第01讲 二次根式（3个知识点+3种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第01讲 二次根式（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•宣州区校级期中）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2020春•叶集区期末）表示一个整数，那么表示的最小正整数是　　． 3．（2023春•六安月考）当分别取下列值时，求二次根式的值． （1）； （2）； （3）． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2024春•全椒县月考）下列二次根式中的取值范围是的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•利辛县期末）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是 　　． 6．（2024春•无为市月考）已知满足． （1）有意义，的取值范围是 　　；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得　　． （2）根据（1）的分析，求的值． 题型三．二次根式的性质与化简 7．（2024春•瑶海区校级月考）下列各式中计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•花山区校级期末）若在第二象限，则　　． 9．（2024春•芜湖期中）请观察式子，成立吗？仿照上面的方法解决问题： （1）化简： ①；②；③． （2）把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是　　． 分层练习 一、单选题 1．下列各式是二次根式的是(  ) A． B． C． D． 2．若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 3．下列给出的式子中，一定是二次根式的是（      ） A． B． C． D． 4．若二次根式有意义，则可取的值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 5．若是二次根式，则x的值可能为（    ） A．-9 B．-7 C．-6 D．-3 6．若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A． B． C． D． 7．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 8．函数y=的自变量x的取值范围是   (    ) A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠1 9．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．已知，则 ． 13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 14．若式子有意义，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题： 若和都有意义，x的值是多少？ 解：和都有意义， 且． 又，且， ． 问题：若，求的值． 16．已知，求的值？ 17．已知：．求的值． 18．设a、b、c都是实数，且，求代数式的值． 19．（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 20．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)第5个等式：______； (2)请写出第个等式，并证明． 21．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 22．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足． (1)如图1，A、B两点坐标为A　 　，B　 　； (2)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段上任意一点，以O为顶点作，交于点F． ①写出、∠DFO、∠EOF的数量关系并给出证明． ②如图3，若，点G为线段与线段之间一点，连接，且， ，求的度数． 23．学完二次根式一章后，小易同学看到这样一题：“函数中,自变量的取值范围是什么？”这个问题很简单，根据二次根式的性质很容易得到自变量的取值范围.联想到一次函数，小易想进一步研究这个函数的图象和性质.以下是他的研究步骤： 第一步：函数中,自变量的取值范围是_____________. 第二步：根据自变量取值范围列表： -1 0 1 2 3 4 ⋯⋯ 0 1 2 ⋯⋯ __________. 第三步：描点画出函数图象. 在描点的时候，遇到了，这样的点，小易同学用所学勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示： 你能否从中得到启发，在下面的轴上标出表示 、、的点，并画出的函数图象. 第四步：分析函数的性质. 请写出你发现的函数的性质(至少写两条)： ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程和不等式. （1）请在上面坐标系中画出的图象，并估算方程的解. （2）不等式的解是__________________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•宣州区校级期中）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：， ， 一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2020春•叶集区期末）表示一个整数，那么表示的最小正整数是　　． 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【解答】解： 当，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 3．（2023春•六安月考）当分别取下列值时，求二次根式的值． （1）； （2）； （3）． 【分析】直接将（1）；（2）；（3）；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错． 【解答】解：（1）把，代入二次根式； （2）把，代入二次根式； （3）把，代入二次根式． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，直接将的值代入，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2024春•全椒县月考）下列二次根式中的取值范围是的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出的取值范围，进而得到答案． 【解答】解：、，解得，故此选项错误； 、，解得，故此选项错误； 、，解得，故此选项正确； 、，解得，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数． 5．（2024春•利辛县期末）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 6．