专题09 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题09 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 9 18 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（23-24·江苏九年级课时练习）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑） 例2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ． 例3．（2023·四川宜宾·二模）如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·江苏镇江·二模）数学的思考 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标． 数学的眼光(1)如图①，请说明 数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程； (3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标； (4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹） 例5．（2023·四川宜宾·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．    模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    4．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 例5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？ (3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 例6．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝　 　．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值． 问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，半径为10的内有一点点P在上，当最大时，等于（   ）    A．34 B．36 C．24 D．48 3.（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为3的等边中，点D是边上的动点，满足，垂足为点E，点B关于点E的对称点为点F，点G是上靠近点A的三等分点，连结，当最大时， ． 4.（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，连接．当最大时，m的值为 ． 5．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝ ． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 7.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 8．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有． 小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则 ∵___________∴___________∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．） 9．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 10．（2023·河南三门峡·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理： 如图1，已知A，B是的边上的定点，当且仅当的外接圆与相切（与相切于点C）时最大，此时．        小明思考后给出如下证明： 证明：如图2，在OM上任取一点，连接，，与相交于点D，连接． ∵点C，D在上，∴（依据①）， 又∵是的一个外角，∴，∴， 即当且仅当的外接圆与OM相切（与相切于点C）时最大． 如图3，过切点C作的直径，连接，则，， ∴，，∴，（依据②） 又∵，……∴ 任务：(1)写出小明证明过程中的依据：依据①：______；依据②：______． (2)请你将小明的证明过程补充完整；(3)结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是和，C是x轴正半轴上一个动点，当最大时，点C的坐标为______． 11．（2023·陕西西安·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”) 【探究】（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求． 【问题解决】（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”．如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”． 12．（2023·广东深圳·二模）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半．下面根据圆周角定理进行探究． (1)如图1，是的弦，点C是上一点，连接，过点O作于点D，连接，，求的大小．(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点P为直线上的一个动点．请从：①；②；③中任选一个，求出相应的P点坐标；（ⅱ）如图3，点M为直线上的一个动点，连接．当最大时，求出此时的面积． 13．（2023·广西北海·二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值； （2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值． 15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______． 17．（2024九年级下·广东·专题练习）问题提出： 如图1：在中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ． 问题探究：如图2，正方形中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决：如图3，四边形中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 9 18 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（23-24·江苏九年级课时练习）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑） 【答案】甲将球传给乙，让乙射门好 【分析】设AQ交⊙O于点M，连接PM，则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角，由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，即可分析求得答案． 【详解】解：甲将球传给乙，让乙射门好，理由如下：如图所示，设AQ交⊙O于点M，连接PM， 则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角， 由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A， 所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，添加辅助线转化为是解题的关键． 例2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质．首先根据平行线的性质和，可证，，根据可证，，从而可证，根据可知点在以中点为圆心以为直径的圆上，且当与相切时最大，根据勾股定理求出的长度，从而得到此时的值． 