第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）（知识清单+4类技巧总结）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根） 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 题型01 判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数 【典例1】（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，，求实数m的取值范围； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)零点个数为1，理由见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、由对称性求函数的解析式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式； （2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题； （3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【详解】（1）由题意得，． （2）由题意得，， 令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，， 所以实数m的取值范围为 （3）令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 【典例2】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）构造函数，结合导数研究单调性，即可比较； （2）将问题转化为，结合(1)可转化为证明，令，利用导数证明即可. 【详解】（1）令， 则，令， 则， 因为，所以， 则在上单调递增， 则， 所以当时，，则， 所以在上单调递增， 则， 即当时，， 又，当时，， 即当时， 综上： （2）要证在内无零点， 只需证 由（1）知 只需证； 即证：， 即证：， 令， 则。 令，则， 当时，，则在上单调递增； 所以当时，， 则在单调递增， 所以 即在内无零点. 【典例3】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）首先将函数的零点个数转化为函数与直线在区间内的交点的个数，所以利用导数分析函数的单调性和最值，以及函数的趋向，再分析交点个数. 【详解】（1）当时，， 令，得或； 令，得或; 令，得或; 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减; 当时，在上单调递增. 当时，在区间内取最小值. 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点; 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点. 【变式1】（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若为奇函数，令，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数有且仅有1个零点. 【知识点】函数奇偶性的应用、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导后，分，，讨论即可； （2）为奇函数,求出具体的.令，零点的个数，转化为函数与的图象在定义域上的交点个数，后分类讨论即可. 【详解】（1）由题意得，的定义域为， ， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，，所以在上无单调区间， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上无单调区间；当时，在上单调递增； （2）由题知，，得，，是奇函数，符合条件， 令，则，令，则函数的定义域为的零点个数即为函数与的图象在定义域上的交点个数， 由（1）得，当时，在定义域上单调递增，且， 当且时，与的图象无交点， 当且时，恒成立，与的图象无交点， 当且时，在上单调递减， 且，而在上单调递增，且与的图象在上有且仅有1个交点， 综上所述：函数有且仅有1个零点. 【点睛】知识点点睛：本题第一问借助导数研究函数的单调性，体现分类讨论思想．第二问将一个函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，然后用导数研究函数的单调性.借助图像体现两个函数交点的个数，体现转化思想，考查数形结合能力．属于难题. 【变式2】（23-24高二下·福建·期末）已知函数， (1)讨论函数的的单调性； (2)若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）（i）结合（1）中的结论，即可求解；（ii）结合（1）中的结论可得的极大值为，然后分，与讨论，即可得到结果. 【详解】（1）函数的定义域为 ， ①当时，恒成立，在上单调递减 ②当时，令，得（舍去） x + 0 - 递增 极大值 递减 的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）由（1）知 （ii）由（1）知的极大值为， ， 当即时，，则无零点； 当即时，，则有1个零点： 当即时，， ，， 令，，，在上单调递减， ，， 有2个零点； 综上所述：当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 【变式3】（22-23高二下·河南郑州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)判断在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)有极大值，无极小值 (2)在上有两个零点，理由见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】（1）先研究函数导数正负，进而得函数单调性即可求解函数极值. （2）根据（1）得函数单调性，从而根据函数在上的单调性和最值以及端点值情况即可求解判断. 【详解】（1）由题，则恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极大值，无极小值. （2）在上有两个零点，理由如下： 由（1）在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有最大值， 又， 故在上有两个零点. 题型02 利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】（23-24高二下·北京西城·期末）函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)为单调增区间，为单调减区间； (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间； （2）先移项把两个零点转化为两个函数有两个交点即可求解. 【详解】（1） 当在上单调递增； 当在上单调递减； 所以的增区间为，减区间为. （2）有两个零点， 所以有两个根， 设, 单调递增，单调递减， 又因为 由题知，与有两个交点， 所以,即. 【典例2】（23-24高二下·陕西安康·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)（）. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）分类两种情况求导函数讨论函数的单调性； （2）根据函数的最值，结合函数零点存在定理即可求参. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题可知a为非正数时，函数单调递减，不可能有2个零点，所以， 则， 又因为时，时，恰有两个零点， 所以，解得， 故的取值范围为. 【典例3】（23-24高二下·四川雅安·期中）已知是函数的一个极值点. (1)求的值； (2)求的图象在处的切线方程； (3)若直线与的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得的值，再检验即可； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （3）利用导数求出函数的单调区间与极值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 因为是函数的一个极值点，所以，解得，经检验符合题意. （2）由（1）知，则， 所以，切点为，切线的斜率为， 所以所求的切线方程为. （3）由（2）知的定义域为且， 令，解得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，当时，当时， 又， 因为直线与的图象有3个交点，所以， 即的取值范围为. 