第08讲 拓展四：构造函数法解决不等式问题（知识清单+4类技巧总结）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第08讲 拓展四：构造函数法解决不等式问题 1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 题型01 构造或(，且)型 【典例1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】根据题意，构造新函数，得到．结合锐角三角形性质，三角函数单调性，诱导公式，得到.运用单调性，可以得到函数值的大小. 【详解】由于，则. 即令，则. 则在内单调递增. 为锐角三角形，则,则，则. 故，变形得到. 故选：D. 【典例2】（多选）（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在R上的单调递增求解． 【详解】令，则， 因为时，，所以， 则在上递增， 又是偶函数，且是定义在R上的奇函数， 所以是定义在R上的奇函数，且，则在R上单调递增， 所以，即，故A错误； ，即，故B正确； ，即，故C错误； ，即，故D正确， 故选：BD． 【典例3】（多选）（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）若奇函数在上可导，当时，满足，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】BC 【知识点】由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对于A，令，解出即可；对于B、C、D，构造函数，由题意求导研究函数性质即可. 【详解】对于A，令，则，所以， 所以选项A错误； 对于B，构造函数，则当时，， 所以在单调递增；所以， 所以，所以选项B正确； 对于C，构造函数，由时，， 所以，由， 又由选项B可知在单调递增，所以当时，， 即当，，所以在上单调递增， 所以选项C正确； 对于D，构造函数，当时，由选项B可知在单调递增， 又知，所以当，，在，； 即当时，在为负，在为正； 由为奇函数，所以当时， 在为负，在为正， 所以不等式的解集为：，所以选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：构造函数，由在的正负，进而研究在的正负；再根据函数的奇偶性由图形的对称性得出的正负. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】令，利用导数判断出在上的单调性可判断AC；令，利用导数判断出在上的单调性可判断BD. 【详解】令，，则， 所以在上单调递减， 若，则，故A正确，C错误； 因为，且是定义在上的非负可导函数， 所以， 令，，则， 所以在上单调递减， 若，则， 即，故BD错误. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 【变式3】（多选）（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数的单调性，再逐项分析判断即得. 【详解】令函数，由，得， 则函数在上单调递减， 对于A，，即，则，A正确； 对于B，，即，则，B错误； 对于C，，即，则，而，因此，C正确； 对于D，由选项B知，，又，因此，D错误. 故选：AC 题型02构造或(，且)型 【典例1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】构造函数，由得出函数的单调性，再由结合单调性得出答案. 【详解】构造函数 因为，即，所以函数在上单调递减. 可变形为，即，即. 故选：C 【典例2】（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题设不等式和选项的结构，考虑构造函数，求导得其单调性，利用其单调性对自变量进行赋值，即可一一判断选项正误. 【详解】设，则， 因，故得，即在上为减函数. 对于A项，因，则，即，即，故A错误； 对于B项，因，则，即，即得，故B错误； 对于C项，因，则，即，即得，故C错误； 对于D项，因，则，即，即得，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题解题思路就是要针对题设中不等式的结构特征（一般同时包含），结合选项特点探求构造的函数式，利用其单调性即可一一判断选项正误. 【典例3】（2024高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据已知不等式构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】构造新函数， 因为恒成立， 所以，因此函数单调递增， ， 由， 故选：B 【点睛】关键点睛：根据不等式构造新函数是解题的关键. 【变式1】（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据求解不等式可构造函数，求导得单调性，把求解不等式变形为，即，利用单调性比大小即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，因为，所以， 不等式可变形为，即，可得， 故选：B. 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数单调性的应用、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造，求导，得到其单调性，从而结合得到答案. 【详解】设，则． 因为，所以， 所以是R上的增函数， 因为， 所以， 即， 即． 故选：C． 【变式3】（多选）（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解. 【详解】令，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 即， 则，，故AC错误，BD正确． 故选：BD． 题型03构造或型 【典例1】（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性即可比较大小. 【详解】，令，求导得：， 当时，当时，因此函数在上递增，在上递减， 对于A，，则，即，A正确； 对于B，，则，即，B错误； 对于C，，则，即，C错误； 对于D，，则，即，D错误． 故选：A 【典例2】（多选）（23-24高二下·江西萍乡·期中）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】首先构造函数，在判断函数的单调性和奇偶性，再根据选项判断大小. 【详解】设，， 所以函数在上单调递增， 且，所以函数是偶函数， 则，即，即，故A正确； ，即，所以，故B正确； ，即，即，故C正确； ，，即，故D错误. 故选：ABC 【变式1】（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集. 【详解】设，， 所以函数在上单调递减， ， 即，得， 所以，所以不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而比较大小. 【详解】构造函数，，， 则时，， 所以函数在上单调递增， 于是， 即， 所以， 故答案为：. 题型04构造或型 【典例1】（多选）（23-24高二下·安徽·阶段练习）偶函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】构造新函数，由，可得在上单调递增，由时，可得在上是偶函数，然后对选项逐个判断即可． 