【详解】解：，，， 在和中，，， 于点，，点在以中点为圆心以为直径的圆上， 如下图所示，以点的中点为圆心，线段为半径作，当与相切时最大， 设的半径为，则有，，，， 在中，，．故答案为： ． 例3．（2023·四川宜宾·二模）如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、作，点与轴相切于点时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时最大，连接、、，作轴于，如图，利用垂径定理得，则，再根据切线的性质得轴，则四边形为矩形，所以，则，在中，利用勾股定理计算出，于是可得到点坐标为，． 【详解】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大， 连接、、，作轴于，如图， 点、的坐标分别是、，，， ，，，与轴相切于点，轴， 四边形为矩形，，， 在中，，点坐标为，．故选：B． 【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、圆周角定理,勾股定理,坐标与图形，掌握相关定理性质是解题的关键． 例4．（2024·江苏镇江·二模）数学的思考 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标． 数学的眼光(1)如图①，请说明 数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程； (3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标； (4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析(2)(3)(4)见解析 【分析】（1）利用圆周角定理的推论以及三角形外角定理即可求解； （2）设点，即可求得，，进行计算即可； （3）连接并延长，交于点E，连接，根据，，，即可推出，即，得到，计算代入求解即可； （4）由（3）得，构造直径长为的半圆，得出c，然后在图中作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∴∵是的外角，∴， ∴，∴． （2）直线l的表达式为，∵点C在直线l上，设点， ∴，， ∵，∴                        ∴， 解得，（不合题意，舍去），∴P点坐标为． （3）连接并延长，交于点E，连接，如图， ∵是直径，∴，∴， ∵与x轴相切于点P，∴轴，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，即可得到直线的解析式为，∴， ∴，，∴，即， ∴，∴P点的坐标为． （4）令，，根据第（3）问得，构造直径长为的半圆，得到c，即在图中截取即可，如图所示，此时即为所求． 【点睛】本题考查圆的综合运用，主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，三角形外角定理、作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及圆周角定理的推论是解题的关键． 例5．（2023·四川宜宾·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．    【答案】(1)，(2)(3)或 【分析】（1）根据平移可求，将点A的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式；（2）过点作轴交于，设，可求，由可求解；（3）是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为， ，点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，，， 抛物线的解析式为，即． 令，则，解得：，，；， 的面积为，，，， 解得：，，∴．设直线的解析式为，则有 ，解得：，直线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴交于，         设，则，， ． ∴当此时E点坐标为． （3）解：如图，是的中点，在直线上运动， ，，当取得最小值时，的值最大， ，当取得最小值时，的值最大， 当垂直直线时，取得最小值，此时、在二次函数的对称轴直线上， ，根据对称性，存在，故：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与三角形面积计算，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况． 例3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 4．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4． 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE， ∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 法1：根据：∠EAF＝60°，AK＝2，得到定角定高（探照灯）模型 设三角形△AEF的高为AK=h，其外接圆半径为r，∠EAF= 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△AEF是等腰三角形（AE=AF）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴=4，当取等号时△ABC面积有最小值； 法2：作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？ (3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 【答案】(1)，；(2)，盲区的面积不会变化，为；(3)，． 【分析】（）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，由不变, 要使面积最小则最小，当、、 共线时最小，的面积最小； （）设，则有盲区面积为，当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，当盲区增加的面积与减少的面积相等时即可求解； （）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，，求出坐标即可． 【详解】（1）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，         的面积，不变, 要使面积最小则最小，设圆的半径为，不变， ∴不变，，当最小时，最小， ， ∴当、、 共线时最小，的面积最小，此时，，， 故答案为：，； （2）设，当摄像头如图所示，盲区面积为， 当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为， 当盲区增加的面积与减少的面积相等时，， 盲区的面积不会变化，此时，面积为初始面积等于，故，盲区的面积不会变化，为； （3）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，, ∴坐标为，． 【点睛】此题考查了圆的有关性质和垂线段最短，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键． 例6．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝　 　．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值． 问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 【答案】（1）；（2）16；（3）． 