（2024春•无为市月考）已知满足． （1）有意义，的取值范围是 　　；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得　　． （2）根据（1）的分析，求的值． 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据绝对值的性质化简； （2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可． 【解答】解：（1）有意义， ， 解得， ， 故答案为：，． （2）则原方程为， 即， ，即． 【点评】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键． 题型三．二次根式的性质与化简 7．（2024春•瑶海区校级月考）下列各式中计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】．求算术平方根即可； ．计算的立方根即可； ．负数的偶数次幂为正数． 【解答】解：，，，， 不正确，不符合题意；正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质等，掌握二次根式的性质是解题的关键． 8．（2024春•花山区校级期末）若在第二象限，则　　． 【分析】根据在第二象限，得出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：在第二象限， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面直角坐标系内各点的坐标特征，二次根式的性质．掌握第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正和二次根式的性质是解题关键． 9．（2024春•芜湖期中）请观察式子，成立吗？仿照上面的方法解决问题： （1）化简： ①；②；③． （2）把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是　　． 【分析】根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内即可． 【解答】解：（1）①；②；③． （2）． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简等知识点，当时，，注意：①是一个非负数，②平方后移入根号内，③与根号内的被开方数相乘． 分层练习 一、单选题 1．下列各式是二次根式的是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：是二次根式且被开方数是非负数，即可判断． 【详解】解：A、当时不符合二次根式有意义条件，故本选项不符合题意； B、是整数，故本选项不符合题意； C、是三次根式，故本选项不符合题意； D、，符合二次根式的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的定义：是二次根式，必须有，掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 2．若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 3．下列给出的式子中，一定是二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的性质即被开方数要为非负数进行逐一判断即可得解． 【详解】A.，满足被开方数为非负数，A选项符合题意； B.当时，，不满足二次根式的意义，B选项不符合题意； C.，不满足二次根式的意义，C选项不符合题意； D.不是二次根式，D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的区分，熟练掌握二次根式的意义是解决本题的关键． 4．若二次根式有意义，则可取的值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于等于0解题即可． 【详解】由题可知：， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数有意义的条件，掌握二次函数有意义的条件是解题的关键． 5．若是二次根式，则x的值可能为（    ） A．-9 B．-7 C．-6 D．-3 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义求解即可． 【详解】解：∵是二次根式， ∴ ， 解得． ∵，，，， ∴x的值可能为-3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的定义求解是解题关键． 6．若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件解题． 【详解】解：A.有意义的条件是：，x＝3能使下列二次根式有意义，故A符合题意； B.有意义的条件是：，x＝3不能使下列二次根式有意义，故B不符合题意； C.有意义的条件是：，故C不符合题意； D.有意义的条件是：，故D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 7．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】依题意可得 解得x≥1 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式有意义的条件． 8．函数y=的自变量x的取值范围是   (    ) A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠1 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质得到x﹣1≥0，求解即可得到答案. 【详解】解：由题意的x﹣1≥0， 解得x≥1. 故选B. 【点睛】本题主要考查二次根式的性质：被开方的数大于等于0. 9．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：由题意得，2x-6≥0， 解得，x≥3， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 10．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将M，N代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将M，N代入再整理，讨论得出答案． 【详解】根据题意可知且， 解得且． 所以①不正确； 由，得， 解得． 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴不存在． 所以②不正确； 根据题意，得 ． ∵是一个整数， ∴或， 解得或或或． ∵x为无理数，且， ∴． 所以③不正确． 所以正确的有0个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论． 二、填空题 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】自变量的取值范围即使得式子有意义的的取值范围． 【详解】解：， ， 解得． 函数的自变量的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的自变量，熟知函数自变量取值范围的求法是解题的关键． