期末思维素养05：图形与几何【十二大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 22 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 22 目 录 【奥数拓展一】周长的大小比较。 ........................................................................................ 3 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一） ........................................................................ 4 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二） ........................................................................ 5 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三） ........................................................................ 6 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一） .................................................................................... 8 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二） .................................................................................... 9 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积 .......................................................................... 10 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） ..................................................12 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积 .............................................................................. 14 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积 .............................................................................. 15 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积 ......................................................17 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积 ..............................................20 3 / 22 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末思维素养 05：图形与几何【十二大考点】 【奥数拓展一】周长的大小比较。 如图所示，在 1个大圆内有 3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆 周长与这 3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 解析：大圆周长与所有小圆周长之和相等。 【专项训练】 1.如图所示，从 A点到 C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 解析：相等。 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈 2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如 果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 解析：同时到达。 3.已知线段 AB长 30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 解析：3.14×30=94.2(厘米) 4 / 22 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一）。 图 1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 解析： 12×4+3.14×6×2=48+37.68=85.68(厘米) 答：这个零件横截面的周长是 85.68厘米。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将原图形的周长看成一个长方形与两个圆形的周长之和。 (8+4)×2+3.14×3×2=24+18.84=42.84(厘米) 所以，图形的周长是 42.84厘米。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将图形看成是三个半径为 3厘米的圆与两个半径为 2厘米的圆的周长和 5 / 22 3.14×3×2×3+3.14×4×2=3.14×26=81.64(厘米) 所以，图形的周长是 81.64厘米。 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是 7米，请你算出涂色部分的周 长。 解析： 涂色部分的周长实质就是四个小圆的周长和 7×π×4=28π=87.92(米) 所以，涂色部分的周长为 87.92米。 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二）。 把 3根底面直径为 6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用 多长的铁丝(接头处长 8厘米)? 解析： 3.14×6+6×3+8=18.84+18+8=44.84(厘米) 答：捆一圈至少要用 44.84厘米长的铁丝。 【专项训练】 1.把 3根底面半径为 4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要 用多长的铁丝(接头处不计)? 解析：4×2=8(厘米)，(3.14×8+8×3)×2=98.24(厘米) 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是 2.5厘米.求阴影部分的周长。 6 / 22 解析：2.5×2×3.14+2.5×2×2=25.7(厘米) 3.有 4段同样的圆木，横截面圆的半径是 10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所 示)，只需要捆 1圈，打结处需要 15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳 子? 解析： 将绳子的长度看成 4条直径与一个圆的周长和，再加上打结处的长度 3.14×10×2+10×2×4+15=157.8(厘米) 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三）。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 解析： 2×3.14×6=37.68(厘米) 答：阴影部分的周长是 37.68厘米。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为 20厘米，求这个组合图形的周长。 7 / 22 解析 2×3.14×20× 4 3 ×2=188.4(厘米) 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点 A和点 C，AE=4米，点 B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取 3) 解析： 4+3×4×2÷4+3×2×2÷4=13(m) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是 100 厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取 3.14) 解析： 100+100×2×3.14÷4+100×2×2×3.14÷4+100×3×3.14÷2 =100+157+314+471 =1042(厘米) 8 / 22 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一）。 如图所示，A圆的半径为 3厘米，B圆的半径为 4厘米，如 果 A圆不动，B圆 沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 解析： （圈） ）（ 4 7 414.32 4314.32    【专项训练】 1.