期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程【二十大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 专题内容 本专题包括小数乘除法的基础计算、混合运算、简便计算以及用字母表示数和解方程等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 4 【第四篇】典型例题篇 9 【考点一】小数乘除法基础计算 9 【考点二】小数乘除法列竖式计算 9 【考点三】小数乘除法四则混合运算 10 【考点四】小数乘除法列式计算（文字式） 11 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式） 11 【考点六】小数乘除法与单位换算 12 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 13 【考点八】小数乘法与积的规律问题 13 【考点九】小数除法与商的规律问题 13 【考点十】小数乘除法算式规律 14 【考点十一】循环小数的表示和比较 14 【考点十二】循环小数与周期问题 15 【考点十三】小数乘除法简便计算其一 15 【考点十四】小数乘除法简便计算其二 16 【考点十五】含字母式子的书写和化简 16 【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 17 【考点十七】关于代数数的五种新型题型 17 【考点十八】方程与等式 18 【考点十九】等式的性质 19 【考点二十】解方程 19 【第三篇】知识总览篇 知识点一：小数乘法计算。 （一）小数乘整数。 1. 小数乘整数的意义。 小数乘整数的意义同整数乘法一样，都是表示求几个相同加数和的简便计算或者求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘整数的计算法则。 （1）按照整数乘法进行计算； （2）因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； （3）积的小数部分末尾的0可以去掉。 （二）小数乘小数。 1. 小数乘小数的意义。 表示求一个数的几分之几是多少或者求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘小数的计算法则。 （1）先按照整数乘法计算出积，再点小数点； （2）点小数点时，看因数一共有几位小数，就从积的末尾起数出几位，点上小数点，积的小数部分末尾的"0"要去掉。 （三）小数乘法估算。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结果，用四舍五入法求积的近似数时，保留到哪一位就看那一位的后一位，如果小于5就舍掉，大于或等于5向前进一。 （四）小数乘法验算。 1. 一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同。 2. 用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 （五）判断积的位数。 按整数乘法的法则先求出积，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位小数点上小数点，末尾有“0”的要去掉。 （六）积与因数的大小关系。 1.一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； 2.一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小； 3.一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数。 （七）小数乘法与积的规律问题。 1. 积的变化规律一。 两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也随着扩大（或缩小）相同的倍数。 2. 积的变化规律二。 一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大A×B倍；一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小A×B倍。 3. 积不变的性质。 在乘法算式中，一个因数乘几（或除以几）（0除外)，而另一个因数除以(或乘)相同的数，积不变。 知识点二：小数除法计算。 1. 小数除法计算法则。 （1）小数除以整数 ①按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐； ②如果除到被除数的末位仍有余数，要在余数的后面添0继续除； ③如果小数的整数部分不够除，要在个位上0，点上商的小数点后继续除。 （2）一个数除以小数 ①先移动除数的小数点，使它变成整数； ②除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够时,在被除数的末尾用“0”补足)； ③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 2. 商与被除数的大小关系。 （1）一个数（0除外）除以大于1的数， 商小于被除数。 （2）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外）， 商大于被除数。 （3）一个数（0除外）除以1，商等于被除数。 3. 商的近似数。 （1）先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五入”法取商的近似数。 （2）精确到个位、十分位、百分位、千分位和精确到1、0.1 、0.01、0.001的含义是一样的，分别是保留整数，一位小数，两位小数，三位小数。 4. 小数除法与商的规律问题。 （1）两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。 （2）两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。 （3）两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。 （4）两数相除，被除数与除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数跟着被除数变。 5 循环小数。 （1）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （2）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 （3）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 （4）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 知识点三：小数乘除法混合运算。 1. 整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2. 一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 知识点四：小数乘法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数1。 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 知识点五：小数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：用字母表示数。 1. 用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2. 用字母表示运算定律。 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3. 用字母表示计算公式。 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4. 用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5. 求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6. 字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点七：解简易方程。 1. 方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2. 等式的性质。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3. 方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5. 检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】小数乘除法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。 1.2×0.5＝           14.21÷7＝           6.25×0＝          0.6×0.04＝ 0.72×100＝         64÷0.8＝          3.9÷1.3＝          0÷8.36＝ 【对应练习】 1．直接写得数。 1.7×5＝     5.1÷0.17＝     2.89÷0.1＝     6.3×0.4＝ 4.5×0.2＝     0.35×30＝     0÷1.16＝     0.82×2＝ 2．直接写得数。 0.5×0.12＝         6.3×0＝            8×47×1.25＝           2.7÷9＝ 24÷0.8＝           3.2－0.8＝           12÷2.5÷0.4＝           0.22×5＝ 【考点二】小数乘除法列竖式计算。 【典型例题】 列竖式计算。 8.2×0.94＝         4.42÷5.2＝          6.64÷5.3≈（保留两位小数） 【对应练习】 1．列竖式计算。 2.3÷0.46＝            42.3×0.75＝            5.87÷1.9≈（得数保留两位小数） 2．列竖式计算。（带*的要验算，带▲的得数保留两位小数） *65×2.05＝           *46.8÷0.45＝           ▲1.55÷3.9≈ 【考点三】小数乘除法四则混合运算。 【典型例题】 脱式计算。 6.48÷[（3.3－2.7）×90]                      （2.8＋3.85÷3.5）×4.6 【对应练习】 1．脱式计算。 0.87÷0.29÷0.15         22.4÷（1.1－6.3÷9） （18.4＋10.3）÷0.7×16.5         4.5－3.2×0.45÷3.6 2．脱式计算。                【考点四】小数乘除法列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 用0.13与4的积去除1.32与0.28的差，商是多少？ 【对应练习】 1．列式计算。 27加上0.7除以3.5的商，再乘8，积是多少？ 2．列式计算。 1.6除以3.2的商，加上2.4除以1.2的商的2倍，和是多少？ 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 【对应练习】 1．依据图中的数学信息，解决问题。 2．依据下面图的数学信息，解决问题。 【考点六】小数乘除法与单位换算。 【典型例题】 1. 单位换算。 1.5时＝( )分      3050m＝( )km 2.1公顷＝( )m2      1.06t＝( )t( )kg 2. 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时        ( )千克＝80克        6公顷＝( )平方米 【对应练习】 1. 在括号里填上合适的数。 45厘米﹦( )米      28.08千米﹦( )千米( )米 0.2小时﹦( )分钟      5公顷30平方米﹦( )公顷 2. 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷     0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克     36分＝( )时 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) ( ) 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.6×7.12( )7.6    3.02×12.6( )302×0.126    0.56÷32( )0.56 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3.5        ( )0.9 ( )2.07    ( )3.75 【考点八】小数乘法与积的规律问题。 【典型例题】 根据35×16＝560直接在括号里填数。 3.5×16＝( )        3.5×1.6＝( ) 16×0.35＝( )       0.16×3.5＝( ) 【对应练习】 1. 根据148×23＝3404，直接在括号里填数。 14.8×23＝( )        14.8×2.3＝( ) 1.48×2.3＝( )      1.48×230＝( ) 2. 根据42×16＝672，在下面的括号里填上适当的数。 4.2×1.6＝( )；( )×16＝67.2；420×1.6＝( )。 【考点九】小数除法与商的规律问题。 【典型例题】 不计算，根据4.85÷2.5＝1.94写出下面各式的得数。 194×25＝( )       48.5÷25＝( )        0.485÷0.194＝( )     19.4×0.25＝( ) 【对应练习】 1. 已知2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。 25.46÷38＝( )                2.546÷0.38＝( ) 254.6÷3.8＝( )               0.38×0.67＝( ) 2. 如果912÷24＝38，那么请你直接写出下面算式结果：912÷2.4＝( )，912÷0.24＝( )，0.912÷0.24＝( )。 【考点十】小数乘除法算式规律。 【典型例题】 1. 找规律填空。          ( ) 。 2. 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【对应练习】 1. 找规律填空。 3×0.5＝1.5         3.3×3.5＝11.55         3.33×33.5＝111.555… 请根据上面的规律填空：( )×( )＝11111.55555。 2. 用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A＝( )。 【考点十一】循环小数的表示和比较。 【典型例题】 1. 在4.421421…、4.04213…、4.421中，循环小数是( )，它的循环节是( )，用循环小数的简便形式记作( )。 2. 在、5.211、5.21、中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【对应练习】 1. 5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。 2. 在6.565，，6.5，，这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【考点十二】循环小数与周期问题。 【典型例题】 1. 7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。 2. 1÷27的商的小数点后面100个数字和是多少？ 【对应练习】 1. 14.1÷11的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )，同时小数点后面第2022位上的数字是( )。 2. 循环小数的小数部分前500个数字之和是多少？ 【考点十三】小数乘除法简便计算其一。 【典型例题】 简便计算。 6.4×0.25×12.5           9.98×9.9         8.72÷1.25÷8 【对应练习】 1．简便计算。 0.4×（25＋2.5）    2.3÷8÷1.25    7.6×10.1 2．简便计算。                【考点十四】小数乘除法简便计算其二。 【典型例题】 简便计算。 327×2.8＋17.3×28 【对应练习】 简便计算。 0.79×0.46＋7.9×0.24＋11.4×0.079 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820 【考点十五】含字母式子的书写和化简。 【典型例题】 1. 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 2. 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 m×4＝            ＋3＝                 6－2＝ ×b＝             n×n＝                     0.32＝ 2．直接写出得数。                                                         【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【典型例题】 1. 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【对应练习】 1. 五（1）班同学收集树种a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班收集数量的3倍少5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( )千克。 2. 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【考点十七】关于代数数的五种新型题型。 【典型例题】 1. 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 2. 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 3. 