专题6.5 相似三角形的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.5 相似三角形的应用 · 典例分析 【典例1】一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意得出，，，再根据正方形的性质得出，，再分别设图①正方形的边长为，图②正方形的边长为，代入数值得出，即可得出结果． 【解题过程】 解：∵，，面积为， ∴， 解得：， 如图①，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 如图②，过点作，分别交于两点，    又∵，，面积为，， ∴，， ∴，， 设图②正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明向路灯移动时，影长的变化是（   ） A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（    ）    A．一直不变 B．逐渐变长 C．逐渐变短 D．先变短后变长 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 6．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点．这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．若，，，则点A与点之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 8．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米． 11．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 12．（23-24九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在水平地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在射段上，，三点共线）．若两人的身高均为，他们相距，灯光下的影子长分别为和，则灯泡的高度为 m． 13．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为 ．    14．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 ． 15．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1是杭州亚运会跳水场馆的实景图，图2是学生根据实景图构建的跳台模型示意图．已知跳台立柱，垂直于地面，跳台，平行于地面，裁判坐在垂直于地面的高架座椅上，座椅高，眼睛与座位的竖直距离，裁判望向起跳点的仰角与望向立柱底部点的俯角互余，则裁判与立柱之间的水平距离的长为 ． 16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．（①直线②曲线，填序号） 17．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 18．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 19．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． （1）求路灯的高度． （2）若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． （3）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为 米/秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.5 相似三角形的应用 · 典例分析 【典例1】一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意得出，，，再根据正方形的性质得出，，再分别设图①正方形的边长为，图②正方形的边长为，代入数值得出，即可得出结果． 【解题过程】 解：∵，，面积为， ∴， 解得：， 如图①，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 如图②，过点作，分别交于两点，    又∵，，面积为，， ∴，， ∴，， 设图②正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明向路灯移动时，影长的变化是（   ） A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可得，即得，得到，求出变化前后的长度即可判断求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当小明向路灯移动时，， 由得，， ∴， ∴影长缩短了， 故选：． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（    ）    A．一直不变 B．逐渐变长 C．逐渐变短 D．先变短后变长 【思路点拨】 本题考查相似三角形的应用，连接，过点作，证明，结合平行线分线段成比例，推出，进而得到是定值，即可得出结论． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作，    由题意，可得：四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵身高，两个路灯间的距离，路灯的高度均为定值， ∴的长为定值， ∴他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和一直不变． 故选：A. 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，过作于点，则点三点共线，则有，，，，通过线段和差得到，，由，证明，最后由相似三角形的性质得出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，过作于点，则点三点共线，    由题意得：，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即此时液面宽度为， 故选：． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【解题过程】 解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【思路点拨】 本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【解题过程】 解： ，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 6．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【解题过程】 解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 7．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点．这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．若，，，则点A与点之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称图形的性质等知识．连接交直线于点E，先求出，．再根据轴对称图形的性质得到，证明，求出，即可求出，问题得解． 【解题过程】 解：如图，连接交直线于点E． ∵， ∴在中，． ∵，， ∴． ∵铁夹子的侧面示意图是一个轴对称图形，直线是它的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即点A与点之间的距离为． 故选：B 8．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米 【思路点拨】 此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【解题过程】 解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ，， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，， ∴， 则米， ∴光源与小明的距离减少（米）， 故选：D． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作于点，推出，得到米，再根据勾股定理求出米，由题意得：米，米，，利用相似三角形的性质求出米，即可求解． 【解题过程】 解：过点作于点， ， ， 米， 米， 米， 由题意得：米，米，， ，即， 米， 米， 大树的高度是米， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米． 【思路点拨】 本题考查相似三角形的应用举例，利用比例性质可解决问题．过P作于F，延长交于E，由已知得米，米，米，由，，得到，，利用相似比等于对应高的比，可知，求出，再由即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，过P作于F，延长交于E， 由已知得米，米，米， ，， ， ，即， ， 米， 则河宽为38米． 故答案为：38． 11．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【思路点拨】 本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【解题过程】 解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 12．（23-24九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在水平地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在射段上，，三点共线）．若两人的身高均为，他们相距，灯光下的影子长分别为和，则灯泡的高度为 m． 【思路点拨】 此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【解题过程】 解：如图， ，，， ， ，， ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为 ．    【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例解题是关键．过点D作于点F，交于点E，通过证明，得出，即，即可求解． 【解题过程】 解：过点D作于点F，交于点E， ∵， ∴四边形、四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 ． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与相交于点，根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：设与相交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 灯离地面的高度为， 故答案为：． 15．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1是杭州亚运会跳水场馆的实景图，图2是学生根据实景图构建的跳台模型示意图．已知跳台立柱，垂直于地面，跳台，平行于地面，裁判坐在垂直于地面的高架座椅上，座椅高，眼睛与座位的竖直距离，裁判望向起跳点的仰角与望向立柱底部点的俯角互余，则裁判与立柱之间的水平距离的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得：，从而可得，再根据题意可得：，，，，从而可得，然后根据已知可得：，从而可得，进而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 由题意得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， ， 裁判与立柱之间的水平距离的长为， 故答案为：． 16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．（①直线②曲线，填序号） 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，设表示路灯，表示行人，表示光线，直线为人行走的路线，设，，，，点到路的距离，影子顶部到路的距离，由可得，即得，得到是定值，由得，即得也是定值，进而可得也为定值，即影子顶部到直线的距离不变，故得影子顶部的运动轨迹为平行于路的一条直线，即可求解，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 【解题过程】 解：如图所示， 设表示路灯，表示行人，表示光线，直线为人行走的路线， 设，，，，点到路的距离，影子顶部到路的距离， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是定值， ∴也是定值， ∵， ∴， ∴，即， ∵是定值， ∴也是定值， ∵为定值， ∴也为定值，即影子顶部到直线的距离不变， ∴影子顶部的运动轨迹为平行于路的一条直线， 故答案为：①． 17．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【思路点拨】 本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【解题过程】 解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 18．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【解题过程】 解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 19．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【思路点拨】 发现：证明，得到，即可证明； 探究：过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理求出的值，再证明，利用相似比求出的值，即可获得答案． 【解题过程】 解：发现：， 理由如下：连接，如下图，    ∵立杆相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 探究：如下图，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． （1）求路灯的高度． （2）若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． （3）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为 米/秒． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的应用，能根据题意列出比例式是解题的关键； （1）根据题意表示出，，长度，设米，则米，由可得，代入计算即可； （2）设，由可得，，由可得，再由是影子与的比例中项，可求t； （3）设O是小明在路灯下影子的起止位置，根据求出即可得出影子的速度． 【解题过程】 （1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 由（1）得， ， ， ，， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$