专题06坐标系与几何图形（4题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题06 坐标系与几何图形（4题型） 坐标确定位置 1．（2024春•临海市期末）如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，叶片边缘A，B两点的坐标分别为（1，1），（﹣2，1），则点C的坐标为 　 　． 2．（2023秋•舟山期末）热爱旅游的小李同学想来“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是（　　） A．北纬29°58′3″，东经122°21′6″ B．距离杭州约242公里 C．在舟山市的东部海域 D．在浙江省 3．（2023秋•义乌市期末）如果把电影票上“4排3座”记作（4，3），那么（5，9）表示（　　） A．“5排5座” B．“9排5座” C．“5排9座” D．“9排9座” 4．（2023秋•东阳市期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（　　） A．（2，4） B．（11，8） C．（5，5） D．（3，5） 5．（2024春•温岭市期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是（300，300）．” （1）小华是用 　 　和 　 　描述玖珑花海的位置； （2）小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； （3）在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地 　 　，音乐喷泉广场 　 　． 点的坐标与几何变换 1．（2023秋•鄞州区校级期末）点M在第四象限，它到x轴、y轴的距离分别为8和5，则点M的坐标为（　　） A．（8，5） B．（5，﹣8） C．（﹣5，8） D．（﹣8，5） 2．（2023秋•余姚市期末）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第二象限内，则点B（﹣a，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023秋•嵊州市期末）已知点A的坐标为（1，2），则点A到x轴的距离为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 5．（2023秋•上虞区期末）在平面直角坐标系中，一个阴影区域如图所示，已知点A（2，15），，C（﹣5，2），，则在阴影区域内的点是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 6．（2023秋•义乌市期末）已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 　 　． 7．（2023秋•舟山期末）如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1的坐标为（1，4），则B1的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（3，3） D．（1，1） 8．（2023秋•新昌县期末）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3） 9．（2023秋•武义县期末）若点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 　 　． 10．（2023秋•金东区期末）点（3，4）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 11．（2023秋•海曙区校级期末）已知点A（4﹣2m，5）关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＞﹣2 12．（2023秋•义乌市期末）如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1，0），B（3，0），C（1，4），则旋转中心P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，3） 13．（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'； （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 　 　． （3）求三角形ABC的面积． 14．（2023秋•上虞区期末）继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系．把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个极坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的极坐标．如图，在θ＝60°的极坐标系中，解答下列问题： （1）若点P的极坐标为（8，b），且实数b在y轴上所对应的点到x轴的距离为，试求b的值． （2）若点M的极坐标为（4，5），点N与点M关于y轴对称，求点N的极坐标． 坐标系内的规律题 1．（2023春•路桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步，棋子从点O跳到点A1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（　　） A．（2022，0） B．（2023，1） C．（2023，0） D．（2023，﹣1） 2．（2023春•玉环市期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0），那么点A2023的坐标为（　　） A．（1011，0） B．（1011，1） C．（2022，0） D．（2022，1） 3．（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A253B253C253D253四条边上的整点共有 　 　个． 4．（2024春•海曙区校级期末）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C． D．（3，1） 5．（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），以OA为边在y轴右侧作等边△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边△O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为O2，以O2A2为边在右侧作等边△O2A2A3，…，按此规律继续作下去，则点A2024的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 坐标系与几何图形的性质 1．