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是表示码数，表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是53码，那么他的脚长( )厘米。 4. 王强设计的猜年龄的程序如下： 输入你的年龄→乘2→减去2→→输出结果。 （1）小丽输入的年龄为a，请用含有a的式子表示输出的结果。 （2）奶奶输入自己的年龄，输出的结果是118，请你根据王强设计的猜年龄的程序计算出奶奶的年龄。 5. 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【对应练习】 1. 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 2. 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数a、b有a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 3. 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【考点十八】方程与等式。 【典型例题】 ①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 【对应练习】 1. 在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号） 2. 在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【考点十九】等式的性质。 【典型例题】 如果＝2，（、均不为0）那么3＝( )，＋3＝2＋( )。 【对应练习】 1．若4－8＝28，则4－8＋( )＝28＋12，（4－8）×2＝28×( )。 2．如果☆＋△＝30，且☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，那么☆＝( )。 【考点二十】解方程。 【典型例题】 解方程。 7x÷3＝8.19                   1.8x－x＝6.4 5.1÷x＝0.85×2               0.4（x＋1.6）＝5.32 【对应练习】 1．解方程。                       2．解方程。 （1）              （2） （3）        （4） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 20 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 20 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 专题内容 本专题包括小数乘除法的基础计算、混合运算、简便计算以 及用字母表示数和解方程等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................4 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................9 【考点一】小数乘除法基础计算 ....................................................................................... 9 【考点二】小数乘除法列竖式计算 ................................................................................... 9 【考点三】小数乘除法四则混合运算 ..............................................................................10 【考点四】小数乘除法列式计算（文字式） .................................................................. 11 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式） .................................................................. 11 【考点六】小数乘除法与单位换算 ..................................................................................12 3 / 20 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 ............................................. 13 【考点八】小数乘法与积的规律问题 ..............................................................................13 【考点九】小数除法与商的规律问题 ..............................................................................13 【考点十】小数乘除法算式规律 ..................................................................................... 14 【考点十一】循环小数的表示和比较 ..............................................................................14 【考点十二】循环小数与周期问题 ..................................................................................15 【考点十三】小数乘除法简便计算其一 ..........................................................................15 【考点十四】小数乘除法简便计算其二 ..........................................................................16 【考点十五】含字母式子的书写和化简 ..........................................................................16 【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 ............................................... 17 【考点十七】关于代数数的五种新型题型 ...................................................................... 17 【考点十八】方程与等式 .................................................................................................18 【考点十九】等式的性质 .................................................................................................19 【考点二十】解方程 ........................................................................................................ 19 4 / 20 【第三篇】知识总览篇 知识点一：小数乘法计算。 （一）小数乘整数。 1. 小数乘整数的意义。 小数乘整数的意义同整数乘法一样，都是表示求几个相同加数和的简便计算或者 求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘整数的计算法则。 （1）按照整数乘法进行计算； （2）因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； （3）积的小数部分末尾的 0可以去掉。 （二）小数乘小数。 1. 小数乘小数的意义。 表示求一个数的几分之几是多少或者求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘小数的计算法则。 （1）先按照整数乘法计算出积，再点小数点； （2）点小数点时，看因数一共有几位小数，就从积的末尾起数出几位，点上小 数点，积的小数部分末尾的"0"要去掉。 （三）小数乘法估算。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结 果，用四舍五入法求积的近似数时，保留到哪一位就看那一位的后一位，如果小 于 5就舍掉，大于或等于 5向前进一。 （四）小数乘法验算。 1. 一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同。 2. 用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 （五）判断积的位数。 按整数乘法的法则先求出积，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几 位小数点上小数点，末尾有“0”的要去掉。 5 / 20 （六）积与因数的大小关系。 1.一个不为 0的数乘大于 1的数，积比原来的数大； 2.一个不为 0的数乘小于 1的数，积比原来的数小； 3.一个不为 0的数乘等于 1的数，积等于原来的数。 （七）小数乘法与积的规律问题。 1. 积的变化规律一。 两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也随着扩大（或 缩小）相同的倍数。 2. 积的变化规律二。 一个因数扩大 A倍，另一个因数扩大 B倍，积扩大 A×B倍；一个因数缩小 A倍， 另一个因数缩小 B倍，积缩小 A×B倍。 3. 积不变的性质。 在乘法算式中，一个因数乘几（或除以几）（0除外)，而另一个因数除以(或乘) 相同的数，积不变。 知识点二：小数除法计算。 1. 小数除法计算法则。 （1）小数除以整数 ①按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐； ②如果除到被除数的末位仍有余数，要在余数的后面添 0继续除； ③如果小数的整数部分不够除，要在个位上 0，点上商的小数点后继续除。 （2）一个数除以小数 ①先移动除数的小数点，使它变成整数； ②除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够时,在 被除数的末尾用“0”补足)； ③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 2. 商与被除数的大小关系。 （1）一个数（0除外）除以大于 1的数， 商小于被除数。 （2）一个数（0除外）除以小于 1的数（0除外）， 商大于被除数。 6 / 20 （3）一个数（0除外）除以 1，商等于被除数。 3. 商的近似数。 （1）先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五 入”法取商的近似数。 （2）精确到个位、十分位、百分位、千分位和精确到 1、0.1 、0.01、0.001的 含义是一样的，分别是保留整数，一位小数，两位小数，三位小数。 4. 小数除法与商的规律问题。 （1）两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。 （2）两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。 （3）两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。 （4）两数相除，被除数与除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但 余数跟着被除数变。 5 循环小数。 （1）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次 不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （2）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个 循环小数的循环节。 （3）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 （4）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 知识点三：小数乘除法混合运算。 1. 整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数 四则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2. 一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级 运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的，最后算括号外面的。 知识点四：小数乘法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 7 / 20 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数 1。 形如 A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 知识点五：小数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：用字母表示数。 1. 用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2. 用字母表示运算定律。 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3. 用字母表示计算公式。 8 / 20 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式： ；正方形的周长公式：C=4a。 4. 用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为 s=vt。 5. 求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6. 字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点七：解简易方程。 1. 方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2. 等式的性质。 等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然 相等。 3. 方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如 x±a=b、ax=b、ax±b=c和 a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5. 检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果 相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 9 / 20 【第四篇】典型例题篇 【考点一】小数乘除法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。 1.2×0.5＝ 14.21÷7＝ 6.25×0＝ 0.6×0.04＝ 0.72×100＝ 64÷0.8＝ 3.9÷1.3＝ 0÷8.36＝ 【对应练习】 1．直接写得数。 1.7×5＝ 5.1÷0.17＝ 2.89÷0.1＝ 6.3×0.4＝ 4.5×0.2＝ 0.35×30＝ 0÷1.16＝ 0.82×2＝ 2．直接写得数。 0.5×0.12＝ 6.3×0＝ 8×47×1.25＝ 2.7÷9＝ 24÷0.8＝ 3.2－0.8＝ 12÷2.5÷0.4＝ 0.22×5＝ 【考点二】小数乘除法列竖式计算。 【典型例题】 列竖式计算。 8.2×0.94＝ 4.42÷5.2＝ 6.64÷5.3≈（保留两位小数） 【对应练习】 1．列竖式计算。 2.3÷0.46＝ 42.3×0.75＝ 5.87÷1.9≈（得数保留两位小数） 10 / 20 2．列竖式计算。（带*的要验算，带▲的得数保留两位小数） *65×2.05＝ *46.8÷0.45＝ ▲1.55÷3.9≈ 【考点三】小数乘除法四则混合运算。 【典型例题】 脱式计算。 6.48÷[（3.3－2.7）×90] （2.8＋3.85÷3.5）×4.6 【对应练习】 1．脱式计算。 0.87÷0.29÷0.15 22.4÷（1.1－6.3÷9） （18.4＋10.3）÷0.7×16.5 4.5－3.2×0.45÷3.6 2．脱式计算。 0.6 0.6 0.6 0.6   16.6 0.18 0.02 3.2 0.5    11 / 20  2.5 18 8.4 0.6 1.4 1        143 3.4 1.05  【考点四】小数乘除法列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 用 0.13与 4的积去除 1.32与 0.28的差，商是多少？ 【对应练习】 1．列式计算。 27加上 0.7除以 3.5的商，再乘 8，积是多少？ 2．列式计算。 1.6除以 3.2的商，加上 2.4除以 1.2的商的 2倍，和是多少？ 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 12 / 20 【对应练习】 1．依据图中的数学信息，解决问题。 2．依据下面图的数学信息，解决问题。 【考点六】小数乘除法与单位换算。 【典型例题】 1. 单位换算。 1.5时＝( )分 3050m＝( )km 2.1公顷＝( )m2 1.06t＝( )t( )kg 2. 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时 ( )千克＝80克 6公顷＝( )平方米 【对应练习】 1. 在括号里填上合适的数。 