专题10一次函数与几何的综合（5题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题10 一次函数与几何的综合（5题型） 一次函数与新定义的综合题 1．（2024春•玉环市期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝ax+b，我们把 的函数称为一次函数y＝ax+b的反射函数． （1）写出一次函数y＝2x﹣4的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象．（2）若A（2a﹣5，m），B（4﹣a，n）都在（1）中y'图象上，，若m＜n，求a的取值范围． （3）已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点D（2t﹣4，t）是同一坐标平面上的一个动点，当t≥q时，求p的取值范围． 2．（2023秋•浦江县期末）本学期，我们已经学习过平面直角坐标系的概念，其中x轴与y轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点O逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点（a，b）在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点（a，b）在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状． 【初步探究】 （1）已知在原平面直角坐标系xOy中有一点，将y轴绕原点O顺时针旋转30°，x轴绕点O顺时针旋转30°得到“动感坐标系”．则点A的动感坐标为 　 　． （2）在原平面直角坐标系中，设有一点C（m，m+4），将x轴绕原点O逆时针旋转135°得到z轴，y轴绕原点O顺时针旋转45°得到p轴．在z轴上有一点B（﹣6，6），在p轴上有一点D与B在同一条水平线上．当点C到点D之间的距离最小时，求点C的动感坐标． 【类比猜想】 根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质． 【深入探索】 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线y＝kx﹣3相交于点C，与y轴分别交于A、B，且两条直线关于x轴成轴对称．设△ABC三角平分线与对边的交点为E、F、G．将x轴绕点C逆时针旋转60°，得到w轴，y轴绕原点O逆时针旋转m°后刚好经过点G．求点G的动感坐标以及m的值（点G不与原点O重合）． 一次函数与等腰三角形的综合题 1．（2023秋•衢州期末）如图，直线y＝x+4与和y＝﹣kx+12与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点C（4，m），G是y＝﹣kx+12与y轴的交点，点D为AB的中点，点E是线段AC上一个动点（不与点A和C重合），连接DE，并过点D作DE⊥DF交BC于点F． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）当点E的横坐标为﹣1时，在x轴上找到一点P使得△PEF的周长最小，请求出点P的坐标； （3）当△EFG是等腰三角形时，求E点的坐标． 2．（2023秋•义乌市期末）已知直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C． （1）求新函数的图象l2的解析式； （2）在射线AC上一动点D（x，y），连接BD，试求△BAD的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如图2，过点E（2，﹣6）画平行于y轴的直线EF， ①求证：△ABE是等腰直角三角形； ②将直线l1沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线l1与x轴交于点A1，与y轴交于点B1，在直线EF上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得△A1B1P是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 一次函数与直角三角形的综合题 1．（2023秋•新昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣3与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线y＝x相交于点A． （1）求点A的坐标及△AOB的面积． （2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得△PDH是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． （3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使∠MAE＝∠OAB，请直接写出点M的坐标． 2．（2023秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线 CD：yx与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N的坐标． 一次函数与全等三角形的综合题 1．（2023秋•柯桥区期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若直线AB上有一点P，且S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标； （3）直线BC上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•莲都区期末）如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D． （1）求点A，点D的坐标． （2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值． （3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 一次函数与将军饮马的综合题 1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F． （1）求线段OC的长； （2）当DE＝EF时，求点D的坐标； （3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值． 1．（2023秋•吴兴区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3），连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，将点B向左平移5个单位长度至点C，连结BC． （1）求点B、点C的坐标； （2）将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，求直线CD的函数表达式； （3）现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD运动，运动时间为t秒．