（2023秋•海曙区校级期末）已知A（2，a），B（b，﹣3）是平面直角坐标系上的两个点，AB∥x轴，且点B在点A的右侧．若AB＝5，则（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣3 B．a＝﹣3，b＝7 C．a＝2，b＝2 D．a＝﹣8，b＝2 2．（2023秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ＝90°，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 　 　． 3．（2023秋•嵊州市期末）已知点A（2﹣a，a+1）． （1）当点A在x轴上时，求a的值． （2）当点A在第二象限时，求a的取值范围． （3）当点A到y轴的距离是4时，求a的值． 4．（2023春•江陵县期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 5．（2023秋•吴兴区期末）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与y轴、x轴重合，∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝30°，∠COD＝45°．动点M在边OA上运动，动点N在边OC上运动，OD的中点P的坐标为（2，0），则PN+MN的最小值是 　 　． 6．（2023秋•海曙区期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． （1）作△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2；则此三角形的面积为 　 　． （3）在x轴上求作一点P，使PB2+PC的值最小，点P的坐标为 　 　． 1．（2023秋•嵊州市期末）若a＜0，b＞0，则点（a﹣1，b+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•温州期末）如图是某景点示意图，建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），湿地和古村落的坐标分别为（﹣2，2），（﹣4，1），流动服务站在原点．若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需（　　） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 3．（2023秋•武义县期末）如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 4．（2023秋•桐乡市期末）已知点P（x，y）在第四象限，且|x|＝3，|y|＝5，则P点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（5，﹣3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 5．（2024春•路桥区期末）在平面直角坐标系中，有P（2，1），Q（﹣1，2），M（﹣2，2），四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（　　） A．点P，Q B．点P，M C．点P，N D．点M，N 6．（2023春•椒江区期末）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点P（1，0）出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点Q（16，12），则n的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2023秋•义乌市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（2023春•鄞州区期末）在直角坐标系中，若点A（1，a）和点B（b，2）关于原点中心对称，则a+b＝　 　． 9．（2023秋•婺城区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2023＝　 　． 10．（2023秋•东阳市期末）将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是 　 　． 11．（2023秋•钱塘区期末）已知点M（﹣2，m），把点M向上平移6个单位得到点K．若点M和K关于x轴对称，则m的值为 　 　． 12．（2023秋•莲都区期末）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣m+1）与点B（n+1，0）关于y轴对称，则代数式m2+n2的值为 　 　． 13．（2023秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系xOy中，B（0，4），A是x轴上的一个动点，将线段BA绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，点A的对应点为点P，则OP的最小值为 　 　． 14．（2023秋•江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是 　 　． 15．（2023春•路桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 　 　． （2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 坐标系与几何图形（4题型） 坐标确定位置 1．（2024春•临海市期末）如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，叶片边缘A，B两点的坐标分别为（1，1），（﹣2，1），则点C的坐标为 　（﹣1，﹣2）　． 【分析】先建立正确的直角坐标系，即可得出答案． 【解答】解：建立如下直角坐标系： 故点C的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 2．（2023秋•舟山期末）热爱旅游的小李同学想来“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是（　　） A．北纬29°58′3″，东经122°21′6″ B．距离杭州约242公里 C．在舟山市的东部海域 D．在浙江省 【分析】根据利用有序数对表示位置解答即可． 【解答】解：表示普陀山地理位置最合理的是北纬29°58′3″，东经122°21′6″， 故选：A． 3．（2023秋•义乌市期末）如果把电影票上“4排3座”记作（4，3），那么（5，9）表示（　　） A．“5排5座” B．“9排5座” C．“5排9座” D．“9排9座” 【分析】根据题意可知有序数对中第1个数字表示排数，第2个数字表示座位数，由此可解． 【解答】解：由题意知，（5，9）表示“5排9座”， 故选：C． 