第1课时 正方形的性质-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章 特殊平行四边形 正方形的性质与判定 3 第1课时 正方形的性质 优基础培优题 挖振教材，高于教材 优能力提升题 综合应用，提升能力 5.(2022·湖北黄石中考)如图，正方形OABC 一题两用（理解知识·激活思雏） 1.如图，在正方形ABCD A 的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时 中，AB=2. 针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为 基础设问 ( (1)∠BAD=∠ABC= ∠BCD=∠ADC= A.(-√2.0) B.(2,0) (2)正方形ABCD的周长为 C.(0.√2) D.(0,2) (3)图中共有 个等樱直角三角形. 延展设问 (4)若正方形ABCD的对角线AC的长 为4，则△BOC的面积是 知识点正方形的定义及性质 第5题图 第6题图 2.正方形具有而矩形不具有的性质是( 6.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一 A.两组对角相等 点，点F是正方形ABCD的边CB的延长线 B.对角线相等 上一点，且DE=FB,若四边形AECF的面 C四条边相等 D.对角线互相平分 积为20，DE=2,则AE的长为 3.如图，△ABE沿着正方形ABCD的边BC平 A.4 B.25 移得到△DCF,已知AB=7,则四边形 C.6 D.26 AEFD的面积为 A.38 B.42 7.如图，在边长为6的正方形中有两个小正方 形，若两个小正方形的面积分别记为S:,S2, C.49 则S1十S:的值为 ( D A.6 B.12 C.16 D.17 E 第3题图 第4题图 4.(教材P21T2变式)如图，在正方形ABCD 中，点F为对角线AC上一点，若∠ADF S 15°，则∠AFB的度数为 第7题图 第8题图 13 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F 12.(易错题)如图，在正方形ABCD 分别是边BC,CD上的动点，且BE=CF,连 中，E是AB上的一点，且AE 接BF,DE,则BF+DE的最小值为( 2BE=2.若点P在正方形的边 A.8 B.42 上，当△PAE为等腰三角形时，试求PE的长 D C.43 D.45 9.如图，正方形ABCD的边长为4，E为AD的 中点，连接CE,过点B作BF⊥CE于点G, 且与CD交于点F,则EG= S S 第9题图 第10题图 10.如图，在直线！上摆放着三个正方形，其中 片素养创新题 桃战创新，素养发展 正放的两个正方形的顶点M,V分别是斜 13.(探究题)四边形ABCD是正 放的正方形相邻两边的中点，三个正方形的 方形，G是直线BC上任意一 面积依次为S1,S2,Sg.若S1=1,S3=3,则 点，连接AG,作BE⊥AG于 S2= 点E,DF⊥AG于点F 11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD (1)当点G在边BC上时（如图①），求证： 相交于点O,点E,F是对角线AC上的两 DF-BE=EF. 点，且AE=CF连接DE,DF,BE,BF若 (2)当点G在边BC的延长线上时，在图② AB=2√2，AE=1,试求四边形BEDF的 中补全图形，写出DF,BE,EF的数量关 周长 系，并说明理由。 (3)当点G在边CB的延长线上时，在图③ 中补全图形，写出DF,BE,EF的数量关 系，并说明理由。 中数数字科技 图 图② 图3 14因为∠A=60°，AB=3. 因为BE平分∠ABC,CE平分∠DCB 所以AM=7AB=1.5 所以∠BBC-立∠ABC=45∠BCB= 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠BCD=∠A=60°，DC=AB=3, ∠BCD=45, 1 BC=AD=5. 所以∠EBC=∠ECB, 因为BP=3.5,所以CP=1.5=AM. 所以BE=CE. 在△MBA和△PDC中， 由(1)，得四边形BFCE是矩形， (AM=CP. 所以四边形BFCE既是菱形又是矩形， ∠A=∠DCP. 所以EF⊥BC,EF=BC AB=CD. 3正方形的性质与判定 所以△MBA2△PDC(SAS), 第1课时正方形的性质 所以∠DPC=∠BMA=90°，BM=DP. 1.