请探究：当t等于多少时，△BCP为等腰三角形． 2．（2023秋•开化县期末）如图1，直线AB分别与x轴，y轴交于点A（5，0），B（0，8）两点，P为线段BO上的动点，点C，O关于直线AP成轴对称，连结AC，CP． （1）求直线AB的解析式． （2）如图2，连结OC并延长交AB于点D，若OD＝AP，求点D的坐标． （3）如图3，点E是AB的中点，连结CE．当CE与△APO中的一条边平行时，直接写出OP的长． 3．（2023秋•东阳市期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA． （1）求B点坐标为 　 　；线段OA的长为 　 　； （2）确定直线CD解析式，求出点D坐标； （3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN． ①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，直接写出结论； ②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积． 4．（2023秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，0）的直线y＝3x+b与y轴交于点B，直线BC交x轴正半轴于点C，OC＝OB，点P是直线BC上的动点． （1）求直线BC的解析式． （2）若，求点P的坐标． （3）已知点Q在线段AB上，连结OP、OQ、PQ． ①若△PQB与△PQO全等，求线段PQ的长； ②在P、Q的运动过程中，OQ+PQ的最小值为 　 　（直接写出答案）． 5．（2023秋•义乌市期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线AB相交于点C． （1）求点A，C的坐标． （2）现有一动点P沿折线O→C→B→O以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当△OAP为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段OB上运动时，连接CP，CQ．作△CQA关于直线CQ的对称图形△CQA′，作△CPB关于直线CP的对称图形△CPB′，射线CA′交x轴于点M．当B′P∥A′Q时，是否存在t的值，使△MQA′恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数与几何的综合（5题型） 一次函数与新定义的综合题 1．（2024春•玉环市期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝ax+b，我们把 的函数称为一次函数y＝ax+b的反射函数． （1）写出一次函数y＝2x﹣4的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象．（2）若A（2a﹣5，m），B（4﹣a，n）都在（1）中y'图象上，，若m＜n，求a的取值范围． （3）已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点D（2t﹣4，t）是同一坐标平面上的一个动点，当t≥q时，求p的取值范围． 【分析】（1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）m＝﹣2（2a﹣5）﹣4＝﹣4a+6，同理可得：n＝﹣2a+4，即可求解； （3）联立上式和y＝2x﹣4得：2x﹣4x+2，解得：x＝4；联立yx+2和y＝﹣2x﹣4，同理可得：x，当t≥q时，即x≤4，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y'； 当x＝2，y′＝0，当x＝﹣2，y′＝0，当x＝0，y′＝﹣4， 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）∵a，则2a﹣5＜0，4﹣a＞0， 就点A、B在y＝﹣2x﹣4和y＝2x﹣4上， 则m＝﹣2（2a﹣5）﹣4＝﹣4a+6，同理可得：n＝﹣2a+4， ∵m＜n，即﹣4a+6＜﹣2a+4， 解得：a＞1， 即1＜a； （3）由点D的坐标知，点D在直线yx+2（如图，虚线）上， 联立上式和y＝2x﹣4得：2x﹣4x+2， 解得：x＝4； 联立yx+2和y＝﹣2x﹣4，同理可得：x， 当t≥q时，即x≤4， 即t≤4． 2．（2023秋•浦江县期末）本学期，我们已经学习过平面直角坐标系的概念，其中x轴与y轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点O逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点（a，b）在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点（a，b）在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状． 【初步探究】 （1）已知在原平面直角坐标系xOy中有一点，将y轴绕原点O顺时针旋转30°，x轴绕点O顺时针旋转30°得到“动感坐标系”．则点A的动感坐标为 　（0，4）　． （2）在原平面直角坐标系中，设有一点C（m，m+4），将x轴绕原点O逆时针旋转135°得到z轴，y轴绕原点O顺时针旋转45°得到p轴．在z轴上有一点B（﹣6，6），在p轴上有一点D与B在同一条水平线上．当点C到点D之间的距离最小时，求点C的动感坐标． 【类比猜想】 根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质． 【深入探索】 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线y＝kx﹣3相交于点C，与y轴分别交于A、B，且两条直线关于x轴成轴对称．设△ABC三角平分线与对边的交点为E、F、G．将x轴绕点C逆时针旋转60°，得到w轴，y轴绕原点O逆时针旋转m°后刚好经过点G．求点G的动感坐标以及m的值（点G不与原点O重合）． 【分析】【初步探究】（1）根据题意画出图形，利用含有30°角的直角三角形的边长关系和勾股定理，即可解答； （2）根据题意当CD⊥p轴时，点C到点D之间的距离最小，据此作出图形，再求得点C的动感坐标即可； 【类比猜想】根据题意，得出相关结论，言之有理即可； 【深入探索】根据题意画出图形，分类讨论，根据点G不与原点O重合，可以分2种情况讨论，根据等边三角形的性质，结合新定义，即可求解． 