第2课时 正方形的判定-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章 特殊平行四边形 第2课时 正方形的判定 基础培优题 挖摇教材，高于教材 知识点三中点四边形 5.(教材P26T5变式)如图， 一题两用（理解知识·激活思维） AC,BD为四边形ABCD的 1.如图，在平行四边形 两条对角线，顺次连接四边 ABCD中，有下列四 形ABCD各边中点E,F,G, 个条件：①AB H得到四边形EFGH.若四 BC:②∠ABC=90°； 边形EFGH为正方形，则对 ③AC=BD:④AC⊥BD.试着选其中的 角线AC,BD应满足的条件是 两个填空 知识点三。正方形的性质与判定的综合应用 基础设问 6.(教材P25T3变式)如图， (1)由“有一个角是直角的菱形是正方形”判 点E,F,P,Q分别是正方 P 定四边形ABCD是正方形，选 (2)由“对角线相等的菱形是正方形”判定 形ABCD的四条边上的 点，并且AF=BP=CQ 四边形ABCD是正方形，选 (3)由“对角线互相垂直的矩形是正方形”判 DE,则下列结论不一定正B 定四边形ACD是正方形，选 确的是 延展设问 A.∠AFP=∠BPQ (4)由“有一组邻边相等的矩形是正方形”判 B.EF∥PQ 定四边形ABCD是正方形，选 C.四边形EFPQ是正方形 D.四边形EFPQ的面积是四边形ABCD面 知识点一正方形的判定 积的一半 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的 于点O,添加下列一个条件，能使矩形ABCD 平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC. 成为正方形的是 (1)求证：四边形AFDE为正方形： A.BD=AB B.DC=AD (2)若AD=32,求四边形AFDE的面积. C.∠AOB=60 D.OD-CD 第2题图 第3题图 3.(教材P24随堂练习(2)变式)如图，在菱形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,添 加下列一个条件，能判定菱形ABCD是正方 形的是 ( A.AB=AC B.OA=OC G忧能力提升题 综合应用，提升能力 C.BC⊥CD D.AC⊥BD 8.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 4.(开放题)已知矩形ABCD,当满足条件 点O,点E,F同时从点O出发，在线段AC上 时，它成为正方形.（填一个你认为 以0.5cm/s的速度反向运动（点E,F分别到 正确的条件即可)》 达A,C两点时停止运动)，设运动时间为ts 15 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 连接DE,DF,BE,BF,已知△ABD是边长为 片素养创新题 桃战创断，素养发展 4cm的等边三角形.当t的值为 时， 11.如图，在矩形ABCD中，AB=8. 四边形DEBF为正方形 BC=16,点P从点D出发向点 A运动，运动到点A停止，同 D 时点Q从点B出发向点C运 动，运动到点C停止，点P,Q的速度都是每 秒1个单位长度，连接PQ,AQ,CP.设点 P,Q运动的时间为ts 第8题图 第9题图 (1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ 9.如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别 (2)当1=6时，判断四边形AQCP的形状， 作等边三角形ACD,等边三角形ABE,等边 并说明理由。 三角形BCF,且点A在△BCF内部.给出以 (3)直接写出以PQ为对角线的正方形的面 下结论： 积为96时t的值 ①四边形ADFE是平行四边形： (4)求整个运动过程中线段PQ扫过的面积 ②当∠BAC=150时，四边形ADFE是矩形： ③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形： ①当AB=AC,且∠BAC=150°时，四边形 ADFE是正方形. 其中正确的是 (填上所有正确结论 的序号). 10.