4．（2023秋•东阳市期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（　　） A．（2，4） B．（11，8） C．（5，5） D．（3，5） 【分析】根据医院与图书馆、教学楼在同一直线上，结合图形画出经过图书馆、教学楼的直线即可得到答案． 【解答】解：画出过图书馆、教学楼的直线，如图， 所以，点（3，5）在这条直线上， 故选：D． 5．（2024春•温岭市期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是（300，300）．” （1）小华是用 　方向　和 　距离　描述玖珑花海的位置； （2）小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； （3）在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地 　（﹣300，600）　，音乐喷泉广场 　（0，﹣1200）　． 【分析】（1）利用方向和距离描述玖珑花海的位置即可得到结论； （2）根据题意确定出原点和单位长度，建立起直角坐标系，根据题意得到结论； （3）根据生态湿地和音乐喷泉广场的位置即可得到结论． 【解答】解：（1）小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； 故答案为：方向，距离； （2）小军是以听雨轩古宅为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系的，如图所示； （3）生态湿地（﹣300，600），音乐喷泉广场（0，﹣1200）． 故答案为：（﹣300，600），（0，﹣1200）． 点的坐标与几何变换 1．（2023秋•鄞州区校级期末）点M在第四象限，它到x轴、y轴的距离分别为8和5，则点M的坐标为（　　） A．（8，5） B．（5，﹣8） C．（﹣5，8） D．（﹣8，5） 【分析】根据第四象限点的坐标特点得到点M的横坐标为正数，纵坐标为负数，而点M到x轴的距离为8，则纵坐标为﹣8；点M到y轴的距离为5，则点M的横坐标为5，即M（5，﹣8）． 【解答】解：∵点M在第四象限， ∴点M的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵点M到x轴、y轴的距离分别为8和5， ∴点M的横坐标为5，纵坐标为﹣8，即M（5，﹣8）． 故选：B． 2．（2023秋•余姚市期末）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵4＞0，﹣3＜0， ∴（4，﹣3）在第四象限． 故选：D． 3．（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第二象限内，则点B（﹣a，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据A（a，﹣b）在第二象限内得到a＜0，﹣b＞0，从而得到﹣a＞0，即可得到答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第二象限内得到a＜0，﹣b＞0， ∴﹣a＞0， ∴点B（﹣a，﹣b）在第一象限， 故选：A． 4．（2023秋•嵊州市期末）已知点A的坐标为（1，2），则点A到x轴的距离为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据A的坐标为（a，b），则点A到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|，即可解答． 【解答】解：∵点A的坐标为（1，2）， 则点A到x轴的距离为2， 故选：B． 5．（2023秋•上虞区期末）在平面直角坐标系中，一个阴影区域如图所示，已知点A（2，15），，C（﹣5，2），，则在阴影区域内的点是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】根据阴影区域的横纵坐标范围判断即可． 【解答】解：由题意可知，阴影区域横坐标范围﹣1≤x＜3，纵坐标范围1≤y≤3.5， ∴点A（2，15），C（﹣5，2）不在阴影区域内， ∵，， 即，， ∴阴影区域内，不在阴影区域内， 故选：B． 6．（2023秋•义乌市期末）已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 　（3，3）或（6，﹣6）　． 【分析】点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出a的值，从而求出点的坐标． 【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数， ∴分以下两种情考虑： ①横纵坐标相等时，即当2﹣a＝3a+6时，解得a＝﹣1， ∴点P的坐标是（3，3）； ②横纵坐标互为相反数时，即当（2﹣a）+（3a+6）＝0时，解得a＝﹣4， ∴点P的坐标是（6，﹣6）． 故答案为（3，3）或（6，﹣6）． 7．（2023秋•舟山期末）如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1的坐标为（1，4），则B1的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（3，3） D．（1，1） 【分析】根据对应点的坐标确定平移方式即可求解． 【解答】解：由A（﹣3，1）、A1（1，4）可得平移方式为：向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴B1的坐标为（﹣1+4，﹣2+3）， 即：（3，1）， 故选：A． 8．（2023秋•新昌县期末）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3） 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可． 【解答】解：将点（﹣2，3）向下平移1个单位长度，所得到的点的坐标是（﹣2，2）， 故选：B． 9．（2023秋•武义县期末）若点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 　﹣1　． 【分析】先平移点，再根据x轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案． 【解答】解：∵点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位， ∴点A1（﹣5m，2m﹣1+3）向上平移3个单位， ∵点A1（﹣5m，2m﹣1+3）在x轴上， ∴2m﹣1+3＝0，解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 10．（2023秋•金东区期末）点（3，4）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【解答】解：点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）． 