【解答】解：【初步探究】（1）如图1，根据题意，过点A作铅垂线、水平线，交y轴于点A，交旋转后的x′轴于点C， ∵， 可得， 根据勾股定理可得， ∴∠AOB＝30°， ∵y轴绕原点O顺时针旋转30°， ∴点A在旋转后的y′轴上， ∵BO∥AC， ∴∠BOA＝∠OAC＝30°， ∵将y轴绕原点O顺时针旋转30°，x轴绕点O顺时针旋转30°， ∴∠AOC仍为90°， 设OC＝a，则AC＝2a， 根据勾股定理可得AO2+OC2＝AC2， 可得方程， 解得a＝±2，舍去负值， ∴OC＝2，AC＝4， ∴A点的动感坐标为（0，4）， 故答案为：（0，4）； （2）∵将x轴绕原点O逆时针旋转135°得到z轴，y轴绕原点O顺时针旋转45°得到p轴， ∴z轴与x轴的夹角为45°，p轴与y轴的夹角为45°， ∴z轴与p轴的夹角为90°， ∴当CD⊥p轴时，点C到点D之间的距离最小 如图，CD⊥p轴，过点C作水平线，铅垂线，交z，p轴于点E，F，BD交y轴于点A， 可得F（m，m），∠CFD＝45°， ∵点D与B在同一条水平线， ∴∠OBD＝∠BDO＝45°， ∵B（﹣6，6）， ∴BA＝AD＝6， ∴D（6，6）， ∵C（m，m+4）， ∴CF＝4，∠CFD＝45°，CD⊥DF， ∴DC＝DF， 又∵BD⊥CF， ∴BD平分∠CDF， ∴∠CDB＝45°， ∴EB∥CD， ∵EC∥BD， ∴四边形EBDC是平行四边形， ∴EC＝BD＝12， ∵CF＝4， ∴点C的动感坐标为（12，4）； ； 【类比猜想】根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得“动感坐标”； 【深入探索】如图3所示，当G在AC上时， ∵直线与直线y＝kx﹣3两条直线关于x轴成轴对称， ∴，CA＝CB， ∴AB＝6， 令y＝0，则， ∴， ∴， ∴AB＝BC＝CA＝6， ∴△ABC是等边三角形，则∠BAC＝60°， 设△ABC三角平分线与对边的交点为E、F、G． 则AG＝GC＝AE＝EB＝BF＝FC＝3， 又∠EAG＝∠BAC＝60°， ∴△AEG是等边三角形，则∠AEG＝60°， ∴m＝60， 过点G作y轴的平行线交w轴于点H， ∵将x轴绕点C逆时针旋转60°，得到w轴， ∴∠ECH＝60°， 又∵∠AEC＝30°， ∴∠GCH＝90°， 又∵GH∥y轴， ∵∠CGH＝∠CAB＝60°，则∠GHC＝30°， 在Rt△CHG中，GH＝2CG＝6， ∴G的动感坐标为（0，6）； 当点G在BC上时，如图3所示， 则∠BEG＝60°， ∴∠AEG＝120°， ∴m＝120， 同理可得FG＝GH＝3， ∴G的动感坐标为（0，3）， 综上所述，m＝60时，G的动感坐标为（0，6）；m＝120时，G的动感坐标为（0，3）． 一次函数与等腰三角形的综合题 1．（2023秋•衢州期末）如图，直线y＝x+4与和y＝﹣kx+12与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点C（4，m），G是y＝﹣kx+12与y轴的交点，点D为AB的中点，点E是线段AC上一个动点（不与点A和C重合），连接DE，并过点D作DE⊥DF交BC于点F． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）当点E的横坐标为﹣1时，在x轴上找到一点P使得△PEF的周长最小，请求出点P的坐标； （3）当△EFG是等腰三角形时，求E点的坐标． 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及AC、AB、BC的长，即可得出△ABC的形状； （2）连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，证明△EMD≌△FND，得出DE＝DF，证明△EDK≌△DFH，得出EK＝DH，求出E（﹣1，3），F（7，5），得出，说明要使△PEF周长最小，即只需时EP+PF最小，作点E关于x轴的对称点E′（﹣1，﹣3），连接E′F，交x轴于点P，连接PE，求出E′F的解析式为y＝x﹣2，求出P（2，0）即可； （3）连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，设点E的坐标为（m，m+4）（﹣4≤m≤4），点H的坐标为：（m+8，0），求出点F的坐标为：（m+8，﹣m+4），得出EG2＝m2+（m﹣8）2，FG2＝（m+8）2+（﹣m﹣8）2＝2（m+8）2，EF2＝（m﹣m﹣8）2+（﹣m+4﹣m﹣4）2＝64+4m2，分三种情况：当EG2＝FG2时，当EG2＝EF2时，m2+（m﹣8）2＝64+4m2，当FG2＝EF2时，列方程求解即可． 【解答】解：（1）△ABC为等腰直角三角形；理由如下： ∵C（4，m）在y＝x+4上， ∴m＝4+4＝8， ∴C（4，8）， 把C（4，8）代入y＝﹣kx+12得： ﹣4k+12＝8， 解得：k＝1， ∴y＝﹣x+12， 把y＝0代入y＝x+4得：x+4＝0， 解得：x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 把y＝0代入y＝﹣x+12得：﹣x+12＝0， 解得：x＝12， ∴B（12，0）， 则， ， AB＝12﹣（﹣4）＝16， 则AC＝BC，且AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为等腰直角三角形． （2）由题意知，即D（4，0），连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，如图1所示： ∴∠MDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDM＝∠FDN， ∵C（4，8），D（4，0）， ∴CD⊥AB，CD平分∠ACB， ∴DM＝DN， ∵∠EMD＝∠FND， ∴△EMD≌△FND（ASA）， ∴DE＝DF， ∵EK⊥AB，FH⊥AB， ∴∠EKD＝∠FHD＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDK+∠FDH＝∠FDH+∠DFH＝90°， ∴∠EDK＝∠DFH， ∴△EDK≌△DFH（AAS）， ∴EK＝DH， 当xE＝﹣1时，yE＝3， ∴E（﹣1，3）， ∴EK＝3， ∴DH＝3， ∴xH＝3+4＝7， ∴yH＝﹣7+12＝5， ∴F（7，5）， ∴， ∴要使△PEF周长最小，即只需时EP+PF最小， 作点E关于x轴的对称点E′（﹣1，﹣3），连接E′F，交x轴于点P，连接PE，如图2， ∵PE＝PE′， ∴PE+PF＝PE′+PF， ∵两点之间线段最短， ∴PE+PF最小， 设E′F的解析式为y＝k′x+b′，把E′（﹣1，﹣3）、F（7，5）代入得： ， 解得：， ∴E′F的解析式为y＝x﹣2，令x﹣2＝0，x＝2， ∴P（2，0）． （3）连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，如图3所示： 根据解析（2）可知D（4，0），△EDK≌△DFH，EK＝DH， 设点E的坐标为（m，m+4）（﹣4≤m≤4）， ∴EK＝m+4， ∴DH＝m+4， ∴点H的坐标为：（m+8，0）， ∴点F的坐标为：（m+8，﹣m+4）， 把x＝0代入y＝﹣x+12代入得：y＝12， ∴G（0，12）， ∴EG2＝m2+（m﹣8）2， FG2＝（m+8）2+（﹣m﹣8）2＝2（m+8）2， EF2＝（m﹣m﹣8）2+（﹣m+4﹣m﹣4）2＝64+4m2， 当EG2＝FG2时，m2+（m﹣8）2＝2（m+8）2， 解得：， ∴； 当EG2＝EF2时，m2+（m﹣8）2＝64+4m2， 解得：m＝0或m＝﹣8（舍去）； ∴E（0，4）； 当FG2＝EF2时，2（m+8）2＝64+4m2， 解得：（舍去）或， ∴； 综上分析可知，点E的坐标为：或（0，4）或． 