第02讲 等腰三角形（第2课时）（三类知识点+十一大题型）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第02讲 等腰三角形（第2课时） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解等边三角形的性质； 2．学会等腰三角形的判定定理； 3. 掌握等边三角形的判定定理； 4. 掌握等腰、等边三角形的性质与判定综合应用 知识点1 等边三角形的性质 思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢? 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图1-6,在△ABC中 ，AB=AC=BC. 求证：∠A=∠B=∠C=60° . 证明：∵ AB=AC, ∠B=∠C (等边对等角) . 又∵ AC=BC, ∴∠A=∠B (等边对等角). ∴ ∠A=∠B=∠C. 在 △ABC中 ， ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C=60°. 要点：①等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，此外还具有一些特殊性质； ②等腰三角形的“三线合一”性质在等边三角形中可以拓展到含三对“三线合一”。 知识点2 等腰三角形的判定定理（等角对等边） 思考：前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 如图1-7,在△ABC中，∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构造的? 已知：如图1,在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 证法1:作∠BAC的平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠B=∠C,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 证法2:如图2,过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠B=∠C,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. 例 已知：如图1 - 8,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED 是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴ △ABD≌△DCA(SSS). ∴∠ADB=∠DAC (全等三角形的对应角相等 ) . ∴AE=DE (等角对等边) . ∴△AED 是等腰三角形. 数学理解 （1）已知：如图(甲),等腰三角形的一个内角为锐角α,腰为a, 求作这个等腰三角形； 提示：这样的等腰三角形有两个，一个以∠α为顶角，另一个以∠α为底角 (2)在(1)中，把锐角α变成钝角α,其他条件不变，求作这个等腰三角形. 提示：这样的等腰三角形只有两个，即以∠α为顶角的等腰三角形 知识点 3 等边三角形的判定 思考：一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己的结论，并与同伴交流. 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 考点一：等边三角形的性质 例1．等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴． 【变式1-1】．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则 ． 【变式1-2】．如图，是等边三角形，，求高的长和的面积． 【变式1-3】．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 考点二：等边三角形性质的综合应用 例2．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【变式2-1】．如图，是等边三角形，是边上的高，延长至，使．求的度数． 【变式2-2】．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数. 【变式2-3】．如图，和都是等边三角形，且点A、D、E在同一直线上，证明； 考点三：根据等角对等边证明等腰三角形 例3．在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 【变式3-1】．如图，在中，平分，，则是 三角形．    【变式3-2】．在中，，判断的形状，并说明理由． 【变式3-3】．已知：是的外角，，．求证：是等腰三角形． 考点四：根据等角对等边求边长或证明边长相等 例4．．在中，，，则 ． 【变式4-1】．如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．    【变式4-2】．如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 【变式4-3】．如图，在中，，高，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 考点五：与已知两点组成等腰三角形的点 例5．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    【变式5-1】．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有 个．      【变式5-2】．如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 【变式5-3】．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=,BC=6cm，AC=10cm。 （1）求AB的长； （2）若P点从点B出发，以2cm/s的速度在BC所在的直线上运动，设运动时间为t秒，那么当t为何值时，△ACP为等腰三角形。 考点六：作等腰三角形（尺规作图） 例6．已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 【变式6-1】．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【变式6-2】．如图，在中，，，请用尺规在上求作一点，使得过的直线把分成两个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式6-3】．如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 考点七：找出图中的等腰三角形、格点图中画等腰三角形 例7．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 ． 【变式7-1】．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【变式7-2】．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图． (1)在图①中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可）． 【变式7-3】．如图①，②，③都是的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，②中已画出线段，在图③中已画出点A．按下列要求画图． (1)在图①中，以格点为顶点，为一边画一个等腰非直角三角形； (2)在图②中，以格点为顶点，为一边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形． 考点八：等腰三角形的性质和判定 例8．如图，在中，，点，在上，且．求证：是等腰三角形． 【变式8-1】．如图，中是内一点，且平分．求证：． 【变式8-2】．如图，在中，点D是边的中点，，则的长为 ． 【变式8-3】．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 考点九：等边三角形的判定 例9．下列条件：①三条边都相等的三角形；②三个内角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】．如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】．如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【变式9-3】．如图，已知点和点在线段上，且，点C和点F在的同侧，和相交于点H．    (1)求证：； (2)当时，猜想的形状，并说明理由． 考点十：等边三角形的性质和判定 例10．在中，，，则的周长为 ． 【变式10-1】．如图，中，，，与相交于点，则的度数是 ． 【变式10-2】．如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【变式10-3】．如图，在是等边三角形，D是的中点，M在延长线上，N在上，，，则 ． 考点十一：等腰、等边三角形的综合应用 例11．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式11-1】．如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 【变式11-2】．如图，已知，在中，，，交与点M，交延长线于点H，，，则的长度为（　　） A．4 B． C． D．3 【变式11-3】．如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 一、单选题 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 2．