专题培优 特殊四边形中的动态问题-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

均是正方形， 所以AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE, 所以△ADG≌△ABE,所以∠AGD=∠AEB. 如图，延长EB交DG于点H. O 图① H 如图②，在矩形内部的直线1上作点P,使PA AB(或PB=AB),此时有两个点，满足△PAB, △PBC均为等腰三角形 D 因为∠AGD+∠ADG=90°， 所以∠AEB十∠ADG=90, 所以∠DHE=180°-（∠AEB+∠AIDG)=90°， 图② 所以DG⊥BE. 如图③，在矩形外的直线1上作点P,使AB (2)因为四边形ABCD与四边形AEFG均是 BP(或AB=AP),此时有两个点，满足 正方形， △PAB,△PBC均为等腰三角形 所以AD=AB,∠DAB=∠GAE=90',AG=AE, B 所以∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG, 所以∠DAG=∠BAE, 所以△ADG≌△ABE, 所以DG=BE 图③ 如图，过点A作AM⊥DG于点M,则 综上所述，符合条件的点P有5个故选D, ∠AMD=∠AMG=90. 2.(1)CF=BD100 解析：在菱形ADEF中，AD=AF. 因为∠BAC=∠DAF, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC. 所以∠BAD=∠CAF, 在△DAB与△FAC中， 因为BD是正方形ABCD的对角线， (AD=AF. 所以∠MDA=45°. ∠BAD=∠CAF. 在Rt△AMD中，∠MDA=45,AD=2. AB=AC. 可得DM=AM=√2 所以△DAB≌△FAC(SAS). 在Rt△AMG中， 所以BD=CF,∠ABD=∠ACF. GM=√AG-AMF=√6， 因为AB=AC,∠BAC=a=80°. 所以DG=DM+GM=√2+√6， 所以∠ABC=∠ACB=50°， 所以∠ACF=50°， 所以BE=DG=√反+. 所以∠BCF=∠ACB+∠ACF=50°+50°=100. 专题培优特殊四边形中的动态问题 (2)解：(1)中CF与BD之间的数量关系仍然 1.D解析：如图①，作AB或DC的垂直平分 成立理由如下： 线交l于点P,此时△PAB,△PBC均为等 因为∠DAF=∠BAC=a, 腰三角形 所以∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD, 所以∠BAD=∠CAF. 17 在△DAB与△FAC中， 因为AC=60cm,所以AD=(60-6)cm. (AD=AF. 因为AE=3tcm, ∠BAD=∠CAF, AB=AC. 所以60一=3动，解得1=号 所以△DAB≌△FAC(SAS), 所以四边形AEFD能成为菱形，相应的：的 所以BD=CF,∠ABD=∠ACF. 因为AB=AC,∠BAC=a, 值为贸 5.解：(1)若△DCP与△BCM全等，则P℃=CM 所以∠ABC=∠ACB=2180-a· 由题意，得21=4一24， 解得=1. 所以∠ACF-a80-a. (2)当点P在点C左侧时， 所以∠BCF=∠ACB+∠ACF=180°-a. 则△DCP≌△BCM, 3.2或2.5解析：在正方形ABCD中，边长为 所以PC=CM, 8 em.BE=5 cm. 所以4一31=1.51. 根据题意可知，BP=2!cm,CQ=alcm: 解得1=号 所以PC=BC-BP=(8-2t)cm. 当△BPE≌△CPQ时， 当点P在点C右侧时，则△DCP≌△BCM, BP=PC.BE=CQ. 所以CP=CM, 即21=8-21,5=a1, 所以31-4=1.51， 解得1=2，a=2.5. 解得1一导 当△BPE≌△CQP时， 【易错】做形结合，分类确定两组金等三角形 综上所述，当=号或号时，△DCP与△BCM 解题，易漏掉其中一种 全等 BP=CQ.BE=PC. 6.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 即21=at.5=8-21, 所以AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°， 解得1=1.5，a=2. 所以∠BAC=∠DCA 4解：四边形AEFD能成为菱形.理由如下： 因为G,H分别是AB,DC的中点， 因为在R1△ABC中，∠B=90°，∠A=60°， 所以∠C=90°-∠A=30. 所以AG=AB,CH=CD. 在Rt△CDF中，∠C=30°，CD=6tcm, 所以AG=CH. 所以DF=2CD=3cm 因为E,F是对角线AC上的两个动点，且分别 从A,C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s, 因为点E从点A出发沿AB方向以3cm/s 所以AE-CF, 的速度向点B匀速运动， 所以AF=CE, 所以AE=3!cm: 所以△AGF≌△CHE(SAS), 所以AE=DF 所以GF=HE,∠AFG=∠CEH, 因为∠B=90°，DF⊥BC, 所以GF∥HE, 所以DF∥AB, 所以以E,G,F,H为顶点的四边形始终是平 所以四边形AEFD是平行四边形. 行四边形。 当AD=AE时，□AEFD是菱形 (2)解：如图，连接GH,与AC交于点O,由 18 (1)可知四边形EGFH是平行四边形. 12 解析：如图，连接OE D 因为AB=6cm,BC=8cm, 所以在R1△ABC中， AC=√AB+BC=√6+8=10(cm). 因为G,H分别是AB,DC的中点， 因为四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, 所以GH=BC=8cm, 所以AC⊥BD,OC=(OA=4,OB=OD=3. 