(1)90°(2)8(3)8(4)2 因为四边形PCFD是平行四边形， 2.C3.C4.120°5.D 所以□PCFD是矩形 6D解析：因为四边形ABCD是正方形， 因为BM=√AB-AF=√3-1.F= 33 所以AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABF=9O 2 在△ADE与△ABF中， 所以DP=3 (AD=AB. 2 ∠D=∠ABF 所以四边形PCFD的面积为，答大1,5-3】 DE=BF. 4 所以△ADE≌△ABF(SAS) 10.(1)证明：因为BF∥CE,CF∥BE, 所以正方形ABCD的面积等于四边形AECF 所以四边形BFCE是平行四边形. 的面积 因为BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, 因为四边形AECF的面积为20， 所以∠EBC=之 ∠ABC,∠ECB 所以正方形ABCD的面积为20， 所以AD=20. 3∠BcD, 在Rt△ADE中， 因为四边形ABCD是平行四边形， AE=√AD+DE=√②0十4=26. 所以AB∥CD. 故选D. 所以∠ABC+∠BCD=180°， 7D解析：如图，设面积为S1的小正方形的边 长为x. 所以∠EBC+∠ECB=2（∠ABC+ D ∠BCD)=90°. 所以∠BEC=90°， 所以□BFCE是矩形. (2)解：EF与BC的关系为EF⊥BC,EF= BC.理由如下： 因为四边形ABCD是矩形， 因为△ABC和△CDE都为等腰直角三角形， 所以∠ABC=∠BCD=90. 所以AB=BC,DE=DC,∠ABC=∠D=90, 10 由勾股定理，得AC=√2BC 同理可得BC=CE=√2CD. 所以AC=2BC=2CD. 又因为AD=AC+CD=6, 所以CD=2. 所以EC2=2+22=8. 所以EC=2反， 所以S=EC=(22)'=8. 易知∠MAO=∠MOA=45°， 图② 所以AM=MO 在Rt△ADH中，DH=√A+AD= 图为MO=MN, √8+4=45， 所以AM=MN, 所以BF+DE的最小值为45. 所以M为AN的中点， 故选D. 所以面积为S:的小正方形的边长为3， 所以S2=3×3=9, 解析：因为四边形ABCD是正方形， 所以S1+S:=8+9=17. 所以AD=CD=BC,∠BCD=∠AC=90, 故选D. 所以∠DCE+∠DEC=90. 8D解析：连接AE,如图①. 因为BF⊥CE, 因为四边彩ABCD是正方形， 所以∠DCE+∠CFB=90° 所以AB=BC,∠ABE=∠BCF=9O. 所以∠BFC=∠DEC. 又因为BE=CF, 所以△BFC≌△CED(AAS) 所以△ABE≌△BCF(SAS). 所以CF=DE=2,BF=CE 所以AE=BF. 所以BF=√/BC+CF=√+2=2√5， 所以CE=25. 因为Sar=专BCCF=BF·CG 所以4×2=25CG 图① 所以CG= 4 5 ,所以G= 5 所以BF十DE的最小值即AE十DE的最 小值 10.16解析：如图. 作点A关于BC的对称点H,如图②， 【关键】作点关于直线的对称点是转化长度， 求线段长度和的最小位的关健 连接BH,则A,B,H三，点共线 S 连接DH,DH与BC的交点即为所求的点E. A B C 根据对称性，知AE=HE, 因为正放的两个正方形的顶点M,N分别 所以AE+DE=DH. 是针放的正方形相邻两边的中点， 11 所以BM=BN,∠MBN=90. ②当点P在边CD上时， 所以∠MBA+∠CBN=90. 过点P'作PF⊥AB于点F, 因为∠MBA+∠AMB=90°， 则四边形AFP'D是矩形， 所以∠AMB=∠CBN. 所以P'F=AD=AB=3. 国为∠MAB=∠NCB. 因为PA=PE, 所以△AMB≌△CBN(AAS), 所以AF-EF-号AE-1. 所以BC=AM. 因为S1=1,S:=3, 所以P'E=√PF+FE=√3+下=√而. 所以AM=1,CN=3, ③当点P”在边BC上时， 所以BC=L. P"E=AE=2. 由勾股定理，得BN=2, 综上所述，PE的长为2②或ō或2. 所以S2=(2BN)=16. 13.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 11解：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=DA,AB⊥AD. 