第3课时 菱形的性质与判定的综合应用-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

特殊平行四边形 第3课时 萎形的性质与判定的综合应用 基础培优题 挖掘教材,高于教材 BC.AB,OC.若AB=2cm:四边形OACB ( 的面积为4cm},则OC的长为 ) M 一题两用(理解知识·激活思维) 1.已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD C 的长分别是16cm和12cm 基础设问 (1)菱形ABCD的边长是。 A.2 cm (2)菱形ABCD的面积是 B.3cm C.4cm 延展设问 D.5cm (3)如图,若四边形ABCD是一般四边 5.(教材P8做一做变式)如图,两张等宽的纸条 形,则当AB/CD,OB-OD,AC平分 交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形 之DAB时,能否判定四边形ABCD是 ABCD中,AB=13,AC-10,则四边形 菱形? ABCD的面积为 #科 中数数字科技 能力提升题 综合应用,提升能力 6.如图①,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,要在对角线BD上找两点M. N.使得四边形AMCN是菱形,现有图②中 的甲、乙两种方案,则正确的方案是( ~ 知识点 菱形的周长与面积 2.菱形的面积为18,一条对角线的长为9,另 C 条对角线的长为 ) C 图① A.4 B.2 C.8 D.9 3.(教材P8例3变式)在菱形ABCD中,若其 周长是20cm,对角线AC=6cm,则对角线 >D BD一 ,面积是 _...................... [方案乙:分别作乙B4C和 知识点二. 菱形性质与判定的综合应用 方案甲:取BM-DN .......... 2.DAC的分线AM.AN 4.如图,在 MON的两边上分别截取OA; 图② OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心 A.只有甲 B.只有乙 OA长为半径作张,两孤交于点C;连接AC C.甲和乙 D.甲、乙都不是 数数字科技 智学酷 提优精练 数学 九年级 上册(BS 7.有两个全等长方形纸条,长与宽分别为8和 M,连接OM.若OA-6,S形ArxcD=48,求 6.按如图所示的方式交又叠放在一起,则重 OM的长. 合部分构成的四边形周长为 ( C.12 A.25 B.48 D.36 第7题图 第8题图 科枝 8.如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A作 AE BC于点E,AF |CD于点F,连接EF 中数数字科技 有下列说法:①若AE一AF,则CABCD是菱 形;②若△AEF是等边三角形,则 B一60{*} ③若□ABCD是菱形,则 AEF=AFE.其 素养创新题 (填序号). 抚战创新,素养发展 中说法正确的是 9.如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=BD. 11.(探究题)如图,在ABCD 过点C作CE//BD,交AD的延长线于点E 中,对角线AC,BD交于点 (1)求证:四边形BDEC是菱形; O.E是边BC延长线上的动 (2)连接BE,若AB=4,AD=7,求BE的长 点,过点E作EF.BD于点 F.且分别与CD,AD交于点G,H,连 接OH. (1)若AC | AB,OF=OC,求证:FG=CG; (2)若在点E运动的过程中,存在四边形 OCGH是菱形的情形,试探究CABCD的 边和角需要满足的条件。 中数数字科技 中数数科技 中数数字科技 10.如图,在AABC中,BC三BA 作出△ABC关于AC对称 的△ADC. (1)求证:四边形ABCD是 菱形. (2)连接BD交AC于点O,取BC的中点 七数数字科技所以AD∥BC, 因为BE=DF, 所以∠DAE=∠CFE. 所以OE=OF, 因为点E是CD的中点， 所以四边形AECF是平行四边形. 所以DE=CE, 又因为AE=AF, ∠DAE=∠CFE, 所以四边形AECF是菱形 在△ADE与△FCE中，∠AED=∠FEC, 11.(1)证明：因为△ABC是等边三角形， DE=CE. AB=8 cm. 所以△ADE≌△FCE(AAS), 所以∠A=∠B=∠C=60, 所以AD=CF. AB=BC=CA=8 cm. (2)由四边形ABCD是平行四边形， 因为EH∥AB, 得AB∥CD,所以∠DCF=∠ABC=50 所以∠CHE=∠A=60°，∠HEC=∠B=60°， 又因为∠CFD=65°， 所以∠CHE=∠HEC=∠C-60°， 所以∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD=65°， 所以△CHE是等边三角形，所以CE=HE, 所以∠CDF=∠CFD, 因为点E,F分别从点C,B同时出发，以 所以CD=CF. 1cm/s的速度分别沿CB,BA方向向点B, 由(1)知AD=CF. A运动，所以CE=BF,所以HE=BF. 所以AD=CD,所以□ABCD是菱形 【关键】美键是找到动点变化时相等的线段， 10.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四 因为EH∥BF, 边形， 所以四边形BFHE是平行四边形 所以AB=CD,AB∥CD, (2)解：当1=4时，四边形AFEH是菱形.理 所以∠ABE=∠CDF. 由如下： 在△ABE和△CDF中， 因为当运动时间为4s时，CE=BF=4cm: AB=CD, 所以AF=AB-BF=4cm. ∠ABE=∠CDF, 因为△CHE是等边三角形. BE-DF. 所以EH=CE=CH=4cm, 所以△ABE≌△CDF(SAS). 