45厘米﹦( )米 28.08千米﹦( )千米( )米 0.2小时﹦( )分钟 5公顷 30平方米﹦( )公顷 2. 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷 0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克 36分＝( )时 13 / 20 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 93 0.9 ( )93 7.2 0.19 ( )0.19 7.2 5.8 ( )0.84 5.8 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.6×7.12( )7.6 3.02×12.6( )302×0.126 0.56÷32( )0.56 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5 0.99 ( )3.5 23.2 0.9 ( )0.9 2.07 0.9 ( )2.07 3.75 1.5 ( )3.75 【考点八】小数乘法与积的规律问题。 【典型例题】 根据 35×16＝560直接在括号里填数。 3.5×16＝( ) 3.5×1.6＝( ) 16×0.35＝( ) 0.16×3.5＝( ) 【对应练习】 1. 根据 148×23＝3404，直接在括号里填数。 14.8×23＝( ) 14.8×2.3＝( ) 1.48×2.3＝( ) 1.48×230＝( ) 2. 根据 42×16＝672，在下面的括号里填上适当的数。 4.2×1.6＝( )；( )×16＝67.2；420×1.6＝( )。 【考点九】小数除法与商的规律问题。 【典型例题】 不计算，根据 4.85÷2.5＝1.94写出下面各式的得数。 194×25＝( ) 48.5÷25＝( ) 0.485÷0.194＝( ) 19.4×0.25＝( ) 【对应练习】 1. 已知 2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。 14 / 20 25.46÷38＝( ) 2.546÷0.38＝( ) 254.6÷3.8＝( ) 0.38×0.67＝( ) 2. 如果 912÷24＝38，那么请你直接写出下面算式结果：912÷2.4＝( )， 912÷0.24＝( )，0.912÷0.24＝( )。 【考点十】小数乘除法算式规律。 【典型例题】 1. 找规律填空。 3 0.6 1.8  3.3 3.6 11.88  3.33 33.6 111.888  3.3333 3333.6  ( ) 。 2. 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【对应练习】 1. 找规律填空。 3×0.5＝1.5 3.3×3.5＝11.55 3.33×33.5＝111.555… 请根据上面的规律填空：( )×( )＝11111.55555。 2. 用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…， 那么 10÷A＝( )。 【考点十一】循环小数的表示和比较。 【典型例题】 1. 在 4.421421…、4.04213…、4.421中，循环小数是( )，它的循环节是 ( )，用循环小数的简便形式记作( )。 2. 在5.21   、5.211、5.21、5.2  中，最大的数是( )，最小的数是( )。 15 / 20 【对应练习】 1. 5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。 2. 在 6.565，6.565 ，6.5，6 .5 ，6.56 这五个数中，最大的数是( )，最小的 数是( )。 【考点十二】循环小数与周期问题。 【典型例题】 1. 7.12585858…的小数点后面第 100位数字是( )。 2. 1÷27的商的小数点后面 100个数字和是多少？ 【对应练习】 1. 14.1÷11的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )， 同时小数点后面第 2022位上的数字是( )。 2. 循环小数0.2358978   的小数部分前 500个数字之和是多少？ 【考点十三】小数乘除法简便计算其一。 【典型例题】 简便计算。 6.4×0.25×12.5 9.98×9.9 8.72÷1.25÷8 【对应练习】 1．简便计算。 0.4×（25＋2.5） 2.3÷8÷1.25 7.6×10.1 16 / 20 2．简便计算。 25 7.2 0.4 0.9   4.04 2.5 1.1 1.25 【考点十四】小数乘除法简便计算其二。 【典型例题】 简便计算。 327×2.8＋17.3×28 【对应练习】 简便计算。 0.79×0.46＋7.9×0.24＋11.4×0.079 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820 【考点十五】含字母式子的书写和化简。 【典型例题】 1. 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( ) n×5.6＝( ) a×a＝( ) 1×x＝( ) 2. 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 5.8x－x＝ 6c－5c＝ 0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝ 5b＋4b－9b＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 17 / 20 m×4＝ a＋3 a＝ 6 x－2 x＝ a×b＝ n×n＝ 0.32＝ 2．直接写出得数。 15y 0.5y  20 b b   2.5 4  20.4  4 4m  0.6x x   2a a   a a  【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【典型例题】 1. 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运 x吨煤，共运了 3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张 a元，学生门 票是每张 b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【对应练习】 1. 五（1）班同学收集树种 a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1） 班收集数量的 3倍少 5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班 同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( ) 千克。 2. 一块长 10米，宽 8米的长方形菜地，将它的长增加 a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当 a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【考点十七】关于代数数的五种新型题型。 【典型例题】 1. 如下图，用小棒摆正方形。 摆 1个正方形要 4根小棒，摆 2个正方形要 7根小棒，摆 3个正方形要 10根小 棒。继续这样摆，摆 10个正方形要( )根小棒；摆 n个正方形需要的小 棒根数是( )。 2. 如果 a◆b＝4a－b，那么 20◆（24◆32）＝( )。 18 / 20 3. 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是 2 10(b a b  表示码数， a表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是 53码，那么他 的脚长( )厘米。 4. 王强设计的猜年龄的程序如下： 输入你的年龄→乘 2→减去 2→→输出结果。 （1）小丽输入的年龄为 a，请用含有 a的式子表示输出的结果。 （2）奶奶输入自己的年龄，输出的结果是 118，请你根据王强设计的猜年龄的 程序计算出奶奶的年龄。 5. 观察数列 2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第 6个数是( )， 是第 n个数是( )。 【对应练习】 1. 用小棒摆图形。 …… 第 1个 第 2个 第 3个 第 4个 摆第 1个图形需要 3根小棒，第 2个图形需要 5根小棒……照这样，摆第 n个图 形需要( )根小棒。 2. 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数 a、b有 a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1. 例如 1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 3. 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如 下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。 如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃ 时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【考点十八】方程与等式。 【典型例题】 ①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子 中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 19 / 20 【对应练习】 1. 在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有( )， 是方程的有( )。（填序号） 2. 在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38 中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【考点十九】等式的性质。 【典型例题】 如果 a＝2b，（ a、b均不为 0）那么 3 a＝( )，a＋3＝2b＋( )。 【对应练习】 1．若 4 x－8＝28，则 4 x－8＋( )＝28＋12，（4 x－8）×2＝28×( )。 2．如果☆＋△＝30，且☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，那么☆＝( )。 【考点二十】解方程。 【典型例题】 解方程。 7x÷3＝8.19 1.8x－x＝6.4 5.1÷x＝0.85×2 0.4（x＋1.6）＝5.32 【对应练习】 1．解方程。 9 17 134x    4 2 6 86x   1.8 18.2x x  20 / 20  6 8 5 8x    9.7 1.6 24.3x x  9.6 1.6x  2．解方程。 （1） 5 12.3x   （2）7 3 39x   （3）1.5 0.6 16.8x x  （4）  5 12 8 24x    1 / 43 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 43 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 专题内容 本专题包括小数乘除法的基础计算、混合运算、简便计算以 及用字母表示数和解方程等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................4 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................9 【考点一】小数乘除法基础计算 ....................................................................................... 9 【考点二】小数乘除法列竖式计算 ................................................................................... 9 【考点三】小数乘除法四则混合运算 ..............................................................................12 【考点四】小数乘除法列式计算（文字式） .................................................................. 14 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式） .................................................................. 15 【考点六】小数乘除法与单位换算 ..................................................................................17 3 / 43 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 ............................................. 18 【考点八】小数乘法与积的规律问题 ..............................................................................19 【考点九】小数除法与商的规律问题 ..............................................................................20 【考点十】小数乘除法算式规律 ..................................................................................... 21 【考点十一】循环小数的表示和比较 ..............................................................................23 【考点十二】循环小数与周期问题 ..................................................................................25 【考点十三】小数乘除法简便计算其一 ..........................................................................27 【考点十四】小数乘除法简便计算其二 ..........................................................................29 【考点十五】含字母式子的书写和化简 ..........................................................................30 【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 ............................................... 31 【考点十七】关于代数数的五种新型题型 ...................................................................... 33 【考点十八】方程与等式 .................................................................................................37 【考点十九】等式的性质 .................................................................................................38 【考点二十】解方程 ........................................................................................................ 39 4 / 43 【第三篇】知识总览篇 知识点一：小数乘法计算。 （一）小数乘整数。 1. 小数乘整数的意义。 小数乘整数的意义同整数乘法一样，都是表示求几个相同加数和的简便计算或者 求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘整数的计算法则。 （1）按照整数乘法进行计算； （2）因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； （3）积的小数部分末尾的 0可以去掉。 （二）小数乘小数。 1. 小数乘小数的意义。 表示求一个数的几分之几是多少或者求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘小数的计算法则。 （1）先按照整数乘法计算出积，再点小数点； （2）点小数点时，看因数一共有几位小数，就从积的末尾起数出几位，点上小 数点，积的小数部分末尾的"0"要去掉。 （三）小数乘法估算。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结 果，用四舍五入法求积的近似数时，保留到哪一位就看那一位的后一位，如果小 于 5就舍掉，大于或等于 5向前进一。 （四）小数乘法验算。 1. 一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同。 2. 用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 （五）判断积的位数。 按整数乘法的法则先求出积，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几 位小数点上小数点，末尾有“0”的要去掉。 5 / 43 （六）积与因数的大小关系。 1.一个不为 0的数乘大于 1的数，积比原来的数大； 2.一个不为 0的数乘小于 1的数，积比原来的数小； 3.一个不为 0的数乘等于 1的数，积等于原来的数。 （七）小数乘法与积的规律问题。 1. 积的变化规律一。 两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也随着扩大（或 缩小）相同的倍数。 