2．（2023秋•义乌市期末）已知直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C． （1）求新函数的图象l2的解析式； （2）在射线AC上一动点D（x，y），连接BD，试求△BAD的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如图2，过点E（2，﹣6）画平行于y轴的直线EF， ①求证：△ABE是等腰直角三角形； ②将直线l1沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线l1与x轴交于点A1，与y轴交于点B1，在直线EF上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得△A1B1P是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【分析】（1）求出A，B的坐标，根据对称性，求出C点坐标，待定系数法，求出l2的解析式即可； （2）分点D在线段AC上和点D在线段AC的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出AB，AE，BE的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点P，点B1，点A1分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：∵yx﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝4， ∴A（4，0），B（0，﹣2）， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C， ∴C与B关于x轴对称，l2过点A， ∴C（0，2）， 设l2：y＝kx+2，将A（4，0），代入得：， ∴l2：yx+2； （2）解：∵A（4，0），B（0，﹣2），C（0，2）， ∴BC＝4，OA＝4， ∴S△ABC4×4＝8， ①当点D在线段AC上，如图1.1：即：0≤x＜4时， S＝S△ABC﹣S△DBC＝84x＝8﹣2x； ②当点D在线段AC的延长线上，如图1.2，即：x＜0时， S＝S△ABC+S△DBC＝84（﹣x）＝8﹣2x， 综上：S＝8﹣2x（x＜4）； （3）①证明：∵A（4，0），B（0，﹣2），E（2，﹣6）， ∴AB22，BE2， ∴AB＝BE，AB2+BE2＝40＝AE2， ∴△ABE是等腰直角三角形； ②存在，理由如下： 当点P为直角顶点时，设P（2，n），如图2： 由平移的性质，设直线A1B1的解析式为， 当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝﹣2b， ∴A1（﹣2b，0），B（0，b）， 过点B1作B1G⊥EF，设EF交x轴于点H， ∵△A1B1P为等腰直角三角形，EF∥y轴， ∴∠A1PB1＝∠B1GP＝∠PHA1＝90°，PB1＝PA1，B1G＝2， ∴∠B1PG＝∠PA1H＝90°﹣∠APH， ∴△PA1H≌△B1PG（AAS）， ∴PH＝B1G＝2，A1H＝PG， ∴|n|＝2，|b﹣n|＝|﹣2b﹣2|， ∴当n＝2时，b＝﹣4或b＝0，当n＝﹣2时，或b＝0； ∴P（2，2）或P（2，﹣2）； 当点B1为直角顶点时，如图3： 过点P作PH⊥y轴，则PH＝2， 同上法可得：△B1OA1≌△PHB1， ∴OB1＝PH＝2，B1H＝OA1， ∴B1（0，2）或B1（0，﹣2）（舍去）； ∴直线AB向上平移了4个单位， ∴直线A1B1的解析式为：， ∴当y＝0时，x＝﹣4， ∴A1（﹣4，0）， ∴B1H＝OA1＝4， ∴OH＝2， ∴P（2，﹣2）； 当点A1为直角顶点时：此时A1在x轴正半轴上，B1在y轴负半轴上， 设平移后的解析式为：， 当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝﹣2m， ∴A1（﹣2m，0），B（0，m）， 当A1在EF的右侧时，如图4： 同法可得：△A1OB1≌△PHA1， ∴PH＝OA1＝﹣2m，A1H＝OB1＝﹣m， ∴OH＝﹣2m﹣（﹣m）＝2， 解得：m＝﹣2， ∴PH＝OA1＝4， ∴P（2，4）； 当A1在EF的左侧时，如图5： 同法可得：△A1OB1≌△PHA1， ∴PH＝OA1＝﹣2m，A1H＝OB1＝﹣m， ∴OH＝﹣2m﹣m＝2， ∴m， ∴PH＝OA1（不合题意，舍去）； 综上：P（2，2）或P（2，﹣2）或P（2，4）． 一次函数与直角三角形的综合题 1．（2023秋•新昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣3与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线y＝x相交于点A． （1）求点A的坐标及△AOB的面积． （2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得△PDH是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． （3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使∠MAE＝∠OAB，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把y＝0代入y＝2x﹣3中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到△AOB的面积； （2）设P（a，a），则D（a，2a﹣3），则PD＝﹣a+3，PH＝a，由等腰Rt△PDH得到PH＝PD，即a＝﹣a+3，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作BN⊥AB与AM的延长线交于点N．证明△ABN是等腰直角三角形，得到AB＝NB．过点N作NF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G．易证△NFB≌△BGA（AAS），得到，BF＝AG＝3，进而得到．通过待定系数法求出直线AN的解析式，令x＝0，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【解答】解（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为（3，3）． 