第1课时 菱形的性质-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

数数字科 参考谷条及解折 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 9.20(8.4) 第1课时菱形的性质 解析：如图，过点A 1.(1)520(2)24全等(3)32cm 作AE⊥x轴于点E. 2.B 因为，点A的坐标是 3.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (3,4),所以0E=3, 4.D5.C6.C AE=4.所以AO= 7.A解析：因为菱形ABCD的周长为32， √3+4平=5. 所以AB=BC=CD=AD=8,AC⊥BD, 因为四边形AOBC是菱形， ∠AB0号∠AB-号×60=30. 所以AO=AC=BO=BC=5. 所以菱形的周长为4AC=20, 所以OA=合AB=4, 点C的坐标是(8,4). 【易错】易忽略菱形预点坐标间的联系而出 所以OB=√AB-OA=√8-平=45. 错，如点A和点C的纸坐标相同，横坐标之 因为点E,F分别为AO,AB的中点， 差的绝对值是菱形的边长， 所以EF为△AOB的中位线， 10.解：因为菱形ABCD的周长为48cm: 所以EF=0B=2,故选 所以菱形的边长为48÷4=12(cm). 因为∠DAB与∠ABC的度数比为1：2， 【技巧】巧用三角形的中位线 ∠ABC+∠DAB=180°， 8B解析：如图，连接BD, 所以∠ABC=120°，∠DAB=60°， 因为BE⊥AD,AE=ED, 所以△ABD是等边三角形， 所以BE是线段AD的 所以BD=AB=12cm,所以OB=6cm. 垂直平分线， 因为菱形ABCD中，AO=CO,BO=DO,且 所以BD=AB=AD, AC⊥BD, 所以△ABD是等边三角形，所以∠A=60 所以AO=√12-6=65(cm), 又周为BF⊥CD, 所以AC=123cm. 所以∠BED+∠BFD=180°， 11.解：(1)因为A(一1,0)，C(一1.5)， 所以∠ADC+∠EBF=180° 所以AC⊥x轴，且AC=5-0=5. 又因为∠ADC+∠A=180°， 如图，过点D(一7，z)作y轴的垂线，与AC 所以∠EBF=∠A=6O°，故选B 交于点E,并延长至点B,使DE=EB. 一题多解 因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=AD=BC,∠A=∠C 因为BE⊥AD,AE=ED, 所以BE是线段AD的垂直平分线， 2 所以BD=AB=AD. 所以△ABD是等边三角形， -6-5-4-3-2-10123456 所以∠ABE=30°，∠A=60° 因为BF⊥CD,∠C=∠A=60°， 所以∠CBF=∠ABE=30°， 因为四边形ABCD为菱形 所以∠EBF-180°-∠A-2∠ABE=60 5x+(-7) 所以AE=2AC=2 2 5 所以y==立r=5, 化，且当AE最短时，△CEF的周长最小，最 小值为4+√AB一BT=4+2√3】 (2)因为菱形被对角线AC,BD平均分成 第2课时菱形的判定 4个全等的直角三角形，且AC=5,BD= 1.(1)AB=AD或AB=BC或CD=CB或 5-(-7)=12,所以CE=号，DE=6。 AD-CD (2)ACLBD (3)AB-AD-BC- CD(4)②@ 所以sam-×受×6- 1.5 2.B 故菱形ABCD的面积为4S△mE=30. 3证明：在△BC中，因为BC=5,OB=3.OC=4 12.(1)证明：如图，连接AC 所以BC=OB+OC2, 【吴健】正确添加摘助线，狗造全等三角形是 所以△BC是直角三角形，∠BOC是直角， 关健： 所以AC⊥BD,所以□ABCD是菱形. 因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=120° 4.A 所以∠BAC=60. 5.菱形 因为△AEF是等边三角形， 6证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠EAF=60, 所以AD∥BC. 所以∠1十∠E4C=60°，∠3十∠EAC=60°， 又因为EF∥AB, 所以∠1=∠3. 所以四边形ABFE是平行四边形， 因为∠BAD=120, 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠FBE. 所以∠B=60°， 因为AD∥BC,所以∠AEB=∠FBE, 所以△ABC和△ACD为等边三角形， 所以∠ABE=∠AEB,所以AB=AE, 所以∠4=60°，AC=AB. 所以☐ABFE是菱形 在△ABE和△ACF中， 7.C 8证明：由折叠性质可知，EFL⊥AC,且EF平分 ∠1=∠3. AB=AC, AC,所以CG=AG. ∠B=∠4. 