故选：C． 11．（2023秋•海曙区校级期末）已知点A（4﹣2m，5）关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＞﹣2 【分析】根据题意可得点A（4﹣2m，5）在第一象限，从而得到4﹣2m＞0，即可求解． 【解答】解：∵点A（4﹣2m，5）关于原点对称的点在第三象限， ∴点A（4﹣2m，5）在第一象限， ∴4﹣2m＞0， 解得：m＜2． 故选：A． 12．（2023秋•义乌市期末）如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1，0），B（3，0），C（1，4），则旋转中心P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，3） 【分析】连接BE，分别作AD和BE的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可． 【解答】解：如图，连接BE，分别作AD和BE的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为（3，2），即旋转中心的坐标为（3，2）． 故选：A． 13．（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'； （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 　（m﹣4，n﹣5）　． （3）求三角形ABC的面积． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵点A与坐标原点O重合， ∴将点A、B、C分别向左平移4个单位长度、向下平移5个单位得到其对应点， 如图，△A'B'C'即为所求： （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣5）； 故答案为：（m﹣4，n﹣5）； （3）△ABC的面积为3×46． 14．（2023秋•上虞区期末）继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系．把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个极坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的极坐标．如图，在θ＝60°的极坐标系中，解答下列问题： （1）若点P的极坐标为（8，b），且实数b在y轴上所对应的点到x轴的距离为，试求b的值． （2）若点M的极坐标为（4，5），点N与点M关于y轴对称，求点N的极坐标． 【分析】（1）过点P作PE∥x轴交y轴于点E，过点E作EH⊥x轴于点H，得到OE＝|b|，，∠EOH＝60°，然后解直角三角形即可； （2）如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C，MN交y轴于K，利用全等三角形的性质，平行四边形的性质求出OC、OD即可． 【解答】解：（1）过点P作PE∥x轴交y轴于点E，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵点P的极坐标为（8，b），且实数b在y轴上所对应的点到x轴的距离为， ∴OE＝|b|，， ∵θ＝60°， ∴∠EOH＝60°， ∴在Rt△EOH中，， ∴b＝±8； （2）如图，作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C，MN交y轴于K，作MB∥x轴交y轴于B，作MA∥y轴交x轴于A， ∴四边形OAMB和四边形OCND是平行四边形， ∴BM＝OA，MA＝OB，ND＝CO，NC＝DO， ∵ND∥x轴，MB∥x轴， ∴ND∥BM， ∴∠DNK＝∠BMK，∠NDK＝∠MBK， ∵点M的极坐标为（4，5），点N与点M关于y轴对称， ∴NK＝MK，MN⊥BD，BM＝OA＝4，MA＝OB＝5， 在△NDK和△MBK中， ， ∴△NDK≌△MBK（AAS）， ∴DN＝BM＝4，DK＝BK， ∴CO＝ND＝4， ∵MN⊥BD，MB∥x轴，θ＝60°， ∴∠MKB＝90°，∠MBK＝60°， 在Rt△KBM中，， ∴DK＝BK＝2， ∴DO＝OB+BK+DK＝5+2+2＝9， ∴点N的极坐标为（﹣4，9）． 坐标系内的规律题 1．（2023春•路桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步，棋子从点O跳到点A1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（　　） A．（2022，0） B．（2023，1） C．（2023，0） D．（2023，﹣1） 【分析】先写出A1，A2，A3，A4，A5 的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标与各A点的下标相同，纵坐标分别为1，0，﹣1，0，且每4个点一循环，按照此规律解答即可． 【解答】解：观察图形可知：A1（1，1），A2（2，0），A3（3，﹣1），A（4，0）， ∴A2023 的横坐标为2023， ∵2023÷4＝505••••••3•••3， ∴A2023 的纵坐标为﹣1， ∴A2023 的坐标为（2023，﹣1）， 故选：D． 2．（2023春•玉环市期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0），那么点A2023的坐标为（　　） A．（1011，0） B．（1011，1） C．（2022，0） D．（2022，1） 【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点A4n+2（n为自然数）的坐标为（2n+1，1），依此规律即可得出结论． 【解答】解：∵点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，1）、A6（3，1）、A7（3，0）、A8（4，0）、A9（4，1）、……， ∴点A4n+3（n为自然数）的坐标为（2n+1，0）， ∴点A2023的坐标为（1011，0）． 故选：A． 3．（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A253B253C253D253四条边上的整点共有 　2024　个． 【分析】根据题意，依次求出正方形四条边上的整点个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 正方形A1B1C1D1四条边上的整点个数为：8＝1×8； 正方形A2B2C2D2四条边上的整点个数为：16＝2×8； 正方形A3B3C3D3四条边上的整点个数为：24＝3×8； …， 所以正方形AnBn∁nDn四条边上的整点个数为8n个， 当n＝253时， 8n＝8×253＝2024（个）， 即正方形A253B253C253D253四条边上的整点个数为2024个． 