第2课时 菱形的判定-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

5 所以y==立r=5, 化，且当AE最短时，△CEF的周长最小，最 小值为4+√AB一BT=4+2√3】 (2)因为菱形被对角线AC,BD平均分成 第2课时菱形的判定 4个全等的直角三角形，且AC=5,BD= 1.(1)AB=AD或AB=BC或CD=CB或 5-(-7)=12,所以CE=号，DE=6。 AD-CD (2)ACLBD (3)AB-AD-BC- CD(4)②@ 所以sam-×受×6- 1.5 2.B 故菱形ABCD的面积为4S△mE=30. 3证明：在△BC中，因为BC=5,OB=3.OC=4 12.(1)证明：如图，连接AC 所以BC=OB+OC2, 【吴健】正确添加摘助线，狗造全等三角形是 所以△BC是直角三角形，∠BOC是直角， 关健： 所以AC⊥BD,所以□ABCD是菱形. 因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=120° 4.A 所以∠BAC=60. 5.菱形 因为△AEF是等边三角形， 6证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠EAF=60, 所以AD∥BC. 所以∠1十∠E4C=60°，∠3十∠EAC=60°， 又因为EF∥AB, 所以∠1=∠3. 所以四边形ABFE是平行四边形， 因为∠BAD=120, 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠FBE. 所以∠B=60°， 因为AD∥BC,所以∠AEB=∠FBE, 所以△ABC和△ACD为等边三角形， 所以∠ABE=∠AEB,所以AB=AE, 所以∠4=60°，AC=AB. 所以☐ABFE是菱形 在△ABE和△ACF中， 7.C 8证明：由折叠性质可知，EFL⊥AC,且EF平分 ∠1=∠3. AB=AC, AC,所以CG=AG. ∠B=∠4. 【关健】关健是根据折叠钱到线段的位置关系 所以△ABE≌△ACF(ASA). 和数量关系 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BE=CF. 所以AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF, 在△AFG和△CEG中. I∠AFE=∠CEF, ∠AGF=∠CGE, AG-CG. (2)解：△CEF的周长发生变化.如图，过点 所以△AFG≌△CEG(AAS), A作AH⊥BC于点H,可得BH=2. 所以CE=AF. △CEF的周长为CE+CF+EF=CE+ 又因为AF∥CE, BE+EF=BC+EF=BC+AE. 所以四边形AECF为平行四边形. 由“垂线段最短”可知当等边三角形AEF的 又因为EF⊥AC, 边AE与BC垂直时，边AE最短， 所以四边形AECF为菱形 所以△AEF的周长会随若AE的变化而变 9.证明：(1)因为四边形ABD是平行四边形， 2谢 所以AD∥BC, 因为BE=DF, 所以∠DAE=∠CFE. 所以OE=OF, 因为点E是CD的中点， 所以四边形AECF是平行四边形. 所以DE=CE, 又因为AE=AF, ∠DAE=∠CFE, 所以四边形AECF是菱形 在△ADE与△FCE中，∠AED=∠FEC, 11.(1)证明：因为△ABC是等边三角形， DE=CE. AB=8 cm. 所以△ADE≌△FCE(AAS), 所以∠A=∠B=∠C=60, 所以AD=CF. AB=BC=CA=8 cm. (2)由四边形ABCD是平行四边形， 因为EH∥AB, 得AB∥CD,所以∠DCF=∠ABC=50 所以∠CHE=∠A=60°，∠HEC=∠B=60°， 又因为∠CFD=65°， 所以∠CHE=∠HEC=∠C-60°， 所以∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD=65°， 所以△CHE是等边三角形，所以CE=HE, 所以∠CDF=∠CFD, 因为点E,F分别从点C,B同时出发，以 所以CD=CF. 1cm/s的速度分别沿CB,BA方向向点B, 由(1)知AD=CF. A运动，所以CE=BF,所以HE=BF. 所以AD=CD,所以□ABCD是菱形 【关键】美键是找到动点变化时相等的线段， 10.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四 因为EH∥BF, 边形， 所以四边形BFHE是平行四边形 所以AB=CD,AB∥CD, (2)解：当1=4时，四边形AFEH是菱形.理 所以∠ABE=∠CDF. 