所以当EF=GH=8cm时，四边形EGFH 所以∠COD=90°， 是矩形，分两种情况： ①若点E在线段AO上， 所以CD=√0C+OD=√+3=5. 则AE=CF=2cam,所以EF=(10-4)m, 因为EF⊥OC,EG⊥OD, 即10-4t=8,解得1=0.5. 所以∠EFO=∠EGO=90°， ②若点E在线段OC上， 所以四边形OGEF是矩形，所以FG=OE. 【易错】在求EF的长度时，要注意很据动点 由题意知，当OE⊥CD时，OE取最小值，此 的移动位置分情况讨论。 时GF也取最小值， 则AE=CF=2:cm, 此时SeWx= 20D·0= 2CD·OE. 所以EF=21+21-10=(4t-10)cm, 即41一10=8，解得1=4.5. 所以OD·OC=CD·OE 综上，当为0.5或4.5时，以E,G.F,H为 所以OE OD·0C3×4_12 CD 5 5 顶点的四边形是矩形 12 7.6.5解析：因为∠EDF=90°， 所以FG的最小值为 所以EF=DE十DF, 9.解：如图，连接BE,DE 所以当DE与DF的值最小时，EF长度的值 最小，即当DF⊥BC,DE⊥AC时，线段EF 的长度最小 如图，过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC 于点F,则四边形DFCE是矩形， 因为∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC 的中点，所以BE=AC,DE=号AC 因为AC=6,所以BE=DE=3. 所以EF=CD. 如图，过点E作EF'⊥BD于点F',则点F 图为∠ACB=90°，AC=5,BC=12, 是线段BD的中点， 所以AB=√AC+BC=13. 因为BD=4.所以BF'=2. 因为D是AB的中点， 根据勾股定理，得E℉'=√3一2=√5. 所以EF=CD=2AB=6.5 所以线段EF的最小值为√5， 19特殊平行四边形 专题培优特殊四边形中的动态问题 类型 特殊四边形中的一个动点的问题 类型二 特殊四边形中的两个动点的问题 1.如图所示,在矩形ABCD的对称轴/上找点 3.(易错题)如图,在正方形ABCD中,边长为 P,使得△PAB,△PBC均为等腰三角形,则 8cm,点E在边AB上,BE-5cm.如果点P ( 满足条件的点P的个数是 _~ 在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点 B C运动,同时,点Q在线段CD上以acm/s 的速度由点C向点D运动,设运动的时间为 Is.若以E,B,P为顶点的三角形和以P,C. A.2 B.3 C.4 D.5 Q为顶点的三角形全等,则a= 2.(探完题)在△ABC中,AB 1D AC,点D为射线BC上一动点 (点D不与点B,C重合),连接 C AD,以AD为边作菱形 ADEF,且 DAF= BAC=a,连接CF (1)尝试探究:如图①,当点D在线段BC 4.(探究题)如图,在Rt△ABC中,B一90{* 上,a=80{}时,CF 与BD的数量关系 AC-60cm. A-60{*},点D从点C出发沿 .BCF的度数为 CA方向以6cm/s的速度向点A匀速运动; (2)类比延伸:如图②,当点D在线段BC的 同时点E从点A出发沿AB方向以3cm/s 延长线上,DAF=BAC=a时,(1)中 的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达 CF与BD之间的数量关系是否仍然成立? 终点时,另一个点也随之停止运动,设点D. 若成立,请说明理由,并求出 BCF的度数 E运动的时间是1s(0 /<10).过点D作 (用含a的式子表示). DF . BC于点F,连接DE,EF.四边形 AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应 的7的值;如果不能,请说明理由 DC 图① 图② 中数数字 中数数字科技 中数数字料支 数数学科技 智学酷 提优精练 数学 九年级 上册(BS) 5.如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动 特殊四边形中与动点有关的最 点M从点C出发,沿着射线CD的方向运 类型三 值问题 动,动点P从点B出发,沿着射线BC的方 7.如图,在Rt/ABC中.ACB=90*},AC 向运动,连接BM,DP. (1)若动点M,P都以2cm/s的速度运动 5.BC=12,D是AB的中点,E,F分别是直 则当1为何值时,△DCP和△BCM全等? 线AC.BC上的动点,若 EDF一90,则线 段EF的最小值为_. (2)若动点P的速度是3cm/s.动点M的速 度是1.5cm/s,则当7为何值时,△DCP和 △BCM全等? 第7题图 第8题图 8.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6.E 是边CD上一动点,过点E分别作EF1OC 于点F,EG 1OD于点G,连接FG,则FG的 最小值为 9.如图,在四边形ABCD中.ABC=/ADC= 6.(易错题)如图,在矩形ABCD 90{*},E是对角线AC的中点,F是对角线BD上 中,AB=6cm,BC=8cm,E F是对角线AC上的两个动点 的动点,连接EF.若AC=6.BD-4.试求EF的 最小值 且分别从A,C同时出发,相向 而行,速度均为2cm/s,运动时间为ts(0< 1<5). (1)若G,H分别是AB,DC的中点,且去 2.5.求证;以E,G,F,H为顶点的四边形始 终是平行四边形. (2)在(1)的条件下,当!为何值时,以E,G. F.H为顶点的四边形为矩形? D 科枝 r 中数数字科技 备用图 20 中数数字科支 中数数字科技