故答案为：2024． 4．（2024春•海曙区校级期末）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C． D．（3，1） 【分析】由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【解答】解：∵360°÷45°＝8， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵2024÷8＝253， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作DE⊥x轴于点E． 由题意可得AO＝2，△ABO是等腰直角三角形， ∴，∠BAO＝45°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，∠BAD＝90°， ∴∠DAE＝45°， ∴在Rt△ADE中，， ∴OE＝AO+AE＝3， ∴点D的坐标为（3，1）． 故选：D． 5．（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），以OA为边在y轴右侧作等边△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边△O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为O2，以O2A2为边在右侧作等边△O2A2A3，…，按此规律继续作下去，则点A2024的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×（）2此类推，得点A2024的纵坐标是（）2023，得到问题答案． 【解答】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1， ∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2， ∴A1O1OA1＝2，点A1纵坐标是2， ∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2， ∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝2， ∴A2O2O1A2＝2，点A2的纵坐标是2，即2×（）2， ∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3， 同理，得点A3的纵坐标是2×（）3， 按此规律继续作下去，得：点A2024的纵坐标是2×（）2024＝（）2023， 故选：A． 坐标系与几何图形的性质 1．（2023秋•海曙区校级期末）已知A（2，a），B（b，﹣3）是平面直角坐标系上的两个点，AB∥x轴，且点B在点A的右侧．若AB＝5，则（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣3 B．a＝﹣3，b＝7 C．a＝2，b＝2 D．a＝﹣8，b＝2 【分析】由A与B的坐标，根据AB与x轴平行，确定出a的值，根据AB＝5求出b的值即可． 【解答】解：∵A（2，a），B（b，﹣3），且AB＝5，且AB∥x轴， ∴a＝﹣3，b﹣2＝5， 解得：a＝﹣3，b＝7， 故选：B． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ＝90°，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 　1　． 【分析】等腰直角三角形的性质，垂线段最短的性质，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ACP，连接BC，可证△ABC是等腰三角形，求出点C的坐标，确定PC⊥y轴时，PC最小，即QB最小． 【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ACP，连接BC， ∴由旋转可知，△ABQ≌△ACP， AB＝AC，BQ＝PC，∠PAC＝∠QAB， ∵∠PAQ＝∠PAC+∠CAQ＝90°， ∴∠BAC＝∠QAB+∠CAQ＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， A（1，0），B（5，0）， ∴AB＝4， ∴C（1，4），即C是定点， ∴当PC最小时，QB最小， ∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值为1． 线段QB长度的最小值为1． 故答案为：1． 3．（2023秋•嵊州市期末）已知点A（2﹣a，a+1）． （1）当点A在x轴上时，求a的值． （2）当点A在第二象限时，求a的取值范围． （3）当点A到y轴的距离是4时，求a的值． 【分析】（1）根据在x轴上的点纵坐标是0，可得a+1＝0，求出a的值即可； （2）根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）根据到y轴的距离是横坐标的绝对值得到2﹣a＝4或2﹣a＝﹣4，即可得到答案． 【解答】解：（1）当点A（2﹣a，a+1）在x轴上时， a+1＝0， 解得a＝﹣1， 即a的值为﹣1； （2）点A（2﹣a，a+1）在第二象限时， ， 解得a＞2； 即a的取值范围为a＞2； （3）当点A（2﹣a，a+1）到y轴的距离是4时， 则2﹣a＝4或2﹣a＝﹣4， ∴a＝﹣2或6． 4．（2023春•江陵县期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3）， ∴|﹣3|＝3， ∴点C到x轴的距离为3； （2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6， ∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18． （3）设点P的坐标为（0，y）， ∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3）， ∴6×|y﹣3|＝6， ∴|y﹣3|＝2， ∴y＝1或y＝5， ∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）． 5．（2023秋•吴兴区期末）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与y轴、x轴重合，∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝30°，∠COD＝45°．动点M在边OA上运动，动点N在边OC上运动，OD的中点P的坐标为（2，0），则PN+MN的最小值是 　　． 【分析】根据P的坐标为（2，0），得到OP＝2，求得∠AOD＝60°，过P作PM⊥OA于M交OC于N，则此时PN+MN的值最小，且等于PM的长度，根据三角形的内角和定理得到∠MPO＝30°，根据直角三角形的性质得到OMOP＝1，根据勾股定理得到PM，于是得到结论． 