复习专题02 圆的方程19种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题02 圆的方程19种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 知识点2 点与圆的位置关系 (1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内． (2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断： (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内． 知识点3 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 3．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 知识点4 直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 注：直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 知识点5 直线与圆相交 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 知识点6 直线与圆相切 1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 4.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点7 圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； 知识点8 圆与圆的位置关系 1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切． (4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含． 知识点9圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解． 知识点10 圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 有2条外公切线和2条内公切线，共4条 有2条外公切线和1条内公切线，共3条； 只有2条外公切线 只有1条外公切线 无公切线 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 知识点11 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 解题策略1、求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．　　　　 解题策略2、待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 解题策略3、判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内． 此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．　　　　 解题策略4、圆的一般方程辨析 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 解题策略5、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 解题策略6、利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　　　 解题策略7、求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 注：用代入法求轨迹方程的一般方法 　　 解题策略8、判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　 解题策略9、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 解题策略10、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 解题策略11、求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　 解题策略12、求弦长的两种方法 (1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　 解题策略13、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” 解题策略14、判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 解题策略15、公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．　　　　 注：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程 考点剖析 【考点1 圆的标准方程】 例1．已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知圆 与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点2 圆的一般方程】 例2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点3 点和圆的位置关系】 例3．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【变式1】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知四点共圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】过点总可以向圆作两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【考点4 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 例4．若曲线表示圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1】已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点5 圆过定点问题】 例5．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【变式1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【考点6 直线与圆的位置关系】 例6．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1】已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【变式2】若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【变式3】已知圆与直线相切，则（    ） A． B．-1 C．或 D．-1或3 【变式4】已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【变式6】设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点7 圆的切线问题】 例7．已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【变式1】过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_______________． 【变式3】过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【变式4】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B； (1)求直线AB的方程； (2)若M为圆上的一点，求面积的最大值． 【变式5】若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C．(1，＋∞) D．(1，3] 【考点8 切点弦问题】 例8．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【变式1】若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【变式2】过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【变式3】已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【考点9 圆的弦长问题】 例9．已知直线与圆相交于两点，则=__________． 【变式1】经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【变式2】在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为 【变式3】写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【变式4】直线被圆所截得的最短弦长等于（       ） A． B． C． D． 【考点10 面积问题】 例10．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【变式1】已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【变式2】已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【变式3】已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【考点11 判断圆与圆的位置关系】 例11．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【变式1】圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式2】已知圆（a，b为常数）与．若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．外离 【变式3】已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（       ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【变式4】若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点12 由圆的位置关系确定参数范围】 例12．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（    ）． A．7 B．3 C．3或7 D．5 【变式2】圆与圆外切，则实数_________． 【变式3】圆与圆内切，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点13 圆的公共弦】 例13．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【考点14 圆的公切线】 例14．已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（　　） A．1或3 B．4 C．0 D．2 【变式2】若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数（    ） A．-1 B．1 C．±1 D．0 【变式3】若圆与圆有3条公切线，则正数（       ） A．3 B．3 C．5 D．3或3 【变式4】写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【变式5】已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【考点15 圆系方程的应用】 例15．