有 A、B两个圆，A圆的半径为 2厘米，B圆的半径为 5厘米，如果 A圆不动， B圆沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 解析： 5 7 514.32 5214.32    ）（ 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为 a厘米，乙圆的半径为 b厘米，如果甲圆不动， 乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 解析： b ba b14.32 ba14.32     ）（ 3.正方形 ABCD的边长正好等于 1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方 形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个 硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 解析： 9 / 22 5 4 11 4 11 4 11 4 11  【奥数拓展六】圆周滚动问题（二）。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长 8厘米、宽 6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转 90°，连续旋转四次后 A 点到了 E 点的 位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取 3)。 解析： 6²+8²=CF²，CF=10(厘米) 4 1 ×3×6×2+ 4 1 ×3×10×2+ 4 1 ×3×8×2=36(厘米) 答：A点走过的路程总长是 36厘米。 【专项训练】 1.等边三角形 ABC 的边长是 9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚 10 次(如 图 所示)，求 A点经过的路程长。 解析： （厘米））（ 88.131 360 1203 360 2402914.3  2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为 6米的正方形，拴小狗的绳长 20米，小狗从 A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 10 / 22 解析： 如图，当狗沿顺时针方向跑 90度时，有 6米的绳子将与小房子贴紧，同样，每 次跑的时候，都有 6米的绳子与小房子贴紧，这样就得到四条弧，每条弧的圆心 角都是 90度，半径分别是 20米、14米、8米、2米，分别求出弧长再相加就可 以了。 弧 AB：3.14×20×2÷4 =31.4(米)； 弧 BC：3.14×14×2÷4 =21.98(米)； 弧 CD：3.14×8×2÷4=12.56(米)； 弧 DE：3.14×2×2÷4=3.14(米)； 狗最多跑：31.4+21.98+12.56+3.14=69.08(米) 3.一个边长为 100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取 3.14)? 解析：2384厘米。 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积。 如图 1 所示，正方形的边长为 8 厘米，A和 B分别是两条边长的中点，求阴影 部分的面积。 11 / 22 解析： 因为 A和 B分别是边长的中点，所以上下两个长方形完全一样，而图 1中阴影 部分的面积又可以分为两部分：上面是一个半圆，下面的部分可以看作从一个长 方形中减去两个扇形的面积，两个扇形拼在一起相当于上面一个半圆，因此，我 们可以将阴影部分割拼成一个长方形(如图 2所示)，它的面积正好是正方形面积 的一半， 8×8÷2=32(平方厘米) 答：阴影部分的面积是 32平方厘米。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为 10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取 3.14) 12 / 22 解析： 不难发现图中阴影“逗号”的面积恰好等于大圆面积的一半 2 1 ×3.14×10²=157(平方厘米) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 3.14×6²÷4=28.26(平方厘米) 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是 5厘米，求阴 影部分的面积。 解析： 3.14×(5×2)²× 360 45 - 2 1 ×5×2×5=14.25(平方厘米) 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是 4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每 只羊的羊绳长 4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 解析： 13 / 22 3.14×4²÷2-4×4=25.12—16=9.12(平方米) 答：两只羊都能吃到草的区域面积是 9.12平方米。 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多 28平方厘米，AB长 40厘米，CB垂直于 AB，求 BC的长。 解析： [3.14×(40÷2)²÷2-28]×2÷40=30(厘米) 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 解析： 3.14×6²× 360 50 -6×5÷2=0.7(平方厘米) 3.如图所示，边长为 2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部 分的面积之差为多少平方厘米?(π取 3.14) 解析： 14 / 22 (2÷2)²π÷2—(2×2-2²π÷4) ==1.57—0.86 =0.71(平方厘米) 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是 25平方厘米，求圆环的面积。 解析： π×R²—π×r²=π×(R²—r²)=3.14×50=157(平方厘米) 答：圆环的面积为 157平方厘米。 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示， 如果直角三角形的面积是 40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 解析： r×r÷2=40，r²=80，3.14×80=251.2(平方厘米) 2.下图中阴影部分的面积是 40平方厘米，求环形的面积。 15 / 22 解析： 3.14×(R²-r²)=3.14×40=125.6(平方厘米) 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是 30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 解析： 2r×r÷2=30，r²=30 所以，圆的面积是 3.14×30=94.2(平方厘米)。 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积。 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【答案】6.28平方厘米 【分析】三个扇形可以拼成一个半径为 2厘米的半圆，那么阴影部分的面积＝半 圆的面积，然后根据圆的面积公式 S＝πr2把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 16 / 22 ＝6.28（平方厘米） 所以，图中阴影部分的面积之和是 6.28平方厘米。 【专项训练】 1. 计算下图中阴影部分的面积。 【答案】39.25 2cm 【详解】3.14× 25 ÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25 2cm 2. 计算阴影部分面积。（ 取 3.14） 【答案】12.56平方厘米 【分析】根据三角形内角和 180度以及扇形的特点，两个圆的半径相等，图中两 个扇形加起来正好是一个圆心角是 90度的扇形，即一个圆的 1 4 。据此计算。 【详解】3.14×42× 1 4 ＝3.14×16× 1 4 ＝12.56（平方厘米） 3. 求涂色部分的面积。 17 / 22 【答案】14.13cm2； 13.76cm2 【分析】通过图可知，由于三角形的内角和是 180°，所以第一个图形的三个扇 形拼接在一起正好能够构成一个半径是 3厘米的半圆，根据半圆的面积公式：S ＝πr2÷2，把数代入即可求解； 通过图可知，两个半径构成一个正方形边长，即圆的半径：8÷2＝4厘米，正方 形里面相当于 4个 1 4 的圆，那拼在一起相当于一个半径是 4厘米的圆，用正方形 的面积－4个 1 4 圆的面积＝涂色部分面积；根据正方形的面积公式：边长×边长， 圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求解。 【详解】第一个图形：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 第二个图形：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积。 