把y＝0代入y＝2x﹣3得2x﹣3＝0， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设P（a，a），则D（a，2a﹣3）． ∴PD＝a﹣（2a﹣3）＝﹣a+3． ∵PH⊥y轴． ∴PH＝a． ∵△PDH是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴PH＝PD． ∴a＝﹣a+3． ∴． ∴． （3）M（0，2）或（0，4）． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作BN⊥AB与AM的延长线交于点N． ∵A（3，3），AE⊥y轴， ∴AE＝EO＝3，∠AEO＝90°， ∴， ∵∠MAE＝∠OAB． ∴∠MAB＝∠MAO+∠OAB＝∠MAO+∠MAE＝∠EAO＝45°． ∵BN⊥AB， ∴∠ABN＝90°， ∴∠ANB＝90°﹣∠NAB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠NAB＝∠ANB， ∴BN＝BA． 过点N作NF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G． ∴∠NFB＝∠AGB＝90°， ∴∠FNB+∠NBF＝90°， ∵∠ABN＝90°， ∴∠ABG+∠NBF＝180°﹣∠ABN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠FNB＝∠GBA， ∵BN＝BA， ∴△NFB≌△BGA（AAS）． ∴NF＝BG，BF＝AG． ∵G（3，0），． ∴，BF＝AG＝3． ∴． ∴． 设直线NA解析式为y＝kx+b， ∵直线NA经过点，A（3，3）， ∴，解得：， ∴直线NA解析式为， 令x＝0，得y＝2． ∴点M的坐标为（0，2）． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知M（0，4）． 综上所述：M（0，2）或（0，4）． 2．（2023秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线 CD：yx与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N的坐标． 【分析】（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+b，求出b＝4，即可得得直线AB：y＝2x+4； （2）求出点C、D、E的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情况讨论，当∠MFN＝90°时，求出∠EFC＝135°，得∠EFO＝45°，得EH＝FH＝2，得点F坐标，进而可得点N的坐标；当∠FMN＝90°时，由翻折得EN＝EC，根据勾股定理得EC2，则MN＝EN﹣EM＝22，即可得点N的坐标为（﹣1，2﹣2）． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+b得﹣4+b＝0，， ∴b＝4， ∴直线AB：y＝2x+4； （2）∵直线AB：y＝2x+4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∵直线 CD：yx与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E， 当x＝0时，y，当y＝0时，0x，解得x＝3， ∴C（3，0）、D（0，）， 联立yx与y＝2x+4得，解得， ∴E（﹣1，2）， ∴BD＝4， ∴S△BDEBD×11， ∴△BDE的面积为； （3）如图2，当∠MFN＝90°时，过点E作EH⊥x轴于H， 由翻折得∠EFC＝∠EFN（360°﹣90°）＝135°， ∴∠EFO＝135°﹣90°＝45°， ∵E（﹣1，2）， ∴EH＝2，OH＝1， ∴EH＝FH＝2， ∴OF＝FH﹣OH＝2﹣1＝1， ∵C（3，0）， ∴CF＝OC﹣OF＝3﹣1＝2， 由翻折得FN＝CF＝2， ∴点N的坐标为（1，﹣2）； 如图3，当∠FMN＝90°时， 由翻折得EN＝EC， ∵E（﹣1，2），C（3，0）， ∴EM＝2，EC2， ∴MN＝EN﹣EM＝22， ∴点N的坐标为（﹣1，2﹣2）； 综上，点N的坐标为（1，﹣2）或（﹣1，2﹣2）． 一次函数与全等三角形的综合题 1．（2023秋•柯桥区期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若直线AB上有一点P，且S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标； （3）直线BC上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式． （2）先求出A点坐标，再结合S△PBC＝2S△ABC，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P； （3）分情况：当△ABC≌△MBC，则点M即为点A；当△ABC≌△MCB，求得过点A与直线BC平行的直线l的表达式，设点，根据全等得性质和两点之间的距离即可求得a，进一步求得点M． 【解答】解：（1）一次函数y＝2x﹣1的图象与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴B（0，﹣1）， 又C（3，0） 设直线BC的函数表达式为：y＝kx﹣1， 把C（3，0）代入y＝kx﹣1， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为：． （2）一次函数y＝2x﹣1的图象与x轴交于点A， ∴当y＝0时，， ∴， 设AB上有一点P（x，2x﹣1）使得S△PBC＝2S△ABC， 如图， S△PAC＝3S△ABC，得，解得yP＝﹣3，则点P（﹣1，﹣3）； ，得，解得yP＝1，则点P1（1，1）； 综上所述，点P（﹣1，﹣3）或P（1，1）． （3）①当△ABC≌△MBC，则点M即为点A，此时点 ②当△ABC≌△MCB， 设过点A与直线BC平行的直线l：， 代入， 解得l：， 设点， ∵MC＝AB，，， ∴a1＝2，（舍去）， 则点， 故点或． 2．（2023秋•莲都区期末）如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D． （1）求点A，点D的坐标． （2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值． （3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣2x﹣6中，令y＝0，即可得A点的坐标，由待定系数法可求得直线n的解析式，联立y＝﹣2x﹣6即可得点D的坐标； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，则PC+PD＝PD+PE，结合两点之间线段最短可得此时PC+PD最小，PA+PB最小，求出DE、AB即可得答案； （3）证明△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A， 令y＝0，可得0＝﹣2x﹣6，解得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 