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【变式1】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【变式2】已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 【考点16 圆的轨迹问题】 例16．已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程． 【变式2】已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【变式3】已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【变式4】已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由． 【考点17 与圆有关的最值问题】 例17．已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（       ） A．-1 B． C．+1 D．6 【变式2】实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【考点18 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用】 例18．已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【变式1】已知过、两点，且圆心M在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 【变式2】已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 【考点19 圆的定点、定值问题】 例19．已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点． (1)求点E的轨迹方程； (2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式2】已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【变式3】已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【变式4】已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【变式5】已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． (1)若﹐求直线l的方程： (2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 过关检测 2024年11月24日数学作业 一、单选题 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 2．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 3．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 4．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 7．（2019·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 9．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 11．（2022·福建泉州·模拟预测）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 12．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 13．（24-25高二上·云南文山·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 14．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 三、填空题 15．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 16．（22-23高二下·河北石家庄·期末）圆 被直线截得的弦长等于 . 17．（19-20高一上·陕西宝鸡·期末）已知，方程表示圆，则 ． 18．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 四、解答题 19．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 20．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 21．（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 22．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 24．（23-24高一下·江苏·期末）已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题02 圆的方程19种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 知识点2 点与圆的位置关系 (1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内． (2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断： (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内． 知识点3 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 3．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 知识点4 直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 注：直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 知识点5 直线与圆相交 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 知识点6 直线与圆相切 1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 4.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点7 圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为； 知识点8 圆与圆的位置关系 1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切． (4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含． 知识点9圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解． 知识点10 圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 有2条外公切线和2条内公切线，共4条 有2条外公切线和1条内公切线，共3条； 只有2条外公切线 只有1条外公切线 无公切线 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 知识点11 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 解题策略1、求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．　　　　 解题策略2、待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 解题策略3、判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内． 此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．　　　　 解题策略4、圆的一般方程辨析 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 解题策略5、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 解题策略6、利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　　　 解题策略7、求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 注：用代入法求轨迹方程的一般方法 　　 解题策略8、判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　 解题策略9、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 解题策略10、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 解题策略11、求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　 解题策略12、求弦长的两种方法 (1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　 解题策略13、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” 解题策略14、判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 解题策略15、公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．　　　　 注：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程 考点剖析 【考点1 圆的标准方程】 例1．已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 【变式1】设，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知圆心为，半径为，再求方程即可. 【详解】解：由题知线段中点为，， 所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为 故选：B 【变式2】已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 【变式3】若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 【变式4】已知圆 与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为2， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 【考点2 圆的一般方程】 例2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 【变式1】若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 【考点3 点和圆的位置关系】 例3．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【解析】， 在圆外， 故选：A. 