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 18 / 22 【答案】34.26cm； 214.13cm 【分析】结合图示可知， ①阴影部分周长由 6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长 的 1 4 ，故可列式为：6 6 3.14 4 6    ； ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转 180°，恰好与右边的合为半圆， 即阴影部分面积就是半圆的面积，故可列式为： 23.14 (6 2) 2   。 【详解】6 6 3.14 4 6    6 18.84 4 6    6 28.26  34.26( )cm 23.14 (6 2) 2   3.14 9 2   214.13( )cm 【专项训练】 1. 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】38.465平方厘米 【分析】把左上角扇形阴影部分移动到右下角，和圆环阴影部分组合在一起，两 19 / 22 块阴影部分的面积整体可以看成是一个半径为 5＋2＝7（厘米）的圆的面积的 1 4 ， 根据圆的面积 S＝πr2，把数据代入求解即可。 【详解】  21 3.14 5 24   21 3.14 7 4    0.785 49  38.465 （平方厘米） 2. 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为 1厘米） 【答案】3.14平方厘米 【分析】将阴影部分拼在一起可知，阴影部分的面积是一个半径为（1＋1）厘米 的圆面积的 1 4 ，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】1＋1＝2（厘米） 3.14×22× 1 4 ＝3.14×4× 1 4 ＝12.56× 1 4 ＝3.14（平方厘米） 阴影部分的面积是 3.14平方厘米。 3. 如图，点 P是正方形 ABCD内部的一点，连接 PA、PB、PC。将 PAB 绕着点 B顺时针旋转 90°到 P CB  的位置。设 AB m ，PB n ， m n ，求 PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 20 / 22 【答案】 1 4 π（m²－n²） 【分析】因为将 PAB 绕点 B顺时针旋转 90°到 P CB  ，所以 PAB 和 P CB  形状大 小均相等，所以 PAB 的面积＝ P CB  的面积，则阴影部分的面积等于以 AB为半 径的 1 4 圆的面积减去以 PB为半径的 1 4 圆的面积。据此即可求解。 【详解】以 AB为半径的 1 4 圆的面积： 1 4 ×π×m×m＝ 1 4 πm²； 以 PB为半径的 1 4 圆的面积： 1 4 ×π×n×n＝ 1 4 πn²； 阴影部分面积＝ 1 4 πm²－ 1 4 πn²＝ 1 4 π（m²－n²）。 答： PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是 1 4 π（m²－n²）。 【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关 系求出阴影部分面积。 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积。 草场上有一个长 20m，宽 10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30m的绳子 拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 21 / 22 解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四 分之三个半径为 30米的圆的面积、四分之一个半径为 20米的圆、四分之一个半 径为 10米的圆的面积组成。 【专项训练】 1. 墙角 O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长 4m，墙角两边的 墙长 2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 解析： 先画出羊吃草的范围（如图），可见羊吃草的面积是由三部分组成的：一部分是 半径为 4m的圆的 1 4 ；另两部分都是半径为 2m的圆的 1 4 ，这两部分合起来正好 是半径为 2m的半圆。 3.14×42÷4＋3.14×22÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（m2） 答：这只羊能吃到草的面积最多是 18.84平方米。 2. 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角 O处，这个建筑物是边长 600厘米的正 22 / 22 方形，缚狗的绳子长 20米．现在狗从 A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少 米？ 解析： 600厘米=6米 20×2=40（米） 20-6=14（米） 14×2=28（米） 20-6-6=8（米） 8×2=16（米） 20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米） ×3.14×(40＋28＋16＋4)＝ ×3.14×88＝69.08（米） 3. 一块正方形的草地，边长是 3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各 拴一只羊，拴羊的绳子都是 3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 解析： 根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 1 4 －正方形面 积的一半）×2，其中圆的半径是 3米，据此解答。 （3.14×32× 1 4 －3×3÷2）×2 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 答：这两只羊都能吃到的草的面积有 5.13平方米。 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 目 录 【奥数拓展一】周长的大小比较。 3 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一） 4 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二） 5 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三） 6 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一） 7 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二） 8 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积 10 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） 11 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积 12 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积 14 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积 15 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积 16 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末思维素养05：图形与几何【十二大考点】 【奥数拓展一】周长的大小比较。 如图所示，在1个大圆内有3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆周长与这3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 【专项训练】 1.如图所示，从A点到C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 3.已知线段AB长30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一）。 图1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是7米，请你算出涂色部分的周长。 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二）。 把3根底面直径为6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用多长的铁丝(接头处长8厘米)? 【专项训练】 1.把3根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要用多长的铁丝(接头处不计)? 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是2.5厘米.求阴影部分的周长。 3.有4段同样的圆木，横截面圆的半径是10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所示)，只需要捆1圈，打结处需要15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳子? 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三）。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为20厘米，求这个组合图形的周长。 