【分析】（1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质求出，利用正弦求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）因为， 四点共圆，所以当BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，此时，由勾股定理可得 ，因为四边形 ，所以，当 时，四边形ABCD是正方形，由不难求出，进而求得四边形ABCD的最大面积；（3） 因为甲种花卉贵，所以若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，可证得三点共线，通过证明，得，过点A作过点A作于K，求得，作的外接圆，连接 ，过点作于点N，通过过得 面积的最小值为， 再通过求求得乙种花卉的种植面积为 ，最后根据甲乙两种花卉每平方米的价格求出至少种植两种花卉的费. 【详解】解：（1）如图①，过点作于点D， ，是等腰三角形，， ，，故答案为： （2），四点共圆， 当为直径时，最大，此时 ，， ，由勾股定理， ， 时，四边形是正方形，最大，， ， 的最大值=， （3）如图③ 甲种花卉贵，若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，由旋转可得 三点共线， ，， 过点A作过点A作于K，， 作的外接圆，连接 ，过点作于点N， 设 在中，，， ， ，， ，面积的最小值为 且 ， 乙种花卉的种植面积为 种四花卉花费：元，种乙花卉花费：元， 至少花费元． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，正方形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，三角形和四边形的面积问题等知识，利用四点共圆及图形的旋转变换是解决本题的关键． 1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：运用定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝ 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴=4，当取等号时AB有最小值； 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k， ∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k， ∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，半径为10的内有一点点P在上，当最大时，等于（   ）    A．34 B．36 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当时，最大”这一隐含条件． 当时，取得最大值，在直角三角形中利用勾股定理求的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：作于，，∵、是定值，，，      ∵是锐角，当最大时，最大，此时最大， ∴当与重合时，即时，最大， 在直角三角形中，，，故选：C． 3.（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为3的等边中，点D是边上的动点，满足，垂足为点E，点B关于点E的对称点为点F，点G是上靠近点A的三等分点，连结，当最大时， ． 【答案】2 【分析】取中点O，连接，延长至点，使得，连接，由，得，则点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动，由题意得，，由三角形的中位线定理得到，故点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动，那么当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，解得，在中，由勾股定理得，，最后，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取中点O，连接，延长至点，使得，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 由题意得，， ∴， ∴点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，如图： ∵点G是上靠近点A的三等分点， ∴ ∵半径为3， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴在中，由勾股定理得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，圆的切线性质等知识点，难度蛮大的，确定轨迹是解题的关键． 4.（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，连接．当最大时，m的值为 ． 【答案】2或 【分析】题目主要考查坐标与图形，直线与圆的关系及勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 根据题意得出点Q在直线上，，作出相应图形得出当的外接圆与直线相切时最大，结合图形求解即可． 【详解】解：， ∴点Q在直线上． ∵， ∴， 当的外接圆与直线相切时（如图）， 此时最大．设直线交y轴于点M， 过点作于点G， 则， 连接，则四边形是矩形， ， ∴在中，． 由对称性知，符合题意， 或， 故答案为：2或． 5．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝ ． 【答案】/ 【分析】作△PMD的外接圆⊙O，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，即∠DPM最大，根据相似三角形的性质求出PC即可． 【详解】解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动， ∵∠DOM＝2∠DPM，∴当∠DOM最大时，∠DPM最大， 当⊙O与BC相切时，∠DOM最大， ∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2， ∵CP是⊙O的切线，PM是弦，∴∠CPM＝∠CDP， 又∵∠PCM＝∠DCP＝90°，∴△PCM∽△DCP， ∴＝，∴PC2＝MC•DC＝2×4＝8，∴PC＝2， ∴BP＝BC﹣PC＝8﹣2，故答案为：8﹣2． 【点睛】本题考查切线的性质，矩形的性质，掌握矩形的性质和切线的性质是正确解答的前提，理解△PMD的外接圆⊙O与BC相切时，∠DPM最大是解决问题的关键． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道： 当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。 再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。 ∴的周长的最小值为，故答案为：． 法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， 设，则，，∵， ∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆， 连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2）， BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC， ∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°， 设OB=OC=OE=r，则OG= BG=r，BC=2BG=r， ∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4， 当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4， ∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。 8．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有． 小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则 ∵___________∴___________∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．） 