【解答】解：∵OD的中点P的坐标为（2，0）， ∴OP＝2， ∵∠BOD＝90°，∠AOB＝30°， ∴∠AOD＝60°， 过P作PM⊥OA于M交OC于N， 则此时PN+MN的值最小，且等于PM的长度， ∵∠POM＝60°，∠PMO＝90°， ∴∠MPO＝30°， ∴OMOP＝1， ∴PM， 故PN+MN的最小值是， 故答案为：． 6．（2023秋•海曙区期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． （1）作△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2；则此三角形的面积为 　　． （3）在x轴上求作一点P，使PB2+PC的值最小，点P的坐标为 　（2，0）　． 【分析】（1）利用关于x轴对称的点坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）根据点平移的坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可，由梯形的面积和三角形面积公式可得出答案； （3）作C点关于x轴的对称点C′，连接C′B2交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，再利用待定系数法求出直线C′B2的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； ∵A2（2，3），B2（3，1），C2（4，2）， ∴△A2B2C2的面积， 故答案为：； （3）如图，作C点关于x轴的对称点C′，连接C′B2交x轴于点P，则P点为所作； 设直线C′B2的解析式为y＝kx+b， 把C′（0，﹣2），B2（3，1）代入得， ，解得， ∴直线C′B2的解析式为y＝x﹣2，当y＝0时，x﹣2＝0， 解得x＝2， ∴P点坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 1．（2023秋•嵊州市期末）若a＜0，b＞0，则点（a﹣1，b+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵a＜0，b＞0， ∴a﹣1＜0，b+1＞0， ∴点（a﹣1，b+1）在第二象限， 故选：B． 2．（2023秋•温州期末）如图是某景点示意图，建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），湿地和古村落的坐标分别为（﹣2，2），（﹣4，1），流动服务站在原点．若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需（　　） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【分析】根据湿地和古村落的坐标分别为（﹣2，2），（﹣4，1），可得坐标原点的位置，若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，服务站需向左平移1个单位即可． 【解答】解：∵湿地和古村落的坐标分别为（﹣2，2），（﹣4，1）， ∴坐标原点在沙滩北3个单位处， ∴若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，服务站需向左平移1个单位即可． 故选：A． 3．（2023秋•武义县期末）如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【分析】根据平面内点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案． 【解答】解：∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限， ∴y＝﹣3，x＝﹣2， ∴这个点的坐标是：（﹣2，﹣3）， 故选：A． 4．（2023秋•桐乡市期末）已知点P（x，y）在第四象限，且|x|＝3，|y|＝5，则P点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（5，﹣3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【分析】先根据P点的坐标判断出x，y的符号，进而求出x，y的值，即可求得答案． 【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限， ∴x＞0，y＜0， 又∵|x|＝3，|y|＝5， ∴点P（x，y）坐标中，x＝3，y＝﹣5， ∴P点的坐标是（3，﹣5）． 故选：C． 5．（2024春•路桥区期末）在平面直角坐标系中，有P（2，1），Q（﹣1，2），M（﹣2，2），四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（　　） A．点P，Q B．点P，M C．点P，N D．点M，N 【分析】分别求出所给点到原点的距离，据此可解决问题． 【解答】解：因为点P坐标为（2，1）， 所以点P到原点的距离为：； 同理可得， 点Q到原点的距离为， 点M到原点的距离为， 点N到原点的距离为， 所以点P与点Q到原点的距离相等． 故选：A． 6．（2023春•椒江区期末）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点P（1，0）出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点Q（16，12），则n的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意画出“马”从点 P出发到点Q（16，12）的路线，进而求解即可． 【解答】解：如图所示，当点 P往右上角方向走“日”字时，n 有最小值， 由图象可得，n的最小值为9． 故选：D． 7．（2023秋•义乌市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：过点B作BH⊥y轴于H． 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2， ∴AH＝AB•cos60°＝1，BHAH， ∵∠BOH＝30°， ∴OB＝2BH＝2，B（，3）， 由题意B1（，3），B2（﹣2，0），B3（，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），…，6次一个循环， ∵2023÷6＝337…1， ∴B2023（，3）， 故选：C． 8．（2023春•鄞州区期末）在直角坐标系中，若点A（1，a）和点B（b，2）关于原点中心对称，则a+b＝　﹣3　． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵坐标系中点A（1，a）和点B（b，2）关于原点中心对称， ∴b＝﹣1，a＝﹣2， 则a+b＝﹣1﹣2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 9．