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE=4米，点B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取3) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是100厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取3.14) 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一）。 如图所示，A圆的半径为3厘米，B圆的半径为4厘米，如 果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 【专项训练】 1.有A、B两个圆，A圆的半径为2厘米，B圆的半径为5厘米，如果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为a厘米，乙圆的半径为b厘米，如果甲圆不动，乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 3.正方形ABCD的边长正好等于1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二）。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长8厘米、宽6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转90°，连续旋转四次后A点到了E点的位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取3)。 【专项训练】 1.等边三角形ABC的边长是9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚10次(如图 所示)，求A点经过的路程长。 2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为6米的正方形，拴小狗的绳长20米，小狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 3.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取3.14)? 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积。 如图1所示，正方形的边长为8厘米，A和B分别是两条边长的中点，求阴影部分的面积。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取3.14) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是5厘米，求阴影部分的面积。 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每只羊的羊绳长4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多28平方厘米，AB长40厘米，CB垂直于 AB，求BC的长。 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 3.如图所示，边长为2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部分的面积之差为多少平方厘米?(π取3.14) 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是25平方厘米，求圆环的面积。 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示，如果直角三角形的面积是40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 2.下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积。 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积。 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【专项训练】 1. 计算下图中阴影部分的面积。 2. 计算阴影部分面积。（取3.14） 3. 求涂色部分的面积。 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积。 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【专项训练】 1. 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 2. 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为1厘米） 3. 如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积。 草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 【专项训练】 1. 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 2. 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 3. 一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 17 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 17 目 录 【奥数拓展一】周长的大小比较。 ........................................................................................ 3 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一） ........................................................................ 4 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二） ........................................................................ 5 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三） ........................................................................ 6 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一） .................................................................................... 7 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二） .................................................................................... 8 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积 .......................................................................... 10 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） ..................................................11 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积 .............................................................................. 12 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积 .............................................................................. 14 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积 ......................................................15 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积 ..............................................16 3 / 17 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末思维素养 05：图形与几何【十二大考点】 【奥数拓展一】周长的大小比较。 如图所示，在 1个大圆内有 3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆 周长与这 3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 【专项训练】 1.