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列四个说法中，正确的有（    ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，是上的一点，在上分别截取，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 二、填空题 9．若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 10．已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是 ； 11．如图所示的方格中， 度． 12．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 13．如图，在中，，点E在延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为 ． 14．如图，在中，．点D为外一点，于E．，，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，在中，是的延长线上一点，分别交，于点，，，，是中点，．试判断的形状，并说明理由． 16．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 17．如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 18．如图，在中，点在的延长线上，，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 19．已知，在中，D是上一点，交于点E，连接． (1)如图1，，．求证：； (2)如图2，点D与点C重合，，．若，求的长． 20．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），度数记为，连接，作，交线段于． (1)当时，______，______；点从向运动时，逐渐变______（填“大”或“小”），的取值范围是______； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 21．如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且． 【问题思考】（1）在图①中，求证：； 【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等腰三角形（第2课时） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解等边三角形的性质； 2．学会等腰三角形的判定定理； 3. 掌握等边三角形的判定定理； 4. 掌握等腰、等边三角形的性质与判定综合应用 知识点1 等边三角形的性质 思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢? 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图1-6,在△ABC中 ，AB=AC=BC. 求证：∠A=∠B=∠C=60° . 证明：∵ AB=AC, ∠B=∠C (等边对等角) . 又∵ AC=BC, ∴∠A=∠B (等边对等角). ∴ ∠A=∠B=∠C. 在 △ABC中 ， ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C=60°. 要点：①等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，此外还具有一些特殊性质； ②等腰三角形的“三线合一”性质在等边三角形中可以拓展到含三对“三线合一”。 知识点2 等腰三角形的判定定理（等角对等边） 思考：前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 如图1-7,在△ABC中，∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构造的? 已知：如图1,在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 证法1:作∠BAC的平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠B=∠C,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 证法2:如图2,过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠B=∠C,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. 例 已知：如图1 - 8,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED 是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴ △ABD≌△DCA(SSS). ∴∠ADB=∠DAC (全等三角形的对应角相等 ) . ∴AE=DE (等角对等边) . ∴△AED 是等腰三角形. 数学理解 （1）已知：如图(甲),等腰三角形的一个内角为锐角α,腰为a, 求作这个等腰三角形； 提示：这样的等腰三角形有两个，一个以∠α为顶角，另一个以∠α为底角 (2)在(1)中，把锐角α变成钝角α,其他条件不变，求作这个等腰三角形. 提示：这样的等腰三角形只有两个，即以∠α为顶角的等腰三角形 知识点 3 等边三角形的判定 思考：一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己的结论，并与同伴交流. 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 考点一：等边三角形的性质 例1．等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可． 【解析】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴， ∴等边三角形有3条对称轴． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键． 【变式1-1】．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据△ABC是等边三角形可知AB＝AC，再由BD⊥AC可知AD＝AC，由此即可得出结论． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝8， ∴AB＝AC＝8， ∵BD⊥AC， ∴AD＝AC＝×8＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【变式1-2】．如图，是等边三角形，，求高的长和的面积． 【答案】，的面积是 【分析】利用等边三角形三线合一，进行求解即可． 【解析】解：∵是等边三角形，是的高，， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形三线合一，是解题的关键． 【变式1-3】．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【解析】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 考点二：等边三角形性质的综合应用 例2．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论． 【解析】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【变式2-1】．如图，是等边三角形，是边上的高，延长至，使．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的内角和定理，掌握等边三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，根据等边三角形的性质，“三线合一”的知识可得是的角平分线，则，，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数. 【答案】30° 【分析】首先利用等边三角形的性质得出∠B=∠BAC=∠C=60°，再利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝40°，进而得出∠BAD=10°，进而利用三角形外角性质得出答案． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠BAC=∠C=60° 又∵AD =AE ，∠DAE =100°， ∴∠ADE=∠E =40° ∵DE⊥AC ∴ ∠DAC =∠EAC =50° ∴ ∠BAD=60°-50°=10° 又∵∠ADC=∠B +∠BAD =70° ∴∠EDC =∠ADC -∠ADE =30° 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，熟练结合外角性质得出是解题关键． 【变式2-3】．如图，和都是等边三角形，且点A、D、E在同一直线上，证明； 【答案】证明见解析 【分析】根据等边三角形的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论． 【解析】证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 考点三：根据等角对等边证明等腰三角形 例3．在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【解析】解：在中，，， ， ∴， 故， 所以的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰． 【变式3-1】．