所以AH=AC-CH=4cm, (2)解：答案不唯一，例如： 所以AF=EH=AH ①补充的条件是AC⊥BD. 因为EH∥AF,EH=AF, 证明如下： 所以四边形AFEH是平行四边形， 因为四边形ABCD是平行四边形. 因为AF=AH, 所以OA=OC,OB=OD. 所以四边形AFEH是菱形. 因为BE=DF, 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 所以OE=OF, 1.(1)10cm 所以四边形AECF是平行四边形. (2)96cm 又因为AC⊥BD, (3)解：能判定四边形ABCD是菱形. 所以四边形AECF是菱形. 2.A 3.8 cm 24 em ②补充的条件是AE=AF. 4.C5.120 证明如下：因为四边形ACD是平行四边形， 6.C解析：图为四边形ABCD是菱形， 所以OA=OC,OB=OD 所以OB=OD,OA=(OC,AC⊥BD. 3 因为BM=DN,所以OM=ON 所以四边形BGDH的周长为4BH=25. 因为OA=OC,MN⊥AC.OM=ON. 8.①②③解析：连接AC(图略).图为AE 所以四边形AMCN是菱形. 故方案甲正确。 A.Sa=Ssm,所以号C·AE=CD 因为四边形ABCD是菱形， AF,所以BC=CD, 所OB=OD.OA=OC,AC⊥BD,∠BAC 所以□ABCD是菱形，故①正确. ∠DAC. 因为△AEF是等边三角形， 图为AM.AN分别是∠BAC和∠DAC的平 所以∠EAF=60°，AE=AF. 分线， 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠C=120 所以∠MAC=∠NAC 因为四边形ABCD是平行四边形， ∠M4C=∠NAC, 所以ABCD. 在△AM和△AON中， AO-AO. 所以∠B=180°一∠C=60°，故②正确. ∠AM=∠AON, 因为□ABCD是菱形，所以BC=CD. 所以△AOM≌△AON(AA). 又图为S△r=S△MD, 所以OM=ON. 又因为OA=OC, 所以宁C·AE-CD.AF,.所以AE-Ar 所以四边形AMCN是平行四边形. 所以∠AEF=∠AFE,故③正确。 因为AC⊥MN, 9.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形 所以四边形AMCV是菱形. 所以AD∥BC,AD=BC,AB=CD. 故方案乙正确 因为AD=BD. 故选C 所以BD=BC. 7.A解析：如图所示 因为CE∥BD,AD∥BC, 所以四边形BDEC是平行四边形. 又因为BD=BC, 所以□BDEC是菱形. (2)解：如图，设BE交CD于点O, D 由题意，得长方形ABCD与长方形BEDF全 等，所以∠A=90°，AB=BE=6,AD∥BC, BF∥DE,AD=8, 所以四边形BGDH是平行四边形， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以由□BGDH的面积， 所以CD=AB=4. 得BG·AB=BH·BE,所以BG=BH, 由(1)，知四边形BDEC是菱形， 所以四边彩BGDH是菱形， 所以D0=C0-2CD=2,B0=2BE, 所以BH=DH=DG=BG. CD⊥BE. 设BH=DH=x,则AH=8-x. 在Rt△BDO中，BD=AD=7,DO=2, 在R1△ABH中，由勾股定理， 得6+(8-x)=x2, 所以B0=√BD-DO下=√7-2=35. 解得空所以BH-草。 所以BE=2BO=65. 10.(1)证明：因为△ABC与△ADC关于AC 对称， 所以CD=AD.OA=OC,所以OA=OH. 所以AB=AD,BC=DC. 所以∠OAH=∠OHA. 因为BC=BA, 因为OH∥CG,所以∠OHA=∠ADC. 所以AB=BC=DC=AD. 因为CD=AD,所以∠CAD=∠DCA, 所以四边形ABCD是菱形 所以∠CAD=∠ADC=∠DCA, (2)解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形， 所以△ACD是等边三角形， 所以OC=OA=6,OB=(OD,AC⊥BD, 所以∠ADC=60°， 所以AC=20A=12.∠BOC=90 即要使四边形QCGH是菱形，□ABCD的边和 因为S8m=号AC·BD=48. 角需要满足的条件是(CD=AD,∠ADC=O 2矩形的性质与判定 即吃×12×BD=48. 第1课时矩形的性质 1.(1)①②④⑤⑥(2)2全等 所以BD=8, (3)51=S2=S,=S 所以OB=BD=4 2.D3.A4.C5.C6.C 在R1△AOB中，由勾股定理，得 7A解析：连接CE,如图所示， E/D AB=√OA+OB=√6+4平=2√13. 又因为M为BC的中点， 所以OM是△ABC的中位线， 所以OM-AB-E B F 因为四边形ABCD是矩形， 11,(1)证明：连接OG,如图所示 所以∠ADC=90°，CD=AB=3,AD=BC= H D 4.0A=OC. 因为EF⊥AC,所以AE=CE. 设DE=x,则CE=AE=4一x. 在Rt△CDE中，由勾股定理， 因为四边形ABCD是平行四边形. 得x2+32=(4一x)2, 所以AB∥CD 因为AC⊥AB,所以AC⊥CD, 解件x日，即DE-子故选入 所以∠OCG=90 8.(4,8)或(16,8)解析：如图，作DH⊥BC于 因为EF⊥BD,所以∠OFG=90 点H,则DH=OC=8. 在R△OFG和Rt△OCG中. H C OG=OG. OF=C. 所以Rt△OFG≌Rt△OCG(HL). 个 D A 所以FG=CG, 因为D为OA的中点，A(20,0),所以OD=10. (2)解：若四边形OCGH是菱形， 因为DP=DO,所以DP=10. 则OH=OC,OH∥CG,OC∥GH. 当点P在点H的左边时， 因为EF⊥BD,所以AC⊥BD, 在Rt△DHP中，由勾股定理，得PH= 所以□ABCD是菱形， √DP:-DHT=10-8=6. 5