∴， 如图所示，过点B作轴于C， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为， 故选：D． 7．将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论． 【解析】解：如图，在中，，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8． 如图，中，，，于点，，点在边上，点在边上，连接EF．若，，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．取的中点，连接，证明是等边三角形，推出，即可求得． 【解析】证明：取的中点，连接，如图， ∵中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形；若，且，则的长度为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理，由含角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【解析】解：在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 10．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，再根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【解析】解：如图，取中点K，连接，则， ∵是等边的中线，， ∴，， ∵为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．如图，AB＝AC＝6，，BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD＝ ． 【答案】3 【分析】由等腰三角形的性质得：利用含的直角三角形的性质可得答案． 【解析】解：AB＝AC＝6，， BD⊥AC， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形与含的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握这三个性质是解题的关键． 12．如图，在中，，CD是高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，含度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是得出和，难度适中．根据同角的余角相等得出，利用含角的直角三角形的性质即可得答案． 【解析】解：∵，是高， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 13．如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 14．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．由在等边三角形中，平分交于点，由三线合一的性质，可求得的长，又由，可求得，则可求得的长，即可求得答案． 【解析】∵是等边三角形， ，， 平分交于点， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 15．如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东方向上．则 ；轮船到灯塔P的距离 海里．（结果保留根号） 【答案】 /45度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理，直角三角形的性质．根据三角形内角和定理可求出；过点B作于点C，则，可得，在中，根据直角三角形的性质，即可求解． 【解析】解：根据题意得：，， ∴； 如图，过点B作于点C，则， ∴， ∴， ∴， ∵，海里， ∴海里， ∴海里， 故答案为：；． 16．如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点E，从而可得，在中，利用含的直角三角形的性质及勾股定理可得，然后利用证明，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后利用线段的和差关系可得，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解析】解：过点A作，交的延长线于点E， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵是的一个外角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据，可得，再根据勾股定理求出，然后根据直角三角形的性质得出可得答案． 【解析】∵，，点D是边的中点， ∴ ∵． ∴ 即 在中，，， 根据勾股定理，得． 在中，点D是边的中点， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，且，，，，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质．根据题意，由30°直角三角形的性质得到，，……，然后找出题目的规律，得到，即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得：； …… ∴； 当时，有 ； 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在中，，，，求的面积．     【答案】的面积为． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式．作交直线于点，求得，利用直角三角形的性质求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【解析】解：过点B作交直线于点， ∵，∴，则， ∵， ∴，， ∴的面积． 20．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    【答案】见解析 【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解析】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角， 求证：∠1＝∠A+∠B， 证明：假设∠1≠∠A+∠B， 在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：    ∴∠A+∠B＝180°﹣∠2， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2， ∴∠1＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B． 【点睛】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 21．如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，请直接写出的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为24 【分析】（1）由，为边的中点，可得，，，证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【解析】（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴的周长为24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．如图所示，在等边中，点D是的中点，于点E，作交于点F，． (1)求证：是等边三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质， （1）根据平行的性质可得，，即可得，问题得证； （2）根据，可得，进而有，结合等边三角形的性质有，问题随之得解． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ， ， ，， ， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ， ∴等边的周长． 23．如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且．    (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用等边对等角求得，利用三角形的外角性质即可证明结论成立； （2）作于点F，证明是等边三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【解析】（1）证明：∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点F，    ∵等腰中，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】(1)；； (2)或或； (3)6cm． 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【解析】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． 故答案为：；； （2）解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时，                   图1 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； （3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 25．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形，点为轴上任意一点，以为边在下方作等边，连接，． (1)如图①，当点在轴正半轴上时，求证：； (2)如图②，当点在轴负半轴上时，请在图2中补全图形，并直接写出与之间的数量关系：__________； (3)根据上述探究，请判断的长是否存在最小值？若存在，求长的最小值，并求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，补全图形见解析； (3)存在，的最小值为2，此时点D的横坐标为． 【分析】（1）利用等边三角形性质判定即可； （2）利用等边三角形性质判定即可； （3）根据题意当的值最小时，的值最小，过点作轴于点． 【解析】（1）解：∵在等边和等边中， ∴，，， ， ， ， ； （2）解：，补全图形如下： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，即：， ， ∴； （3）解：， ， 当的值最小时，的值最小， 当轴时，的值最小，最小值为2， 的最小值为2， 四边形中，，， 过点作轴于点， ， ， ， 、O、D三点共线， ， ，， ， 点D的横坐标为． 【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，含直角三角形三边关系． 26．已知：如图，在等边中，点D是上任意一点，点E在BC延长线上，连接，使得． (1)如图1：求证：； (2)如图2，取的中点F，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形的综合，主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是构造． （1）作，证明，可得，再证即可求证； （2）构造得出，再判定即可求解； （3）根据含角的性质求出，的值，再用即可求解． 【解析】（1）证明：如图所示，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$