如图，在中，平分，，则是 三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【解析】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【变式3-2】．在中，，判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等角对等边，根据三角形的内角和定理，求出，得到，即可得出结论． 【解析】解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式3-3】．已知：是的外角，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定．根据平行线的性质可得，再由，可得，即可求证． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴是等腰三角形． 考点四：根据等角对等边求边长或证明边长相等 例4．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，即可求出的值． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】．如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质．根据平分，平分，且，可得出，进而可得出结论． 【解析】解：∵平分，平分， ， ∵， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：30． 【变式4-2】．如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，准确证明是解题的关键． 延长到G，使，连结，证明，可得，从而得到，，即可得到结果； 【解析】解：如图，延长到G，使，连结． ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 【变式4-3】．如图，在中，，高，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的关键是证明． （1）先由已知得到，即可证明，即可求得； （2）由（1）得，，从而，再利用线段的和差即可得解． 【解析】（1）证明：∵高，交于点， ∴，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵，， ∴，，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点五：与已知两点组成等腰三角形的点 例5．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】75°或120°或15° 【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【解析】解：如图，有三种情形：    ①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°， ∴∠CAB=30°， ∵AC=AD， ∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°； ②当CD′=AD′时， ∵∠CAB=30°， ∴∠D′CA=∠CAB=30°， ∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°． ③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″， ∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB， ∴∠AD″C=15°， 故答案为：75°或120°或15°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式5-1】．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有 个．      【答案】8 【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【解析】解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5， 在x轴上有1点满足条件的点C2， ②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4， 在x轴上有2点满足条件的点C3，C8， ③当AC=BC时，在y轴有1点满足条件的点C6， 在x轴有1点满足条件的点C7， 综上所述：符合条件的点C共有8个． 故答案为：8．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 【变式5-2】．如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 【答案】（1）见解析；（2）70°或20° 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意有两种情形）． （2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求． （2）在△ABC中，∵∠CAB=40°，AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=（180°-40°）=70°． 在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′， ∴∠AC′B=∠ABC′=（180°-140°）=20°． 综上所述，∠ACB=70°或20°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式5-3】．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=,BC=6cm，AC=10cm。 （1）求AB的长； （2）若P点从点B出发，以2cm/s的速度在BC所在的直线上运动，设运动时间为t秒，那么当t为何值时，△ACP为等腰三角形。 【答案】（1）AB=8 cm；（2）3或2或8或 【分析】（1）直接利用勾股定理计算AB长即可； （2）此题要分四种情况：当P向左移动时：分CA=PA，AP=PC，PC=AC三种情况，当P向右移动时，AC=CP分别计算出t的值即可． 【解析】（1）∵∠ABC=90°，BC=6cm，AC=10cm， ∴AB=； （2）如图所示： 当P向左移动时，PB=2t， ①若AP=AC=10cm， 则：BP=， t=3； ②若PC=AC=10cm，则BP=4cm， 【变式1-1】t=4， 解得：t=2； ③若AP=PC，则PC=6+2t，AP=6+2t， 解得：t=， ④当P向右移动时，BP=2t，则CP=2t-6， 当AC=CP时，2t-6=10， 解得：t=8． 答：当t为3，2，8和时，△ACP为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定和一元二次方程的应用等知识，关键是要分情况讨论，不要漏解． 考点六：作等腰三角形（尺规作图） 例6．已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 【答案】见解析 【分析】根据基本作图的基本要求，规范作图即可． 本题考查了线段的基本作图，熟练掌握基本作图的基本步骤是解题的关键． 【解析】解：根据题意，得 ， 1.作射线； 2.在射线上依次截取； 3.分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，二弧交于点C， 4.连接, 则即为所求． ． 【变式6-1】．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”； 图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”； 图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”． 故选：． 【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键． 【变式6-2】．如图，在中，，，请用尺规在上求作一点，使得过的直线把分成两个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尺规作图见解析 【分析】作线段AB的垂直平分线，交于BC点D，该点即为所求，可得到两个等腰三角形． 【解析】解：如下图：点D即为所求． ． 【点睛】本题考查尺规作图画等腰三角形，根据相关知识点解题是重点． 【变式6-3】．如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，尺规作图， （1）根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定即可得出结果； （2）利用垂直平分线的性质作图即可； 熟记等腰三角形的两腰相等，两底角相等，作已知直线的中垂线是解题关键． 【解析】（1）解：连接，如图 ，， ． 由作图得：， ， ， ， ， 和均为等腰三角形； （2）如图2，点D即为所求． 考点七：找出图中的等腰三角形、格点图中画等腰三角形 例7．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 ． 【答案】△ABD，△BDC，△ABC． 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【解析】∵∠A＝36°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°， ∴∠ABD＝∠A， ∴△ABD为等腰三角形． 故答案为：△ABD，△BDC，△ABC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【变式7-1】．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【解析】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【变式7-2】．