专题培优 正方形中的三类模型-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

ABCD的面积的一半， 所以∠AEH=∠DHG 所以整个运动过程中，线段PQ扫过的面 因为∠AEH+∠AHE=90°. 积=矩形ABCD的面积的一半=之AB, 所以∠DHG+∠AHE=90, 所以∠GHE=90°， BC=2×8×16=64. 所以菱形EFGH是正方形. (2)类比“赵爽弦图”，易知涂色部分为正方形，且 专题培优正方形中的三类模型 正方形的边长为(GC一DG=(3一1)一1=1(m), 1.D解析：因为四边形ABCD为正方形， 所以涂色部分的面积为1cm, 所以BC=CD=AB=4,∠BCE=∠D 3.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 90°，Sa清每.MD=16. 所以AB=AD,∠ABC=∠ABE=∠D=90. 因为S防影：Sa*想D=3:4, 在△ABE和△ADN中， 所以5-×16=12。 AB-AD. 所以Sg=16一12=4. ∠ABE=∠D. 在△BCE和△CDF中， BE=DN. BC=CD. 所以△ABE≌△ADN, ∠BCE=∠D=90°， 所以AE=AN. CE=DF. (2)解：因为四边形ABCD是正方形， 所以△BCE≌△CDF(SAS) 所以∠BAD=90° 所以S△H=S在0H=2, 因为∠MAV=45, ∠HBC=∠DCF 所以∠BAM+∠DAN=45. 因为∠DCF+∠HCB=90°， 由(1)，知△ABE≌△ADN. 所以∠HBC+∠HCB=90°， 所以∠BAE=∠DAN, 所以∠BHC=90°， 所以∠BAM+∠BAE=45°， 【关健】得出垂直是解决线段长度关系的关健 所以∠EAM=∠MAN=45 所以BH+CH=BC=16,BH·CH=4. 在△AME和△AMN中， 所以(BH+CH)2=BH+CHP+2BH·CH (AE=AN. 16+2×4=24. ∠EAM=∠NAM. 所以BH+CH=26, AM=AM. 所以△BCH的周长为BH+CH+BC=2+4 所以△AME≌△AMN, 2.解：(1)四边形EFGH是正方形.理由如下： 所以EM=MN. 因为四边形ABCD是正方形， 因为CM=3,CV=4, 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 所以MN=√CM+CN=5. AB=BC=CD=DA. 所以EM=MN=5. 又因为HA=EB=FC=GD 4.(1)证明：在正方形ABCD中，∠B=∠ADC= 所以AE=BF=CG=DH, ∠ADG=90°，AD=AB. 所以易i证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, 在△ABE和△ADG中， 所以EH=FE=GF=HG, (AB=AD. 所以四边形EFGH是菱形. ∠B=∠ADG. 因为△AEH2△DHG, BE=DG. 15 所以△ABE≌△ADG(SAS), 所以MN2=BMP+NC. 所以∠BAE=∠DAG,AE=AG 因为BM=1.CN=3, 所以∠EAG=90. 所以MN=√+3=√⑥ 因为∠EAF=45, 所以∠FAG=45 53+22 2 解析：如图，连接BE,DG,两线相 在△FAE和△FAG中， 交于点H,BE与AG交于点K AE=AG. ∠EAF=∠FAG=45, AF=AF. 所以△FAE≌△FAG(SAS), 所以EF=FG. (2)解：如图，过点C作CE⊥BC,垂足为点 C,截取CE,使CE=BM,连接AE,EN. 因为四边形ABCD与四边形AEFG都是正 方形， 所以AB=AD.AG=AE,∠BD=∠GAE=90 所以∠BAD+∠BAG=∠GAE+∠BAG, 所以∠DAG=∠BAE, 所以△BAE≌△DAG(SAS), 因为AB=AC,∠BAC=90°， 所以BE=DG,∠DGA=∠BEA. 所以∠B=∠ACB=45. 因为∠AKE=∠HKG,∠AKE+∠BEA=90, 因为CE⊥BC, 所以∠HKG+∠DGA=90. 所以∠ACE=∠B=45. 所以∠GHK=180-(∠HKG+∠DGA)=90°， 在△ABM和△ACE中， 则四边形BGED的面积=△BEG的面积十 (AB=AC. △BDE的面积 ∠B=∠ACE, BM-CE. -E·HG+E,DH 所以△ABM≌△ACE(SAS), 所以AM=AE,∠BAM=∠CAE. -BE (HG+DH) 因为∠BAC=90°，∠MAN=45°， 所以∠BAM+∠CAN=45°， =BE·DG=B. 所以∠MAV=∠EAN=45. 所以当BE取最大值时，四边形BGED的面 在△MAN和△EAN中， 积最大， AM=AE. 所以当a=90°时， ∠MAN=∠EAN, BEt大=AE+AB=1十√2. AN=AN. 所以△MAN≌△EAN(SAS). 所以四边形BGED面积的最大值为BE= 所以MN=EN. 在Rt△EVC中，由勾股定理，得 含×1+2=8+22 2 EN:=EC:+NC. 6.解：(1)因为四边形ABCD与四边形AEFG 海16 均是正方形， 所以AD=AB,∠DAG=∠BAE=90,AG=AE, 所以△ADG≌△ABE,所以∠AGD=∠AEB. 如图，延长EB交DG于点H. G 图① B 如图②，在矩形内部的直线1上作点P,使PA AB(或PB=AB),此时有两个点，满足△PAB, △PBC均为等腰三角形 D 因为∠AGD+∠ADG=90°， 所以∠AEB十∠ADG=90, 所以∠DHE=180°-（∠AEB+∠ADG)=90°， 图② 所以DG⊥BE. 