设直线n的解析式为y＝kx+b， ∵直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1）， ∴，解得， ∴直线n的解析式为yx﹣1， 联立y＝﹣2x﹣6得，解得， ∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP， ∴PE＝PC，E（0，1）， ∴PC+PD＝PD+PE，此时PC+PD＝DE最小，PA+PB＝AB最小， ∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），B（2，0）， ∴DE，AB＝2+3＝5， ∴PA+PB+PC+PD的最小值为5； （3）∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），点D的坐标为（﹣2，﹣2）； ∴AB＝2+3＝5，AD，BD2， 设M（m，﹣2m﹣6），N（n，n﹣1）， 当△MND≌△BAD时，ND＝AD，MD＝BD＝2， ∴2，， 解得m＝0或﹣4，n＝0或﹣4， ∴点M和点N的坐标分别为（﹣4，2）、（0，﹣1）或（0，﹣6）、（0，﹣1）或（﹣4，2）、（﹣4，﹣3）或（0，﹣6）、（﹣4，﹣3）． 一次函数与将军饮马的综合题 1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F． （1）求线段OC的长； （2）当DE＝EF时，求点D的坐标； （3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值． 【分析】（1）先求出点A，B坐标，得出S△BOA，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为（0，a），结合yx+6，表达出DE的值，再结合（1）求出OC的解析式，表达出点F的坐标，根据DE＝EF建立等式，计算即可作答． （3）在OB上取点H，OH＝AC，连接MH，运用勾股定理求出AC3.6，然后得到△ACN≌△HOM，根据全等性质，得AN＝HM，OH＝AC＝3.6，点A，M，H三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）∵直线yx+6分别交x轴，y轴于点B，A， ∴当x＝0，则 y＝0，故A（0，6）； 当y＝0，则x＝8，故B（8，0）； ∴AB10， ∵OC⊥AB， ∴S△BOAOC×AB， 即OA×OB＝OC×AB， ∴6×8＝10×OC， ∴OC＝4.8； （2）依题意，设点D的坐标为（0，a）， ∵过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．且yx+6， ∴当y＝a，则ax+6，解得x， ∴，即DE； 过点C作CH⊥OB， 由（1）知OC＝4.8，OB＝8 ∴BC6.4 根据等面积法OC×BC， 得CH3.84， ∴OH2.88， 则C（2.88，3.84）， 设直线OC的解析式为y＝kx， 把C（2.88，3.84）代入y＝kx， 解得k， ∴直线OC的解析式为yx， 则点， ∴EF， ∵DE＝EF， ∴， 解得a， ∴； （3）如图：在OA取OE＝AC，连接EM，作A关于OC的对称点A′，连接EA′，MA′， ∵C（2.88，3.84），A（0，6），OC⊥AB， ∴AC3.6，A′（5.76，1.68）， ∴E（0，3.6） ∵OM＝CN，∠ACN＝∠MOE，AC＝OE， ∴△ACN≌△EOM（SAS）， ∴EM＝AN， 由对称的性质可知，AM＝A′M ∴AM+AN＝EM+MA′， 则点A′，M，E三点共线时，则有最小值， 此时最小值． 1．（2023秋•吴兴区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3），连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，将点B向左平移5个单位长度至点C，连结BC． （1）求点B、点C的坐标； （2）将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，求直线CD的函数表达式； （3）现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD运动，运动时间为t秒．请探究：当t等于多少时，△BCP为等腰三角形． 【分析】（1）过A、B分别做AE、BF垂直于x轴于E，F，根据将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，可证△AEO≌△OFB（AAS），有AE＝OF＝3，OE＝BF＝4，即知B（3，4），而将点B向左平移5个单位长度至点C，故C（﹣2，4）； （2）设BC交y轴于T，CD交y轴于K，由B（3，4），BC＝5，得CT＝BC﹣BT＝5﹣3＝2，根据将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，BC⊥y轴，知△CKT是等腰直角三角形，故CT＝KT＝2，K（0，2），再用待定系数法可得直线CD的解析式为y＝﹣x+2； （3）分三种情况：①当CB＝CP＝5时，2t＝5，得t＝2.5；②当BC＝BP＝5时，∠BCP＝∠BPC＝45°，知∠CBP＝90°，故CP5，可得t；③当PB＝PC时，P在BC的垂直平分线上，有xP，在y＝﹣x+2中，令xP（，），故CP，得t． 【解答】解：（1）过A、B分别做AE、BF垂直于x轴于E，F，如图： ∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB， ∴OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣∠BOF＝∠OBF， ∵∠AEO＝∠BFO＝90°， ∴△AEO≌△OFB（AAS）， ∵A（﹣4，3）， ∴AE＝OF＝3，OE＝BF＝4， ∴B（3，4）， ∵将点B向左平移5个单位长度至点C， ∴BC＝5， ∴C（﹣2，4）； （2）设BC交y轴于T，CD交y轴于K，如图： ∵B（3，4），BC＝5， ∴CT＝BC﹣BT＝5﹣3＝2， ∵将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，BC⊥y轴， ∴△CKT是等腰直角三角形， ∴CT＝KT＝2， ∴OK＝OT﹣KT＝4﹣2＝2， ∴K（0，2）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 把C（﹣2，4），K（0，2）代入得： ， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+2； （3）①当CB＝CP＝5时，如图： ∴2t＝5， 解得t＝2.5； ②当BC＝BP＝5时，如图： ∴∠BCP＝∠BPC＝45°， ∴∠CBP＝90°， ∴CP5， ∴2t＝5， 解得t； ③当PB＝PC时，如图： ∴P在BC的垂直平分线上， ∵B（3，4），C（﹣2，4）， ∴xP， 在y＝﹣x+2中，令x得y2， ∴P（，）， ∴CP， ∴2t， 解得t； 综上所述，当t等于秒或秒或秒时，△BCP为等腰三角形． 