第2课时 矩形的判定-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章 特殊平行四边形 第2课时 矩形的判定 基础培优题 挖摇教材，高于教材 知识点三根据对角线判定矩形 4.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点 一题两用（理解知识·激活思雏） O,要使它成为矩形，需再添加的条件是() 1.如图，在四边形ABCD D A.BO=OD B.AC=BD 中，AB=DC,AD=BC. C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC 基础设问 (1)根据“定义”说明四边形ABCD是矩形， 则需添加的一个条件是 (2)由对角线说明四边形ABCD是矩形， 第4题图 第5题图 则需添加的一个条件是 5.(开放题)如图，在四边形ABCD中，对角线AC, (3)若四边形ABCD是一般的四边形，且有 BD交于点O,QA=OC,OB=OD,试添加一个 三个角是直角，则四边形ABCD (填 条件： ,使四边形ABCD为矩形 “是”或“不是”)矩形. 知识点三根据四边形绅直角的个数判定矩形 延展设问 6.(教材P15议一议变式)在数学活动课上，老 (4)若四边形ABCD是一般的四边形，则能 师让同学们判断一个四边形门框是否为矩 判断四边形ABCD为矩形的是 形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正 (填序号). 确的方案是 ①OA=OB=OC=OD: A.测量其中三个角是否为直角 ②AB LCD,AC=BD: B测量两组对边是否分别相等 ③AB∥CD,∠ABC=∠DCB=90°. C.测量对角线是否相互平分 知识点三根据定义判定矩形 D.测量对角线是否相等 2.要使□ABCD成为矩形，需要添加的条件是 忧能力提升题 综合应用，提升能力 ( 7.如图，在□ABCD中，AE平分∠DAB,DF A.∠A+∠B=180°B.∠B+∠C=180 平分∠ADC,则 C.∠A=∠B D.∠B=∠D A.AE=DF 3.(教材P16随堂练习变式)如图，在□ABCD B.四边形AFED是菱形 中，M是BC边的中点，连接MA,MD,且 C.四边形FBCE是菱形 ∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是 D.四边形AFED是矩形 矩形. 5 第7题图 第8题图 8.如图，点M是矩形ABCD的边 AD的中点，点P为BC上 点，PE⊥MC于点E,PF⊥ MB于点F,当AB,BC满足数 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 量关系： 时，四边形PEMF为矩形. 片素养创新题 桃战创折，素养发展 9.(开放题)如图，在△ABC中，O是边AC上 11.如图，在□ABCD中，对角线 的一个动点，过点O作直线MN,交∠ACB AC,BD交于点O,点E,F是 的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD AC上的动点，且不与点O 的平分线于点F给出下列信息： 重合. ①MN∥BC:②OE=OC:③OF=OC (1)若AE=CF,求证：四边形DEBF是平 (1)请在上述三条信息中选择其中一条作为 行四边形 条件，证明：OE=OF (2)已知BD=12cm,AC=16cm,点E,F (2)在(1)的条件下，连接AE,AF,当点O在 均以2cm/s的速度分别从点A,C出发，向 边AC上运动到什么位置时，四边形AECF 点C,A方向运动，设运动时间为ts,若以 是矩形？请说明理由。 D,E,B,F为顶点的四边形是矩形，求t 的值. 中数数字科技 中数 中数字 1O.如图，点B,F,C,E在同一直线上，且BF= CE,点A,D分别在直线BE的两侧，AB八 DE,∠A=∠D (1)求证：AC∥DF: (2)连接AD,交BE于点O,若AO=BO,请 补全图形，并证明：四边形ABDE是矩形. 中数数字科 10因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=90 【关键】利用矩彩的性质找到直角三角形解 8.AB-7BC 随是求？的值的吴健 解析：因为PE⊥MC,PF⊥MB, 在R1△ABP中，AP+AB=BP, 所以∠PFM=∠PEM=90. 即产+=(6一)产，解得1=3 5 当∠BMC=90时，四边形PEMF为矩形， 所以∠AMB+∠DMC=90. 所以运动时同为了时，四边形PBQD是 因为四边形ABCD为矩形， 所以∠A=∠D=90°，AB=DC,AD=BC 菱形. 因为M是AD的中点， 第2课时矩形的判定 所以AM=DM,所以△AMB≌△DMC(SAS). 1.(1)∠A=90°（答案不唯一）(2)AC=BD 所以∠AMB=∠DMC,所以∠AMB=45, (3)是(4)①② 所以∠ABM=180°-90°-45=45°， 2.C 所以∠AMB=∠ABM, 3.