第1课时 矩形的性质-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

对称， 所以CD=AD.OA=OC,所以OA=OH. 所以AB=AD,BC=DC. 所以∠OAH=∠OHA. 因为BC=BA, 因为OH∥CG,所以∠OHA=∠ADC. 所以AB=BC=DC=AD. 因为CD=AD,所以∠CAD=∠DCA, 所以四边形ABCD是菱形 所以∠CAD=∠ADC=∠DCA, (2)解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形， 所以△ACD是等边三角形， 所以OC=OA=6,OB=(OD,AC⊥BD, 所以∠ADC=60°， 所以AC=20A=12.∠BOC=90 即要使四边形QCGH是菱形，□ABCD的边和 因为S8m=号AC·BD=48. 角需要满足的条件是(CD=AD,∠ADC=O 2矩形的性质与判定 即吃×12×BD=48. 第1课时矩形的性质 1.(1)①②④⑤⑥(2)2全等 所以BD=8, (3)51=S2=S,=S 所以OB=BD=4 2.D3.A4.C5.C6.C 在R1△AOB中，由勾股定理，得 7A解析：连接CE,如图所示， E/D AB=√OA+OB=√6+4平=2√13. 又因为M为BC的中点， 所以OM是△ABC的中位线， 所以OM-AB-E B F 因为四边形ABCD是矩形， 11,(1)证明：连接OG,如图所示 所以∠ADC=90°，CD=AB=3,AD=BC= H D 4.0A=OC. 因为EF⊥AC,所以AE=CE. 设DE=x,则CE=AE=4一x. 在Rt△CDE中，由勾股定理， 因为四边形ABCD是平行四边形. 得x2+32=(4一x)2, 所以AB∥CD 因为AC⊥AB,所以AC⊥CD, 解件x日，即DE-子故选入 所以∠OCG=90 8.(4,8)或(16,8)解析：如图，作DH⊥BC于 因为EF⊥BD,所以∠OFG=90 点H,则DH=OC=8. 在R△OFG和Rt△OCG中. H C OG=OG. OF=C. 所以Rt△OFG≌Rt△OCG(HL). 个 D A 所以FG=CG, 因为D为OA的中点，A(20,0),所以OD=10. (2)解：若四边形OCGH是菱形， 因为DP=DO,所以DP=10. 则OH=OC,OH∥CG,OC∥GH. 当点P在点H的左边时， 因为EF⊥BD,所以AC⊥BD, 在Rt△DHP中，由勾股定理，得PH= 所以□ABCD是菱形， √DP:-DHT=10-8=6. 5 当点P在点H的右边时，HP'=PH=6. 所以DE=2,CD=BC=4, 【易错】易栈不全，点P的位置而福解 所以C=√-2=23. 所以CP=4,CP'=16. 11.(1)证明：因为将△ABE沿BE折叠后得 所以点P的坐标为(4,8)或(16,8). 到△GBE, 9.17解析：设CP=AQ=x. 所以∠BGE=∠A,AE=GE, 因为四边形ABCD是矩形， 因为四边形ABCD是矩形， 所以AD=BC=7,∠D=∠BAQ=90°， 所以∠A=∠D=90°， 所以AP+BQ=√7+(8-x)下十√x+8, 所以∠EGF=∠D=90. 欲求AP十BQ的最小值，相当于在x轴上寻 因为点E是AD的中点， 找一点M(x,0),使得点M到J(0,8), 所以EA=ED,所以EG=ED. K(8,7)的距离和最小，如图，作点J关于x 在Rt△EGF与R△EDF中， 轴的对称点J',连接KJ' EF=EF. EG-ED. 所以Rt△EGF≌Rt△EDF(HL). (2)解：由(1)知R1△EGF≌Rt△EDF, 所以GF=DF 因为点F是CD的中点， 所以GF=DF-CF-CD. 在矩形ABCD中，∠C=90°，AB=CD, 又由折叠可知AB=GB, 因为J'(0,-8),K(8,7). 所以KJ'=√8+(7+8)下=17 所以GB=CD,所以BF=GB+GF=2CD, 因为M0+MK=M'+MK≥KJ'=17. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 所以M)+MK的最小值为17， 即AP十BQ的最小值为17 (cD)'=8+(cD), 10.解：(1)因为∠ACB=90°，D是AB边的 所以根据平方根的定义，得CD=42 中点， 12.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,即 所以AD=CD=BD, PD∥BQ. 所以∠DCA=∠A=36, 所以∠PDO=∠QBO. 所以∠BCD=90°-36°=54° 因为O为BD的中点，所以DO=BO (2)易得∠DCA=∠A=30. 因为∠POD=∠Q)B(对顶角相等)， 因为DE⊥AC,所以∠DEC=90, 所以△POD≌△QOB(ASA). 所以DE=CD, 所以PD=BQ. 又因为PD∥BQ, 因为∠A=30°，∠ACB=90°， 所以四边形PBQD是平行四边形. 所以∠B=60°， (2)解：由题意，得AP=tcm, 所以易得△DCB是等边三角形， 则PD=(6一1)cm. 所以BC=CD=2DE. 当四边形PBQD是菱形时， 又因为DE+BC=6. 有PB=PD=(6-1)cm. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=90 【关键】利用矩彩的性质找到直角三角形解 8.AB-7BC 随是求？的值的吴健 解析：因为PE⊥MC,PF⊥MB, 在R1△ABP中，AP+AB=BP, 所以∠PFM=∠PEM=90. 即产+=(6一)产，解得1=3 5 当∠BMC=90时，四边形PEMF为矩形， 所以∠AMB+∠DMC=90. 所以运动时同为了时，四边形PBQD是 因为四边形ABCD为矩形， 所以∠A=∠D=90°，AB=DC,AD=BC 菱形. 因为M是AD的中点， 第2课时矩形的判定 所以AM=DM,所以△AMB≌△DMC(SAS). 1.(1)∠A=90°（答案不唯一）(2)AC=BD 所以∠AMB=∠DMC,所以∠AMB=45, (3)是(4)①② 所以∠ABM=180°-90°-45=45°， 2.C 所以∠AMB=∠ABM, 3.