如图所示，从 A点到 C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈 2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如 果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 4 / 17 3.已知线段 AB长 30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一）。 图 1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 5 / 17 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是 7米，请你算出涂色部分的周 长。 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二）。 把 3根底面直径为 6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用 多长的铁丝(接头处长 8厘米)? 【专项训练】 1.把 3根底面半径为 4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要 用多长的铁丝(接头处不计)? 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是 2.5厘米.求阴影部分的周长。 6 / 17 3.有 4段同样的圆木，横截面圆的半径是 10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所 示)，只需要捆 1圈，打结处需要 15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳 子? 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三）。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为 20厘米，求这个组合图形的周长。 7 / 17 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点 A和点 C，AE=4米，点 B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取 3) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是 100 厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取 3.14) 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一）。 如图所示，A圆的半径为 3厘米，B圆的半径为 4厘米，如 果 A圆不动，B圆 沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 8 / 17 【专项训练】 1.有 A、B两个圆，A圆的半径为 2厘米，B圆的半径为 5厘米，如果 A圆不动， B圆沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为 a厘米，乙圆的半径为 b厘米，如果甲圆不动， 乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 3.正方形 ABCD的边长正好等于 1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方 形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个 硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二）。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长 8厘米、宽 6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转 90°，连续旋转四次后 A 点到了 E 点的 位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取 3)。 9 / 17 【专项训练】 1.等边三角形 ABC 的边长是 9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚 10 次(如 图 所示)，求 A点经过的路程长。 2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为 6米的正方形，拴小狗的绳长 20米，小狗从 A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 3.一个边长为 100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取 3.14)? 10 / 17 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积。 如图 1 所示，正方形的边长为 8 厘米，A和 B分别是两条边长的中点，求阴影 部分的面积。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为 10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取 3.14) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 11 / 17 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是 5厘米，求阴 影部分的面积。 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是 4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每 只羊的羊绳长 4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多 28平方厘米，AB长 40厘米，CB垂直于 AB，求 BC的长。 12 / 17 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 3.如图所示，边长为 2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部 分的面积之差为多少平方厘米?(π取 3.14) 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是 25平方厘米，求圆环的面积。 13 / 17 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示， 如果直角三角形的面积是 40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 2.下图中阴影部分的面积是 40平方厘米，求环形的面积。 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是 30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 14 / 17 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积。 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【专项训练】 1. 计算下图中阴影部分的面积。 2. 计算阴影部分面积。（ 取 3.14） 3. 求涂色部分的面积。 15 / 17 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积。 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【专项训练】 1. 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 2. 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为 1厘米） 16 / 17 3. 如图，点 P是正方形 ABCD内部的一点，连接 PA、PB、PC。将 PAB 绕着点 B顺时针旋转 90°到 P CB  的位置。设 AB m ，PB n ， m n ，求 PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积。 草场上有一个长 20m，宽 10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30m的绳子 拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 【专项训练】 1. 墙角 O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长 4m，墙角两边的 墙长 2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 17 / 17 2. 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角 O处，这个建筑物是边长 600厘米的正 方形，缚狗的绳子长 20米．现在狗从 A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少 米？ 3. 