【变式1】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式2】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 【变式3】已知四点共圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三点求出圆的方程，再把代入方程即可求解 【详解】设过四点的圆的方程为， 将代入可得： ，解得， 所以圆的方程为， 将代入圆的方程得， 解得， 故选：D 【变式4】过点总可以向圆作两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过圆外的点总可以作两条切线，代入点得，求解即可. 【详解】过圆外的点总可以作两条切线，故或. 故选：C 【考点4 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 例4．若曲线表示圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】或. 故选：C. 【变式1】已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 【变式2】已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 【考点5 圆过定点问题】 例5．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式2】已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得； （3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果． 【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时方程表示圆． （2）证明：方程变形为． 由于取任何值，上式都成立，则有． 解得或 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点. （3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大）， 从而以为直径的圆的方程为， 所以，解得． 【考点6 直线与圆的位置关系】 例6．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】运用几何法 与 的关系判断圆与直线位置关系即可. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相交. 故选：A. 【变式1】已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 【变式2】若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 【变式3】已知圆与直线相切，则（    ） A． B．-1 C．或 D．-1或3 【答案】D 【分析】圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径 【详解】由已知得，，由与直线相切得，解得或3. 故选：D 【变式4】已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 【变式5】已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【解析】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 【变式6】设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上三个点到直线的距离等于1,可得圆心到直线的距离为2-1=1,利用点到直线的距离公式解出即可. 【详解】解:由题知圆的方程为, 所以圆心为,半径为, 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可, 直线方程为:, 所以圆心到直线的距离为:, 解得, 故当时, 圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1． 故选:D 【考点7 圆的切线问题】 例7．已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 【变式1】过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切线为，即，由与圆相切，得，即可解决. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为1， 因为在圆外， 所以设切线为，即， 因为与圆相切， 所以，解得或， 所以切线的方程为，或， 故选：C 【变式2】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_______________． 【答案】 【分析】先求出为圆心，为半径的圆的方程，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解. 【详解】圆，所以圆心为，半径， , 所以切线长， 以为圆心，为半径的圆的方程为：， 直线为圆与圆的公共弦， 所以由得. 故答案为: . 【变式3】过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【答案】 【解析】由，所以圆心为，半径为. 所以过点向圆作切线，切线段的长度为：. 故答案为： 【变式4】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B； (1)求直线AB的方程； (2)若M为圆上的一点，求面积的最大值． 【解析】(1)圆的圆心坐标为，半径为1， 则的中点坐标为，， 以为圆心，为直径的圆的方程为， 由，得①， 由，得②， ①②得：． 直线的方程为； (2) 圆心 到直线的距离为 故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ， 而 , 故面积的最大值为 . 【变式5】若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C．(1，＋∞) D．(1，3] 【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故选：A. 【考点8 切点弦问题】 例8．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 【变式1】若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 【变式2】过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 【变式3】已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【考点9 圆的弦长问题】 例9．已知直线与圆相交于两点，则=__________． 【解析】根据圆的方程：，圆心坐标，半径， ∴圆心到直线距离， 所以， 故答案为：. 【变式1】经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【解析】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 【变式2】在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为 【答案】 【解析】因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为，联立方程， 解得，即圆心，，所以，圆的方程为 因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 故答案为： 【变式3】写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或， 所以的方程为：或. 故答案为：或. 【变式4】直线被圆所截得的最短弦长等于（       ） A． B． C． D． 【解析】圆的圆心为，半径， 又直线，直线恒过定点， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦， 此时弦心距为． 所截得的最短弦长：． 故选：C． 【考点10 面积问题】 例10．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 【变式1】已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【解析】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 【变式2】已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【解析】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 【变式3】已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 【考点11 判断圆与圆的位置关系】 例11．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解. 【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为， 圆，圆心，半径为， ，圆与圆的位置关系为外切， 故选：B 【变式1】圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】圆的圆心为,半径， 圆的圆心为,半径， 因为，， 所以， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C 【变式2】已知圆（a，b为常数）与．若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．外离 【答案】B 【分析】根据条件求出 的圆心 ，再根据 圆心的距离即可判断. 【详解】依题意，所以，又，，，， ，所以两个圆相交； 故选：B. 【变式3】已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（       ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【解析】由，即， 故圆心，半径， 所以点到直线的距离， 故，即， 解得：； 所以，； 又，圆心，， 所以， 且， 即圆与圆相交， 故选：B. 【变式4】若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式5】设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 【考点12 由圆的位置关系确定参数范围】 例12．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 【变式1】已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（    ）． A．7 B．3 C．3或7 D．5 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可得得实数得值. 【详解】解：圆的圆心为，半径为 圆的圆心，半径为 所以， 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切， 所以或，所以或或（舍）. 故选：C． 【变式2】圆与圆外切，则实数_________． 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则 根据题意可得：，即，∴ 故答案为：9． 【变式3】圆与圆内切，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由圆内切得即可解决. 【详解】由题知， 所以， 因为圆与圆内切， 所以，即， 因为， 所以， 故选：C. 【考点13 圆的公共弦】 例13．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由 公共弦长公式求出答案即可. 【详解】联立两个圆的方程， 两式相减可得公共弦方程， 圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为. 故选：A. 