2．（2023秋•开化县期末）如图1，直线AB分别与x轴，y轴交于点A（5，0），B（0，8）两点，P为线段BO上的动点，点C，O关于直线AP成轴对称，连结AC，CP． （1）求直线AB的解析式． （2）如图2，连结OC并延长交AB于点D，若OD＝AP，求点D的坐标． （3）如图3，点E是AB的中点，连结CE．当CE与△APO中的一条边平行时，直接写出OP的长． 【分析】（1）利用待定系数法即可得直线AB的解析式． （2）过点D作DM⊥OB于M，证明△ODM≌△APO（AAS），可得OM＝OA＝5，将y＝5代入直线AB的解析式，即可得点D的坐标． （3）分三种情况：①当CE∥OA时，②当CE∥OP时，③当CE∥AP时，分别求解即可． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（5，0），B（0，8）代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+8； （2）过点D作DM⊥OB于M， ∴∠ODM+∠DOM＝90°， ∵AP⊥OC（对称轴垂直平分对称点的连线）， ∴∠DOM+∠APO＝90°， ∴∠ODM＝∠APO， 在△ODM和△APO中， ∵， ∴△ODM≌△APO（AAS）， ∴OM＝OA＝5，即yD＝5， 当y＝5时，， ∴D（，5）； （3）∵A（5，0），B（0，8），点E是AB的中点， ∴E（，4），OA＝5，OB＝8， 分三种情况： ①当CE∥OA时，延长EC交y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于N， ∵∠AOB＝90°，CE∥OA，CN⊥x轴， ∴∠MON＝∠CMO＝∠CNO＝90°， ∴四边形OMCN是矩形， ∵ME∥OA，CN⊥x轴，E（，4）， ∴CN＝OMOB＝4， 设OP＝x，则MP＝OM﹣OP＝4﹣x， ∵点C，O关于直线AP成轴对称， ∴CA＝OA＝5，OP＝CP＝x， ∴NA3， ∴MC＝ON＝OA﹣NA＝5﹣3＝2， 在Rt△CMP中，MC2+MP2＝CP2， ∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x， ∴OP； ②当CE∥OP时，延长CE交x轴于点H，过点P作PG⊥CH于N， 同理得四边形OPGH是矩形， ∵E（，4），CE∥OP， ∴OH＝PG， 设OP＝GH＝x， ∵点C，O关于直线AP成轴对称， ∴CA＝OA＝5，OP＝CP＝x， ∴CH， ∴CG＝CH﹣GHx， 在Rt△CGP中，CG2+GP2＝CP2， ∴（）2+（x）2＝x2，解得x， ∴OP； ③当CE∥AP时，延长EC交y轴于点K， 设OP＝x，则BP＝8﹣x， ∵点C，O关于直线AP成轴对称， ∴∠CPA＝∠OPA，OP＝CP＝x， ∵CE∥AP， ∴∠CPA＝∠KCP，∠PKC＝∠OPA， ∴∠KCP＝∠PKC， ∴PK＝CP＝x， 在△ABP中，EK∥AP，点E是AB的中点， ∴BK＝PK＝x， ∴OP＝BK＝PK＝x， ∴OPOB； 综上，OP的长为或或． 3．（2023秋•东阳市期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA． （1）求B点坐标为 　（0，4）　；线段OA的长为 　3　； （2）确定直线CD解析式，求出点D坐标； （3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN． ①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，直接写出结论； ②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积． 【分析】（1）根据直线yx+4交坐标轴于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，可以求得点B的坐标和OA的长； （2）根据△COE≌△BOA，可以得到OE＝OA，再根据点A的坐标可以的大点E的坐标即可求得直线CE的解析式，然后与直线yx+4联立方程组，即可求得点D的坐标； （3）①根据题目中的条件，可以证明△OME≌△ONA，即可得到OM和ON的数量关系； ②要求△OMN面积最小值，由OM＝ON，OM⊥ON，可知当OM取得最小值时即可，当OM⊥CE时，OM取得最小值，然后根据勾股定理和等积法可以求得OM的长，即可求得点M的坐标，本题得以解决． 【解答】解：（1）∵直线yx+4交坐标轴于A、B两点， ∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4， ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝3； 故答案为：（0，4），3； （2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA（已知）， ∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA， ∵点A（3，0）， ∴OA＝3， ∴OE＝3， ∴点E的坐标为（0，3）， 设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，代入得： ， 解得， ∴直线CE的解析式为yx+3， 即直线CD的解析式为yx+3， 由，得， 即点D的坐标为（，）； （3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变， 证明：∵△COE≌△BOA， ∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN， ∵∠BOA＝90°，ON⊥OM， ∴∠MON＝∠BOA＝90°， ∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA， ∴∠MOE＝∠NOA， 在△MOE和△NOA中， ， ∴△MOE≌△NOA（ASA）， ∴OM＝ON， 即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变； ②由①知OM＝ON， ∵OM⊥ON， ∴△OMN面积是：， ∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值， ∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°， ∴CE＝5， ∵当OM⊥CE时，OM取得最小值， ∴， ∴， 解得，OM， ∴△OMN面积取得最小值是：， 当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3）， ∴a2+（a+3）2＝（）2 解得，a， ∴a+3， ∴点M的坐标为（，）， 由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是． 4．