一块正方形的草地，边长是 3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各 拴一只羊，拴羊的绳子都是 3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 目 录 【奥数拓展一】周长的大小比较。 3 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一） 4 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二） 5 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三） 6 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一） 8 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二） 9 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积 10 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） 12 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积 14 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积 15 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积 17 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积 20 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末思维素养05：图形与几何【十二大考点】 【奥数拓展一】周长的大小比较。 如图所示，在1个大圆内有3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆周长与这3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 解析：大圆周长与所有小圆周长之和相等。 【专项训练】 1.如图所示，从A点到C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 解析：相等。 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 解析：同时到达。 3.已知线段AB长30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 解析：3.14×30=94.2(厘米) 【奥数拓展二】含圆的组合图形周长（一）。 图1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 解析： 12×4+3.14×6×2=48+37.68=85.68(厘米) 答：这个零件横截面的周长是85.68厘米。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将原图形的周长看成一个长方形与两个圆形的周长之和。 (8+4)×2+3.14×3×2=24+18.84=42.84(厘米) 所以，图形的周长是42.84厘米。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将图形看成是三个半径为3厘米的圆与两个半径为 2厘米的圆的周长和 3.14×3×2×3+3.14×4×2=3.14×26=81.64(厘米) 所以，图形的周长是81.64厘米。 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是7米，请你算出涂色部分的周长。 解析： 涂色部分的周长实质就是四个小圆的周长和7×π×4=28π=87.92(米) 所以，涂色部分的周长为87.92米。 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长（二）。 把3根底面直径为6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用多长的铁丝(接头处长8厘米)? 解析： 3.14×6+6×3+8=18.84+18+8=44.84(厘米) 答：捆一圈至少要用44.84厘米长的铁丝。 【专项训练】 1.把3根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要用多长的铁丝(接头处不计)? 解析：4×2=8(厘米)，(3.14×8+8×3)×2=98.24(厘米) 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是2.5厘米.求阴影部分的周长。 解析：2.5×2×3.14+2.5×2×2=25.7(厘米) 3.有4段同样的圆木，横截面圆的半径是10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所示)，只需要捆1圈，打结处需要15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳子? 解析： 将绳子的长度看成4条直径与一个圆的周长和，再加上打结处的长度 3.14×10×2+10×2×4+15=157.8(厘米) 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长（三）。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 解析： 2×3.14×6=37.68(厘米) 答：阴影部分的周长是37.68厘米。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为20厘米，求这个组合图形的周长。 解析 2×3.14×20××2=188.4(厘米) 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE=4米，点B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取3) 解析： 4+3×4×2÷4+3×2×2÷4=13(m) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是100厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取3.14) 解析： 100+100×2×3.14÷4+100×2×2×3.14÷4+100×3×3.14÷2 =100+157+314+471 =1042(厘米) 【奥数拓展五】圆周滚动问题（一）。 如图所示，A圆的半径为3厘米，B圆的半径为4厘米，如 果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 解析： 【专项训练】 1.有A、B两个圆，A圆的半径为2厘米，B圆的半径为5厘米，如果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 解析： 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为a厘米，乙圆的半径为b厘米，如果甲圆不动，乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 解析： 3.正方形ABCD的边长正好等于1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 解析： 【奥数拓展六】圆周滚动问题（二）。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长8厘米、宽6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转90°，连续旋转四次后A点到了E点的位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取3)。 解析： 6²+8²=CF²，CF=10(厘米) ×3×6×2+×3×10×2+×3×8×2=36(厘米) 答：A点走过的路程总长是36厘米。 【专项训练】 1.等边三角形ABC的边长是9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚10次(如图 所示)，求A点经过的路程长。 解析： 2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为6米的正方形，拴小狗的绳长20米，小狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 解析： 如图，当狗沿顺时针方向跑90度时，有6米的绳子将与小房子贴紧，同样，每次跑的时候，都有6米的绳子与小房子贴紧，这样就得到四条弧，每条弧的圆心 角都是90度，半径分别是20米、14米、8米、2米，分别求出弧长再相加就可以了。 弧AB：3.14×20×2÷4 =31.4(米)； 弧BC：3.14×14×2÷4 =21.98(米)； 弧CD：3.14×8×2÷4=12.56(米)； 弧DE：3.14×2×2÷4=3.14(米)； 狗最多跑：31.4+21.98+12.56+3.14=69.08(米) 3.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取3.14)? 解析：2384厘米。 【奥数拓展七】割补法求阴影部分的面积。 如图1所示，正方形的边长为8厘米，A和B分别是两条边长的中点，求阴影部分的面积。 