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=AM. 所以AB=CD,AB∥CD,∠B+∠C=180. 因为点M是BC边的中点，所以BM=CM 因为AM号AD.所以AB AD. 因为∠MAD=∠MDA,所以AM=DM, 所以△ABM2△DCM(SSS),. 所以AB=专BC, 所以∠B=∠C, 【技巧】等量代换，找到AB与BC之间的数童 所以∠B=∠C=90°，所以口ABCD是矩形 关系 4.B5.OC=OB(答案不唯一) 6.A 故当AB= C时，回边形PEF为矩彩. 7B解析：因为四边形ABCD是平行四边形， 9.(1)证明：答案不唯一，例如： 所以DC∥AB, 选择①MN∥BC证明. 所以∠DEA=∠BAE,∠EDF=∠AFD. 因为MN∥BC, 因为AE平分∠DAB,DF平分∠ADC. 所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF 所以∠BAE=∠DAE,∠EDF=∠ADF, 因为CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, 所以∠DAE=∠DEA,∠ADF=∠AFD, 所以∠BCE=∠ACE,∠DCF=∠ACF, 所以AD=DE,AF=AD, 所以∠OEC=∠ACE,∠OFC=∠ACF, 所以DE=AF.因为DE∥AF 所以OE=C,OF=OC, 所以四边形AFED是平行四边形. 所以OE=OF. 因为AD=DE,所以四边形AFED是菱形， (2)解：当点O在边AC上运动到AC中点 所以AD∥EF,AD=EF,AE⊥DF(AE不 时，四边形AECF是矩形.理由如下： 一定等于DF). 当O为AC的中点时，AO=CO. 因为四边彩ABCD是平行四边形， 由(1)可知，OE=OF, 所以AD∥BC.AD=BC, 所以四边形AECF是平行四边形. 所以EF∥BC,EF=BC, 由(I)可知，∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠IDCF, 所以四边形FBCE是平行四边形，不能推出 四边形FBCE是菱形， 所以∠ACE+∠ACF-×180'-90 所以只有选项B符合题意，故选B. 即∠ECF=90°，特殊平行四边形 C 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 挖据教材,高于教材 基础培优题 4.(教材P19T2变式)如 D 图,在矩形ABCD中, 一题两用(理解知识·激活思维) 对角线AC与BD交于 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相 点O,AE BD于点E,若AE=5,且 EO= 交于点O. 2BE,则OA的长为 ) A.v5 B.2/5 C.3/5 D.4V5 知识点二-直角三角形斜边上中线的性质 基础设问 (填 (1)下列结论一定正确的是 5.在Rt△ABC中,ACB=90*},CD是斜边 序号). AB上的中线,且BC=CD,则 B的度数 等于 ( ①AO-$CO.BO=DO:②AC=BD; ) A.308 ③ BAO=60*};④AB/CD.AD/BC B.45* C.60* D.90" 6.(教材P13例1变式)如4 D (2)矩形ABCD的对角线AC.BD把矩形 图,在矩形ABCD中,对 分成了 组等腰三角形,根据对称 角线AC,BD相交于点B 性,知每组的两个三角形的关系是_. O.若AB=6. AOD=120{*},则BD的长为$$$ 延展设问 ( ) (3)若对角线AC.BD将矩形分成四部 A.6 B.9 分,四部分的面积如图所示,则S.,S。. C.12 D.63 S..S.的大小关系是 能力提升题 综合应用,提开能力一 7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,过 对角线交点O作EF )AC,交AD于点E. 7 交BC于点F,则DE的长是 ~ 知识点一 矩形的定义及性质 2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( _ A.对边分别相等 B.对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 0)-#)} C 7# 3.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,若 BD-6,则AO的值为 ( ) C.5 A.3 B.4 D.6 C.1 中数数字科技 智学酷 提优精练 数学 九年级 上册(BS 8.(易错题)如图,O为坐标原点,四边形OABC (1)求证:△EGF2△EDF 为矩形,A(20.0).C(0,8).D为OA的中点. (2)若点F是CD的中点,BC=8,求CD 点P在边BC上运动,当PD=OD时,点P 的长. 的坐标为 ### , A 9.如图,在矩形ABCD中,AB 科枝 8.BC-7,点P,Q分别从点C. A同时出发,以相同的速度向 中数数字科技 点D运动,则AP十BQ的最小 值为 D. 素养创新题 抚战创新,素养发展 12.(探究题)如图,在矩形ABCD 中,P是AD上一个动点,0 1p 为BD的中点,连接PO并延 10.如图,在Rt△ABC中,ACB=90{*},D是 长,交BC于点Q AB边的中点,DE1AC,垂足为点E,连 (1)求证:四边形PBOD是平行四边形; 接DC. (2)若AD-6cm,AB-4cm,点P从点/A (1)若 A=36{*},求 BCD的度数; 出发,以1cm/s的速度向点D运动(不与 (2)若/A=30*,DE+BC=6,求DE和 点D重合),设点P的运动时间为/s.求当 EC的长. 1为何值时,四边形PBQD是菱形 中数数字科技 中数数科技 中数数字科技 11.如图,在矩形ABCD中,AD<2AB:点E 是AD的中点,连接BE,将△ABE沿BE 折叠后得到△GBE,延长BG交DC于点 F,连接EF. 数数字科技