（2023秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，0）的直线y＝3x+b与y轴交于点B，直线BC交x轴正半轴于点C，OC＝OB，点P是直线BC上的动点． （1）求直线BC的解析式． （2）若，求点P的坐标． （3）已知点Q在线段AB上，连结OP、OQ、PQ． ①若△PQB与△PQO全等，求线段PQ的长； ②在P、Q的运动过程中，OQ+PQ的最小值为 　　（直接写出答案）． 【分析】（1）把点A代入直线y＝3x+b得B（0，6），设直线BC解析式为y＝kx+6，代入B得k＝﹣1，故直线BC的解析式为y＝﹣x+6． （2）设P（t，﹣t+6），当P在CB延长线上时，S△APCS△ABC8×6＝32，再计算即可．当P在线段CB上时，S△APCS△ABC8×6＝16，再计算即可． （3）①当△PQB≌△PQO时，得QP为△BAC中位线，故PQAC＝4．当△PQB≌△QPO时，得四边形BPOQ是平行四边形，由平移得直线OP解析式为y＝3x，直线OQ解析式为y＝﹣x，联立得P（，），Q（，），故PQ3． ②过O作AB的对称点O'，过O'作O'P⊥BC，连OQ，此时OQ+PQ＝O'Q+PQ＝O'P最小．由Rt△OAK∽Rt△OBA，得AK，OK，再利用Rt△OAK～Rt△OO'M，得OM，O'M，故O'（，），N（，），由等腰Rt△得O'P，再计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0）在直线y＝3x+b上， ∴b＝6， ∴B（0，6）， ∵OC＝OB， ∴C（6，0）， 设直线BC解析式为y＝kx+6， ∴0＝6k+6， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6． （2）设P（t，﹣t+6）， 当P在CB延长线上时， ∵， ∴S△APCS△ABC8×6＝32， ∴8×（﹣t+6）＝32， ∴t＝﹣2， ∴P（﹣2，8）． 当P在线段CB上时， ∵， ∴S△APCS△ABC8×6＝16， ∴8×（﹣t+6）＝16， ∴t＝2， ∴P（2，4）． 答：P坐标为（﹣2，8）或（2，4）． （3）①当△PQB≌△PQO时， ∴QB＝QO， ∴∠QBO＝∠QOB， ∵∠QBO+∠BAO＝90°， ∠QOB+∠QOA＝90°， ∴∠BAO＝∠QOA， ∴QA＝QO， ∴QB＝QO， ∴QP为△BAC中位线， ∴PQAC＝4． ②当△PQB≌△QPO时， ∴QB＝PO，且QB∥PO， ∴四边形BPOQ是平行四边形， ∴AB∥OP，OQ∥BC， ∵直线AB解析式为y＝3x﹣2， ∴向右平移两个长度单位为直线OP解析式：y＝3x， 同理，直线OQ解析式为：y＝﹣x， 联立y＝3x﹣2得P（，）， 同理：Q（，）， ∴PQ3． 答：线段PQ的长为4或3． ②过O作AB的对称点O'，过O'作O'P⊥BC，连OQ， 此时OQ+PQ＝O'Q+PQ＝O'P最小． 过O'作O'M⊥x轴． ∴Rt△OAK∽Rt△OBA， ∴OA2＝AK•AB， ∴22＝AK•， ∴AK， ∴OK， ∴OO'＝2OK， ∵Rt△OAK～Rt△OO'M， ∴， ∴， ∴，O'M， ∴O'（，）， ∴R的纵坐标， ∴R（，）， ∵∠PRO'＝∠BCA＝45°， ∴O'P， 故答案为：． 5．（2023秋•义乌市期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线AB相交于点C． （1）求点A，C的坐标． （2）现有一动点P沿折线O→C→B→O以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当△OAP为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段OB上运动时，连接CP，CQ．作△CQA关于直线CQ的对称图形△CQA′，作△CPB关于直线CP的对称图形△CPB′，射线CA′交x轴于点M．当B′P∥A′Q时，是否存在t的值，使△MQA′恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用函数关系式，求出点A、C的坐标即可； （2）①根据两点间距离公式求出，，，分四种情况进行讨论：当点P运动到点C时，当点P在BC上运动，AP＝OA＝12时，当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据折叠说明∠MA′Q≠90°，分两种情况进行讨论：当∠QMA′＝90°时，当∠A′QM＝90°时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：（1）把y＝0代入得： ， 解得：x＝12， ∴A（12，0）； 联立， 解得：， ∴C（6，8）． （2）把y＝0代入得：y＝16， ∴B（0，16）， ∴， ， ； ①当点P运动到点C时，如图1.1所示： 此时AP＝OP＝10，△OAP为等腰三角形， ∴t＝10÷2＝5； 当点P在BC上运动，AP＝OA＝12时，如图1.2所示： 此时△OAP为等腰三角形， ∴t＝（10+12﹣10）÷2＝6； 当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，过点O作OD⊥AB于点D，如图1.3所示： 此时△OAP为等腰三角形， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵OD⊥AB，OP＝OA， ∴， ∴AP＝2AD＝14.4 ∴t＝（10+14.4﹣10）÷2＝7.2； 当点P在BC上运动，OP＝OA＝12时，如图1.4所示： 此时△OAP为等腰三角形， t＝（10+10+16﹣12）÷2＝12； 综上分析可知，t＝5或6或7.2或12． ②存在t的值，使△MQA′恰好是直角三角形；理由如下： 当∠QMA′＝90°时，如图2所示： 设QA′交y轴于点N，CB′交y轴于点E， 根据折叠可知，∠CBP＝∠B′，∠CAQ＝∠MA′Q， ∵∠CBP+∠CAQ＝90°，∠MQA′+∠MA′Q＝90°， ∴∠CBP＝∠MQA′， ∴∠B′＝∠MQA′， ∵∠BOA＝∠QMA′＝90°， ∴CA′∥OB， ∴∠MA′Q＝∠BNQ， ∵B′P∥A′Q， ∴∠B′PE＝∠BNQ， ∴∠B′PE＝∠MA′Q， ∵∠MQA′+∠MA′Q＝90°， ∴∠B′PE+∠B′＝90°， ∴∠PEB′＝90°， ∴B′C⊥y轴， ∵C（6，8），B′C＝BC＝10， ∴B′（﹣4，8）， 设BP＝m，则B′P＝m，PE＝8﹣m， 根据勾股定理得：B′P2＝B′E2+PE2， 即m2＝42+（8﹣m）2， 解得：m＝5， ∴t＝（10+10+5）÷2＝12.5； 当∠A′QM＝90°时，如图3所示： ∵∠A′QM＝∠BOA＝90°， ∴A′Q∥y轴， ∵B′P∥A′Q，点P在y轴上， ∴此时点B′在y轴上， ∵△CPB关于直线CP的对称图形△CPB′， ∴此时CP⊥y轴， ∴P（0，8）， ∴t＝（10+10+16﹣8）＝14； 根据折叠可知：∠MA′Q＝∠CAO， ∵∠CAQ≠90°， ∴∠MA′Q≠90°； 综上分析可知，t＝12.5或14． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$