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图． (1)在图①中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定： （1）取格点C，连接，则即为所求； （2）取格点D，连接，则即为所求； 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求。 【变式7-3】．如图①，②，③都是的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，②中已画出线段，在图③中已画出点A．按下列要求画图． (1)在图①中，以格点为顶点，为一边画一个等腰非直角三角形； (2)在图②中，以格点为顶点，为一边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析． 【分析】（1）本题主要考查网格点等腰三角形的作图问题，根据等腰三角形的定义可以画出与线段等长的线段，注意线段两端点必须在网格顶点处． （2）本题主要考查利用全等思想构造等腰直角三角形，一线三直角模型是最直接的想法，直接构造两个直角三角形即可，并让这两个三角形全等，即可构画出一个等腰直角三角形． （3）本题主要即考查等腰三角形，有考查做出面积最大的三角形，首先先满足等腰三角形的条件，那么就要分析先以A为顶角的等腰三角形， 再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，最终选择以A底角画出等腰三角形即可． 【解析】（1）如图①，只要在网格顶点中找到使线段即可，答案不唯一． （2）如图②，可以过点B作交格点或过点A作，再由全等检验边相等，当然也可以先满足边相等，在看是否满足直角． （3）如图③，多种情况讨论：分别以A为顶角和以A为底角顶点讨论； 分析先以A为顶角的等腰三角形，再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，见图④，最终选择以A底角画出等腰三角形面积最大，通过全等验证．             考点八：等腰三角形的性质和判定 例8．如图，在中，，点，在上，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再证明，得，即可得出结论． 【解析】证明： 在和中 为等腰三角形 【变式8-1】．如图，中是内一点，且平分．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线定义、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质等知识，先由角平分线定义得到，再由三角形全等的判定与性质确定，进而得到是等腰三角形，由等腰三角形性质即可得证，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【解析】证明：平分， ， 在和中，                  ， ，即是等腰三角形， ． 【变式8-2】．如图，在中，点D是边的中点，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，先延长至E，使，连接，再根据“边角边”证明，可得，然后说明，可得，答案可证． 【解析】如图所示， 延长至E，使，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式8-3】．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【解析】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 考点九：等边三角形的判定 例9．下列条件：①三条边都相等的三角形；②三个内角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定等知识点， 根据等边三角形的判定逐个分析即可得，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键． 【解析】三条边都相等的三角形，是等边三角形，符合题意； 三个内角都相等的三角形，是等边三角形，符合题意； 一边上的高与中线重合的三角形，是等腰三角形但不一定是等边三角形，不符合题意； 有一个角为的等腰三角形，是等边三角形，符合题意； 综上，是等边三角形的个数是3个， 故选：C． 【变式9-1】．如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）进行判断，解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与等边三角形的判定． 【解析】解：A、，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； B、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，该选项符合题意； D、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式9-2】．如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定证明即可． 【解析】证明：，， ， ， ， 是等边三角形． 【变式9-3】．如图，已知点和点在线段上，且，点C和点F在的同侧，和相交于点H．    (1)求证：； (2)当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由可证，进而证出结论； （2）由全等三角形的性质可得，由可得，可证是等边三角形． 【解析】（1）证明：， ， ， 在和中, ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，证明三角形全等是本题的关键． 考点十：等边三角形的性质和判定 例10．在中，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键． 只需要证明是等边三角形，得到即可得到答案． 【解析】解：∵中，，， ∴是等边三角形， ， ∴的周长为， 故答案为：18． 【变式10-1】．如图，中，，，与相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质． 本题中求证是解题的关键 ．证明，可得，根据，即可求得，即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为： 【变式10-2】．如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，，再证明，得到，，进而根据等边三角形的判定可证得结论． 【解析】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式10-3】．如图，在是等边三角形，D是的中点，M在延长线上，N在上，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是本题的难点与关键． 取的中点G，连接，则可得是等边三角形，证明得，从而即可求得结果． 【解析】取的中点G，连接，如图． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴． ∴， ∴， ∴ 故答案为：9． 考点十一：等腰、等边三角形的综合应用 例11．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）可得，然后问题可求解． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴为等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，即是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 【变式11-1】．如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）如图，过P作交于点F，证明是等边三角形；证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，是等边三角形，由，可得，由（1）可知，，则，根据，计算求解即可． 【解析】（1）证明：如图，过P作交于点F， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式11-2】．如图，已知，在中，，，交与点M，交延长线于点H，，，则的长度为（　　） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，证明，得出，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，即，求出结果即可． 【解析】解：过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式11-3】．如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【解析】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． 一、单选题 1．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【解析】解：A、， ， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、 ，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 2．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质；由等边三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由平行线的性质得，即可求解；掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 【解析】解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线和平行线可以构造出等腰三角形，得出，，即可求解． 