解析： 因为A和B分别是边长的中点，所以上下两个长方形完全一样，而图1中阴影部分的面积又可以分为两部分：上面是一个半圆，下面的部分可以看作从一个长方形中减去两个扇形的面积，两个扇形拼在一起相当于上面一个半圆，因此，我 们可以将阴影部分割拼成一个长方形(如图2所示)，它的面积正好是正方形面积的一半， 8×8÷2=32(平方厘米) 答：阴影部分的面积是32平方厘米。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取3.14) 解析： 不难发现图中阴影“逗号”的面积恰好等于大圆面积的一半 ×3.14×10²=157(平方厘米) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 3.14×6²÷4=28.26(平方厘米) 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是5厘米，求阴影部分的面积。 解析： 3.14×(5×2)²×-×5×2×5=14.25(平方厘米) 【奥数拓展八】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每只羊的羊绳长4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 解析： 3.14×4²÷2-4×4=25.12—16=9.12(平方米) 答：两只羊都能吃到草的区域面积是9.12平方米。 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多28平方厘米，AB长40厘米，CB垂直于 AB，求BC的长。 解析： [3.14×(40÷2)²÷2-28]×2÷40=30(厘米) 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 解析： 3.14×6²×-6×5÷2=0.7(平方厘米) 3.如图所示，边长为2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部分的面积之差为多少平方厘米?(π取3.14) 解析： (2÷2)²π÷2—(2×2-2²π÷4) ==1.57—0.86 =0.71(平方厘米) 【奥数拓展九】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是25平方厘米，求圆环的面积。 解析： π×R²—π×r²=π×(R²—r²)=3.14×50=157(平方厘米) 答：圆环的面积为157平方厘米。 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示，如果直角三角形的面积是40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 解析： r×r÷2=40，r²=80，3.14×80=251.2(平方厘米) 2.下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积。 解析： 3.14×(R²-r²)=3.14×40=125.6(平方厘米) 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 解析： 2r×r÷2=30，r²=30 所以，圆的面积是3.14×30=94.2(平方厘米)。 【奥数拓展十】拼接法求阴影部分面积。 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【答案】6.28平方厘米 【分析】三个扇形可以拼成一个半径为2厘米的半圆，那么阴影部分的面积＝半圆的面积，然后根据圆的面积公式 S＝πr2把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以，图中阴影部分的面积之和是6.28平方厘米。 【专项训练】 1. 计算下图中阴影部分的面积。 【答案】39.25 【详解】3.14×÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25 2. 计算阴影部分面积。（取3.14） 【答案】12.56平方厘米 【分析】根据三角形内角和180度以及扇形的特点，两个圆的半径相等，图中两个扇形加起来正好是一个圆心角是90度的扇形，即一个圆的。据此计算。 【详解】3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方厘米） 3. 求涂色部分的面积。 【答案】14.13cm2； 13.76cm2 【分析】通过图可知，由于三角形的内角和是180°，所以第一个图形的三个扇形拼接在一起正好能够构成一个半径是3厘米的半圆，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数代入即可求解； 通过图可知，两个半径构成一个正方形边长，即圆的半径：8÷2＝4厘米，正方形里面相当于4个的圆，那拼在一起相当于一个半径是4厘米的圆，用正方形的面积－4个圆的面积＝涂色部分面积；根据正方形的面积公式：边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求解。 【详解】第一个图形：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 第二个图形：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 【奥数拓展十一】旋转法（翻转法）求阴影部分面积。 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】； 【分析】结合图示可知， ①阴影部分周长由6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长的，故可列式为：； ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转180°，恰好与右边的合为半圆，即阴影部分面积就是半圆的面积，故可列式为：。 【详解】 【专项训练】 1. 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】38.465平方厘米 【分析】把左上角扇形阴影部分移动到右下角，和圆环阴影部分组合在一起，两块阴影部分的面积整体可以看成是一个半径为5＋2＝7（厘米）的圆的面积的，根据圆的面积S＝πr2，把数据代入求解即可。 【详解】 （平方厘米） 2. 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为1厘米） 【答案】3.14平方厘米 【分析】将阴影部分拼在一起可知，阴影部分的面积是一个半径为（1＋1）厘米的圆面积的，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】1＋1＝2（厘米） 3.14×22× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝3.14（平方厘米） 阴影部分的面积是3.14平方厘米。 3. 如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【答案】π（m²－n²） 【分析】因为将绕点B顺时针旋转90°到，所以和形状大小均相等，所以的面积＝的面积，则阴影部分的面积等于以AB为半径的圆的面积减去以PB为半径的圆的面积。据此即可求解。 【详解】以AB为半径的圆的面积：×π×m×m＝πm²； 以PB为半径的圆的面积：×π×n×n＝πn²； 阴影部分面积＝πm²－πn²＝π（m²－n²）。 答：旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是π（m²－n²）。 【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关系求出阴影部分面积。 【奥数拓展十二】图示法（羊吃草问题）求阴影部分面积。 草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四分之三个半径为30米的圆的面积、四分之一个半径为20米的圆、四分之一个半径为10米的圆的面积组成。 【专项训练】 1. 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 解析： 先画出羊吃草的范围（如图），可见羊吃草的面积是由三部分组成的：一部分是半径为4m的圆的；另两部分都是半径为2m的圆的，这两部分合起来正好是半径为2m的半圆。 3.14×42÷4＋3.14×22÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（m2） 答：这只羊能吃到草的面积最多是18.84平方米。 2. 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 解析： 600厘米=6米 20×2=40（米） 20-6=14（米） 14×2=28（米） 20-6-6=8（米） 8×2=16（米） 20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米） ×3.14×(40＋28＋16＋4)＝×3.14×88＝69.08（米） 3. 一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 解析： 根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 －正方形面积的一半）×2，其中圆的半径是3米，据此解答。 （3.14×32×－3×3÷2）×2 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 答：这两只羊都能吃到的草的面积有5.13平方米。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$