如图③，在矩形外的直线1上作点P,使AB (2)因为四边形ABCD与四边形AEFG均是 BP(或AB=AP),此时有两个点，满是 正方形。 △PAB,△PBC均为等腰三角形 所以AD=AB,∠DAB=∠GAE=90'.AG=AE, B 所以∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG, 所以∠DAG=∠BAE, 所以△ADG≌△ABE, 所以DG=BE. 图③ 如图，过点A作AM⊥DG于点M,则 综上所述，符合条件的点P有5个，故遍D ∠AMD=∠AMG=90 2.(1)CF=BD100 解析：在菱形ADEF中，AD=AF. 因为∠BAC=∠DAF, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC, 所以∠BAD=∠CAF. 在△DAB与△FAC中， 因为BD是正方形ABCD的对角线， (AD=AF. 所以∠MDA=45 ∠BAD=∠CAF. 在Rt△AMD中，∠MDA=45,AD=2. AB=AC. 可得DM=AM=√2. 所以△DAB≌△FAC(SAS). 在Rt△AMG中， 所以BD=CF,∠ABD=∠ACF. GM=√AG-AMF=√6， 因为AB=AC,∠BAC=a=80°. 所以DG=DM+GM=√2+√6. 所以∠ABC=∠ACB=50°， 所以∠ACF=50°， 所以BE=DG=√反+. 所以∠BCF=∠ACB+∠ACF=50°+50°=100. 专题培优特殊四边形中的动态问题 (2)解：(1)中CF与BD之间的数量关系仍然 1,D解析：如图①，作AB或DC的垂直平分 成立理由如下： 线交I于点P,此时△PAB,△PBC均为等 因为∠DAF=∠BAC=a, 腰三角形. 所以∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD. 所以∠BAD=∠CAF 17第●章 特殊平行四边形 专题培优！正方形中的三类模型 类型一十字模型 ③（示意图）中涂色部分的面积 在正方形中，如果分别取对边上的点连成 的两条线段互相垂直，那么这两条线段一定相 等，这种结构称为正方形的十字模型，常见图 形如下： 图① 图② 图3③ 图① 图2 图3③ 如图①，在正方形ABCD中，AE⊥BF曰 AE=BF. 如图②，在正方形ABCD中，AE⊥FH曰 类型三半角模型 AE=FH. 如图③，在正方形ABCD中，EF⊥GH台 如图，己知正方形ABCD. EF=GH. ∠EAF=45°，这就是正方形中典 型的半角模型 1.如图，在正方形ABCD中， 这个模型有几个常见的 AB=4,点E,F分别在 结论： CD,AD上，CE=DF, (1)EF=BE+DF: BE,CF相交于点H.若图 (2)∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD: 中阴影部分的面积与正方 (3)S△AEF=S△AE十S△AF. 形ABCD的面积之比为3：4，则△BCH的 3.如图，点M,N分别在正方形ABCD的边 周长为 BC,CD上，∠MAN=45°，点E在CB的延 A.25-4 B.25 长线上，连接AE,BE=DN. (1)求证：AE=AN: C.25+4 D.26+4 (2)若CM=3,CN=4,求EM的长. 2.如图①，在正方形ABCD中，E,F,G,H分 A 别为边AB,BC,CD,DA上的点，HA= EB=FC=GD,连接EG,FH交于点O. (I)如图②，连接EF,FG,GH,HE,试判断 四边形EFGH的形状，并说明理由 (2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开， 再把得到的四个四边形按如图③所示的方式 拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长 为3cm,HA=EB=FC=GD=1cm,求图 17 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 4.(1)如图①，正方形ABCD中， a(30°<a<180).在旋转过程中，连接BG, 点E,F分别在边BC,CD上， GE,ED,DB,四边形BGED面积的最大值 ∠EAF=45°，延长CD到点 是 G,使DG=BE,连接EF,AG. 求证：EF=FG. (2)如图②，等腰直角三角形ABC中，∠BAC 90°，AB=AC,点M,N在边BC上，且 ∠MAV=45°.若BM=1.CN=3,求MN的长 B B M 6.小明参加数学兴趣小组的探究活动，将边长 为2的正方形ABCD与边长为22的正方 形AEFG按图①所示的方式放置，AD与 G AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直 图① 图2 线上 (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由： (2)如图②，小明将正方形ABCD绕点A按 逆时针方向旋转，当点B恰好落在线段DG 中数数字 上时，请你帮他求出此时BE的长 G G 中数 图① 图② 类型三手拉手模型 正方形中手拉手模型的基本图形如图 所示 该摸型中有以下结论： 中数数字 (1)△ABE≌△ADG: (2)BE=DG: (3)BE⊥DG. 5.如图，正方形ABCD与正方形 AEFG的边长分别为1和V2 一开始边AB与边AG重合，将 正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为 18