2. 积的变化规律二。 一个因数扩大 A倍，另一个因数扩大 B倍，积扩大 A×B倍；一个因数缩小 A倍， 另一个因数缩小 B倍，积缩小 A×B倍。 3. 积不变的性质。 在乘法算式中，一个因数乘几（或除以几）（0除外)，而另一个因数除以(或乘) 相同的数，积不变。 知识点二：小数除法计算。 1. 小数除法计算法则。 （1）小数除以整数 ①按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐； ②如果除到被除数的末位仍有余数，要在余数的后面添 0继续除； ③如果小数的整数部分不够除，要在个位上 0，点上商的小数点后继续除。 （2）一个数除以小数 ①先移动除数的小数点，使它变成整数； ②除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够时,在 被除数的末尾用“0”补足)； ③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 2. 商与被除数的大小关系。 （1）一个数（0除外）除以大于 1的数， 商小于被除数。 （2）一个数（0除外）除以小于 1的数（0除外）， 商大于被除数。 6 / 43 （3）一个数（0除外）除以 1，商等于被除数。 3. 商的近似数。 （1）先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五 入”法取商的近似数。 （2）精确到个位、十分位、百分位、千分位和精确到 1、0.1 、0.01、0.001的 含义是一样的，分别是保留整数，一位小数，两位小数，三位小数。 4. 小数除法与商的规律问题。 （1）两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。 （2）两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。 （3）两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。 （4）两数相除，被除数与除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但 余数跟着被除数变。 5 循环小数。 （1）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次 不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （2）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个 循环小数的循环节。 （3）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 （4）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 知识点三：小数乘除法混合运算。 1. 整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数 四则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2. 一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级 运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的，最后算括号外面的。 知识点四：小数乘法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 7 / 43 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数 1。 形如 A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 知识点五：小数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：用字母表示数。 1. 用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2. 用字母表示运算定律。 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3. 用字母表示计算公式。 8 / 43 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式： ；正方形的周长公式：C=4a。 4. 用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为 s=vt。 5. 求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6. 字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点七：解简易方程。 1. 方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2. 等式的性质。 等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然 相等。 3. 方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如 x±a=b、ax=b、ax±b=c和 a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5. 检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果 相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 9 / 43 【第四篇】典型例题篇 【考点一】小数乘除法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。 1.2×0.5＝ 14.21÷7＝ 6.25×0＝ 0.6×0.04＝ 0.72×100＝ 64÷0.8＝ 3.9÷1.3＝ 0÷8.36＝ 【答案】0.6；2.03；0；0.024 72；80；3；0 【解析】略 【对应练习】 1．直接写得数。 1.7×5＝ 5.1÷0.17＝ 2.89÷0.1＝ 6.3×0.4＝ 4.5×0.2＝ 0.35×30＝ 0÷1.16＝ 0.82×2＝ 【答案】8.5；30；28.9；2.52； 0.9；10.5；0；1.64 【解析】略 2．直接写得数。 0.5×0.12＝ 6.3×0＝ 8×47×1.25＝ 2.7÷9＝ 24÷0.8＝ 3.2－0.8＝ 12÷2.5÷0.4＝ 0.22×5＝ 【答案】0.06；0；470；0.3； 30；2.4；12；1.1 【解析】略 【考点二】小数乘除法列竖式计算。 【典型例题】 列竖式计算。 8.2×0.94＝ 4.42÷5.2＝ 6.64÷5.3≈（保留两位小数） 【答案】7.708；0.85；1.25 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个 10 / 43 有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几 位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除 数是整数的除法进行计算。 保留两位小数看千分位，小于 5直接舍去，大于或等于 5向前一位进一。 【详解】8.2×0.94＝7.708 4.42÷5.2＝0.85 6.64÷5.3≈1.25 【对应练习】 1．列竖式计算。 2.3÷0.46＝ 42.3×0.75＝ 5.87÷1.9≈（得数保留两位小数） 【答案】5；31.725；3.09 【分析】除数是小数的除法：（1）（3）观察除数中有几位小数，然后将除数和 被除数的小数点同时向右移动相同的位数，位数不够时用 0补足；将移动小数点 后的除数和被除数进行整数除法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如 果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0，继续除。 保留两位小数时，看小数部分的千分位，千分位小于 5，直接舍去，千分位大于 等于 5，要向前一位进一再舍去。 （2）小数乘小数：写竖式时右边对齐，按照整数乘法的方法计算出积；数因数 中一共有几位小数；因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 注意：点小数点时，积的位数比因数中小数的位数少，就在积的最高位前面用 0 补足，再点小数点；点完小数点后，积的小数部分末尾的 0要去掉。 【详解】2.3÷0.46＝5 42.3×0.75＝31.725 5.87÷1.9≈3.09 11 / 43 2．列竖式计算。（带*的要验算，带▲的得数保留两位小数） *65×2.05＝ *46.8÷0.45＝ ▲1.55÷3.9≈ 【答案】133.25；104；0.40 【分析】先按照整数乘法算出积，再点小数点；点小数点时，看因数中一共有几 位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小 数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0补足）；然后按照除数 是整数的小数除法进行计算。 小数乘法的验算方法：交换乘数的位置，看计算结果是否相同，如果相同，说明 计算正确，否则计算错误。 小数除法的验算方法：看商乘除数是否等于被除数，如果等于被除数，说明计算 正确，否则计算错误；保留两位小数，看小数点后面第三位是几，根据四舍五入 法取近似值即可。 【详解】*65×2.05＝133.25 验算： *46.8÷0.45＝104 ▲1.55÷3.9≈0.40 12 / 43 验算： 【考点三】小数乘除法四则混合运算。 【典型例题】 脱式计算。 6.48÷[（3.3－2.7）×90] （2.8＋3.85÷3.5）×4.6 6.48÷[（3.3－2.7）×90] ＝6.48÷[0.6×90] ＝6.48÷54 ＝0.12 （2.8＋3.85÷3.5）×4.6 ＝（2.8＋1.1）×4.6 ＝3.9×4.6 ＝17.94 【对应练习】 1．脱式计算。 0.87÷0.29÷0.15 22.4÷（1.1－6.3÷9） （18.4＋10.3）÷0.7×16.5 4.5－3.2×0.45÷3.6 【答案】20；56 676.5；4.1 【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法 即可； （3）先算小括号里面的加法，再按照从左到右的运算顺序进行计算即可； 13 / 43 （4）先算乘除法，再算减法即可。 【详解】0.87÷0.29÷0.15 ＝3÷0.15 ＝20 22.4÷（1.1－6.3÷9） ＝22.4÷（1.1－0.7） ＝22.4÷0.4 ＝56 （18.4＋10.3）÷0.7×16.5 ＝28.7÷0.7×16.5 ＝41×16.5 ＝676.5 4.5－3.2×0.45÷3.6 ＝4.5－1.44÷3.6 ＝4.5－0.4 ＝4.1 2．脱式计算。 0.6 0.6 0.6 0.6   16.6 0.18 0.02 3.2 0.5     2.5 18 8.4 0.6 1.4 1        143 3.4 1.05  【答案】0.36；27.2； 9.1；336.05 【分析】（1）按照从左往右依次计算的运算顺序进行计算即可； （2）除法和乘法可以同步进行，所以先算除法和乘法，最后算加法； （3）第一步算小括号里的除法，第二步算小括号里的减法，第三步算中括号里 的乘法，第四步算中括号里的加法，第五步算中括号外的加法； （4）先算小括号里的减法，再算括号外的乘法。 【详解】0.6 0.6 0.6 0.6   0.36 0.6 0.6   0.6 0.6  14 / 43 0.36 16.6 0.18 0.02 3.2 0.5    16.6 9 1.6   25.6 1.6  27.2  2.5 18 8.4 0.6 1.4 1        2.5 18 14 1.4 1        2.5 4 1.4 1     2.5 5.6 1   8.1 1  9.1  143 3.4 1.05  143 2.35  336.05 【考点四】小数乘除法列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 用 0.13与 4的积去除 1.32与 0.28的差，商是多少？ 【答案】2 【分析】先计算出 1.32－0.28的差，再计算出 0.13×4的积，最后用 1.32－0.28 的差除以 0.13×4的积，即（1.32－0.28）÷（0.13×4），据此解答。 【详解】（1.32－0.28）÷（0.13×4） ＝1.04÷0.52 ＝2 商是 2。 【对应练习】 1．列式计算。 15 / 43 27加上 0.7除以 3.5的商，再乘 8，积是多少？ 【答案】  27 0.7 3.5 8 217.6    【分析】根据题意，先求出 0.7除以 3.5的商，即 0.7÷3.5，再用 27加上 0.7÷3.5 的商，求出和，最后用求出的和乘 8即可。 【详解】列式：  27 0.7 3.5 8    27 0.2 8   27.2 8  217.6 27加上 0.7除以 3.5的商，再乘 8，积是 217.6。 2．列式计算。 1.6除以 3.2的商，加上 2.4除以 1.2的商的 2倍，和是多少？ 【答案】4.5 【分析】根据题目的意思列出算式，小数的四则混合运算和整数的四则混合运算 法则一样。四则运算的顺序分为两级。加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法 叫做第二级运算。 （1）在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依 次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘除法），再算第一级运算（加 减法）。 （2）在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括 号外的。 【详解】1.6÷3.2＋（2.4÷1.2）×2 ＝0.5＋2×2 ＝0.5＋4 ＝4.5 则和是 4.5。 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 16 / 43 【答案】5.6米 【分析】根据题意可知，用路的长度减去剩下的长度，即 52.9－30.5，求出修的 长度，再用修的长度÷天数，修了 4天，即可求出每天修的长度。 【详解】（52.9－30.5）÷4 ＝22.4÷4 ＝5.6（米） 每天修 5.6米。 【对应练习】 1．依据图中的数学信息，解决问题。 【答案】12.48元 【分析】上方 4个长方形和下方 5个长方形一样长，先算出上面的总长度再除以 5即可。 【详解】15.6×4＝62.4（元） 62.4÷5＝12.48（元） 2．依据下面图的数学信息，解决问题。 【答案】12.3米 【分析】分析图意可知总长 98米先减去 61.1米，剩下的再平均分成 3份，据此 列式计算即可。小数四则运算法则与整数一致。 【详解】（98－61.1）÷3 17 / 43 ＝36.9÷3 ＝12.3（米） 【考点六】小数乘除法与单位换算。 【典型例题】 1. 单位换算。 1.5时＝( )分 3050m＝( )km 2.1公顷＝( )m2 1.06t＝( )t( )kg 【答案】 90 3.05 21000 1 60 【分析】根据 1时＝60分，1km＝1000m，1公顷＝10000m2，1t＝1000kg，高级 单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】1.5×60＝90，即 1.5时＝90分 3050÷1000＝3.05，即 3050m＝3.05km 2.1×10000＝21000，即 2.1公顷＝21000m2 1.06＝1＋0.06，0.06×1000＝60，即 1.06t＝1t60kg 2. 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时 ( )千克＝80克 6公顷＝( )平方米 【答案】 0.6 0.08 60000 【分析】1时＝60分，1千克＝1000克；1公顷＝10000平方米；高级单位换算 成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】36分＝36÷60＝0.6时 80克＝80÷1000＝0.08千克 0.08千克＝80克 6公顷＝6×10000＝60000平方米 【对应练习】 1. 在括号里填上合适的数。 45厘米﹦( )米 28.08千米﹦( )千米( )米 0.2小时﹦( )分钟 5公顷 30平方米﹦( )公顷 【答案】 0.45 28 80 12 5.003 【分析】根据单位之间的进率，高单位换算低单位乘进率，低单位换算高单位除 18 / 43 以进率，据此计算。 【详解】（1）45÷100＝0.45（米） （2）28.08千米﹦28千米＋0.08千米＝28千米＋（0.08×1000）米＝28千米 80 米 （3）0.2×60＝12（分钟） （4）5公顷 30平方米﹦5公顷＋30平方米﹦5公顷＋（30÷10000）公顷﹦5公 顷＋0.003公顷﹦5.003公顷 【点睛】熟记单位之间的进率，掌握高低单位之间转化的方法是解答题目的关键。 2. 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷 0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克 36分＝( )时 【答案】 0.8 56 2.05 0.6 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据 1公顷＝10000平方米，用 8000÷10000即可；高级单位换低级单位乘进率，根据 1米＝100厘米，用 0.56×100 即可；根据 1千克＝1000克，用 2050÷1000即可；根据 1时＝60分，用 36÷60 即可。 【详解】8000平方米＝8000÷10000公顷＝0.8公顷 0.56米＝0.56×100厘米＝56厘米 2050克＝2050÷1000千克＝2.05千克 36分＝36÷60时＝0.6时 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 93 0.9 ( )93 7.2 0.19 ( )0.19 7.2 5.8 ( )0.84 5.8 【答案】 ＞ ＝ ＞ 【分析】一个非 0数除以大于 1的数，商小于被除数，一个非 0数除以小于 1 的数，商大于被除数； 一道乘法算式相互交换两个乘数之间的位置，乘积不变。 