【变式1】（23-24高二下·广西·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)在上的最大值为. (2)的取值范围为. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值； （2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，， 所以当时，函数取最大值，最大值为. 所以在上的最大值为. （2）因为， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 当时，函数取极大值，极大值为， 且当时，，当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以，且， 解得，. 所以的取值范围为. 【变式2】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可. （2）由（1）得和，接着研究在上的正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解. 【详解】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图，    由图知. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据已知条件利用切点求出的斜率和函数值列两个等式求解即可. （2）把方程中的参数分离，构造新函数，将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，通过研究构造的新函数的大致图象数形结合求解即可. 【详解】（1）因为点在直线上，所以． 又，所以． ， ，所以． 综上． （2）由（1）得，易知， 所以有两个不同的实数根可转化为： 关于的方程有两个不同的实数根． 设， ， 令得，或． 所以当变化时，的变化情况为 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 当且时，， ，当且时，， 当时，． 根据以上信息画出的大致图象，如图所示． 所以实数的取值范围为 题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 【答案】(1)的单调减区间为：；单调增区间为：， (2)1个 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解. 【详解】（1）由题可得：， 令，解得：或， 令，解得：； 令，解得：或； 所以的单调减区间为：；单调增区间为：， （2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间； (2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)；的增区间是和，减区间是； (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）首先根据，求的值，根据导数和函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间； （2）首先参变分离为，再构造函数，，并判断函数在区间的单调性，极值和端点值，根据图象的交点个数，即可求解. 【详解】（1），，得， 当时，，得或， 的变化情况如下表所示， 0 0 增区间 极大值 减区间 极小值 增区间 所以函数的增区间是和，减区间是； （2）令，， 得， 令，， ，得， 如下表， 1 3 0 减区间 极小值3 增区间 因为函数在上仅有2个零点，即与有2个交点，如图： 即. 【典例3】（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数 . (1)若 在 上单调递增，求 的取值范围; (2)若 且经过点 只可作 的两条切线，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）在上恒成立，分离参数转化为函数最值问题. （2）设切点坐标，写出切线方程，问题转化为方程有两个解的问题，利用导数研究函数的性质画出图象即可求解. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即 在恒成立， 设，显然在上单调递减， 所以，所以. （2）若，则，， 设切点坐标为，则切线方程， 把代入切线方程得：， 设，则，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，当时，， 依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得： ，即. 【变式1】（2021·广西柳州·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案. 【详解】（1）当时，，所以, ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 由得， 的图象有2个交点， 令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 且时，，， 所以时，，所以的大致图象如下， 所以若函数有两个零点， 则， 所以实数的取值范围为. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的零点个数； 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】将问题转化成讨论与的交点个数，利用导数研究函数的单调性，从而结合图象得到答案； 【详解】因为， 当时，，此时有一个零点； 当时，，所以不是函数的零点， 令， 故只需讨论与的交点个数即可， ， 因为， 所以在和上单调递减，在上单调递增， ，且时，，且时，， 所以的大致图象如图所示： 故当与有一个交点， 当时，与有个交点； 综上，时，函数有个零点，当时，函数有个零点． 【变式3】（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数， (1)求函数的单调区间和极值； (2)讨论关于方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；有极小值，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究方程的根、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数求函数的单调性，进而得极值； （2）将方程解的个数转化为函数的图象与直线的交点个数，结合函数性质与趋势分析，作出函数图象，数形结合可得图象交点的个数. 【详解】（1）函数的定义域为 令，解得 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，有极小值，且极小值为. 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为； 有极小值，极小值为，无极大值. （2）令，解得； 当时，；当时，. 当时，，当时，， 结合（1）中分析可得，的大致图象如图所示， 方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由（1）可得当时，有最小值； 由图可得，当时，方程无解； 当或时，方程有1个解； 当时，方程有两个解. 题型04 构造函数研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】（23-24高二下·山东聊城·期中）已知函数，． (1)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)判断函数的零点个数． 【答案】(1) (2)只有一个零点 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据题意，求导可得，令，将问题转化为在内有两个不同的实数解，列出不等式代入计算，即可求解； （2）根据题意，将函数零点问题转化为方程实数根的个数，构造函数，由导数得到函数的单调性，即可得到结果. 【详解】（1），， 令，， 由题意知方程在内有两个不同的实数解， 又，且函数图象的对称轴为直线， 所以只需，解得，即实数a的取值范围为. （2）函数零点个数等价于方程实数根的个数， 等价于方程实数根的个数， 设函数，， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，，所以，，单调递增， 当时，；当时，； 所以，方程只有一个实数根． 所以，只有一个零点. 【典例2】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解最值即可证明. （2）由题意只有一个根，设，利用导数研究函数单调性，数形结合求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）函数的定义域为， 由得， 因为函数有且只有一个零点，可设， 则函数与的图象有且只有一个交点， ， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 经分析可得函数的大致图象如图所示： 又函数与的图象有且只有一个交点，所以或，即或， 综上所述：实数a的取值范围是或. 