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=AM. 所以AB=CD,AB∥CD,∠B+∠C=180. 因为点M是BC边的中点，所以BM=CM 因为AM号AD.所以AB AD. 因为∠MAD=∠MDA,所以AM=DM, 所以△ABM2△DCM(SSS),. 所以AB=专BC, 所以∠B=∠C, 【技巧】等量代换，找到AB与BC之间的数童 所以∠B=∠C=90°，所以口ABCD是矩形 关系 4.B5.OC=OB(答案不唯一) 6.A 故当AB= C时，回边形PEF为矩彩. 7B解析：因为四边形ABCD是平行四边形， 9.(1)证明：答案不唯一，例如： 所以DC∥AB, 选择①MN∥BC证明. 所以∠DEA=∠BAE,∠EDF=∠AFD. 因为MN∥BC, 因为AE平分∠DAB,DF平分∠ADC. 所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF 所以∠BAE=∠DAE,∠EDF=∠ADF, 因为CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, 所以∠DAE=∠DEA,∠ADF=∠AFD, 所以∠BCE=∠ACE,∠DCF=∠ACF, 所以AD=DE,AF=AD, 所以∠OEC=∠ACE,∠OFC=∠ACF, 所以DE=AF.因为DE∥AF 所以OE=C,OF=OC, 所以四边形AFED是平行四边形. 所以OE=OF. 因为AD=DE,所以四边形AFED是菱形， (2)解：当点O在边AC上运动到AC中点 所以AD∥EF,AD=EF,AE⊥DF(AE不 时，四边形AECF是矩形.理由如下： 一定等于DF). 当O为AC的中点时，AO=CO. 因为四边彩ABCD是平行四边形， 由(1)可知，OE=OF, 所以AD∥BC.AD=BC, 所以四边形AECF是平行四边形. 所以EF∥BC,EF=BC, 由(I)可知，∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠IDCF, 所以四边形FBCE是平行四边形，不能推出 四边形FBCE是菱形， 所以∠ACE+∠ACF-×180'-90 所以只有选项B符合题意，故选B. 即∠ECF=90°， 所以□AECF是矩形， 所以四边形DEBF是平行四边形. 10.(1)证明：因为AB∥DE,所以∠B=∠E. (2)解：当1=1或1=7时，以D,E,B,F为 因为BF=CE,所以BC=EF 顶点的四边形是矩形理由如下： 在△ABC与△DEF中， 分为两种情况： ∠A=∠D. ①点E在线段AO上，点F在线段OC ∠B=∠E, 上时， BC=EF. 因为四边形DEBF是矩形， 所以△ABC≌△DEF(AAS), 所以EF=BD=12cm,且AE=CF=2:m: 所以∠ACB=∠DFE 所以16-21-21=12， 所以AC∥DF. 解得t=1, (2)解：补全图形如图所示. ②点E在线段OC上，点F在线段OA 上时， 因为四边形DEBF是矩形， 所以EF=BD=12cm,且AE=CF= 24cm, 所以21-12+21=16， 由(I)知，△ABC≌△DEF,BC=EF, 解得1=7. AC∥DF, 综上所述，当=1或1=7时，以D,E,B,F 所以AC=DF,∠CAO=∠FDO. 为顶点的四边形是矩形. 因为AO=BO,所以∠OAB=∠OBA. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 因为AB∥DE. 1.(1)是有三个角是直角的四边形是矩形 所以∠ODE=∠OAB,∠OED=∠OBA. (2)AP⊥BC(3)2.4 所以∠ODE=∠OED. 2.C 所以OD=OE. 3.(1)证明：因为AB=BC,BD平分∠ABC, 所以AD=BE. 所以BD⊥AC,AD=CD. 在△ACO和△DFO中， 因为四边形ABED是平行四边形， |∠AOC=∠DOF, 所以BE∥CD,BE=AD,所以BE=CD, ∠CAO=∠FDO. 所以四边形BECD是平行四边形。 AC=DF. 因为BD⊥AC,所以∠BDC=90, 所以口BECD是矩形. 所以△ACO≌△DFO(AAS). 所以AO=DO.CO=FO. (2)解：矩形BECD对角线的长为22 所以BO=EO, 4D解析：连提CF(图略).因为DE垂直平分 所以四边形ABDE是平行四边形. AC,BE⊥DE,所以∠ADF=∠CDE 因为AD=BE, ∠DEB=90°，AF=FC,AD=DC=23,所 所以四边形ABDE是矩形 以AC∥BE.图为AF=BF,所以FC=FB. 11.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边 因为∠AFD=∠BFE,所以△AFD≌ 形，所以OA=OC,OB=OD. △BFE,所以EF=DF=2,BE=AD,所以 因为AE=CF,所以OE=OF, ED=4,CD=BE=2√3，所以四边形BCDE 所以BD,EF互相平分， 是矩形，所以四边形BCDE的面积为4X