由如下： 在△ABE和△CDF中， 因为当运动时间为4s时，CE=BF=4cm: AB=CD, 所以AF=AB-BF=4cm. ∠ABE=∠CDF, 因为△CHE是等边三角形. BE-DF. 所以EH=CE=CH=4cm, 所以△ABE≌△CDF(SAS). 所以AH=AC-CH=4cm, (2)解：答案不唯一，例如： 所以AF=EH=AH ①补充的条件是AC⊥BD. 因为EH∥AF,EH=AF, 证明如下： 所以四边形AFEH是平行四边形， 因为四边形ABCD是平行四边形. 因为AF=AH, 所以OA=OC,OB=OD. 所以四边形AFEH是菱形. 因为BE=DF, 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 所以OE=OF, 1.(1)10cm 所以四边形AECF是平行四边形. (2)96cm 又因为AC⊥BD, (3)解：能判定四边形ABCD是菱形. 所以四边形AECF是菱形. 2.A 3.8 cm 24 em ②补充的条件是AE=AF. 4.C5.120 证明如下：因为四边形ACD是平行四边形， 6.C解析：图为四边形ABCD是菱形， 所以OA=OC,OB=OD 所以OB=OD,OA=(OC,AC⊥BD. 3第●章特殊平行四边形 第2课时 菱形的判定 基础培优题 挖槛教材，高于教材 知识点三由边的关系判定菱形 4.如图，在四边形ABCD中，有下列条件： 一题两用（理解知识·激活思雏） ①AD=BC,AB=CD:②DC=AD=AB= 1.如图，在口ABCD中， D BC:③∠BAD=90°，AD∥BC:④AB= 对角线AC.BD相交 BC=CD,AB∥CD,添加一个条件后就能使 于点O 四边形ABCD成为菱形的是 基础设问 A.②④ B.①④ (1)若要用菱形的定 C.②③ D.①② 义判定口ABCD是菱形，则需添加的一个 条件是 (2)若要用对角线判定□ABCD是菱形， 则需添加的一个条件是 (3)若四边形ABCD是一般的四边形，则 要使四边形ABCD是菱形，需添加的一 D 个条件是 第4题图 第5题图 延展设问 5.(教材P5议一议变式)如图，小丽在作线段 (4)若AC⊥BD,有下列条件：①AB AB的垂直平分线时，分别以点A和点B为 CD,②AB∥CD,AB=CD,③AC=BD. 圆心，大于2AB的长为半径画弧，两弧相交 ④∠ABC=∠DCB,则添加一个条件后 就能判定四边形ABCD是菱形的是 于点C,D,则直线CD即为所求，根据作图 (填序号) 方法可知四边形ACBD一定是 (填形状) 知识点一由对角线的关系判定菱形 6.(教材P27T8变式)如图，在□ABCD中，点 2.如图，□ABCD的对角线 D E,F分别在AD,BC上，且BE平分 AC,BD交于点O,添加一 ∠ABC,EF∥AB.求证：四边形ABFE是 0 个条件能使口ABCD是菱 菱形. 形的是 A.AB⊥AC B.AC⊥BD CAC,BD互相平分 D.AC=BD 3.(教材P6例2变式)如图，在□ABCD中，对 角线AC与BD相交于点O,BC=5,OB=3, OC=4,求证：□ABCD是菱形 智学酷提优精练数学九年级上册(BS 片能力提升题 综台应用，提升能力 10.(开放题)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD 7.张师傅应客户要求加工4个菱形零件.在交 相交于点O,点E,F在BD上，且BE=DF. (1)求证：△ABE≌△CDF: 付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检 测.根据零件的检测结果，图中有可能不合格 (2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得 四边形AECF是菱形，并给予证明. 的零件是 2 em 2 cm 22 660 Q60° 2cm 2cm 2 cm A B 2 em 10 2cm 120 70 <60 60P 2cm 2 em 2 cm C D 8.如图，将□ABCD折叠，使点C与点A重合， 折痕EF交BC于点E,交AD于点F,连接 AC,EF交AC于点G,连接CF,求证：四边 形AECF为菱形. 片素养创新题 轨战创断，煮养发展 11.(探究题)如图，在等边三角形 4(C ABC中，AB=8cm,点E,F 分别从点C,B同时出发，以 1cm/s的速度沿CB,BA方 向向点B,A运动（端点不计），设运动时间 为ts,连接EF,过点E作EH∥AB交AC 于点H,连接FH. (1)求证：四边形BFHE是平行四边形 (2)当t为何值时，四边形AFEH是菱形？ 试说明理由， 9.如图，在□ABCD中，点E是 CD的中点，连接AE并延长交 BC的延长线于点F, (1)求证：AD=CF: (2)连接BD,DF,若∠ABC=50°，当∠CFD 65°时，试证明四边形ABCD是菱形 A