一个非 0数乘大于 1的数，积大于这个非 0数，一个非 0数乘小于 1的数，积小 19 / 43 于这个非 0数； 【详解】0.9＜1 则 93÷0.9＞93 7.2×0.19＝0.19×7.2 0.84＜1 则 5.8＞0.84×5.8 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.6×7.12( )7.6 3.02×12.6( )302×0.126 0.56÷32( )0.56 【答案】 ＞ ＝ ＜ 【分析】一个数和一个大于 1的数相乘，乘积比原来的数大。 3.02×12.6和 302×0.126两个算式先按照 302×126求出积，再从积的末尾数出三 位小数，点上小数点，因此两个算式相等； 一个数除以一个大于 1的数（0除外），商比原来的数小。 【详解】7.12＞1，则 7.6×7.12＞7.6 3.02×12.6＝302×0.126 32＞1，则 0.56÷32＜0.56 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5 0.99 ( )3.5 23.2 0.9 ( )0.9 2.07 0.9 ( )2.07 3.75 1.5 ( )3.75 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】（1）（2）一个非零数乘一个小于 1的数，结果小于原数；乘一个大于 1的数，结果大于原数。 （3）（4）一个非零数除以一个小于 1的数，结果大于原数；除以一个大于 1 的数，结果小于原数。 【详解】因为 0.99＜1，所以 3.5×0.99＜3.5；因为 23.2＞1，所以 23.2×0.9＞0.9； 因为 0.9＜1，所以 2.07÷0.9＞2.07；因为 1.5＞1，所以 3.75÷1.5＜3.75。 【考点八】小数乘法与积的规律问题。 【典型例题】 20 / 43 根据 35×16＝560直接在括号里填数。 3.5×16＝( ) 3.5×1.6＝( ) 16×0.35＝( ) 0.16×3.5＝( ) 解析：56；5.6；5.6；0.56 【对应练习】 1. 根据 148×23＝3404，直接在括号里填数。 14.8×23＝( ) 14.8×2.3＝( ) 1.48×2.3＝( ) 1.48×230＝( ) 解析：340.4；34.04；3.404；340.4 2. 根据 42×16＝672，在下面的括号里填上适当的数。 4.2×1.6＝( )；( )×16＝67.2；420×1.6＝( )。 解析：6.72；4.2；672 【考点九】小数除法与商的规律问题。 【典型例题】 不计算，根据 4.85÷2.5＝1.94写出下面各式的得数。 194×25＝( ) 48.5÷25＝( ) 0.485÷0.194＝( ) 19.4×0.25＝( ) 【答案】 4850 1.94 2.5 4.85 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不 变；据此解答即可。 【详解】由分析可得：194×25＝4850 48.5÷25＝1.94 0.485÷0.194＝2.5 19.4×0.25＝4.85 【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。 【对应练习】 1. 已知 2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。 25.46÷38＝( ) 2.546÷0.38＝( ) 254.6÷3.8＝( ) 0.38×0.67＝( ) 21 / 43 【答案】 0.67 6.7 67 0.2546 【分析】第一小题中，被除数较题干中除法的被除数除以 100，商也是除以 100 得到；第二小题中，被除数较题干中除法的被除数除以 1000，除数除以 100，则 商要除以 10得到；第三小题中，被除数较题干中除法的被除数除以 10，除数除 以 10，则商不变；第四小题中，两个乘数较题干中的数除以 100，则积要除以 10000得到。 【详解】25.46÷38＝0.67；2.546÷0.38＝6.7； 254.6÷3.8＝67；0.38×0.67＝0.2546 【点睛】本题主要考查的是小数乘、除法运算，解题的关键是熟练掌握小数乘、 除法中商的变化规律、积的变化规律，进而得出答案。 2. 如果 912÷24＝38，那么请你直接写出下面算式结果：912÷2.4＝( )， 912÷0.24＝( )，0.912÷0.24＝( )。 【答案】 380 3800 3.8 【分析】商的变化规律： （1）除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商也扩大到原来的几倍；除数不变， 被除数缩小为原来的几分之一，商也缩小为原来的几分之一。 （2）被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商反而缩小为原来的几分之一；被 除数不变，除数缩小为原来的几分之一，商反而扩大到原来的几倍。 （3）被除数和除数同时乘或除以相同的不为 0的数，商不变。 【详解】912÷2.4与 912÷24相比，被除数不变，除数缩小到原来的 1 10，则商扩 大到原来的 10倍，38×10＝380，则 912÷2.4＝380； 912÷0.24与 912÷24相比，被除数不变，除数缩小到原来的 1100，则商扩大到原 来的 100倍，38×100＝3800，则 912÷0.24＝3800； 0.912÷0.24与 912÷24相比，被除数缩小到原来的 1 1000 ，除数缩小到原来的 1 100， 则商缩小到原来的 1 10，38÷10＝3.8，则 0.912÷0.24＝3.8。 【点睛】熟练掌握并运用商的变化规律是解题的关键。 【考点十】小数乘除法算式规律。 【典型例题】 22 / 43 1. 找规律填空。 3 0.6 1.8  3.3 3.6 11.88  3.33 33.6 111.888  3.3333 3333.6  ( ) 。 【答案】11111.88888 【分析】观察算式发现：第一个因数有几个 3，得数中就有几个 1和几个 8，小 数点是 1和 8的分界线，据此填空即可。 【详解】因为 3.3333中有五个 3， 所以 3.3333×3333.6＝11111.88888。 【点睛】本题考查算式的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 2. 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【答案】 0.4545… 0.7272… 【分析】观察算式可知，除数都是 11，被除数依次是 1、2、3……，商依次是 0.0909…、0.1818…、0.2727…，商的小数部分是两个数字的循环，两位数字之 和是 9，且小数的第一位数字比除数小 1；据此规律往下写出得数。 【详解】1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝0.4545… 8÷11＝0.7272… 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 【对应练习】 1. 找规律填空。 3×0.5＝1.5 3.3×3.5＝11.55 23 / 43 3.33×33.5＝111.555… 请根据上面的规律填空：( )×( )＝11111.55555。 【答案】 3.3333 3333.5 【分析】算式中，乘数只含有数字 3和数字 5，乘积只含有数字 1和数字 5；积 的整数部分有多少个 1，第一个乘数就有多少位，且各位上都是 3，其中整数部 分只有 1位，其余都在小数部分；积的小数部分有多少个 5，第二个乘数就有多 少位，其中小数部分只有 1位，是 5，其余都在整数部分，且都是 3。 【详解】3×0.5＝1.5 3.3×3.5＝11.55 3.33×33.5＝111.555… 所以，3.3333×3333.5＝11111.55555。 【点睛】本题考查算式找规律，找准算式前后小数的位数以及各个数位上数的特 征就能解决问题。 2. 用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…， 那么 10÷A＝( )。 【答案】0.4545… 【分析】观察算式发现每个算式的结果都是循环小数，并且每个循环小数的循环 节都是 9的倍数。1×9＝9，对应的第一个商的循环节是 09；2×9＝18，对应的第 二个商的循环节是 18；3×9＝27，对应的第三个商的循环节是 27。那么可以推出， 第五个商的循环节是 5×9＝45。据此填空。 【详解】用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A ＝0.3636…，那么 10÷A＝0.4545…。 【点睛】本题考查了算式的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 【考点十一】循环小数的表示和比较。 【典型例题】 1. 在 4.421421…、4.04213…、4.421中，循环小数是( )，它的循环节是 ( )，用循环小数的简便形式记作( )。 【答案】 4.421421… 421 4.421   【分析】循环小数的意义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次 24 / 43 不断重复出现的无限小数叫循环小数；循环节：不断重复出现的数字就是循环节； 循环小数的简便写法：写出第一个循环节，在循环节的首位和末位的上面各记一 个小圆点，据此解答即可。 【详解】4.421421…、4.04213…、4.421中，4.421421…是循环小数； 4.421421…循环节是 421； 4.421421…＝4.421   在 4.421421…、4.04213…、4.421中循环小数是 4.421421…，它的循环节是 421， 用循环小数的简便形式记作4.421   。 2. 在5.21   、5.211、5.21、5.2  中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 5.2  5.21 【分析】把5.21   的循环节展开后是 5.2121…；把5.2  的循环节展开后是 5.2222…； 再从个位向十分位、百分位…逐位比较四个小数的大小，据此解答。 【详解】5.2121…、5.211、5.21、5.2222…，四个小数的个位和十分位都相同， 根据百分位数字可知 5.2222…大于另外三个小数（5.2121…、5.211、5.21），再 根据千分位数字可知这三个小数中 5.21千分位数字是 0，所以 5.21最小。 在5.21   、5.211、5.21、5.2  中，最大的数是5.2  ，最小的数是 5.21。 【对应练习】 1. 5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 5.73   5.74 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别 记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数 的这几个（或一个）数字重复出现。 保留两位小数看千分位，小于 5直接舍去，大于或等于 5向前一位进一。 【详解】5.7373…＝5.73   、5.7373…≈5.74 5.7373…用简便方法表示为5.73   ，保留两位小数约是 5.74。 2. 在 6.565，6.565 ，6.5，6 .5 ，6.56 这五个数中，最大的数是( )，最小的 25 / 43 数是( )。 【答案】 6.56 6.5 【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大； 整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数 就大，依次类推，直到比出为止。据此可解答。 【详解】因为6.565 ＝6.565565⋯ ， 6 .5 ＝6.55⋯ ，6.56 ＝6.5656⋯ ，6.5656⋯ ＞ 6.565565⋯ ＞6.565＞6.55⋯ ＞6.5，即6.56 ＞6.565 ＞6.565＞ 6 .5 ＞6.5，则这五个数 中，最大的数是6.56 ，最小的数是 6.5。 【考点十二】循环小数与周期问题。 【典型例题】 1. 7.12585858…的小数点后面第 100位数字是( )。 【答案】8 【分析】7.12585858…是一个循环小数，循环节是 58，要求小数点后面第 100 个数字是几，因为小数点的 1、2不在循环节里，所以用100 2 除以 2，余数是几， 就在 2个数字的一个循环中数到几，即可得解。 【详解】（100－2）÷2 ＝98÷2 ＝49 所以 7.12585858…的小数点后面第 100位数字是 8。 【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。 2. 1÷27的商的小数点后面 100个数字和是多少？ 【答案】330 【分析】根据除数是整数的小数除法计算法则算出 1÷27的商是循环小数 0.037037037…，循环节是 037，每 3个数字一循环，先求出商的小数点后面第 100个数字是几，用 100÷3＝33（组）……1（个），即 100里面有 33组循环节， 余数是 1，表示小数点后面第 100个数字是循环节里的第 1个数字 0； 求商的小数点后面 100个数字和，用一个循环的数字之和（0＋3＋7）乘 33，再 加上第 100个数字 0，即可求解。 【详解】1÷27＝0.037037037… 26 / 43 100÷3＝33（组）……1（个） 33×（0＋3＋7）＋0 ＝33×10＋0 ＝330＋0 ＝330 答：这 100个数字之和是 330。 【对应练习】 1. 14.1÷11的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )， 同时小数点后面第 2022位上的数字是( )。 【答案】 1.281   1.28 8 【分析】先根据小数除法的计算方法，求出 14.1÷11的商；再根据循环小数的表 示方法，在循环小数的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；商精确到百 分位，看千分位上的数字是否满 5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可；确 定循环节的个数，即一个周期，确定周期后，用 2022除以周期，如果正好是整 数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多 n个，也就是余数是 n， 那么结果为下一个周期里的第 n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量减 掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】14.1÷11＝1.281  ≈1.28 1.281   的循环节是 81 （2022－1）÷2 ＝2021÷2 ＝1010⋯ ⋯ 1 则 14.1÷11的商用循环小数表示是1.281   ，精确到百分位约是 1.28，同时小数点后 面第 2022位上的数字是 8。 2. 循环小数0.2358978   的小数部分前 500个数字之和是多少？ 【答案】3325 【分析】首先明确循环节是 358978，非循环部分是 2。500减去非循环位，500−1 ＝499，然后再除循环节位数，499÷6≈83组⋯ ⋯ 1个（余数 1为循环节的第一位 27 / 43 3），循环部分之和为：（3＋5＋8＋9＋7＋8）×83＝3320，循环至 500个数字后， 最后循环到数字 3，最后将循环节数字的和与非循环位 2和循环位 3相加可得结 果。 【详解】500减非循环部分的数位等于 499，499除循环节的长度 6可得循环的 次数和余下的数字个数，499÷6≈83组⋯ ⋯ 1个，说明循环部分循环了 83组余 1 位（余数 1为循环节的第一位 3），循环部分数字和为： （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83 （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83 ＝（8＋8＋9＋7＋8）×83 ＝（16＋9＋7＋8）×83 ＝（25＋7＋8）×83 ＝（32＋8）×83 ＝40×83 ＝3320 前 500 个数字之和为 2＋3＋3320＝3325。 答：前 500个数字之和是 3325。 【考点十三】小数乘除法简便计算其一。 【典型例题】 简便计算。 6.4×0.25×12.5 9.98×9.9 8.72÷1.25÷8 【答案】20；98.802；0.875 【分析】6.4×0.25×12.5，先把 6.4拆分为 0.8×8，然后根据乘法交换律和乘法结 合律，将算式变为（0.8×0.25）×（8×12.5）进行简算即可； 9.98×9.9，先把 9.9拆分为 10－0.1，然后根据乘法分配律，将算式变为 9.98×10 －9.98×0.1进行简算即可； 8.72÷1.25÷8，根据除法的性质，将算式变为 8.72÷（1.25×8）进行简算即可。 【详解】6.4×0.25×12.5 ＝0.8×8×0.25×12.5 ＝0.8×0.25×8×12.5 28 / 43 ＝（0.8×0.25）×（8×12.5） ＝0.2×100 ＝20 9.98×9.9 ＝9.98×（10－0.1） ＝9.98×10－9.98×0.1 ＝99.8－0.998 ＝98.802 8.72÷1.25÷8 ＝8.72÷（1.25×8） ＝8.75÷10 ＝0.875 【对应练习】 1．简便计算。 0.4×（25＋2.5） 2.3÷8÷1.25 7.6×10.1 【答案】11；0.23；76.76 【分析】0.4×（25＋2.5），利用乘法分配律进行简算； 2.3÷8÷1.25，根据除法的性质，将后两个数先乘起来再计算； 7.6×10.1，将 10.1拆成（10＋0.1），利用乘法分配律进行简算。 【详解】0.4×（25＋2.5） ＝0.4×25＋0.4×2.5 ＝10＋1 ＝11 2.3÷8÷1.25 ＝2.3÷（8×1.25） ＝2.3÷10 ＝0.23 7.6×10.1 ＝7.6×（10＋0.1） 29 / 43 ＝7.6×10＋7.6×0.1 ＝76＋0.76 ＝76.76 2．简便计算。 25 7.2 0.4 0.9   4.04 2.5 1.1 1.25 【答案】80；10.1；0.88 【分析】25 7.2 0.4 0.9   根据乘法交换律和结合律进行简算即可。 4.04 2.5 将 4.04改写成1.01 4 ，原式变为1.01 4 2.5  ，再根据乘法结合律进行简 算即可。 1.1 1.25 根据商不变性质，被除数和除数同时乘 8，原式变为    1.1 8 1.25 8   ，即 可简算。 