【关健】关健是根据折叠钱到线段的位置关系 所以△ABE≌△ACF(ASA). 和数量关系 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BE=CF. 所以AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF, 在△AFG和△CEG中. I∠AFE=∠CEF, ∠AGF=∠CGE, AG-CG. (2)解：△CEF的周长发生变化.如图，过点 所以△AFG≌△CEG(AAS), A作AH⊥BC于点H,可得BH=2. 所以CE=AF. △CEF的周长为CE+CF+EF=CE+ 又因为AF∥CE, BE+EF=BC+EF=BC+AE. 所以四边形AECF为平行四边形. 由“垂线段最短”可知当等边三角形AEF的 又因为EF⊥AC, 边AE与BC垂直时，边AE最短， 所以四边形AECF为菱形 所以△AEF的周长会随若AE的变化而变 9.证明：(1)因为四边形ABD是平行四边形， 2谢第一章特殊平行四边形 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 优基础培优题 挖握教材，高于教材 知识点三菱形的性质 4.(教材P2做一做变式)下列图形中，既是轴对 一题两用（理解知识·激活思维） 称图形又是中心对称图形的是 () 1.如图，在菱形ABCD中，OD=3,OA=4. A.平行四边形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.菱形 5.(2022·广西河池中考)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,下列结论中 错误的是 () 基础设问 (1)菱形ABCD的边长是 ,周长 是 (2)菱形ABCD的对角线把菱形分成了 组等腰三角形：分成了 A.AB=AD B.AC⊥BD 个直角三角形，分成的直角三角形的关系 C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 是 优能力提升题 综合应用，提开能力 延展设问 6.(开激题)如图，在菱形ABCD中，添加一个 (3)若菱形A'BCD'的周长为80cm,B'D' 条件不能证明△ABE≌△CDF的是() 24cm,则对角线A'C的长是 A.∠BAE=∠FCD B.∠BEA=∠DFC C.AE=CF D.BE=DF 知识点三菱形的定义 2.如图，在☐ABCD中，添加下列条件：①AB= CD:②AB=BC:③∠BAD=∠ABC:④CD= BD,能使□ABCD为菱形的条件有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第6题图 第7题图 7.如图，菱形ABCD的周长为32，∠ABC= 60°，点E,F分别为AO,AB的中点，则EF 的长度为 () B E C 第2题图 第3题图 A.25 B.3 3.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到 C.3 D.4 △DEF,且使平移距离BE=AB,得到四边 8.如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD,BF⊥ 形ABED是菱形，其依据是 CD,E,F为垂足，AE=ED,则∠EBF等于 智学酷提优精练数学九年级上册(BS)】 A.75 B.60 (1)求出x,y,z的值： C.50° D.45 (2)求菱形的面积. B E D 0 B 第8题图 第9题图 9.(易错题)如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOBC是菱形，若点A的坐标是(3,4)，则菱形 的周长为 ,点C的坐标是 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 中数数字科 相交于点O,∠DAB与∠ABC的度数比为 1:2,菱形的周长是48cm.求AC和BD的 长度 片素养创新题 挑战创断，素养发展 12.(探究题)如图所示，在菱形 ABCD中，AB=4,∠BAD= 中数数字技 120°，△AEF为等边三角形， 点E,F分别在菱形的边BC, CD上滑动，且E,F不与B,C,D重合. 中 (1)证明：不论E,F分别在BC,CD上如何 滑动，总有BE=CF (2)当点E,F分别在BC,CD上滑动时，探 讨△CEF的周长是否发生变化.如果不变， 求出这个定值：如果变化，求出最小值。 11.如图，在平面直角坐标系中， 菱形ABCD的顶点A,B,C, D的坐标依次为（一1,0），(x, y),(-1,5),(-7,z). 中字 6 3 2 -6-5-4 -3-21 0 56