如图，在△ABC中，∠CAB 90°，AD是边BC上的中线， 以AD,CD为边作平行四边 形ADCF,连接BF,BF分别 与AD,AC相交于点E,G (1)当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCF为正方形？请说明理由， (2)在(1)的条件下，若AB=62,求EF 的长 中数数字科 ◆16∠AEB=∠AFD, 所以∠EDA=∠FAD, ∠ABE=∠DAF, 所以∠EDA=∠EAD. AB=AD. 所以AE=DE, 所以△ABE≌△DAF(AAS). 所以四边形AFDE是菱形. 所以AF=BE,DF=AE, 因为∠BAC=90', 所以BE=AF=AE+EF=DF+EF. 所以四边形AFDE是正方形. (3)解：如图，DF,BE,EF的数量关系是 【点找】有一个角是直角的菱形是正方形 EF=DF+BE.理由如下： (2)解：四边形AFDE的面积为512 8.4解析：因为△ABD是边长为4cm的等边 三角形， 所以BD=4cm 因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD 因为四边形ABCD是正方形， 所以OD=2cm. 所以AB=DA,AB⊥AD 图为四边形DEBF为正方形， 因为BE⊥AG,DF⊥AG 所以OD=OE, 所以∠AEB=∠AFD=90. 所以1=2÷0.5=4(s). 由题意，得∠BAE+∠DAF=90°， 即t的值为4时，四边形DEBF为正方形. ∠BAE+∠ABE=90, 9.①②③④解析：周为△ABE,△CBF是等边 所以∠ABE=∠DAF. 三角形，所以BE=AB,BF=CB,∠EBA= 在△ABE和△DAF中. ∠FBC=60°. ∠AEB=∠AFD, 所以∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF, ∠ABE=∠DAF, 所以△EFB≌△ACB(SAS), AB=AD. 所以EF=AC=AD. 所以△ABE≌△DAF(AAS), 同理可得△CDF≌△CAB, 所以BE=AF,AE=DF, 所以DF=AB=AE 所以EF=AE+AF=DF+BE. 由AE=DF,AD=EF即可得出四边形 第2课时正方形的判定 ADFE是平行四边形，故结论①正确」 1.(1)①②或②④(2)①③或③④ 当∠BAC=150时，∠EAD=360'°-∠BAE一 (3)②④或③④(4)①②或①③ ∠BMC-∠CAD=360-60-150°-60°=90. 2.B3.C 因为四边形ADFE是平行四边形， 4.AB=BC(答案不唯一) 所以□ADFE是矩形，故结论②正确」 5.AC=BD且AC⊥BD 因为AB=AE,AC=AD,四边形ADFE是 6.D 平行四边形， 7.(1)证明：因为DE∥AB,DF∥AC, 所以当AB=AC时，AE=AD, 所以四边形AFDE是平行四边形. 所以□ADFE是菱形，故结论③正确， 因为AD平分∠BAC, 综合②③的钻论知，当AB=AC,且∠BAC= 所以∠FAD=∠EAD. 150时，四边形ADFE既是菱形，又是矩形，所以 因为DE∥AB, 四边形ADFE是正方形，故结论①正确. ◆13 10.解：(1)当△ABC满足AC=AB时，四边形 所以□AQCP为菱形， ADC下为正方形.理由如下： 所以当1=6时，四边形AQCP为菱形. 因为∠CAB=90°，AC=AB,AD是边BC (3)因为正方形的面积为96， 上的中线， 所以正方形的边长为46， 所以AD=CD=BD,AD⊥BC. 所以PQ=√2×4√6=85. 因为四边形ADCF是平行四边形，且AD= 分两种情况： CD,所以□ADCF是菱形. ①如图所示（示意图），作PM⊥BC于点M, 因为AD⊥BC, PM-AB-8.DP=BQ=t,AP-BM- 所以四边形ADCF为正方形 16-t. (2)由(1)，得∠ADB=90 因为AD=BD,AB=62. 所以AD=BD=AF=6. 因为四边形ADCF为正方形， 所以∠FAD=90°，AF∥CD. 在△FAE和△BDE中， 由勾股定理，得QM=√PQ一PMF=82. I∠AEF=∠DEB. 因为BM=BQ+QM, ∠FAE=∠BDE=90°， 所以1+82=16-t, AF=BD. 解得1=8一42. 