【详解】偶函数足对于任意，有， 令 则当时，， 在上单调递增， 因为为偶函数，所以， 又当时，， 故在上是偶函数， ，即， ，即，故A错误； ，即，，故B正确； ，即，，故C正确； ，即，，，故D错误. 故选：BC. 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设函数，利用导数判断出单调性可得答案. 【详解】设函数，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，， ， 又，所以． 故答案为：． 【典例3】（2024·陕西渭南）若定义在上的函数的导函数为，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据题干中的条件，构造出新函数：，利用新函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】令，则， 因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错； 又，所以，所以在上恒成立， 因为，所以，故B错； 又，所以，即，故C正确； 又，所以，即，故D错误. 故选：C. 【变式1】（多选）（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，结合题目所给性质可得在上单调递减，结合函数单调性计算即可得. 【详解】令，则， 由已知可得，即在上单调递减， 所以， 故，即C､D选项正确. 故选：CD. 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏苏州）已知函数，，是其导函数，恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由题设得，构造并应用导数研究单调性， 【详解】因为，所以，又， 所以， 构造函数，，则， 所以在上为增函数， 因为，所以，即，即，故A正确； 因为，所以，即，故，故B错误； 因为，所以，即，故，故C错误； 因为，所以，即，故，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为，进而构造研究单调性为关键. 【变式3】（多选）（23-24高二下·江苏苏州）已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】令，求导后可判断函数为增函数，利用单调性可依次判断各选项. 【详解】由题意得：令， 于是其导数． 又函数是其导函数，恒有，即，所以，即函数为增函数． 对于选项A：由，有，即，于是，故A正确； 对于选项B：由，有，即，于是，故B正确； 对于选项C：由，有，即，于是，无法比较与的大小关系，故C错误； 对于选项D：由，有，即，于是，即，故D正确. 故选：ABD． 题型05构造函数比较大小 【典例1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解． 【详解】设，则， ∵，∴， ∴，即在定义域R上单调递减． ∵，∴， ∴不等式等价于，即，解得， 故选：D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意，构造函数，由函数的单调性即可得到结果. 【详解】根据题意，令，， ，则函数在上单调递增， 又，所以不等式，即， 即为，即变形为，即得， ，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 【典例3】（23-24高二下·天津北辰·期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导判断函数为单调递减，从而可得在上，在上，，求出不等式的解集即可. 【详解】令，则， 可知在上为减函数，而， 在上，，，所以 ； 在上，，，而，； 可得在上， 又因为是定义在上的奇函数，则在上，， 不等式等价于或 ，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·河南郑州·期中）定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由已知不等式整理得到，设函数，得的单调性，再利用其单调性解待求不等式即得. 【详解】因时，，即，也即， 取，则，即在上单调递减， 又，则， 由可得，故得，，解得，. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，利用导数求得为增函数，把不等式转化为，得到，列出不等式组，即可求解. 【详解】令，则，所以是增函数， 不等式可变形为， 因为，所以不等式等价于， 所以，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 拓展四：构造函数法解决不等式问题 1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 题型01 构造或(，且)型 【典例1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（   ）. A． B． C． D． 【典例2】（多选）（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（多选）（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）若奇函数在上可导，当时，满足，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型02构造或(，且)型 【典例1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03构造或型 【典例1】（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（23-24高二下·江西萍乡·期中）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 题型04构造或型 【典例1】（多选）（23-24高二下·安徽·阶段练习）偶函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【典例3】（2024·陕西渭南）若定义在上的函数的导函数为，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏苏州）已知函数，，是其导函数，恒有，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高二下·江苏苏州）已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05构造函数比较大小 【典例1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·天津北辰·期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【变式1】（23-24高二下·河南郑州·期中）定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 【变式2】（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 . 【变式3】（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$