山东省济宁市邹城市兖矿第一中学2024-2025学年高三上学期数学期末模拟测试四

邹城市兖矿第一中学高三年级2024——2025学年上学期 期末模拟测试数学试题（四）2024.12.19 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） 车速 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80% C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 6．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台，二面角的正切值为2，则正四棱台的体积为（   ） A． B．56 C． D． 8．正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，是真命题的有（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，互为共轭复数，则 D．，， 11．已知圆，为直线上一动点，过向圆引两条切线，为切点，则下列四个命题正确的是（   ） A．直线与圆总有两个交点. B．不存在点，使. C．直线过定点. D．过作互相垂直的两条直线分别交圆于、和、，则四边形面积的最小值为6 三、填空题 12．在等差数列中，，则 . 13．若，则 . 14．已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为 . 四、解答题 15．已知函数，且. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 16．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. (1)若点为中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知数列中，， (1)证明数列 是等比数列； (2)若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和. 18．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 19．在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）． （1）求椭圆的方程； （2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q． ①求证：直线OQ的斜率为定值； ②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值． 试题第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学模拟试题四参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C C B D BD BCD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】因为，， 则. 故选：D. 2．B 【分析】设，则，利用复数的乘法和复数相等可求得、的值，然后利用复数的减法和复数的模长公式可求得结果. 【详解】设，则， 所以， 所以，可得，所以，则， 因此， 故选：B. 3．B 【分析】运用两角差的余弦公式，结合同角正切公式，求出与的值，进而求出的值. 【详解】由，可得，即. 已知，即 ， 将代入可得： ，即， 解得.所以. 根据，可得：. 故选：B. 4．A 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，得到，再由向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 故选：A. 5．C 【分析】根据频率分布直方图中，中位数的估计值、频率计算、极差的估计值以及平均数的估计值计算公式，可得答案. 【详解】对于A，，，则中位数位于，故A错误； 对于B，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故B错误； 对于C，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 6．C 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 7．B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角的正切值求出二面角的余弦值，即可求出四棱台的高，根据上下底面的面积以及高可求得体积. 【详解】因为是正四棱台，连接交一点，连接交一点， 则是该正四棱台的高，设为， 过点分别作、的平行线交于点， 则以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： ， 因为， 所以， ， 由图可得平面的其中一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为，则， 因为二面角的正切值为2，则二面角的余弦值为， 所以，解得， 该四棱台上底面积，下底面积为， 所以正四棱台的体积为： ， 故选：B. 8．D 【分析】先根据面面平行性质定理得出交线l,再结合空间向量法求异面直线的余弦值. 【详解】因为是正方体，所以平面平面, 平面平面,平面平面, 所以,是靠近的三等分点， 所以, 平面平面即是, 如图建立空间直角坐标系,设正方体边长为3， 则 设直线l与所成角为 . 故选：D. 9．BD 【分析】根据指数函数图象以及幂函数图象性质，分别画出在同一坐标系下的图象即可得出结论. 【详解】画出函数与在同一坐标系内的图象，如下图所示： 显然时，图象始终在的上方，即可知A为假命题， 当时，图象始终在的下方，即，，所以B为真命题； 画出函数与在同一坐标系内的图象，如下图所示： 当时，函数的图象始终在的上方，即恒成立，因此C为假命题； 当时，函数的图象始终在的上方，即恒成立，可知D为真命题. 故选：BD 10．BCD 【分析】利用特殊值判断A，根据复数的模、共轭复数及复数代数形式的乘法运算判断B、C、D. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：设，因为，所以，则，故B正确； 对于C：设，因为，互为共轭复数，则， 所以，，即，故C正确； 对于D：设， 则，， 所以， 即，，，故D正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】利用直线过定点且定点在圆内判断A，假设存在点，利用三角形边长关系和的取值范围判断B，求出以为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦的方程，即可求出定点判断C，设到直线，的距离为，利用圆的几何性质求弦长，再结合面积公式和的取值范围判断D. 【详解】选项A：因为直线过定点， 且，即该定点在圆内，所以直线与圆总有两个交点，A说法正确； 选项B：连接，因为为切点，所以与全等，    假设存在点，使，则，此时， 因为，所以假设成立，即存在点，使，B说法错误； 选项C：设，则， 以为直径的圆的方程为，即， 又圆，两圆作差可得公共弦直线方程为， 消去可得，整理得， 令可得直线过定点，C说法正确； 选项D：设到直线，的距离为，则，    因为，， 所以， 又因为，当且仅当或过原点时等号成立， 所以，四边形面积， 即四边形面积的最小值为6，D说法正确； 故选：ACD 12．400 【分析】根据等差数列的前n项和公式计算即可. 【详解】在等差数列中，. 故答案为：400. 13．/0.5 【分析】利用这个等式来求解与正切函数相关的比值。解题的关键在于将已知条件利用三角恒等变换转化为所求表达式的形式. 【详解】由得： ， 所以 化简得到： ， 所以； 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将给定的条件与所求表达式联系起来，通过正弦和正切的性质以及和差化积的公式，最终化简求解。这一过程体现了数学解题中转化和化归的思想，即通过一系列的数学变换，将复杂问题转化为较为简单的问题，从而求解。在解决这类问题时，熟悉和灵活运用三角恒等变换公式是非常重要的. 14． 【分析】由双曲线的对称性，可得，再由双曲线的性质可解. 【详解】根据题意，由双曲线的对称性，可得， ∴，∴，双曲线：. 故答案为： 15．（1）， 因为，所以，，可得，， 又，所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）因为的图象向右平移个单位得到的图象， 再将的图象上各个点横坐标变为原来2倍得到的图象， 所以； 所以不等式为，不等式化为， 所以，所以，所以， 结合函数在上的图象得， 所以原不等式的解集为. 16．（1）如图所示：连接， 点、分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ，， 又平面，且平面， 面. （2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 设，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以，解得（负值舍去） 故，则平面的一个法向量是 ，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．（1）证明：因为，所以，即，为常数， 故数列是等比数列． （2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以， 故， 所以， 两式相减得，， 所以． 18．（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．（1）由题意知，可设，可得， 即，所以，故，即， 又椭圆经过，即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设平行于AB的直线方程为，且， ①联立，设，，得到， 所以，，故直线OQ的斜率为（定值）. ②由题意可知，，， 联立，得，， 设，直线斜率存在时，直线， 联立，得， 直线，联立， 得，则， ， 所以因为，所以，代入上式得： . 当斜率不存在时结果仍然成立，故​为定值． 【点睛】本题第（2）问的第②小问非常复杂，但主要是在运算量上面，做题时还是本着“设而不求”的原则，题目需要什么就应该事先求出什么，方法比较固定，可以总结一下这道题的思路. 学科网（北京）股份有限公司 $$