【详解】25 7.2 0.4 0.9   ＝25 0.4 7.2 0.9   ＝    25 0.4 7.2 0.9   ＝10×8 ＝80 4.04 2.5 ＝1.01 4 2.5  ＝  1.01 4 2.5  ＝1.01×10 ＝10.1 1.1 1.25 ＝    1.1 8 1.25 8   ＝8.8 10 ＝0.88 【考点十四】小数乘除法简便计算其二。 【典型例题】 简便计算。 30 / 43 327×2.8＋17.3×28 解析： 327 2.8 17.3 28 ＋ 327 2.8 173 2.8  ＋  327 173 2.8 ＋ 500 2.8  1400 【对应练习】 简便计算。 0.79×0.46＋7.9×0.24＋11.4×0.079 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820 解析： 0.79 0.46 7.9 0.24 11.4 0.079  ＋ ＋ 0.79 0.46 0.79 2.4 1.14 0.79   ＋ ＋  0.79 0.46 2.4 1.14  ＋ ＋ 0.79 4  3.16 17.48 37 174.8 1.9 1.748 820     17.48 37 17.48 19 17.48 82       17.48 37 19 82    17.48 100  1748 【考点十五】含字母式子的书写和化简。 【典型例题】 1. 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( ) n×5.6＝( ) a×a＝( ) 1×x＝( ) 【答案】 bc/cb 5.6n a2 x 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·小数乘除法和解方程 专题内容 本专题包括小数乘除法的基础计算、混合运算、简便计算以及用字母表示数和解方程等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 4 【第四篇】典型例题篇 9 【考点一】小数乘除法基础计算 9 【考点二】小数乘除法列竖式计算 9 【考点三】小数乘除法四则混合运算 12 【考点四】小数乘除法列式计算（文字式） 14 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式） 15 【考点六】小数乘除法与单位换算 17 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 18 【考点八】小数乘法与积的规律问题 19 【考点九】小数除法与商的规律问题 20 【考点十】小数乘除法算式规律 22 【考点十一】循环小数的表示和比较 23 【考点十二】循环小数与周期问题 25 【考点十三】小数乘除法简便计算其一 27 【考点十四】小数乘除法简便计算其二 30 【考点十五】含字母式子的书写和化简 30 【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 32 【考点十七】关于代数数的五种新型题型 33 【考点十八】方程与等式 37 【考点十九】等式的性质 38 【考点二十】解方程 39 【第三篇】知识总览篇 知识点一：小数乘法计算。 （一）小数乘整数。 1. 小数乘整数的意义。 小数乘整数的意义同整数乘法一样，都是表示求几个相同加数和的简便计算或者求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘整数的计算法则。 （1）按照整数乘法进行计算； （2）因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； （3）积的小数部分末尾的0可以去掉。 （二）小数乘小数。 1. 小数乘小数的意义。 表示求一个数的几分之几是多少或者求一个数的几倍是多少。 2. 小数乘小数的计算法则。 （1）先按照整数乘法计算出积，再点小数点； （2）点小数点时，看因数一共有几位小数，就从积的末尾起数出几位，点上小数点，积的小数部分末尾的"0"要去掉。 （三）小数乘法估算。 先求出积，再观察保留小数位数下一位上的数字，采用“四舍五入”的方法求出结果，用四舍五入法求积的近似数时，保留到哪一位就看那一位的后一位，如果小于5就舍掉，大于或等于5向前进一。 （四）小数乘法验算。 1. 一般采取交换两个因数的位置重新计算，比较得到的积是否和原来的积相同。 2. 用积去除以其中一个因数得到的商是否等于另一个因数。 （五）判断积的位数。 按整数乘法的法则先求出积，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位小数点上小数点，末尾有“0”的要去掉。 （六）积与因数的大小关系。 1.一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； 2.一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小； 3.一个不为0的数乘等于1的数，积等于原来的数。 （七）小数乘法与积的规律问题。 1. 积的变化规律一。 两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也随着扩大（或缩小）相同的倍数。 2. 积的变化规律二。 一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大A×B倍；一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小A×B倍。 3. 积不变的性质。 在乘法算式中，一个因数乘几（或除以几）（0除外)，而另一个因数除以(或乘)相同的数，积不变。 知识点二：小数除法计算。 1. 小数除法计算法则。 （1）小数除以整数 ①按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐； ②如果除到被除数的末位仍有余数，要在余数的后面添0继续除； ③如果小数的整数部分不够除，要在个位上0，点上商的小数点后继续除。 （2）一个数除以小数 ①先移动除数的小数点，使它变成整数； ②除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够时,在被除数的末尾用“0”补足)； ③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 2. 商与被除数的大小关系。 （1）一个数（0除外）除以大于1的数， 商小于被除数。 （2）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外）， 商大于被除数。 （3）一个数（0除外）除以1，商等于被除数。 3. 商的近似数。 （1）先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五入”法取商的近似数。 （2）精确到个位、十分位、百分位、千分位和精确到1、0.1 、0.01、0.001的含义是一样的，分别是保留整数，一位小数，两位小数，三位小数。 4. 小数除法与商的规律问题。 （1）两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。 （2）两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。 （3）两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。 （4）两数相除，被除数与除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数跟着被除数变。 5 循环小数。 （1）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （2）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 （3）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 （4）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 知识点三：小数乘除法混合运算。 1. 整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律对小数同样适用。 2. 一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 知识点四：小数乘法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数1。 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 知识点五：小数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：用字母表示数。 1. 用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2. 用字母表示运算定律。 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3. 用字母表示计算公式。 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4. 用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5. 求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6. 字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点七：解简易方程。 1. 方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2. 等式的性质。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3. 方程的解与解方程。 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5. 检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】小数乘除法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。 1.2×0.5＝           14.21÷7＝           6.25×0＝          0.6×0.04＝ 0.72×100＝         64÷0.8＝          3.9÷1.3＝          0÷8.36＝ 【答案】0.6；2.03；0；0.024 72；80；3；0 【解析】略 【对应练习】 1．直接写得数。 1.7×5＝     5.1÷0.17＝     2.89÷0.1＝     6.3×0.4＝ 4.5×0.2＝     0.35×30＝     0÷1.16＝     0.82×2＝ 【答案】8.5；30；28.9；2.52； 0.9；10.5；0；1.64 【解析】略 2．直接写得数。 0.5×0.12＝         6.3×0＝            8×47×1.25＝           2.7÷9＝ 24÷0.8＝           3.2－0.8＝           12÷2.5÷0.4＝           0.22×5＝ 【答案】0.06；0；470；0.3； 30；2.4；12；1.1 【解析】略 【考点二】小数乘除法列竖式计算。 【典型例题】 列竖式计算。 8.2×0.94＝         4.42÷5.2＝          6.64÷5.3≈（保留两位小数） 【答案】7.708；0.85；1.25 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】8.2×0.94＝7.708         4.42÷5.2＝0.85          6.64÷5.3≈1.25          【对应练习】 1．列竖式计算。 2.3÷0.46＝            42.3×0.75＝            5.87÷1.9≈（得数保留两位小数） 【答案】5；31.725；3.09 【分析】除数是小数的除法：（1）（3）‌观察除数中有几位小数，然后将除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，位数不够时用0补足；将移动小数点后的除数和被除数进行整数除法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0，继续除。 保留两位小数时，看小数部分的千分位，千分位小于5，直接舍去，千分位大于等于5，要向前一位进一再舍去。 （2）小数乘小数：写竖式时右边对齐，按照整数乘法的方法计算出积；数因数中一共有几位小数；因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 注意：点小数点时，积的位数比因数中小数的位数少，就在积的最高位前面用0补足，再点小数点；点完小数点后，积的小数部分末尾的0要去掉。 【详解】2.3÷0.46＝5    42.3×0.75＝31.725    5.87÷1.9≈3.09 2．列竖式计算。（带*的要验算，带▲的得数保留两位小数） *65×2.05＝           *46.8÷0.45＝           ▲1.55÷3.9≈ 【答案】133.25；104；0.40 【分析】先按照整数乘法算出积，再点小数点；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 小数乘法的验算方法：交换乘数的位置，看计算结果是否相同，如果相同，说明计算正确，否则计算错误。 小数除法的验算方法：看商乘除数是否等于被除数，如果等于被除数，说明计算正确，否则计算错误；保留两位小数，看小数点后面第三位是几，根据四舍五入法取近似值即可。 【详解】*65×2.05＝133.25                                                                验算：     *46.8÷0.45＝104                                                               ▲1.55÷3.9≈0.40   验算：                  【考点三】小数乘除法四则混合运算。 【典型例题】 脱式计算。 6.48÷[（3.3－2.7）×90]                      （2.8＋3.85÷3.5）×4.6 6.48÷[（3.3－2.7）×90] ＝6.48÷[0.6×90] ＝6.48÷54 ＝0.12 （2.8＋3.85÷3.5）×4.6 ＝（2.8＋1.1）×4.6 ＝3.9×4.6 ＝17.94 【对应练习】 1．脱式计算。 0.87÷0.29÷0.15         22.4÷（1.1－6.3÷9） （18.4＋10.3）÷0.7×16.5         4.5－3.2×0.45÷3.6 【答案】20；56 676.5；4.1 【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法即可； （3）先算小括号里面的加法，再按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （4）先算乘除法，再算减法即可。 【详解】0.87÷0.29÷0.15 ＝3÷0.15 ＝20 22.4÷（1.1－6.3÷9） ＝22.4÷（1.1－0.7） ＝22.4÷0.4 ＝56 （18.4＋10.3）÷0.7×16.5 ＝28.7÷0.7×16.5 ＝41×16.5 ＝676.5 4.5－3.2×0.45÷3.6 ＝4.5－1.44÷3.6 ＝4.5－0.4 ＝4.1 2．脱式计算。                【答案】0.36；27.2； 9.1；336.05 【分析】（1）按照从左往右依次计算的运算顺序进行计算即可； （2）除法和乘法可以同步进行，所以先算除法和乘法，最后算加法； （3）第一步算小括号里的除法，第二步算小括号里的减法，第三步算中括号里的乘法，第四步算中括号里的加法，第五步算中括号外的加法； （4）先算小括号里的减法，再算括号外的乘法。 【详解】 【考点四】小数乘除法列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 用0.13与4的积去除1.32与0.28的差，商是多少？ 【答案】2 【分析】先计算出1.32－0.28的差，再计算出0.13×4的积，最后用1.32－0.28的差除以0.13×4的积，即（1.32－0.28）÷（0.13×4），据此解答。 【详解】（1.32－0.28）÷（0.13×4） ＝1.04÷0.52 ＝2 商是2。 【对应练习】 1．列式计算。 27加上0.7除以3.5的商，再乘8，积是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，先求出0.7除以3.5的商，即0.7÷3.5，再用27加上0.7÷3.5的商，求出和，最后用求出的和乘8即可。 【详解】列式： 27加上0.7除以3.5的商，再乘8，积是217.6。 2．列式计算。 1.6除以3.2的商，加上2.4除以1.2的商的2倍，和是多少？ 【答案】4.5 【分析】根据题目的意思列出算式，小数的四则混合运算和整数的四则混合运算法则一样。四则运算的顺序分为两级。加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法叫做第二级运算。 （1）在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘除法），再算第一级运算（加减法）。 （2）在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。 【详解】1.6÷3.2＋（2.4÷1.2）×2 ＝0.5＋2×2 ＝0.5＋4 ＝4.5 则和是4.5。 【考点五】小数乘除法列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 【答案】5.6米 【分析】根据题意可知，用路的长度减去剩下的长度，即52.9－30.5，求出修的长度，再用修的长度÷天数，修了4天，即可求出每天修的长度。 【详解】（52.9－30.5）÷4 ＝22.4÷4 ＝5.6（米） 每天修5.6米。 【对应练习】 1．依据图中的数学信息，解决问题。 【答案】12.48元 【分析】上方4个长方形和下方5个长方形一样长，先算出上面的总长度再除以5即可。 【详解】15.6×4＝62.4（元） 62.4÷5＝12.48（元） 2．依据下面图的数学信息，解决问题。 