【变式1】已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意圆：和圆：， 将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得. 故选：B. 【变式2】圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式. 【详解】变形为，圆心为， 变形为，圆心为， 公共弦AB的垂直平分线即为直线， 即，整理得. 故选：D 【变式3】已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点，进而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值. 【详解】由圆 ， 圆​:， 得圆 ​与圆​的公共弦所在直线方程为:， 由， 解得， 即， 又​在直线上， ， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 的最大值为​. 故选: D. 【变式4】已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 【考点14 圆的公切线】 例14．已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 【变式1】已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（　　） A．1或3 B．4 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，求出圆心距，由半径之和小于圆心距知两圆相离，即可判断公切线的条数. 【详解】因为圆C1：，圆C2：， 所以圆心距， 而两圆半径之和，故两个圆相离， 则这两个圆的公切线有4条. 故选：B 【变式2】若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数（    ） A．-1 B．1 C．±1 D．0 【答案】D 【分析】利用配方法，结合两圆公切线的性质进行求解即可. 【详解】将化为标准方程得，即圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1.因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以，即，解得. 故选：D 【变式3】若圆与圆有3条公切线，则正数（       ） A．3 B．3 C．5 D．3或3 【解析】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4， ， ∴，又， ∴. 故选：B. 【变式4】写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【解析】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 【变式5】已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【考点15 圆系方程的应用】 例15．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 【变式1】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为． （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 【变式2】已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交． （2）设过两圆交点的圆的方程为． 把点代入，求得． 故所求圆的方程为， 即． 【考点16 圆的轨迹问题】 例16．已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线长定理可知，点到圆的圆心距离为定值，计算即可. 【详解】因为圆，所以圆心，半径，由勾股定理得，所以，所以的轨迹为以为圆心为半径的圆，所以的轨迹方程是. 故选：A 【变式1】已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合条件即得； （2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得. 【详解】（1）设，因为点，，动点满足， 所以， 整理得，即， 所以曲线方程为； （2）由，可知曲线为圆心为，半径为4的圆， 所以直线 与圆相切， 当直线的斜率不存在时，直线，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 【变式2】已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【解析】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 【变式3】已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 【变式4】已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，点P的个数为2,理由见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解， （2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解， 【详解】（1）由题意圆C：，圆心，半径， 1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意； 2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为即 综上，直线l的方程为或； （2）假设圆C上存在点P，设，则C：， 又， 即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆. 因为， 所以圆C：与圆相交， 所以点P的个数为2 【考点17 与圆有关的最值问题】 例17．已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值. 【详解】将代入，得， 所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径， 所以， 则的最大值为：， 故选：D. 【变式1】已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（       ） A．-1 B． C．+1 D．6 【解析】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为. 故选：A 【变式2】实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则与圆由交点,再根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得． 【详解】设，则与圆有交点， 圆心到直线的距离， 解得． 故选:C． 【变式3】已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图， 所以圆心到直线的距离， 则， 又点P到直线的距离的最大值为， 所以面积的最大值． 故选：A. . 【变式4】若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图上易知，当不动时，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求. 【详解】 如图，为两切线，为直线上一个点， 所以当为两切线是取等号； 又，故只需求， ,又， 故选：B 【考点18 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用】 例18．已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 【变式1】已知过、两点，且圆心M在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 【解析】（1）设的方程为. 因为.过、两点，且圆心M在直线上. 所以  解得：，，， 所以的标准方程为：. （2）设，， 联立立得， 由题意得：，即， 由根与系数关系得：，， 所以 ， 解得， 又因为满足， 故所求直线l的方程为. 【变式2】已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 【解析】（1）令，所以，所以， 令，解得：或，设，， 因为直线的垂直平分线为 设圆心，所以圆的圆心，则 ，解得：，则， 所以圆的标准方程为：. （2）因为等于圆C的直径，所以直线过圆心，因为直线过点， 所以直线为， 所以联立方程，消去得， 设， 所以， . 【考点19 圆的定点、定值问题】 例19．已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点． (1)求点E的轨迹方程； (2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点N为 【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可； （2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解. 【详解】（1）设，因为P是圆C上动点，所以， 因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以， 设，因为E是中点，所以，即， 所以，即， 所以点E的轨迹方程为. （2）当直线轴时，x轴平分. 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若x轴平分，则， ∴，∴， ∴， ∴， 所以当点N为时，能使得x轴平分总成立 【变式1】已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【变式2】已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图： 过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； （2）因为点在直线上，可设， 过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 【变式3】已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当最大时，直线过圆心，代入圆心坐标可求直线的方程； （2）直线与圆联立方程组，利用韦达定理证明为定值． 【详解】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为. （2）证明：设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值. 【变式4】已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得． 因为点M的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线C的方程为． （2）设直线l的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 因为为定值，且为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，为定值． 因为，，所以由中点坐标公式得． 所以存在定点使得为定值． 【变式5】已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． (1)若﹐求直线l的方程： (2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 【解析】（1）由圆，可知圆心为，半径为2， 因为，直线，即， 所以， 解得或， 所以直线方程为或， 即或； （2）由直线可知直线过定点， 又，可知，又直线，， 所以， 如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N， 所以，， 所以，即， 又，， 所以为定值， 若直线过圆心，则与重合，与重合，显然， 综上，为定值. 