【答案】（1）；（2）同意，理由见解析；问题应用：10；问题迁移： 【分析】（1）根据等量代换，按步骤进行作答即可； （2）如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，解答过程同（1）； 问题应用：由（2）可知，与切点连线的夹角是最大的张角，如图4，为过、两点的动圆的圆心，为动圆与的切点，则，，证明，则，证明三点共线，则，，，根据，计算求解即可； 问题迁移：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，记动圆的圆心为O，设，则，在中，由勾股定理得，，即，求得，则，根据，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设直线交圆于点，连接，则， ∵，∴，∴； （2）解：同意，理由如下， 如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，则， ∵，∴， ∴； 问题应用：解：由（2）可知，与切点连线的夹角是最大的张角，如图4，为过、两点的动圆的圆心，为动圆与的切点， ∴，，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴三点共线， ∴，，，∴，故答案为：10； 问题迁移：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，记动圆的圆心为O，设，则， 在中，由勾股定理得，，即，解得，∴， ∵，∴，∴的最大度数为． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，切线的性质，余弦、正切，勾股定理，作垂线，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在灵活运用知识进行求解． 9．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）根据平行四边形的性质由，即可求解；（3）设的圆心为T，当圆T和抛物线对称轴相切时，最大，再根据半径处处相等列方程即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， 得，解得：， 所以抛物线函数表达式为：； （2）由题意得，， 由（1）令，则，可得， 图1 ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得：， 直线的表达式为， 又过点作轴交抛物线于另一个点，且抛物线对称轴为， ， 联立直线和抛物线解析式可得，即， 解得（不符合题意，舍去）； 当为时，四边形是平行四边形； （3）如图1， 在对称轴上取异于点的任意一点，连接交圆于点，连接， 则， 而， 即， 故当经过点的圆与对称轴相切于点时，最大． 当的外接圆与对称轴相切时，切点即为使最大的点，如图2，点是外接圆圆心，即对称轴，设的坐标为，则， 令，则，解得， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、平行四边形的性质等，熟悉圆切线的性质是本题解题的关键． 10．（2023·河南三门峡·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理： 如图1，已知A，B是的边上的定点，当且仅当的外接圆与相切（与相切于点C）时最大，此时．        小明思考后给出如下证明： 证明：如图2，在OM上任取一点，连接，，与相交于点D，连接． ∵点C，D在上，∴（依据①）， 又∵是的一个外角，∴，∴， 即当且仅当的外接圆与OM相切（与相切于点C）时最大． 如图3，过切点C作的直径，连接，则，， ∴，，∴，（依据②） 又∵，……∴ 任务：(1)写出小明证明过程中的依据：依据①：______；依据②：______． (2)请你将小明的证明过程补充完整；(3)结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是和，C是x轴正半轴上一个动点，当最大时，点C的坐标为______． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；同角的余角相等(2)见解析(3) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等和同角的余角相等求解即可； （2）证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点A，B作与x轴相切于点C，由题意得到此时最大，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）根据题意可得，依据①：同弧所对的圆周角相等；依据②：同角的余角相等． （2）补充如下：∴． 又∵，∴．∴，即：． （3）如图所示，过点A，B作与x轴相切于点C，是的直径， 由题意可得，此时最大．    ∴，即 ∵是的直径，∴∴∴ ∵∴∴ 又∵∴ ∴，即∴解得（负值舍去）．∴点C的坐标为． 【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．（2023·陕西西安·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”) 【探究】（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求． 【问题解决】（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”．如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”． 【答案】（1）；（2）；（3）米；． 【分析】（1）先通过同弧所对圆周角相等换角，然后通过外角定理找到角度的关系，推出两个角的大小关系即可；（2）将圆周角转化成圆周角的度数，灵活的构造直角三角形然后求出余弦值； （3）找到鹰眼位置后，构造直角三角形直接求得余弦值即可． 【详解】（1）连接， ∵， ∴； （2）连接， 过作于点，连接， ∵， ∴， ∵恰好与l相切于点P， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）以为弦，作切于直线， 连接延长交于点，连接， 由（1）可知，当在线段上运动时， 在如图位置时最大， ∵，， ∴， ∵直线切于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴． 设，则， ∴在中，即，解得米． ∴米，米，∵， ∴∴． 答：摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离米，“鹰眼值”． 【点睛】此题考查圆的综合题型和解直角三角形，解题关键是圆周角与圆心角的转化，构造直角三角形求出锐角三角函数． 12．（2023·广东深圳·二模）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半．下面根据圆周角定理进行探究． (1)如图1，是的弦，点C是上一点，连接，过点O作于点D，连接，，求的大小．(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点P为直线上的一个动点．请从：①；②；③中任选一个，求出相应的P点坐标；（ⅱ）如图3，点M为直线上的一个动点，连接．当最大时，求出此时的面积． 【答案】(1)(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）连接，由，得即可求解； （2）（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图），设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线上，设则；①当时：；②当时：；③当时：进而及可得点P；（ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1）；设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，则有，如图2，当与直线CD相切时，最大，，此时为等腰直角三角形，再由进而可得，即为等腰直角三角形，进而及可求解； 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图）， 设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线上，设， 则， ∴， ①当时：， 即，， ∴，， ∵， ∴， 解得或者（舍去）， 此时， 当点P在x轴下方时，由轴对称可知：， 综上所述，当时，或， ②当时：， 即，， ∴，， ∵， ∴， 解得或者（舍去）， 此时， 当点P在x轴下方时，由轴对称可知：， 综上所述，当时，或， ③当时：， 即，， ∴，， ∵， ∴， 解得或者（舍去）， 此时， 当点P在x轴下方时，由轴对称可知：， 综上所述，当时，或， （ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1）， 设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，， 则有， 如图2，当与直线相切时，最大， ∴，此时为等腰直角三角形， ， ， 在中：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、三角函数综合、等腰直角三角形、勾股定理等．掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 13．（2023·广西北海·二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，连接，，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点，的坐标分别是，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点．    【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理． 14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值； （2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值． 【答案】（1）的最小值为；（2） 【分析】（1）的外接圆，连接，过点O作，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，再由即可求解； （2）长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线 由，因为为定值，取得最小值时，取得最大值． 【详解】（1）解：如图，作的外接圆，连接，过点O作，则， ∵∴， 设，则， ∵∴，解得：， ∴，∴的最小值为； （2）解：分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形 ∵，，，∴， ∴，∴，∴， ∴ ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线 ∴ ∵为定值∴当取得最小值时，取得最大值， ∵∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J，设的外接圆半径为，则， ∵∴∴ 当点O在上时，最短，此时 ∴ ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，三角形的外接圆，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵等边的边长为，∴，，∴ 又∵，∴的面积为，故答案为：． （2）如图所示，延长到使得，连接， 四边形是正方形，，， ，，， ∠，， ，， 又，，，， 又，； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ，，，， 过点作于，作于，则四边形是矩形， ，， ，当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于， 设，，， ，，，当最小时，的面积最小， ，，， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为米， 平方米 存在一个面积最小的，其最小值为平方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键． 16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______． 【答案】（1）11；（2）；（3）平方米 【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可． 【详解】解：（1）∵圆心到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为，故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图． ，，，设，则， 由，得，即，∴， ，．即面积的最小值为； （3）过点作于点于点，∵平分，∴． 又，． 米，，， 、为等腰直角三角形，∴米， （平方米），平方米． 在上截取，连接，如图． ，， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ，，， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则，∴．设，则． 由，得，解得，米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．故答案为：平方米． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键． 17．（2024九年级下·广东·专题练习）问题提出： 如图1：在中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ． 问题探究：如图2，正方形中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决：如图3，四边形中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】问题提出：；问题探究：，见解析；问题解决： 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，添加合适的辅助线进行推理证明是解题的关键． 问题提出：作出的外接圆， 证明，则，即可得到答案； 问题探究：延长，使，连接，证明，得到， 再证明，即可得到； 问题解决：延长，使，证明，得到，证明，在中，，则边上的高，画的外接圆，作于M，得到，设，，，，由得到，得到的最小值为，即可得到的最小值． 【详解】问题提出：如图1，作出的外接圆， ∵，∴，∵，∴，故答案为：． 问题探究：，理由如下：如图2，延长，使，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； 问题解决：存在最小值，如图3，延长，使， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，∵，边上的高， 画的外接圆，作于M， ∵，∴，设，，，， ∵，∴，∴， ∴的最小值为，∴的最小值为． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【分析】本题考查了阅读学习型考题，先学习后应用是解题的关键． (1)根据斜边大于直角边计算即可．(2)根据斜边大于直角边计算即可．(3)作的外接圆，作于E，作直径，连接，  ，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．(4)作的外接圆，作于E，作直径，连接，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可． (5) 作于G，延长交于H，证明，把问题转化任务4求解即可． 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接       ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                             任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的性质，线段和的最值，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握治疗三角形的性质，圆的性质，三角函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$