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用二次根式有意义可得x的值，然后可得y的值，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，根据二次根式有意义的条件可得1-x≥0，再解不等式即可． 【详解】解：有意义， ∴， 解得且， 故答案为：得且． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式有意义的条件是分母不等于零． 14．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式的的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 三、解答题 15．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题： 若和都有意义，x的值是多少？ 解：和都有意义， 且． 又，且， ． 问题：若，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负，建立不等式组求出x，y的值，带入计算即可. 【详解】解：由题意得： ， ， 解得， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、解不等式组；根据二次根式的性质确定x的值是解题的关键． 16．已知，求的值？ 【答案】1 【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出m、n的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：由题意，得且，， 解得，则， ∴． 17．已知：．求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出，继而得出，，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知： ，即． 且． ，即： 得：， ． 18．设a、b、c都是实数，且，求代数式的值． 【答案】28 【分析】根据非负数的性质得出 a + b -6=0， b + c+5=0，求出 a + b 、a - c 的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ a + b -6=0， b + c +5=0， ∴ a + b =6， ∴b=6-a， ∵b+c+5=0， ∴(6-a)+c+5=0， ∴a - c =11， ∴3а+ b -2c = a + b +2a-2c = a + b +2( a - c ) =6+2×11 =28， ∴代数式3a+ b -2c的值是28． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是求出 a + b 、 a - c 的值． 19．（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】解：（1）由，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：， ∴， ∴ ； （3）由题意得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)第5个等式：______； (2)请写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系． （1）依照前面的等式求解即可； （2）规律：不变的有：等式左边被开方数的分子是4，等式右边被开方数的分子是1；变化规律：等式左边被开方数的整数是依次增加1，等式右边的有理数因数是依次增加1．两边被开方数的分母是相同的，也是依次增加1，确定每个变化的数与前面的序数的关系，求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）第个等式：， 证明： ∵是正整数， ∴， ∴． 21．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 22．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足． (1)如图1，A、B两点坐标为A　 　，B　 　； (2)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段上任意一点，以O为顶点作，交于点F． ①写出、∠DFO、∠EOF的数量关系并给出证明． ②如图3，若，点G为线段与线段之间一点，连接，且， ，求的度数． 【答案】(1)，； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可求出，从而可得，由此即可得； （2）①过点O作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论； ②先根据（2）①的结论可得，从而可得，过点G作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）①，证明如下： 如图2，过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 如图3，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角的和差、等量代换，解题的关键是熟悉平行线的性质和角的计算． 23．学完二次根式一章后，小易同学看到这样一题：“函数中,自变量的取值范围是什么？”这个问题很简单，根据二次根式的性质很容易得到自变量的取值范围.联想到一次函数，小易想进一步研究这个函数的图象和性质.以下是他的研究步骤： 第一步：函数中,自变量的取值范围是_____________. 第二步：根据自变量取值范围列表： -1 0 1 2 3 4 ⋯⋯ 0 1 2 ⋯⋯ __________. 第三步：描点画出函数图象. 在描点的时候，遇到了，这样的点，小易同学用所学勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示： 你能否从中得到启发，在下面的轴上标出表示 、、的点，并画出的函数图象. 第四步：分析函数的性质. 请写出你发现的函数的性质(至少写两条)： ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程和不等式. （1）请在上面坐标系中画出的图象，并估算方程的解. （2）不等式的解是__________________. 【答案】第一步： ；第二步： ；第三步：见解析；第四步：性质一：y随x的增大而增大；性质二：函数图象只有一个点在x轴上，其余的都在x轴上方；第五步：（1）函数图象见解析， ；（2） ． 【分析】第一步：根据二次根式有意义的条件即可求解； 第二步：将代入中即可求出m的值； 第三步：利用勾股定理即可在轴上标出表示 、、的点，然后描点并连线即可； 第四步：根据函数图象即可得出函数的性质； 第五步：（1）首先画出的图象，然后根据两函数的交点即可估算方程的解；（2）数形结合即可得出答案． 【详解】第一步：， ∴ ， ∴自变量的取值范围是； 第二步：当时，； 第三步：根据勾股定理有 图象如图： 第四步：性质一：y随x的增大而增大； 性质二：函数图象只有一个点在x轴上，其余的都在x轴上方． 第五步：（1）函数图象如下，根据两函数图象的交点估算方程的解为 （2）根据图象可知，当时，x的取值范围为 ． 【点睛】本题主要考查函数及其图象，掌握二次根式有意义的条件及函数图象的画法并数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$