过关检测 2024年11月24日数学作业 一、单选题 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求点到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置关系. 【详解】因为圆的圆心为：，半径为：1. 由点与圆心的距离为：， 又. 所以点在圆外. 故选：A 2．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积. 【详解】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 3．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 4．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相切得圆心到直线的距离即为圆的半径，由此可求得结果. 【详解】因为点为圆心到直线的距离为， 所以圆的半径为，圆的方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得. 【详解】 如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 又直线经过定点， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为. （理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点， 在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 故选：D. 6．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】依题作出图形，从四边形的面积分析考虑得出，利用将其化为，要使最小，需使最小，即为圆心到直线的距离时，利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】    如图，易得,,则四边形的面积为, 化简得，，在中，，代入整理得，， 要使线段长度最小，只需使线段长度最小，而是圆心到直线上任意点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，. 故选：A. 7．（2019·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，再利用直线与圆相交的性质与圆的弦长公式得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为圆，可化为， 则其圆心为，半径为，且，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6， 所以，解得， 综上，，即. 故选：D. 8．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 9．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 二、多选题 10．（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 【答案】BCD 【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线l与圆的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出，即可表示出直线l与圆的位置关系，计算求参，即可判断D选项. 【详解】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误； 而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确； 当时，直线l：， 设圆心到直线l的距离为，则， 所以直线与圆相切，故C正确； 对于D项，圆：，即，可知圆心，半径, 因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离， 即，解得， 所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确； 故选：BCD. 11．（2022·福建泉州·模拟预测）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可知最大距离为；对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得所以；对于C，若为圆的切线，则，解得，另一条切线为，斜率不存在；对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时，点到的距离取最大值. 【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为3， 设圆心到直线的距离为， 当时，； 当与直线不垂直时，总有， 综上，，所以点到的最大距离为，故A正确； 对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得， 所以，故B正确； 对于C，若为圆的切线，则，解得， 另一条切线为，斜率不存在，故C错误； 对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时， 点到的距离取最大值，故D正确. 故选：ABD 12．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 【答案】AD 【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，对于A,找出最大值，运用两点间距离求解；对于B,对m分类讨论，解方程可解；对于C,作出临界状态的切线，求出切线方程即可；对于D,找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式计算. 【详解】曲线.当， 当. 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形， 不含圆的虚线部分，如图., 对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确. 对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解. 所以或，选项B错误. 对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可. 当直线与上圆切时，则，解得，则. 同理，可得当直线与下圆切时，求得，则. 则，选项C错误. 对于D,在，则，则, 则扇形的面积为. 直角三角形的面积为. 则弓形面积为. 圆的面积为：. 曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可. 即为.选项D正确. 故选：AD. 13．（24-25高二上·云南文山·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】根据两圆圆心距与半径间的关系判断各项中圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径的大小关系判断直线与圆的关系，相交情况下两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. 【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径； 故两圆圆心距为， 对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误； 对于B，当时，是圆的切线， 又圆心到的距离为，即圆与相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确； 对于D，当时，，此时圆与圆相交， 将两圆方程相减可得，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误. 故选：BC 14．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 三、填空题 15．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 16．（22-23高二下·河北石家庄·期末）圆 被直线截得的弦长等于 . 【答案】 【分析】求出给定圆的圆心和半径，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 17．（19-20高一上·陕西宝鸡·期末）已知，方程表示圆，则 ． 【答案】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 18．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】先根据已知画出圆及点结合点关于x轴对称，进而数形结合即可得出距离和的最小值. 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 四、解答题 19．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 20．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知点和直线，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标； (2)为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）点与点关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆由公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 21．（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为直径，可知圆心及半径，进而可得圆的方程； （2）根据直线与圆相切，结合点到直线的距离可得解. 【详解】（1）由已知，，则， 半径， 所以圆的方程为； （2）由直线，即， 又直线与圆相切，可得，解得. 22．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得； （2）圆问题可转化为在轴上是否存在点，使，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【详解】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 23．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即得. （2）求出线段的中垂线方程，求出直线的交点坐标，再求出圆的半径即可. 【详解】（1）由，解得，即， 显然轴，，点在轴上方，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，于是所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为.    24．（23-24高一下·江苏·期末）已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先依题求得圆的方程，再求直线的斜率，即得切线斜率，由点斜式方程即得切线方程； （2）设直线的点斜式方程，代入圆的方程，由韦达定理求出点A的坐标，计算弦长和点到直线的距离，由三角形面积公式列方程，解之即得直线的方程. 【详解】（1）由题意，点在圆上，可得， 因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即； （2）如图， 由（1）知圆，又点，， 当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，， 点到的距离为3，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 代入中，整理得：， 设，由韦达定理，，即， 代入，可得，即， 于是， 则得， 点到直线的距离为：， 则，解得或， 故直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$