第3课时 矩形的性质与判定的综合应用-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章特殊平行四边形 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 基础培优题 挖槛教材，高于教材 (2)若∠BFE=90°，BE=2,求矩形BECD 对角线的长 一题两用（理解知识·激活思雏） 1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3, AC=4,P为边BC上一动点，过点P作 PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连 接AP. 优能力提升题 综合应用，提升能力 4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别 基础设问 交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延 (1)四边形AEPF (填“是”或“不 长线于点E,已知DF=2,AF=BF,AD= 是”)矩形，依据是 23,则四边形BCDE的面积为 (2)要使得线段AP的长最短，则AP与 A.25 B.43 BC的位置关系是 C.45 D.83 延展设问 (3)如图，原题干条件不变，连接EF,若EF 取得最小值，则EF的最小值是 第4题图 第5题图 5.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点， DE∥AC,CE∥BD,连接OE,若AC=12, BD=16,则OE的长为 知识点矩形的性质与判定的综合应用 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD= 2.下列说法中，错误的是 90°，BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证： AE=CE. A.菱形的对角线互相垂直 B矩形的四个内角都相等 C.对角线相等的四边形是菱形 D,四个内角都相等的四边形是矩形 3.(教材PI7例4变式)如图，在△ABC中，AB BC,BD平分∠ABC,四边形ABED是平行四 边形，DE交BC于点F,连接CE (1)求证：四边形BECD是矩形. 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 7.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD 9.如图，在□ABCD中，AB=3, 相交于点O,△BOC2△CEB. AD=5,∠A=60°，点E是DC (1)求证：四边形OBEC是矩形： 边的中点，P是边BC上的动 (2)若∠ABC=120°，AB=6,求矩形OBEC的 点，PE的延长线与AD的延长 周长 线交于点F,连接PD,CF. (1)求证：四边形PCFD是平行四边形 (2)当BP等于何值时，四边形PCFD是矩 中数数字 形？请说明理由，并求出此时四边形PCFD 的面积 8.(易错题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 片素养创新题 挑战创新，常养发展 90°，∠B=60°，BC=4,点P为斜边AB上的 10.如图①，在□ABCD中，BE平分 一个动点（点P不与点A,B重合），过点P ∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥ 作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为点D和 CE,CF∥BE. 点E,连接CP,DE,DE与PC交于点Q,连 (1)求证：四边形BFCE是矩形： 接AQ,当△APQ为直角三角形时，试求AP (2)如图②，当四边形ABCD是矩形时，连 的长 接EF,与BC交于点O,试判断EF与BC 的关系，并说明理由。 中数数字科技 图① 图2 12所以□AECF是矩形 所以四边形DEBF是平行四边形, 10.(1)证明:因为AB//DE,所以 B=E (2)解:当(=1或(=7时,以D,F,B,F为 因为BF-CE,所以 BC-EF. 顶点的四边形是矩形,理由如下 在△ABC与△DEF中. 分为两种情况; [A-乙D. ①点E在线段AO上:点F在线段OC B-/E. 上时, BC-EF. 因为四边形DEBF是矩形. 所以△ABC△DEF(AAS). 所以EF=BD=12 cm,且. AE=CF=2 cm 所以 ACB- DFE. 所以16-2-2-12. 所以AC/DF. 解得/-1. (2)解:补全图形如图所示 ②点E在线段OC上,点F在线段OA 上时, 因为四边形DEBF是矩形. 所以 EF=BD=12 cm,且 AE=CF= 数数字科技 2t em. 所以2-12+2/-16. D 解得/-7. 由(1)知.△ABC △DEF,BC=EF AC/DF, 综上所述,当1=1或/-7时,以D,E,B,F 所以AC-DF,CAO= FDO 为顶点的四边形是矩形 因为AO=BO,所以 OAB=OBA$ 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 因为AB/DE, 1.(1)是 有三个角是直角的四边形是矩形 (2)AP1BC (3)2.4 所以ODE=OAB.OED=OBA 2.C 所以/ODE=OED. 所以OD-OE. 3.(1)证明:因为AB=BC,BD平分/ABC. 所以BD [AC,AD-CD. 所以AD-BE 在△ACO和△DFO中. 因为四边形ABED是平行四边形, 所以BE//CD.BE-AD,所以BE-CD {乙AOC= DOF, CAO=/FDO. 