所以AC⊥BD.OA=OC,OB=OD. 因为BE⊥AG,DF⊥AG, 又因为AE=CF,所以OE=OF, 所以∠AEB=∠AFD=9O 所以四边形BEDF为平行四边形. 因为∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+ 因为AC⊥BD, ∠ABE=90°， 所以□BEDF为菱形 所以∠ABE=∠DAF. 因为AB=2Z,所以OA=(OB=2. 在△ABE和△DAF中， 又因为AE=1.所以OE=1. I∠AEB=∠AFD, ∠ABE=∠DAF. 所以BE=√OE+O0B=√/P+2=√5， AB=AD. 所以四边形BEDF的周长为4BE=4√5. 所以△ABE≌△DAF(AAS). 12解：分三种情况画图，如图所示. 所以AF=BE,DF=AE, 【易错】.点P的位置可分在边AD.CD,BC 所以DF一BE=AE一AF=EF. 上三种情况，画图时不要遗福： (2)解：如图，DF,BE,EF的数量关系是BE= DF+EF,理由如下： 因为四边形ABCD是正方形， 在正方形ABCD中， 所以AB=AD,AB⊥AD. 因为AE=2BE=2, 因为BE⊥AG,DF⊥AG, 所以BE=1. 所以∠AEB=∠AFD=90 所以AB=AE+BE=3. 因为∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+ ①当点P在边AD上时， ∠ABE=90°， 因为PA=AE=2.∠PAE=90, 所以∠ABE=∠DAF 所以PE=√PA+AE=2√2. 在△ABE和△DAF中， 12 ∠AEB=∠AFD. 所以∠EDA=∠FAD, ∠ABE=∠DAF, 所以∠EDA=∠EAD, AB=AD. 所以AE=DE. 所以△ABE≌△DAF(AAS). 所以四边形AFDE是菱形. 所以AF=BE,DF=AE, 因为∠BAC=90°. 所以BE=AF=AE+EF=DF+EF. 所以四边形AFDE是正方形. (3)解：如图.DF,BE,EF的数量关系是 【点拨】有一个角是直角的菱形是正方形。 EF=DF+BE.理由如下： (2)解：四边形AFDE的面积为512 8.4解析：因为△ABD是边长为4cm的等边 三角形， 所以BD=4cm. 因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 因为四边形ABCD是正方形， 所以OD=2cm 所以AB=DA,AB⊥AD. 因为四边形DEBF为正方形， 因为BE⊥AG,DF⊥AG, 所以OD=OE, 所以∠AEB=∠AFD=90. 所以t=2÷0.5=4(s), 由题意，得∠BAE+∠DAF=90°， 即t的位为4时，四边形DEBF为正方形. ∠BAE+∠ABE=90°， 9.①②③①解析：因为△ABE,△CBF是等边 所以∠ABE=∠DAF. 三角形，所以BE=AB,BF=CB,∠EBA= 在△ABE和△DAF中， ∠FBC=60°， |∠AEB=∠AFD, 所以∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF, ∠ABE=∠DAF, 所以△EFB≌△ACB(SAS), AB=AD. 所以EF=AC=AD, 所以△ABE≌△DAF(AAS), 同理可得△CDF≌△CAB, 所以BE=AF,AE=DF, 所以DF=AB=AE 所以EF=AE+AF=DF+BE. 由AE=DF,AD=EF即可得出四边形 第2课时正方形的判定 ADFE是平行四边形，故结论①正确， 1.(1)①②或②④(2)①③或③④ 当∠BAC=150时，∠EAD=360°-∠BAE- (3)②④或③④(4)①②或①③ ∠BAC-∠CAD=360-60°-150°-60°=90. 2.B3.C 因为四边形ADFE是平行四边形， 4.AB=BC(答案不唯一) 所以□ADFE是矩形，故结论②正确。 5.AC=BD且AC LBD 图为AB=AE,AC=AD,四边形ADFE是 6.D 平行四边形， 7.(1)证明：因为DE∥AB,DF∥AC, 所以当AB=AC时，AE=AD, 所以四边形AFDE是平行四边形. 所以□ADFE是菱形，故结论③正确. 因为AD平分∠BAC, 综合②③③的结论知，当AB=AC,且∠BAC= 所以∠FAD=∠EAD. 150时，四边形ADFE既是菱形，又是矩形，所以 因为DE∥AB. 四边形ADFE是正方形，故站论④正确。 13