所以△FAE≌△BDE(AAS). ②如图所示（示意图），作PN⊥BC于点N, 所以AE-DE-专AD-×6-3. PN=AB-8.DP=BQ=t.AP=BN=16-t. 所以EF=√AF+AE=35 11解：(1)因为矩形ABCD中，AB=8,BC=16, 所以AD=BC=16,CD=AB=8. 由已知，得BQ=DP=t,AP=CQ=16-t. 在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, 由勾股定理，得QN=√PQ-PNT=82. 所以当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形， 因为BQ=BN+QN, 所以1=16一1，解得1=8， 所以16一1十82=t,解得1=8十4v2 所以当：的值为8时，四边形ABQP为矩形. 综上所述，以PQ为对角线的正方形的面积 (2)当1=6时，四边形AQCP为菱形.理由 为96时，t的值为8-42或8+4√2 如下： (4)如图，连接AC,BD,AC与BD相交于 因为1=6， 点E 所以BQ=DP=6, 所以AP=CQ=16-6=10. 因为AP∥CQ, 所以四边形AQCP为平行四边形. 在R△ABQ中， 则整个运动过程中，线段PQ扫过的面积 AQ=√AB+BQ=√/8+6=10， △AED的面积+△BEC的面积. 所以AQ=CQ, 因为△AED的面积十△BEC的面积=矩形 14 ABCD的面积的一半， 所以∠AEH=∠DHG 所以整个运动过程中，线段PQ扫过的面 因为∠AEH+∠AHE=90°， 积=矩形ABCD的面积的一半=号AB· 所以∠DHG+∠AHE=90°， 所以∠GHE=90°， BC=2×8X16=61. 所以菱形EFGH是正方形. (2)类比“赵爽弦图”，易知涂色部分为正方形，且 专题培优正方形中的三类模型 正方形的边长为GC一DG=(3一1)一1=1(cm), 1D解析：因为四边形ABCD为正方形， 所以涂色部分的面积为1cm. 所以BC=CD=AB=4,∠BCE=∠D 3.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 90°.Sa8.AMD=16, 所以AB=AD,∠ABC=∠ABE=∠D=90. 因为Sm制：S在*D=3:4, 在△ABE和△ADN中， 所以5-子×16=12. AB=AD. 所以S文角=16一12=4. ∠ABE=∠D. 在△BCE和△CDF中， BE-DN. BC=CD. 所以△ABE≌△ADN, ∠BCE=∠D=90°. 所以AE=AN: CE=DF. (2)解：因为四边形ABCD是正方形， 所以△BCE≌△CDF(SAS) 所以∠BAD=90. 所以S△CH=Sm连am=2, 因为∠MAN=45, ∠HBC=∠DCF 所以∠BAM+∠DAN=45. 图为∠DCF+∠HCB=90°， 由(1)，知△ABE≌△ADN, 所以∠HBC+∠HCB=90°， 所以∠BAE=∠DAVN, 所以∠BHC=90°， 所以∠BAM+∠BAE=45, 【关健】得出垂直是解决线段长度关系的关健 所以∠EAM=∠MAN=45 所以BH+CH=BC=16,BH·CH=4, 在△AME和△AMN中， 所以(BH+CH)2=BP+CHF+2BH·CH (AE=AN. 16+2×4=24. ∠EAM=∠NAM. 所以BH+CH-26, AM=AM. 中 所以△BCH的周长为BH+CH+BC=26+4 所以△AME≌△AMN, 2.解：(1)四边形EFGH是正方形.理由如下： 所以EM=MN. 因为四边形ABCD是正方形， 因为CM=3,CN=4, 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 所以MN=√CM+CNT=5, AB=BC=CD=DA. 所以EM=MN=5. 又因为HA=EB=FC=GD, 4.(1)证明：在正方形ABCD中，∠B=∠ADC= 所以AE=BF=CG=DH, ∠ADG=90°，AD=AB. 所以易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, 在△ABE和△ADG中. 所以EH=FE=GF=HG, (AB-AD. 所以四边形EFGH是菱形. ∠B=∠ADG, 因为△AEH≌△DHG, BE=DG. 中 15