【解析】解：如图，标记， 由题意知，平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 4．下列四个说法中，正确的有（    ） ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角等于的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可判断． 【解析】解：①三个角都相等，则三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ②有两个角等于，则剩余的一个角为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ③若顶角为，则两个底角相等，均为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形；若底角为，则顶角为，三个角都是，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确． ④若相等的两个角是底角，则这个等腰三角形不一定是等边三角形，此说法错误． 说法正确的是：①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5．如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到然后根据解题即可． 【解析】解：∵， ∴，即 又∵， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【解析】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 7．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点．由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【解析】解：如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 故选：C． 8．如图，在中，，是上的一点，在上分别截取，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再证，得到，，根据平角的性质，三角形内角和定理可得，可判定①②④；根据等腰三角形的三线合一进行判定即可判定③；由此即可求解． 【解析】解：在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴．故④正确； ∵， ∴ ， ∵， ∴，故①正确； 由上述证明可得，故②正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴当时，平分，是的中线， ∴， 根据题意，可得是上的一点， ∴当点是中点时，，否则不一定垂直，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 二、填空题 9．若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 10．已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【解析】解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为， ∴它的周长是， 故答案为：． 11．如图所示的方格中， 度． 【答案】135 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理．根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出的度数；再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【解析】解：如图， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 12．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由作法得，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可． 【解析】解：由作法得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 13．如图，在中，，点E在延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由等角对等边得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，得到，据此求出的长，即可求出，则可求出的长． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 14．如图，在中，．点D为外一点，于E．，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，设与的交点为，根据三角形内角和定理及已知条件得出，再证和全等得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可求出的长．本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【解析】解：如图，在上截取，连接，设与的交点为， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 15．如图，在中，是的延长线上一点，分别交，于点，，，，是中点，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质及等边三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据等边三角形的判定可进行求解． 【解析】解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 16．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 17．如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可求出，根据角平分线的定义可得出，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可证，即得出，即易证，得出． 【解析】（1）解：，， ． 平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 18．如图，在中，点在的延长线上，，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定； （1）根据已知得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据全等三角形的性质以及角平分线的定义，得出，进而得出，即可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【解析】（1）证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 又， ， ， ，， ， 是等边三角形， ． 19．已知，在中，D是上一点，交于点E，连接． (1)如图1，，．求证：； (2)如图2，点D与点C重合，，．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）证即可； （2）作,可推出，即可求解； 【解析】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：作,如图所示： ∵ ∴， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形； ∴ ∵ ∴ 20．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），度数记为，连接，作，交线段于． (1)当时，______，______；点从向运动时，逐渐变______（填“大”或“小”），的取值范围是______； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小； (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用； （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小，根据点从向运动过程中可得出的取值范围； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 点D从B向C运动时，的取值范围是， 故答案为：；；小，． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 当时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 21．如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且． 【问题思考】（1）在图①中，求证：； 【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【解析】解：（1）证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴； （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的应用等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$