【典例3】（2024·云南·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）. ①若恒成立，求实数的取值范围； ②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)选①，；选②，的取值范围为 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】（1）先求导函数，再根据单调性求解极值即可； （2）把恒成立式子整理化简后，构造函数求导函数结合单调性求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ，解得， 当时，，单调递增； 当时，单调递减； 所以，无极小值. （2）若选①：由恒成立，即恒成立， 整理得：，即， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 即， 令，，则， 当时，； 当时，； 所以在处取得极大值，的最大值为，故，即. 故当时，恒成立. 若选择②：由关于的方程有两个实根， 得有两个实根， 整理得， 即， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增， 所以，即， 令，， 则， 当时，； 当时，； 所以在处取得极大值， 的最大值为，又因为 所以要想有两个根，只需要， 即，所以的取值范围为. 【变式1】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知函数. (1)若有且仅有一个零点，求的取值范围； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）转化为有且仅有一解，利用导数研究的大致变化规律，即可得解； （2）分离参数后，构造函数，利用导数，结合隐零点求出函数的最大值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故当时，， 当，当， 所以当有且仅有一解时，可得或. （2）当时，，则， 设，其定义域为， 则 有唯一的实根，且， ， 当时，；当时，， 在单调递增，在单调递减 ， . 【变式2】（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知函数，. (1)若，求证：当时，恒成立； (2)若方程有两个不同的根，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，然后确定单调性，求出最值即可证明； （2）将方程有两个不同的根转化为函数与函数有两个不同的交点，求导画出的图象，根据图象得答案. 【详解】（1）当时，，则， 函数在单调递增，， 当时，恒成立； （2）由题意有两个不同的零点， 即，即函数与函数有两个不同的交点， 设，令， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ， 又，当时，，函数的图象如下， 要使函数与函数有两个不同的交点，则. 【变式3】（2024·江西南昌）设函数，，其中，曲线在处的切线方程为 (1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围； (2)讨论关于的方程根的个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先根据切线和切点求出参数，的图象恒在图象的上方， 即对一切恒成立，再分离参数，通过导数判断 函数的单调性，求最值即可解决恒成立问题； （2）通过分离参数，研究函数的单调性，数形结合即可求解. 【详解】（1），则， 则,又因为，解得，， 所以； 由题意得，对一切恒成立， 分离参数得，对一切恒成立， 令，则， 令，则，， 所以函数过点，且在上单调递减， 当时，；当时，． 又易知与同号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为； （2）由题意，原方程等价于分离参数后的方程， 令，由（1）知， 在上单调递增，在上单调递减， 又当时，；当时，， 所以的大致图象如图.观察图象可知：    当时，方程根的个数为； 当时，根的个数为； 当时，根的个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根） 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 题型01 判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数 【典例1】（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，，求实数m的取值范围； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 【典例2】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 【典例3】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【变式1】（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若为奇函数，令，讨论函数的零点个数. 【变式2】（23-24高二下·福建·期末）已知函数， (1)讨论函数的的单调性； (2)若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【变式3】（22-23高二下·河南郑州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)判断在上的零点个数，并说明理由. 题型02 利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】（23-24高二下·北京西城·期末）函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围． 【典例2】（23-24高二下·陕西安康·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求的取值范围. 【典例3】（23-24高二下·四川雅安·期中）已知是函数的一个极值点. (1)求的值； (2)求的图象在处的切线方程； (3)若直线与的图象有3个交点，求的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·广西·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间； (2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围． 【典例3】（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数 . (1)若 在 上单调递增，求 的取值范围; (2)若 且经过点 只可作 的两条切线，求 的取值范围. 【变式1】（2021·广西柳州·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的零点个数； 【变式3】（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数， (1)求函数的单调区间和极值； (2)讨论关于方程的解的个数. 题型04 构造函数研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】（23-24高二下·山东聊城·期中）已知函数，． (1)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)判断函数的零点个数． 【典例2】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【典例3】（2024·云南·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）. ①若恒成立，求实数的取值范围； ②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知函数. (1)若有且仅有一个零点，求的取值范围； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知函数，. (1)若，求证：当时，恒成立； (2)若方程有两个不同的根，求实数的取值范围. 【变式3】（2024·江西南昌）设函数，，其中，曲线在处的切线方程为 (1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围； (2)讨论关于的方程根的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$