【答案】12.3米 【分析】分析图意可知总长98米先减去61.1米，剩下的再平均分成3份，据此列式计算即可。小数四则运算法则与整数一致。 【详解】（98－61.1）÷3 ＝36.9÷3 ＝12.3（米） 【考点六】小数乘除法与单位换算。 【典型例题】 1. 单位换算。 1.5时＝( )分      3050m＝( )km 2.1公顷＝( )m2      1.06t＝( )t( )kg 【答案】 90 3.05 21000 1 60 【分析】根据1时＝60分，1km＝1000m，1公顷＝10000m2，1t＝1000kg，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】1.5×60＝90，即1.5时＝90分 3050÷1000＝3.05，即3050m＝3.05km 2.1×10000＝21000，即2.1公顷＝21000m2 1.06＝1＋0.06，0.06×1000＝60，即1.06t＝1t60kg 2. 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时        ( )千克＝80克        6公顷＝( )平方米 【答案】 0.6 0.08 60000 【分析】1时＝60分，1千克＝1000克；1公顷＝10000平方米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】36分＝36÷60＝0.6时 80克＝80÷1000＝0.08千克 0.08千克＝80克 6公顷＝6×10000＝60000平方米 【对应练习】 1. 在括号里填上合适的数。 45厘米﹦( )米      28.08千米﹦( )千米( )米 0.2小时﹦( )分钟      5公顷30平方米﹦( )公顷 【答案】 0.45 28 80 12 5.003 【分析】根据单位之间的进率，高单位换算低单位乘进率，低单位换算高单位除以进率，据此计算。 【详解】（1）45÷100＝0.45（米） （2）28.08千米﹦28千米＋0.08千米＝28千米＋（0.08×1000）米＝28千米80米 （3）0.2×60＝12（分钟） （4）5公顷30平方米﹦5公顷＋30平方米﹦5公顷＋（30÷10000）公顷﹦5公顷＋0.003公顷﹦5.003公顷 【点睛】熟记单位之间的进率，掌握高低单位之间转化的方法是解答题目的关键。 2. 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷     0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克     36分＝( )时 【答案】 0.8 56 2.05 0.6 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1公顷＝10000平方米，用8000÷10000即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1米＝100厘米，用0.56×100即可；根据1千克＝1000克，用2050÷1000即可；根据1时＝60分，用36÷60即可。 【详解】8000平方米＝8000÷10000公顷＝0.8公顷 0.56米＝0.56×100厘米＝56厘米 2050克＝2050÷1000千克＝2.05千克 36分＝36÷60时＝0.6时 【考点七】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) ( ) 【答案】 ＞ ＝ ＞ 【分析】一个非0数除以大于1的数，商小于被除数，一个非0数除以小于1的数，商大于被除数； 一道乘法算式相互交换两个乘数之间的位置，乘积不变。 一个非0数乘大于1的数，积大于这个非0数，一个非0数乘小于1的数，积小于这个非0数； 【详解】0.9＜1 则93÷0.9＞93 7.2×0.19＝0.19×7.2 0.84＜1 则5.8＞0.84×5.8 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.6×7.12( )7.6    3.02×12.6( )302×0.126    0.56÷32( )0.56 【答案】 ＞ ＝ ＜ 【分析】一个数和一个大于1的数相乘，乘积比原来的数大。 3.02×12.6和302×0.126两个算式先按照302×126求出积，再从积的末尾数出三位小数，点上小数点，因此两个算式相等； 一个数除以一个大于1的数（0除外），商比原来的数小。 【详解】7.12＞1，则7.6×7.12＞7.6 3.02×12.6＝302×0.126 32＞1，则0.56÷32＜0.56 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3.5        ( )0.9 ( )2.07    ( )3.75 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】（1）（2）一个非零数乘一个小于1的数，结果小于原数；乘一个大于1的数，结果大于原数。 （3）（4）一个非零数除以一个小于1的数，结果大于原数；除以一个大于1的数，结果小于原数。 【详解】因为0.99＜1，所以3.5×0.99＜3.5；因为23.2＞1，所以23.2×0.9＞0.9； 因为0.9＜1，所以2.07÷0.9＞2.07；因为1.5＞1，所以3.75÷1.5＜3.75。 【考点八】小数乘法与积的规律问题。 【典型例题】 根据35×16＝560直接在括号里填数。 3.5×16＝( )        3.5×1.6＝( ) 16×0.35＝( )       0.16×3.5＝( ) 解析：56；5.6；5.6；0.56 【对应练习】 1. 根据148×23＝3404，直接在括号里填数。 14.8×23＝( )        14.8×2.3＝( ) 1.48×2.3＝( )      1.48×230＝( ) 解析：340.4；34.04；3.404；340.4 2. 根据42×16＝672，在下面的括号里填上适当的数。 4.2×1.6＝( )；( )×16＝67.2；420×1.6＝( )。 解析：6.72；4.2；672 【考点九】小数除法与商的规律问题。 【典型例题】 不计算，根据4.85÷2.5＝1.94写出下面各式的得数。 194×25＝( )       48.5÷25＝( )        0.485÷0.194＝( )     19.4×0.25＝( ) 【答案】 4850 1.94 2.5 4.85 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。 【详解】由分析可得：194×25＝4850 48.5÷25＝1.94 0.485÷0.194＝2.5 19.4×0.25＝4.85 【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。 【对应练习】 1. 已知2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。 25.46÷38＝( )                2.546÷0.38＝( ) 254.6÷3.8＝( )               0.38×0.67＝( ) 【答案】 0.67 6.7 67 0.2546 【分析】第一小题中，被除数较题干中除法的被除数除以100，商也是除以100得到；第二小题中，被除数较题干中除法的被除数除以1000，除数除以100，则商要除以10得到；第三小题中，被除数较题干中除法的被除数除以10，除数除以10，则商不变；第四小题中，两个乘数较题干中的数除以100，则积要除以10000得到。 【详解】25.46÷38＝0.67；2.546÷0.38＝6.7； 254.6÷3.8＝67；0.38×0.67＝0.2546 【点睛】本题主要考查的是小数乘、除法运算，解题的关键是熟练掌握小数乘、除法中商的变化规律、积的变化规律，进而得出答案。 2. 如果912÷24＝38，那么请你直接写出下面算式结果：912÷2.4＝( )，912÷0.24＝( )，0.912÷0.24＝( )。 【答案】 380 3800 3.8 【分析】商的变化规律： （1）除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商也扩大到原来的几倍；除数不变，被除数缩小为原来的几分之一，商也缩小为原来的几分之一。 （2）被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商反而缩小为原来的几分之一；被除数不变，除数缩小为原来的几分之一，商反而扩大到原来的几倍。 （3）被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变。 【详解】912÷2.4与912÷24相比，被除数不变，除数缩小到原来的，则商扩大到原来的10倍，38×10＝380，则912÷2.4＝380； 912÷0.24与912÷24相比，被除数不变，除数缩小到原来的，则商扩大到原来的100倍，38×100＝3800，则912÷0.24＝3800； 0.912÷0.24与912÷24相比，被除数缩小到原来的，除数缩小到原来的，则商缩小到原来的，38÷10＝3.8，则0.912÷0.24＝3.8。 【点睛】熟练掌握并运用商的变化规律是解题的关键。 【考点十】小数乘除法算式规律。 【典型例题】 1. 找规律填空。          ( ) 。 【答案】11111.88888 【分析】观察算式发现：第一个因数有几个3，得数中就有几个1和几个8，小数点是1和8的分界线，据此填空即可。 【详解】因为3.3333中有五个3， 所以3.3333×3333.6＝11111.88888。 【点睛】本题考查算式的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 2. 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【答案】 0.4545… 0.7272… 【分析】观察算式可知，除数都是11，被除数依次是1、2、3……，商依次是0.0909…、0.1818…、0.2727…，商的小数部分是两个数字的循环，两位数字之和是9，且小数的第一位数字比除数小1；据此规律往下写出得数。 【详解】1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝0.4545… 8÷11＝0.7272… 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 【对应练习】 1. 找规律填空。 3×0.5＝1.5         3.3×3.5＝11.55         3.33×33.5＝111.555… 请根据上面的规律填空：( )×( )＝11111.55555。 【答案】 3.3333 3333.5 【分析】算式中，乘数只含有数字3和数字5，乘积只含有数字1和数字5；积的整数部分有多少个1，第一个乘数就有多少位，且各位上都是3，其中整数部分只有1位，其余都在小数部分；积的小数部分有多少个5，第二个乘数就有多少位，其中小数部分只有1位，是5，其余都在整数部分，且都是3。 【详解】3×0.5＝1.5         3.3×3.5＝11.55         3.33×33.5＝111.555… 所以，3.3333×3333.5＝11111.55555。 【点睛】本题考查算式找规律，找准算式前后小数的位数以及各个数位上数的特征就能解决问题。 2. 用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A＝( )。 【答案】0.4545… 【分析】观察算式发现每个算式的结果都是循环小数，并且每个循环小数的循环节都是9的倍数。1×9＝9，对应的第一个商的循环节是09；2×9＝18，对应的第二个商的循环节是18；3×9＝27，对应的第三个商的循环节是27。那么可以推出，第五个商的循环节是5×9＝45。据此填空。 【详解】用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A＝0.4545…。 【点睛】本题考查了算式的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 【考点十一】循环小数的表示和比较。 【典型例题】 1. 在4.421421…、4.04213…、4.421中，循环小数是( )，它的循环节是( )，用循环小数的简便形式记作( )。 【答案】 4.421421… 421 【分析】循环小数的意义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数叫循环小数；循环节：不断重复出现的数字就是循环节；循环小数的简便写法：写出第一个循环节，在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点，据此解答即可。 【详解】4.421421…、4.04213…、4.421中，4.421421…是循环小数； 4.421421…循环节是421； 4.421421…＝ 在4.421421…、4.04213…、4.421中循环小数是4.421421…，它的循环节是421，用循环小数的简便形式记作。 2. 在、5.211、5.21、中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 5.21 【分析】把的循环节展开后是5.2121…；把的循环节展开后是5.2222…；再从个位向十分位、百分位…逐位比较四个小数的大小，据此解答。 【详解】5.2121…、5.211、5.21、5.2222…，四个小数的个位和十分位都相同，根据百分位数字可知5.2222…大于另外三个小数（5.2121…、5.211、5.21），再根据千分位数字可知这三个小数中5.21千分位数字是0，所以5.21最小。 在、5.211、5.21、中，最大的数是，最小的数是5.21。 【对应练习】 1. 5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 5.74 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】5.7373…＝、5.7373…≈5.74 5.7373…用简便方法表示为，保留两位小数约是5.74。 2. 在6.565，，6.5，，这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 6.5 【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。据此可解答。 【详解】因为＝6.565565⋯，＝6.55⋯，＝6.5656⋯，6.5656⋯＞6.565565⋯＞6.565＞6.55⋯＞6.5，即＞＞6.565＞＞6.5，则这五个数中，最大的数是，最小的数是6.5。 【考点十二】循环小数与周期问题。 【典型例题】 1. 7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。 【答案】8 【分析】7.12585858…是一个循环小数，循环节是58，要求小数点后面第100个数字是几，因为小数点的1、2不在循环节里，所以用除以2，余数是几，就在2个数字的一个循环中数到几，即可得解。 【详解】（100－2）÷2 ＝98÷2 ＝49 所以7.12585858…的小数点后面第100位数字是8。 【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。 2. 1÷27的商的小数点后面100个数字和是多少？ 【答案】330 【分析】根据除数是整数的小数除法计算法则算出1÷27的商是循环小数0.037037037…，循环节是037，每3个数字一循环，先求出商的小数点后面第100个数字是几，用100÷3＝33（组）……1（个），即100里面有33组循环节，余数是1，表示小数点后面第100个数字是循环节里的第1个数字0； 求商的小数点后面100个数字和，用一个循环的数字之和（0＋3＋7）乘33，再加上第100个数字0，即可求解。 【详解】1÷27＝0.037037037… 100÷3＝33（组）……1（个） 33×（0＋3＋7）＋0 ＝33×10＋0 ＝330＋0 ＝330 答：这100个数字之和是330。 【对应练习】 1. 14.1÷11的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )，同时小数点后面第2022位上的数字是( )。 【答案】 1.28 8 【分析】先根据小数除法的计算方法，求出14.1÷11的商；再根据循环小数的表示方法，在循环小数的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；商精确到百分位，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可；确定循环节的个数，即一个周期，确定周期后，用2022除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】14.1÷11＝≈1.28 的循环节是81 （2022－1）÷2 ＝2021÷2 ＝1010⋯⋯1 则14.1÷11的商用循环小数表示是，精确到百分位约是1.28，同时小数点后面第2022位上的数字是8。 2. 循环小数的小数部分前500个数字之和是多少？ 【答案】3325 【分析】首先明确循环节是358978，非循环部分是2。500减去非循环位，500−1＝499，然后再除循环节位数，499÷6≈83组⋯⋯1个（余数1为循环节的第一位3），循环部分之和为：（3＋5＋8＋9＋7＋8）×83＝3320，循环至500个数字后，最后循环到数字3，最后将循环节数字的和与非循环位2和循环位3相加可得结果。 【详解】500减非循环部分的数位等于499，499除循环节的长度6可得循环的次数和余下的数字个数，499÷6≈83组⋯⋯1个，说明循环部分循环了83组余1位（余数1为循环节的第一位3），循环部分数字和为： （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83 （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83    ＝（8＋8＋9＋7＋8）×83 ＝（16＋9＋7＋8）×83 ＝（25＋7＋8）×83 ＝（32＋8）×83 ＝40×83 ＝3320 前500 个数字之和为 2＋3＋3320＝3325。 答：前500个数字之和是3325。 【考点十三】小数乘除法简便计算其一。 【典型例题】 简便计算。 