所以四边形BECD是平行四边形. AC-DF, 因为BD1AC,所以 BDC-90”. 所以ACO2△DFO(AAS) 所以□BECD是矩形 所以AO=DO.CO=FO (2)解:矩形BECD对角线的长为2/2. 所以BO-EO. 4.D 解析:连接CF(图略).因为DE垂直平分 AC.BEI DE,所以 ADF=CDE= 所以四边形ABDE是平行四边形 因为AD-BE. DEB-90$,AF-FC,AD-DC-23.所$$ 所以四边形ABDE是矩形 以AC//BE.因为AF=BF,所以 FC=$FB$ 11.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边 因为 AFD=BFE,所以△AFD 形,所以OA-OC,OB-OD. $BFE,所以EF=DF=2.BE=AD.所以$ 因为AE=CF,所以OE=OF. ED=4,CD=BE-23,所以四边形 BCDE 所以BD,EF互相平分. 是矩形,所以四边形BCDE的面积为4× 8 2/3-8V3.故选D. 所以 BOC-90$.OCB-30$ 5.10 解析:因为DE//AC,CE//BD 所以四边形OCED为平行四边形 因为四边形ABCD是菱形, 所以OC=BC-OB-6*-3-3$ 所以矩形OBEC的周长为2×(33+3) 6v3十6. 8.解:因为 ACB=90{$$B=60{*$BC-4.$ 所以 BAC=30*},AB=$.所以AC-4 所以 DOC-90*, 因为PD1 AC,PE1 BC. ACB=90{.$ 所以□OCED为矩形,所以OE=CD 所以四边形PECD是矩形. 在Rt△COD中,由勾股定理,得 所以CQ-PQ CD=OC+OD=6+8=10. 当 APQ-90*时,AB1CP 所以OE-CD-10. 因为$xAC·BC=AB·CP, 6.证明:如图,过点B作 BF 1CE于点F. 所以4v3X4-8CP,所以CP-2v3. 所以AP-VAC-CP-48-12-6. 因为CE]AD. 所以 D+DCE=90 当AQP-90时,AQ1CP 因为/BCD-90”, 【易错】注意对直角三角形APQ中90角的分 所以 BCF+DCE=90{, 类计论. 所以BCF-D. 因为CQ=QP,所以AP=AC=4/3 在△BCF和△CDE中. 综上所述,AP的长为6或4v3. BCF= D. 9.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形 BFC-CED=90. 所以AD/BC. BC-CD. 所以 DFE= CPE. 所以△BCF。△CDE(AAS). 因为E是CD的中点, 所以BF-CE. 所以CE-DE. 因为 A-90.CE1AD,BF1CE 在△DFE和△CPE中 所以四边形AEFB是矩形, DFE-/CPE. 中数数字科 所以AE-BF,所以AE-CE. DEF=CEP. 7.(1)证明:因为ABOC△CEB. IDE-CE. 所以OB=EC,OC=EB 所以△DFE△CPE(AAS). 所以四边形OBEC是平行四边形 所以FE一PE. 因为四边形ABCD是萎形, 所以四边形PCFD是平行四边形. 所以AC 1BD.即 BOC=90*. (2)解:当BP=3.5时,四边形PCFD是矩 所以□OBEC是矩形 形,理由如下: (2)解:因为四边形ABCD是菱形,AB-6. 如图,过点B作BM AD于点M. M /ABC=120{. D 所以AC 1BD.BC-AB-6. 士/ 数数字科 因为 A-60{},AB-3. 因为BE平分/ABC,CE平分 /DCB. 所以之EBC-- ABC=45*,ECB- 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以 B[CD= $A=60$$DC=AB-3$ BC-AD-5. 所以EBC= ECB. 因为BP-3.5,所以CP-1.5-AM 所以BE-CE 在△MBA和△PDC中. 由(1),得四边形BFCE是矩形, AM-CP, 所以四边形BFCE既是菱形又是矩形 A-DCP. 所以EF BC.EF=BC. AB-CD. 3 正方形的性质与判定 所以△MBA△PDC(SAS) 第1课时 正方形的性质 所以 DPC= $BMA=90{$,BM-DP$$$$ 1.(1)90”(2)8 (3)8 (4)2 因为四边形PCFD是平行四边形, 2.C 3.C 4.120* 5.D 所以□PCFD是矩形 6.D 解析:因为四边形ABCD是正方形, 因为BM-VAB-AMF-3-1.5-33. 所以AB=AD,D= ABC- ABF=90{$$$$ 在△ADE与△ABF中, 所以Dp-33. (AD-AB. D-ABF. 3/3 IDE-BF. 4 所以△ADEC△ABF(SAS). 10.(D)证明:因为BF//CE,CF//BE 所以正方形ABCD的面积等于四边形AECF 所以四边形BFCE是平行四边形. 的面积. 因为BE平分/ABC,CE平分/DCB. 因为四边形AECF的面积为20. ~l 所以EBC= 乙ABC,_ECB 所以正方形ABCD的面积为20. 所以AD-20. 。 在Rt△ADE中. AE-VAD+DE-20+4-26 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB/CD. 故选D. 所以 ABC+BCD=180{. 7.D 解析:如图,设面积为S,的小正方形的边 长为r. 所以EBC+ECB= D BCD)-90*. 所以 BEC-90*, 。 M 所以□BFCE是矩形 (2)解:EF与BC的关系为EFIBC,EF ① BC.理由如下: 2 因为四边形ABCD是矩形, 因为△ABC和△CDE都为等腰直角三角形, 所以 ABC- BCD-90”。 所以AB=BC,DE-DC.ABC=D=90$.$ *10。