（2023秋•婺城区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2023＝　﹣1　． 【分析】利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得n﹣m＝﹣1，即可求出答案． 【解答】解：∵点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1）， ∴﹣n＝﹣m+1， ∴n﹣m＝﹣1， ∴（n﹣m）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．（2023秋•东阳市期末）将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是 　（1，﹣1）　． 【分析】根据点平移的特点解答即可． 【解答】解：点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是（﹣2+3，﹣3+2），即（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 11．（2023秋•钱塘区期末）已知点M（﹣2，m），把点M向上平移6个单位得到点K．若点M和K关于x轴对称，则m的值为 　﹣3　． 【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出答案． 【解答】解：∵点M（﹣2，m）向上平移6个单位长度， ∴平移后都点的坐标为：（﹣2，m+6）， ∵把点M向上平移6个单位得到点K，点M和K关于x轴对称， ∴m+6+m＝0， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．（2023秋•莲都区期末）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣m+1）与点B（n+1，0）关于y轴对称，则代数式m2+n2的值为 　10　． 【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出关于m，n的方程组进而得出m，n的值，即可得出答案． 【解答】解：∵点A（2，﹣m+1）与点B（n+1，0）关于y轴对称， ∴n+1＝﹣2，﹣m+1＝0， 解得：m＝1，n＝﹣3 ∴m2+n2＝1+9＝10， 故答案为：10． 13．（2023秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系xOy中，B（0，4），A是x轴上的一个动点，将线段BA绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，点A的对应点为点P，则OP的最小值为 　6　． 【分析】先求得出点P在x、y轴上时的点C、D的坐标，再得出点P在直线CD上，根据垂线段最短，得出当OP⊥CD时，OP最小，利用直角三角形的性质和勾股定理求出此时OP的长即可． 【解答】解：当将线段BA绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，点P在x轴上的点C时，如图， ∵B（0，4）， ∴OB＝4， 由旋转可得，AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠BAO＝∠∠BCO＝30°， ∵OB⊥AC， ∴AB＝BC＝2OB＝8， 由勾股定理，得， 当将线段BA绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，点P在y轴上的点D时， 由旋转可得，AB＝BD，∠ABD＝120°， ∴∠ABO＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∴AB＝2OB＝8， ∴BD＝AB＝8， ∴OD＝OB+BD＝12， 过点C、D作直线CD， 将线段BA绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，点A的对应点为点P，则点P在直线直线CD上， ∴当OP⊥CD时，OP最小， 在Rt△OCD中，由勾股定理，得， ∴CD＝2OC， ∴∠ODC＝30°， ∴∠OCD＝60°， ∵OP⊥CD， ∴， ∴， ∴OP的最小值为6． 故答案为：6． 14．（2023秋•江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是 　31.5　． 【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可． 【解答】解：∵OB1＝1，∠ODB1＝60°， 设OD＝x，则DB1＝2x， 在Rt△ODB1中， OD2+OD， 即：x2+12＝（2x）2， 解得：x， ∴OD，B1（1，0），∠OB1D＝30°， ∴D（0，）， 如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OAOB1， 即A1的横坐标为， 由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°， ∴∠A1B1B2＝90°， ∴A1B2＝2A1B1＝2， 过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1BA1B2＝1， 即A2的横坐标为1， 过A3作A3C⊥A2B3于C， 同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2CA2B3＝2， 即A3的横坐标为1+2， 同理可得，A4的横坐标为1+2+4， 由此可得，An的横坐标为， ∴点A6的横坐标是31.5， 故答案为：31.5． 15．（2023春•路桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 　（﹣5，﹣7）　． （2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解； （3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）． 故答案为：（﹣5，﹣7）． （2）∵点B（2，﹣3）， ∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）． 又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限， ∴， 解得 ， ∵a取整数， ∴a＝1； （3）∵点C（m+2，1﹣3m）， ∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）． ∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴|16m﹣3|＝1， ∴16m﹣3＝1 或 16m﹣3＝﹣1． 解得 或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$