6.4×0.25×12.5           9.98×9.9         8.72÷1.25÷8 【答案】20；98.802；0.875 【分析】6.4×0.25×12.5，先把6.4拆分为0.8×8，然后根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为（0.8×0.25）×（8×12.5）进行简算即可； 9.98×9.9，先把9.9拆分为10－0.1，然后根据乘法分配律，将算式变为9.98×10－9.98×0.1进行简算即可； 8.72÷1.25÷8，根据除法的性质，将算式变为8.72÷（1.25×8）进行简算即可。 【详解】6.4×0.25×12.5                               ＝0.8×8×0.25×12.5     ＝0.8×0.25×8×12.5        ＝（0.8×0.25）×（8×12.5）         ＝0.2×100                                    ＝20                    9.98×9.9 ＝9.98×（10－0.1） ＝9.98×10－9.98×0.1 ＝99.8－0.998 ＝98.802 8.72÷1.25÷8 ＝8.72÷（1.25×8） ＝8.75÷10 ＝0.875 【对应练习】 1．简便计算。 0.4×（25＋2.5）    2.3÷8÷1.25    7.6×10.1 【答案】11；0.23；76.76 【分析】0.4×（25＋2.5），利用乘法分配律进行简算； 2.3÷8÷1.25，根据除法的性质，将后两个数先乘起来再计算； 7.6×10.1，将10.1拆成（10＋0.1），利用乘法分配律进行简算。 【详解】0.4×（25＋2.5）               ＝0.4×25＋0.4×2.5            ＝10＋1                 ＝11     2.3÷8÷1.25 ＝2.3÷（8×1.25） ＝2.3÷10 ＝0.23 7.6×10.1 ＝7.6×（10＋0.1） ＝7.6×10＋7.6×0.1 ＝76＋0.76    ＝76.76 2．简便计算。                【答案】80；10.1；0.88 【分析】根据乘法交换律和结合律进行简算即可。 将4.04改写成，原式变为，再根据乘法结合律进行简算即可。 根据商不变性质，被除数和除数同时乘8，原式变为，即可简算。 【详解】 ＝ ＝ ＝10×8 ＝80 ＝ ＝ ＝1.01×10 ＝10.1 ＝ ＝ ＝0.88 【考点十四】小数乘除法简便计算其二。 【典型例题】 简便计算。 327×2.8＋17.3×28 解析： 【对应练习】 简便计算。 0.79×0.46＋7.9×0.24＋11.4×0.079 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820 解析： 【考点十五】含字母式子的书写和化简。 【典型例题】 1. 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 【答案】 bc/cb 5.6n a2 x 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方； 字母和数字相乘，乘号省略后，数字在前字母在后。数字是1时，省略乘号后1省略不写。 【详解】省略乘号，写出下面各式。 c×b＝bc      n×5.6＝5.6n      a×a＝a2      1×x＝x 【点睛】本题考查了用字母表示数，掌握省略乘号的规则是解题的关键。 2. 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【答案】4.5a  4.8x c　1.8a　 6.5y　0 【解析】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 m×4＝            ＋3＝                 6－2＝ ×b＝             n×n＝                     0.32＝ 【答案】4m；4a；4x； ab；n2；0.09； 【详解】略 2．直接写出得数。                                                   【答案】14.5y；21b；10；0.16 16m；0.4x；2a－2； 【详解】略 【考点十六】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【典型例题】 1. 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【答案】(1)x÷3 (2)2a＋b/b＋2a 【分析】（1）将煤的总量x吨除以3次，表示出平均每次运煤多少吨； （2）将2张成人票票价加上1张儿童票票价，表示出购买门票一共需要付多少元。 【详解】（1）一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤（x÷3）吨。 （2）小丽一家三口共需付（2a＋b）元购买门票。 【点睛】本题考查了用字母表示数，有一定抽象概括能力是解题的关键，同时要注意数字和字母相乘，中间的乘号省略，数字在前，字母在后。 【对应练习】 1. 五（1）班同学收集树种a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班收集数量的3倍少5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( )千克。 【答案】 3a－5 4a－5 2a－5 【分析】可先求五（1）班收集数量的3倍是多少，用五（1）班同学收集的数量乘3计算，结果再减5，就得到五（2）班同学收集的树种千克数，在含有字母的乘法算式里，乘号可以省略不写或用“∙”表示，将数字写在字母的前面； 把两个班收集的树种数加起来就得到两个班同学一共收集的树种数量，式子能化简的要化简； 用五（2）班收集的树种数量减五（1）班收集的树种数量即可，式子能化简的要化简。 【详解】 五（2）班同学收集树种千克，两个班同学一共收集树种千克，五（2）班比五（1）班多收集树种千克。 2. 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【答案】（1）8a平方米； （2）32平方米 【分析】（1）根据题意画出如下的示意图，增加的部分是一个长方形，长是8米，宽是a米，根据长方形的面积公式＝长×宽得出长方形的面积。 （2）将a的数值带入到含有字母的式子，计算出结果。 【详解】（1）8×a＝8a（平方米） 答：这块菜地面积增加了8a平方米。 （2）8×4＝32（平方米） 答：这块菜地的面积增加了32平方米。 【考点十七】关于代数数的五种新型题型。 【典型例题】 1. 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 解析：31     3n＋1 2. 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【答案】16 【分析】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使a◆b＝24◆32，求出得数，然后再使a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【详解】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝16。 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 3. 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是表示码数，表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是53码，那么他的脚长( )厘米。 【答案】31.5 【分析】由题意可以看出主要是求含字母式子的值，因此直接代入求值即可。所以直接把代入，求出。 【详解】解： 所以他的脚长31.5厘米。 4. 王强设计的猜年龄的程序如下： 输入你的年龄→乘2→减去2→→输出结果。 （1）小丽输入的年龄为a，请用含有a的式子表示输出的结果。 （2）奶奶输入自己的年龄，输出的结果是118，请你根据王强设计的猜年龄的程序计算出奶奶的年龄。 【答案】（1）2a﹣2 （2）60岁 【分析】（1）根据设计的猜年龄的程序，把小丽的输入的年龄a，乘2再减去2即可； （2）利用逆推的方法，根据输出的结果是118，用118加2再除以2即可。 【详解】（1）a×2﹣2＝2a﹣2 （2）（118＋2）÷2 ＝120÷2 ＝60（岁） 答：小丽年龄的输出结果是2a﹣2，奶奶的年龄是60岁。 【点睛】解答此题的关键是，根据设计的猜年龄的程序，把所给出的数当做已知数，列式解答即可。 5. 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【答案】 42 【分析】，，，，…，规律是：相邻两个自然数的乘积，第n个数是，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 这列数的第6个数是： 第n个数是： 故答案为：42；。 【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 【对应练习】 1. 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 解析：2n＋1 2. 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数a、b有a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【答案】26 【分析】根据规定的新运算，遇到“※”可化为两个数的和与1的差，遇到“*”可化为两数积与1的差，然后再进一步计算。 【详解】（6※8）※（3*5） ＝（6＋8－1）※（3×5－1） ＝13※14 ＝13＋14－1 ＝27－1 ＝26。 【点睛】此题考查的是新定义的运算，解此类题的关键是搞清新运算的含义，从而根据新运算表示的含义写出要求的式子，同时也要求学生掌握运算顺序以及各种运算法则。 3. 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【答案】 19 189 【分析】根据关系式：h＝t÷7＋3，把t＝112代入式子中，计算出h的值，即是当时的气温； 由关系式：h＝t÷7＋3可得，t＝（h－3）×7，把h＝30代入式子中，计算出t的值，即是蟋蟀每分钟大约叫的次数。 【详解】（1）当t＝112时 h＝t÷7＋3 ＝112÷7＋3 ＝16＋3 ＝19（℃） （2）当h＝30时 t＝（h－3）×7 ＝（30－3）×7 ＝27×7 ＝189（次） 如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是19℃； 当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫189次。 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【考点十八】方程与等式。 【典型例题】 ①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 【答案】 ①②③ ①③ 【分析】含有等号的式子叫等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，①②③是等式，①③是方程。 【对应练习】 1. 在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号） 【答案】 ①② ① 【分析】表示左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程，据此可知，方程一定是等式，等式不一定是方程。据此解答。 【详解】在①4n＝12，②30－10＝20，③7x＋6，④5x＞2中，是等式的有①4n＝12，②30－10＝20，是方程的有①4n＝12。 2. 在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ②④⑤ ②⑤ 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【详解】①x＋7.9＜16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m＝4.6，含有未知数且是等式，所以是方程；③55＞m÷0.4，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；④15×2.4＝36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；⑤66－x＝38，含有未知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。 【考点十九】等式的性质。 【典型例题】 如果＝2，（、均不为0）那么3＝( )，＋3＝2＋( )。 【答案】 6b 3 【分析】利用等式的性质：①等式的左右两边加上或减去同一个数，等式左右两边仍然相等；②等式的左右两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式左右两边仍然相等，据此解答即可。 【详解】若a＝2b，则3a＝2b×3＝6b； 若a＝2b，则a＋3＝2b＋3。 【点睛】本题考查等式的性质，解答本题的关键是掌握等式的性质。 【对应练习】 1．若4－8＝28，则4－8＋( )＝28＋12，（4－8）×2＝28×( )。 【答案】 12 2 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】若4－8＝28，则4－8＋12＝28＋12，（4－8）×2＝28×2。 2．如果☆＋△＝30，且☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，那么☆＝( )。 【答案】12 【分析】根据加法交换律：a＋b＝b＋a，以及加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将“☆＋☆＋☆＋△＋△＝72”整理为“☆＋（☆＋△）＋（☆＋△）＝72”，再将“☆＋△＝30”整体代入，得“☆＋30＋30＝72”。根据等式的性质1，将等式两边同时减去60，求出☆。等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 【详解】因为☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，所以☆＋（☆＋△）＋（☆＋△）＝72。 又因为☆＋△＝30，所以☆＋30＋30＝72。 ☆＋30＋30＝72 ☆＋60＝72 ☆＋60－60＝72－60 ☆＝12 所以，如果☆＋△＝30，且☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，那么☆＝12。 【考点二十】解方程。 【典型例题】 解方程。 7x÷3＝8.19                  1.8x－x＝6.4 5.1÷x＝0.85×2               0.4（x＋1.6）＝5.32 【答案】x＝3.51；x＝8； x＝3；x＝11.7 【分析】（1）根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。等式两边同时乘3，再除以7，计算即可得解； （2）先化简等式左边，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。等式两边同时除以0.8，计算即可得解； （3）先计算等式右边的乘法，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。等式两边同时乘x，再除以（0.85×2）的积，计算即可得解； （4）先根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。等式两边同时除以0.4，再根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时减1.6，计算即可得解。 【详解】 解： 解： 解： 解： 【对应练习】 1．解方程。                       【答案】x＝13；x＝13.75；x＝6.5； x＝8；x＝3；x＝6 【分析】（1）根据等式的性质一，方程两边同时减17，然后根据等式的性质二，方程两边同时除以9即可； （2）根据等式的性质二，方程两边同时除以4，然后根据等式的性质一，方程两边同时加6，最后同时除以2即可； （3）将方程左侧先化简成2.8x，然后方程两边同时除以2.8即可； （4）根据等式的性质二，方程两边同时乘5，然后根据等式的性质一，方程两边同时加8，最后同时除以6即可； （5）将方程左侧先化简成8.1x，然后方程两边同时除以8.1即可； （6）先根据除法各部分之间的关系，除数等于被除数除以商，将方程转化为x＝9.6÷1.6，计算求解即可。 【详解】9x＋17＝134 解：9x＋17－17＝134－17 9x＝117 9x÷9＝117÷9 x＝13 4×（2x－6）＝86 解：4×（2x－6）÷4＝86÷4 2x－6＝21.5 2x－6＋6＝21.5＋6 2x＝27.6 2x÷2＝27.6÷2 x＝13.75 x＋1.8x＝18.2 解：2.8x＝18.2 2.8x÷2.8＝18.2÷2.8 x＝6.5 （6x－8）÷5＝8 解：（6x－8）÷5×5＝8×5 6x－8＝40 6x－8＋8＝40＋8 6x＝48 6x÷6＝48÷6 x＝8 9.7x－1.6x＝24.3 解：8.1x＝24.3 8.1x÷8.1＝24.3÷8.1 x＝3 9.6÷x＝1.6 解：x＝9.6÷1.6 x＝6 2．解方程。 （1）             （2） （3）        （4） 【答案】；； ； 【分析】（1）根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时减5，计算即可得解； （2）根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时加3，再根据等式性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以7，计算即可得解； （3）先计算等式左边的加法，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以2.1，计算即可得解； （4）根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以8，再根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时加12。最后等式两边再同时除以5，计算即可得解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$